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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题02 几何思想之平行四边形的性质专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江嵊州·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在 ABCD中，∠ADC＝60°，点F在CD的延长线上，连结BF，G为BF的中点，连结AG．若AB＝2，BC＝6，DF＝3，则AG的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
过点A作AN⊥CD交DC延长线于点N，延长AG交DF于点M，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得DN和AN的长，证明△AGB△MGF，求得DM的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解详析】
解：过点A作AN⊥CD交DC延长线于点N，延长AG交DF于点M，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，CD∥AB，∠ADC=60°，则∠DAN=30°，
∴DN=AD=3，AN=，
∵CD∥AB，G为BF的中点，
∴∠ABG=∠F，∠AGB=∠MGF，BG=GF，
∴△AGB△MGF，
∴AB= MF=2，AG= GM，
∴DM=DF-MF=1，
∴MN=DN+DM=4，
∵,
∴AM=，
∴AG=，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线，构建全等三角形的解题的关键．21教育名师原创作品
2．（2021·浙江·杭州外国语学校八年级期末）如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，．关于下列四个结论：①；②；③；④，则所有正确结论的序号是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【标准答案】B
【思路指引】
由平行四边形的性质结合等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形的判定与性质可得∠DFC＝∠BCF，∠DFC＝∠DCF，可证明①；取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，再证明FG⊥CE，可证明②；根据平行线的性质可得∠AEC＝∠DCE＝90°，进而可证明③；而无法证明④．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DFC＝∠BCF，
∵点F是AD的中点，
∴AD＝2DF，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴DF＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；
取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴FG∥AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∴EF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；
∵CE⊥AB，AB∥CD，
∴CE⊥CD，
∴∠AEC＝∠DCE＝90°，
即∠AEF＋∠FEC＝∠DCF＋∠FCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCF，
∵∠DCF＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；
∵S△CEF＝CE BE，
S△BCE＝CE FG＝CE （AE＋CD）＝CE （AE＋AB）＝CE （2AE＋BE），
而2AE＋BE不一定等于2BE
∴S△CEF不一定等于S△BCE，故错误④．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识的综合运用，灵活运用等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2021·浙江萧山·八年级期中）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．中一定成立的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【标准答案】A
【思路指引】
①根据平行四边形的性质和等腰三角形等边对等角即可证明；
②根据题意作出辅助线，证明出△MBF≌△ECF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
③由EF＝FM可得S△AEF＝S△AFM，由图可得出S△ABF和S△AEF的关系；
④根据题意利用角度之间的关系证明即可．
【详解详析】
解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x＋180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故选：A．
【名师指路】
此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等的性质和判定．2·1·c·n·j·y
4．（2021·浙江·杭州市杭州中学八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边作 ABED，则∠E的度数为（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．55° C．65° D．70°
【标准答案】C
【思路指引】
根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据平行四边形的性质即可得∠E的度数．
【详解详析】
解：∵∠C＝50°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵四边形ABED是平行四边形，
∴∠E＝∠A＝65°．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质计算即可．
5．（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校八年级开学考试）已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．125° B．135° C．145° D．155°
【标准答案】A
【思路指引】
根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=110°，
∴∠A=∠C=55°，
∴∠B=125°．
故选：A．
【名师指路】
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
6．已知点是平行四边形内一点(不含边界)，设．若，则( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°．21*cnjy*com
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，
∴△ABM中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①，
△DCM中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②，
由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，
；
故选：D.
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．21cnjy.com
7．如图，在平行四边形中，．作于点E，于点F，记的度数为，．则以下结论正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
①的度数为 ②
③若，则平行四边形的周长为
④若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【标准答案】A
【思路指引】
由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即可得出结论．
【详解详析】
解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
于点，于点，
，
；
平行四边形的面积，，，
，
；若，
则，
，
，，
，，
平行四边形的周长；
的面积，
的面积，
平行四边形的面积，
四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；
综上所述，①②③正确，④错误；
故选：A．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．www.21-cn-jy.com
二、填空题
8．（2021·浙江余姚· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，N是EC的中点，M是AB的中点，已知S△ABD=6，BC=4，则MN的长为______．
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【标准答案】2.5
【思路指引】
取DC的中点M′，连接M ( http: / / www.21cnjy.com )M′交BD于点O，连接ON，NM′，证明△MBO≌△M′DO，可得OM=OM′，OB=OD，连接AC，证明A，C，O三点共线，可得ON是△ACE的中位线，在Rt△MON中，根据勾股定理即可得结论．
【详解详析】
解：如图，取DC的中点M′，连接MM′交BD于点O，连接ON，NM′，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠MBO=∠M′DO，
∵M是AB的中点，M′是DC的中点，
∴BM=DM′，
在△MBO和△M′DO中，
，
∴△MBO≌△M′DO（AAS），
∴OM=OM′，OB=OD，
连接AC，
根据平行四边形对角线互相平分，
∴A，C，O三点共线，
∴OA=OC，
∵N是EC的中点，
∴ON是△ACE的中位线，
∴ON∥AE，ON=AE，
∵AE⊥BC，
∴ON⊥BC，
∵AD∥BC∥MM′，
∴ON⊥MM′，四边形MADM′和CBMM′是平行四边形，
∴MM′= BC=4，则OM=OM′=2，
∵S平行四边形ABCD=2S△ABD=2×6=12，BC=4，
∴BC AE=12，
∴AE=3，ON=，
在Rt△MON中，OM=2，ON=1.5，
∴MN=2.5．
故答案为：2.5．
【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形的性质，三角形的面积，三角形中位线定理，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是证明ON是△ACE的中位线．
9．（2021·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在△中，，，．点在边上，连结，将△沿直线翻折得△，连结．当四边形为平行四边形时，该四边形的周长是____．
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【标准答案】6+
【思路指引】
由平行四边形的性质得A′C=BD，A′D=BC=3，再由翻折的性质得AD=A′D=3，则CD=AC-AD=3，然后证△BCD是等腰直角三角形，得BD=BC=，即可求解．
【详解详析】
解：∵四边形A'DBC为平行四边形，
∴A′C=BD，A′D=BC=3，
由翻折的性质得：AD=A′D=3，
∴CD=AC-AD=6-3=3，
∴CD=BC，
∵∠ACB=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=BC=，
∴四边形A'DBC的周长=2（BD+BC）=2×（+3）=6+，
故答案为：6+．
【名师指路】
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质，证明△BCD为等腰直角三角形是解题的关键．
10．（2021·浙江拱墅·八年级期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 ______．
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【标准答案】40°
【思路指引】
由平行四边形的性质得∠B=∠D=50°，再 ( http: / / www.21cnjy.com )由三角形的外角性质得∠AEC=∠D+∠DAE=70°，则∠AED=110°，然后由折叠的性质得∠AED=∠AED′=110°，即可求解．
【详解详析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
【名师指路】
本题考查了翻折变换的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．
11．（2018·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为_____．
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【标准答案】
【思路指引】
设EF=x，根据三角形的中位线定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNB，则EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．
【详解详析】
设EF=x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD=2x，AD∥EF，
∴∠CAD=∠CEF=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=2x，
∴∠ACB=∠CAD=45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴∠CEM=45°，
连接BE，
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∵AB=OB，AE=OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM=45°，
∴BM=EM=MC=x，
∴BM=FE，
易得△ENF≌△MNB，
∴EN=MN=x，BN=FN=，
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，
∴()2＝x2+(x)2，
x=2或-2（舍），
∴BC=2x=4．
故答案为4．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．21·cn·jy·com
12．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，则①点C到直线AB的距离是_____.②△OEF周长的最小值是________．
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【标准答案】 5
【思路指引】
①过D作DP⊥AB于P,,则△ADP是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到,进而求得AP=DP=5；
②作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N,连接MN交AB于F交AD于E,则△OEF周长的最小, △OEF周长的最小值=MN,由作图得: AN=AO=AM, ∠NAD=∠DAO, ∠MAB=∠BAO,于是得到.根据三角形的中位线的性质得到,,根据勾股定理得到,然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.
【详解详析】
①过D作DP⊥AB于P,
则A△DP是等腰直角三角形,
,
,
∴AP=DP=sin45°×5=5；
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②作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N,连接MN交AB于F交AD于E,则△OEF周长的最小, △OEF周长的最小值=MN,
由作图得:AN=AO=AM, ∠NAD=∠DAO, ∠MAB=∠BAO,
,
,
∵OM⊥AB于Q,
,
,
,
,
,
,
,
,
∴△OEF周长的最小值是.
故答案为①5；② .
【名师指路】
此题主要考查轴对称--最短路线问题，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键.
13．（2021·浙江杭州·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，在平行四边形 ABCD 中， AD 2 AB ；CF 平分 BCD 交 AD 于 F ，作 CE AB ， 垂足 E 在边 AB 上，连接 EF ．则下列结论：① F 是 AD 的中点； ② S△EBC 2S△CEF；③ EF CF ； ④ DFE 3AEF ．其中一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
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【标准答案】①③④.
【思路指引】
由角平分线的定义和平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质可证得CD=DF，进一步可证得F为AD的中点，由此可判断①；延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及①的结论可得△AEF≌△DMF，结合直角三角形的性质可判断③；结合EF=FM，利用三角形的面积公式可判断②；在△DCF和△ECF中利用等腰三角形的性质、外角的性质及三角形内角和可得出∠DFE=3∠AEF，可判断④，综上可得答案.
【详解详析】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF，
∴∠DFC=∠DCF，∴CD=DF，
∵AD=2AB， ∴AD=2CD，
∴AF=FD=CD，即F为AD的中点，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，∴AF=FD，
又∵∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，
∴∠ECD=∠AEC=90°，
∵FM=EF，∴FC=FM，故③正确；
∵FM=EF，∴，
∵MC＞BE，
∴＜2，故②不正确；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°－x，
∴∠EFC=180°－2x，
∴∠EFD=90°－x+180°－2x=270°－3x ，
∵∠AEF=90°－x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确；
综上可知正确的结论为①③④.
故答案为①③④.
【名师指路】
本题以平行四边形为载体，综 ( http: / / www.21cnjy.com )合考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的斜边上的中线等于斜边一半的性质、三角形的内角和和等腰三角形的判定和性质，思维量大，综合性强. 解题的关键是正确作出辅助线，综合运用所学知识去分析思考；本题中见中点，延长证全等的思路是添辅助线的常用方法，值得借鉴与学习.
14．（2021·浙江慈溪·八年级期中）在中，，的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，若线段EF=2，则AB的长为__________．
【标准答案】8或12
【思路指引】
根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.
【详解详析】
在中，AB∥CD，BC=AD=5，
∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，
∵的平分线交CD于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=5，
同理：CF=BC=5，
∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，
故答案为：8或12.
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【名师指路】
此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.
15．（2021·浙江·八年级月考）在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ， ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
【标准答案】12或20
【思路指引】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解详析】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
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在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
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在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【名师指路】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
16．如图，已知在中，，点M是边上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值_________．21世纪教育网版权所有
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【标准答案】
【思路指引】
根据平行四边形的性质，点N在过点B且平行于AC的线段上运动，则当MN⊥AC时，MN最小，利用同一三角形的面积相等即可求得MN的值．【出处：21教育名师】
【详解详析】
如图，设MN、BC交于点O，连接AO，过点B作BD⊥AC于点D
∵四边形MCNB是平行四边形，且对角线交于点O
∴BN∥AC，OB=OC
∵点M在AC上运动
∴点N在过点B且平行于AC的线段上运动
∴当MN⊥AC时，MN最小
∵BD⊥AC
∴BD∥MN
∴MN=BD
∵AB=AC=5，OB=OC
∴OB=，且AO⊥B C
由勾股定理得：
∵
∴BD=
∴MN=
即MN的最小值为
故答案为：．
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【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，两平行线间的公垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是确定点N的运动路径，从而转化为两平行线间的公垂线段最短，化动为静，这也是本题的难点所在．
17．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，恰出如下结论：①当时，则；②当F恰好为的中点时，则的面积为；③当时，连接，四边形是菱形，其中正确的结论为__________．（只填序号）21·世纪*教育网
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【标准答案】②
【思路指引】
①设AF=CF=x，构建方程求出x即可判断 ( http: / / www.21cnjy.com )；②证明∠BAC=90°，利用勾股定理求出AC，求出平行四边形ABCD的面积即可判断；③当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，不符合题意．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：①如图1中，
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∵∠B=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠DAC=∠CAE，
∴∠ACF=∠CAF，
∴AF=CF，设AF=CF=x，
在Rt△ABF中，则有x2=62+（8-x）2，
解得x=，
∴EF=8-=，故错误；
如图2中，
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当BF=CF时，
∵AF=CF=BF，
∴∠BAC=90°，
∴AC=，
∴S平行四边形ABCD=AB AC=6×=，故正确；
如图3中，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，故错误．
故答案为：②．
【名师指路】
本题考查翻折变换，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21教育网
18．（2021·浙江海曙·八年级期末）如图中，为对角线交点，平分，平分，，，则______．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】2
【思路指引】
延长DP交BC于点F，先证明PD⊥PC，再证明PD=PF，利用中位线定理，平行四边形的性质，计算即可．
【详解详析】
如图，延长DP交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OD=OB，AB=CD=6，BC=AD=10，
∴∠ADC+∠BCD=180°，∠ADF=∠CFD，
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∵平分，平分，
∴∠ADF=∠CDF，∠FCP=∠DCP，
∴∠CDP+∠DCP=90°，∠CDF=∠CFD，
∴DC=CF=6，DP=PF，
∴OP是△DBF的中位线，
∴OP=BF=（BC-CF）=（10-6）=2，
故答案为：2．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练运用平行线的性质，平行四边形的性质，中位线的性质是解题的关键．
三、解答题
19．（2021·浙江鄞州·八年级期中），我们把叫做这个平行四边形的“形变率”．
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（1）若变形后的平行四边形有一个内角是45°，则______．
（2）若．则这个平行四边形变形前后的面积之比为______．
（3）如图，矩形是由20个边长为1的小正方形组成，变形后成为平行四边形，（、是小正方形的顶点）随之变为，设这个平行四边形的“形变率”为，则对于与的面积之比有何猜想？并说明理由．
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【标准答案】（1）；（2）；（3），见解析
【思路指引】
（1）构造45°的直角三角形，利用45°正弦函数列式求出k值；
（2）由，将面积作比即可得到答案；
（3）猜想与的面积之比为．作交延长线于点，则有，分别表示出变形前后的的面积和的面积，并相比即可得到答案．
【详解详析】
解：（1）∵，
∴；
故答案为：．
（2）∵四边形面积，四边形面积，且，
∴四边形：四边形．
故答案为：．
（3）猜想：与的面积之比为，理由如下：
如图，作交延长线于点，则有，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
面积
．
的面积，
∴，
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【名师指路】
本题考查了四边形的性质、网格点三角形面积的计算、对新定义的理解和运用，解题的关键是：对新定义的理解和运用．
20．（2021·浙江瓯海·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在射线CB上取一点E，使得BE＝2BC＝20，当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E． 在线段QC上取点F，使得QF＝2，连结PF，记AP＝（）．
（1）①CF＝ （用含的式子表示）
②若PF⊥BC，求BQ的长．
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出的值．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出的值．
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【标准答案】（1）；（2）；（3）3或6；（4）
【思路指引】
（1）①由已知可得点P与点Q的速度比为1：3，则得CQ=3AP，由于CF=CQ-QF，结论可得；
②过点A作AM⊥BC于点M，由已知可得△APG和△FCG和△ABM为等腰直角三角形，则AP=PG=x，FC=FG=3x-2，AM=BM=BC=5；由四边形AMFP为矩形得到AM=PF，列出方程求出x，则CQ可求；
（2）分两种情形解答：①当点Q，F在线段BC上时；②当点Q，F在线段CB的延长线上时，利用AP=BF，列出方程即可求解；
（3）分两种情形解答：点P的对称点在线段AB上或在线段BA的延长线上，利用AB=BF，列出方程即可求解．
【详解详析】
解：（1）①∵BE=2BC=20，
∴BC=10，EC=30．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=10．
∵当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E，
∴点P与点Q的速度比为1：3，
∵AP=x，
∴CQ=3x，
∴CF=CQ-QF=3x-2．
故答案为：3x-2；
②过点A作AM⊥BC于点M，设PF交AC于点G，如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ABC=45°，∠BAC=90°，AM⊥BC，
∴△ABC，△AMB，△AMC为等腰直角三角形，
∴AM=BC=5，∠ACB=45°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=45°．
∵PF⊥BC，
∴FP⊥AD．
∴△APG和△FGC为等腰直角三角形．
∴PG=AP=x，FG=FC=3x-2．
∴PF=PG+GF=4x-2．
∵AD∥BC，AM⊥BC，PF⊥BC，
∴AM=PF，
∴4x-2=5．
解得：x=．
∴BQ=BC-CQ=10-3x=10-×3=；
（2）①当点Q，F在线段BC上时，如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
若四边形ABFP为平行四边形，则AP=BF，
∵BF=BC-CF，
∴x=10-（3x-2），
解得：x=3；
②当点Q，F在线段CB的延长线上时，如下图，
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若四边形AFBP为平行四边形，则AP=BF，
∵BF=CF-BC，
∴x=3x-2-10，
解得：x=6；
综上，当x=3或6时，以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，
①点P关于AF的对称点Q在线段AB上，如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点P与点Q关于AF对称，
∴∠BAF=∠DAF．
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
在Rt△ABC中，,
∴AB=5，
∴5=10-(3x-2)．
解得：；
②点P关于AF的对称点Q在线段BA的延长线上时，如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点P与点Q关于AF对称，
∴∠QAH=∠DAH=．
∵∠ABC=45°，∠ABC=∠AFB+∠FAB，∠FAB=∠QAH=，
∴∠AFB==∠FAB，
∴AB=BF．
∵BF=CF-BC，
∴5=3x-2-10．
解得：．
综上，当或时，当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上．
【名师指路】
本题是四边形的综合题，主要考查了平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，一元一次方程的解法．充分利用等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
21．（2021·浙江鄞州·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）我们把能平分一个图形面积的直线称为该图形的“好线”．如图1，三角形的中线所在直线就是该三角形的一条好线．
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（1）平行四边形的好线共有 条；
（2）如图2，四边形中，取对角线的中点，连接、，再过点作交于，连接．证明：直线是四边形的“好线”；
（3）如图3，为一条“好线”， 为边的一点，请作出经过点的一条“好线”，并说明哪条直线是四边形的“好线”（不擦除作图痕迹，无需说明理由）．
【标准答案】（1）无数条；（2）见解析；（3）作图，说明见解析．
【思路指引】
（1）根据平行四边形是中心对称图形即可推出结论；
（2）证明把四边形分为四边形和三角形的两部分面积相等，即可得证；
（3）掌握“好线”的特点，结合（2）平行线的特点即可找到（3）的好线．
【详解详析】
（1）平行四边形是中心对称图形，过其对称中心的直线都能把该平行四边形平分为面积相等的两部分，
平行四边形的好线共有无数条，
故答案为：无数条；
（2）证明：是的中点，
，，
四边形＝四边形＝四边形；
又，
，
而，
，
由图象易知：四边形四边形，
四边形，
四边形四边形，
而把四边形分为四边形和三角形两部分，
故直线是四边形的“好线”；
（3）解：连接，过点作的平行线交于点，连接，交于点，则为四边形的“好线”．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
由图象易知：，，
，
又是一条好线，
四边形，
由图易知：将图形分为和五边形，
，
五边形＝四边形，
五边形＝四边形，
是四边形的“好线”．
【名师指路】
本题属于四边形综合大题，用新定义“ ( http: / / www.21cnjy.com )好线”的形式考查图形面积相等的变换，本题需要考生理清题目，敢于尝试，充分利用平行线的特点，逐步推理是解题的关键．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，，点P是线段AB上的任意一点（包括端点），点Q在直线AB上，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）点B的坐标是___________．
（2）连结OQ，OP，若是以PQ为底边的等腰三角形，求的面积．
（3）如图2，点C的坐标为，以P，Q，C，D为顶点作平行四边形，若点D落在x轴上，求所有满足条件的BP的长．
【标准答案】（1）（0，）；（2）；（3）1
【思路指引】
（1）解直角三角形求出OB即可；
（2）过点O作OH⊥PQ，根据三线合一得到PH=QH=2BP，利用直角三角形的性质求出OH和PQ，即可得解；
（3）分两种情形：当，时，当，时，分别求出，的长，可得结论．
【详解详析】
解：（1）在中，
，，
∴AB=2OA=12，
，
，．
（2）过点O作OH⊥PQ，如图，
∴PH=QH=2BP，
在△AHO中，∠HAO=60°，
∴AH=AO=3，OH=AH=，
∴3BP+3=AB=12,
∴BP=3，
∴PQ=12，
则S△OPQ=；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图，当，时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
．
，
；
如图，当，时，同法可得，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
综上所述，BP的长为1．
【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题02 几何思想之平行四边形的性质专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江嵊州· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图，在 ABCD中，∠ADC＝60°，点F在CD的延长线上，连结BF，G为BF的中点，连结AG．若AB＝2，BC＝6，DF＝3，则AG的长为（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B． C． D．
2．（2021·浙江·杭州外国语学校八年级期末）如图，在平行四边形中，，作于点，点是的中点，连接，．关于下列四个结论：①；②；③；④，则所有正确结论的序号是（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
3．（2021·浙江萧山 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期中）已知 ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．中一定成立的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
4．（2021·浙江·杭州 ( http: / / www.21cnjy.com )市杭州中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝50°，AC＝BC，点D在AC边上，以AB，AD为边作 ABED，则∠E的度数为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．55° C．65° D．70°
5．（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校八年级开学考试）已知平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为（ ）21·cn·jy·com
A．125° B．135° C．145° D．155°
6．已知点是平行四边形内一点(不含边界)，设．若，则( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
7．如图，在平行四边形中，．作于点E，于点F，记的度数为，．则以下结论正确的是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
①的度数为 ②
③若，则平行四边形的周长为
④若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题
8．（2021·浙江余姚·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，N是EC的中点，M是AB的中点，已知S△ABD=6，BC=4，则MN的长为______．【来源：21cnj*y.co*m】
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9．（2021·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在△中，，，．点在边上，连结，将△沿直线翻折得△，连结．当四边形为平行四边形时，该四边形的周长是____．【出处：21教育名师】
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10．（2021·浙江拱 ( http: / / www.21cnjy.com )墅·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 ______．
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11．（2018·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为_____．21教育名师原创作品
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12．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，则①点C到直线AB的距离是_____.②△OEF周长的最小值是________． 21*cnjy*com
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13．（2021·浙江杭州 ( http: / / www.21cnjy.com )·八年级期末）如图，在平行四边形 ABCD 中， AD 2 AB ；CF 平分 BCD 交 AD 于 F ，作 CE AB ， 垂足 E 在边 AB 上，连接 EF ．则下列结论：① F 是 AD 的中点； ② S△EBC 2S△CEF；③ EF CF ； ④ DFE 3AEF ．其中一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 2-1-c-n-j-y
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14．（2021·浙江慈溪·八年级期中）在中，，的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F，若线段EF=2，则AB的长为__________．
15．（2021·浙江·八年级月考）在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ， ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．www.21-cn-jy.com
16．如图，已知在中，，点M是边上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值_________．
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17．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，恰出如下结论：①当时，则；②当F恰好为的中点时，则的面积为；③当时，连接，四边形是菱形，其中正确的结论为__________．（只填序号）
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．（2021·浙江海曙·八年级期末）如图中，为对角线交点，平分，平分，，，则______．【版权所有：21教育】
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三、解答题
19．（2021·浙江鄞州·八年级期中），我们把叫做这个平行四边形的“形变率”．
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（1）若变形后的平行四边形有一个内角是45°，则______．
（2）若．则这个平行四边形变形前后的面积之比为______．
（3）如图，矩形是由20个边长为1的小正方形组成，变形后成为平行四边形，（、是小正方形的顶点）随之变为，设这个平行四边形的“形变率”为，则对于与的面积之比有何猜想？并说明理由．
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20．（2021·浙江瓯海·八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，在射线CB上取一点E，使得BE＝2BC＝20，当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E． 在线段QC上取点F，使得QF＝2，连结PF，记AP＝（）．
（1）①CF＝ （用含的式子表示）
②若PF⊥BC，求BQ的长．
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出的值．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请直接写出的值．
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21．（2021·浙江鄞州·八年级期中）我 ( http: / / www.21cnjy.com )们把能平分一个图形面积的直线称为该图形的“好线”．如图1，三角形的中线所在直线就是该三角形的一条好线．
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（1）平行四边形的好线共有 条；
（2）如图2，四边形中，取对角线的中点，连接、，再过点作交于，连接．证明：直线是四边形的“好线”；21cnjy.com
（3）如图3，为一条“好线”， 为边的一点，请作出经过点的一条“好线”，并说明哪条直线是四边形的“好线”（不擦除作图痕迹，无需说明理由）．21·世纪*教育网
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，，点P是线段AB上的任意一点（包括端点），点Q在直线AB上，．
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（1）点B的坐标是___________．
（2）连结OQ，OP，若是以PQ为底边的等腰三角形，求的面积．
（3）如图2，点C的坐标为，以P，Q，C，D为顶点作平行四边形，若点D落在x轴上，求所有满足条件的BP的长．
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