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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答 ( http: / / www.21cnjy.com )三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题05 几何思想之平行四边形压轴题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2020·浙江宁波·八年级期中）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点且，下列说法中正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
①；②；③；④四边形为平行四边形；⑤；⑥．
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A．①⑥ B．①②④⑥ C．①②③④ D．①②④⑤⑥
【标准答案】D
【思路指引】
先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②， ( http: / / www.21cnjy.com )然后作辅助线，推出OD=OF，得出四边形BEDF是平行四边形，求出BM=DM即可判断④和⑤，最后根据AE=CF，即可判断⑥.
【详解详析】
①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC，AB=DC,
∴∠BAC=∠ADC,
在△ABE和△DFC中
∴△ABE≌△DFC（SAS）,
∴BE=DF,
故①正确.
②∵△ABE≌△DFC,
∴∠AEB=∠DFC,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
故②正确.
③根据已知的条件不能推AB=DE，故③错误.
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④连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=BO，OA=OC,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
故④正确.
⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,
∴∠BNO=∠DMO=90°,
在△BNO和△DMO中
∴ ,
故⑤正确.
⑥∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
故⑥正确.
故答案是D.
【名师指路】
本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
2．（2020·浙江·兰溪市外国语中学八年级月考）如图，在平行四边形中，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）21·世纪*教育网
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A．2 B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解详析】
解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180° ∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝
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在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为：
故选：C
【名师指路】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中 ( http: / / www.21cnjy.com )位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2020·浙江·宁波市镇海蛟川书院八年级期末）如图，，、分别是、的中点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
【标准答案】C
【思路指引】
根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得，，再由45°角可证△ABQ为等腰直角三角形，从而可得可得，进而证明，利用三角形的全等性质求解即可．
【详解详析】
解：如图所示：连接，延长交于点，延长交于，延长交于．
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，
，
，
，
点为两条高的交点，
为边上的高，即：，
由中位线定理可得，，
，故①正确；
，，
，
，
，
，
根据以上条件得，
，
，故②正确；
，
，
，故③
成立；
无法证明，故④错误．
综上所述：正确的是①②③，故选C．
【名师指路】
本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明．
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，中，对角线交于点，点分别是的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得；由三角形中位线定理可证得，进而可得，证出得．得出，即可得出结论．
【详解详析】
解：连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，，，，
，
，
点为中点，
，故①正确；
、、分别是、、的中点，
，，
，，
，
，故②正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
即，故③正确；
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，故④错误；
故选：．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形性质和判 ( http: / / www.21cnjy.com )定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．
5．（2021·浙江鄞州·八年级期中）如图，在□ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，分别作点C关于AB，AD的对称点G，H，连接CG，CH，AG，AH，GH．如果AB＝30，∠EAF＝30°，□ABCD的面积为270，那么下列说法不正确的是（ ）21教育名师原创作品
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A．CE＝CF B．∠GAH＝60°
C．GH＝AF+CF D．△GCH的面积是□ABCD的面积的一半
【标准答案】C
【思路指引】
利用平行四边形的面积运算出的长，利用平行四边形的性质和角的等量代换证出∠B＝∠D＝30°，再利用含角的直角三角形的性质进行边的代换即可得到CE＝CF，即可判断；连接AC，利用对称的性质和通过角的等量代换可得到∠GAH＝360°﹣∠BAC﹣∠GAB﹣∠DAC﹣∠DAH＝360°﹣2∠BAD＝60°，即可判断；证出△AGH是等边三角形，再利用三角形的定义得到AF+CF＞GH，即可判断；利用勾股定理求出的长，运算出△GHC的面积即可判断．21世纪教育网版权所有
【详解详析】
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠BAE＝90°﹣∠B，∠DAF＝90°﹣∠D，
∵ ABCD的面积为270，
∴AB×AF＝30AF＝270，
∴AF＝9，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B+90°﹣∠B+90°﹣∠D+30°＝180°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴AE＝AB＝15，BE＝AE＝15，AD＝2AF＝18，DF＝AF＝27，
∴EC＝BC﹣BE＝3，CF＝DC﹣DF＝30﹣27＝3，
∴CE＝CF，故选项A不符合题意；
如图，连接AC，
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∵点C关于AB，AD的对称点分别是点G，H，
∴AC＝AG＝AH，∠BAC＝∠BAG，∠DAC＝∠DAH，
∴∠GAH＝360°﹣∠BAC﹣∠GAB﹣∠DAC﹣∠DAH＝360°﹣2∠BAD＝60°，故选项B不符合题意，
∵∠GAH＝60°，AG＝AH＝AC，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AC，
在△AFC中，AF+CF＞AC，
∴AF+CF＞GH，故选项C符合题意，
∵AE＝15，CE＝3，
∴AC＝＝＝6，
∴△GHC的面积＝×（6）2+9×3+3×15＝135＝S ABCD，故选项D不符合题意，
故选：C．
【名师指路】
本题为平行四边形综合题型，其中涉及到了平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，三角形的定义，勾股定理等知识点，灵活运用所学的性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2020·浙江·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点C的坐标为，四边形是平行四边形，点D、E份别在边、上，且，．动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为项点的四边形是平行四边形时，其面积为_________．
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【标准答案】或或
【思路指引】
过点C作CH⊥OA于点H，由题意易得，，则有，然后分①点P在OC上，点Q在BC上，②点Q在OC上，点P在OA上，③点Q在OA上，点P在AB上，进而根据平信四边形的性质及面积计算公式进行求解即可．21cnjy.com
【详解详析】
解：过点C作CH⊥OA于点H，如图所示：
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∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，即点H与点D重合，
由动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为项点的四边形是平行四边形时，则可分：
①点P在OC上，点Q在BC上，如图所示：
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∴点O与点P重合，
∴；
当DE为对角线时，如图所示：
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则；
②点Q在OC上，点P在OA上，如图所示：
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∴点C、Q重合，
∴；
③点Q在OA上，点P在AB上，如图所示：
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∴点B、P重合，
∴；
综上所述：当动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为项点的四边形是平行四边形时，其面积为或或；www-2-1-cnjy-com
故答案为或或．
【名师指路】
本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．（2021·浙江越城·八年级期末）如图，在中，，点、分别在边、上，且．将四边形沿直线翻折，点、的对应点分别是点、，如果四边形是平行四边形，那么________度．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】60
【思路指引】
根据平行四边形的性质及折叠的特点证明△ABC是等边三角形即可解决问题．
【详解详析】
如图，
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∵四边形MNC′B′是由四边形MNCB翻折得到，
∴∠C＝∠C′，
∵AB∥B′C′，
∴∠C′＝∠BAC，
∴∠C＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠BAC＝60°，
故答案为60．
【名师指路】
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、翻折变换等知识，解题的关键是证明△ABC是等边三角形，属于中考常考题型．21·cn·jy·com
8．（2021·浙江北仑·八年级期末）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ___．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
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【标准答案】①②③
【思路指引】
利用平行四边形的判定方法可判断①；证明△AEC△BEC，得到AC= BC，利用垂直平分线的判定定理可判断②；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算可判断③；利用反证法可判断④．
【详解详析】
解：由题意得：AB=CD，∠BAE=∠ABE=45°，∠DEC=60°，∠EDC=30°，
过E作EF∥AB交AD于F，
则∠FEA=∠BAE=45°，
∴∠FED=75°-∠FEA=30°，
∴∠FED=∠EDC=30°，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
又AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；故选项①正确；
∵∠AEC=∠AED+∠DEC =135°，∠BEC=360°-∠AEB-∠AEC=135°，
△AEB是等腰直角三角形，则EB= AE，且EC= EC，
∴△AEC△BEC，
∴AC= BC，
又EB= AE，
∴CE垂直平分AB；故选项②正确；
延长CE交AB于G，则AG=BG=AB，CG⊥AB，
∵AB2=6，
∴AB=CD=，AG=BG=EG =AB=，
在Rt△ECD中，∠EDC=30°，CD=，
则ED=2EC，
由勾股定理得,即，
解得EC=，
在Rt△BCG中，,
即，故选项③正确；
若DE⊥AC，则∠ECA=90°-∠DEC=30°，
∵△AEC△BEC，
∴∠ACB=2∠ECA=60°，AC= BC，
∴△ACB是等边三角形，
而AB不一定与BC相等，所以DE⊥AC，不一定成立，故选项④不正确；
综上，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定的性质，含30度角的直角三角形的性质，反证法，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．（2020·浙江·宁波 ( http: / / www.21cnjy.com )华茂国际学校八年级期末）如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是______
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【标准答案】
【思路指引】
设MN与BC交于点O，连接AO， ( http: / / www.21cnjy.com )过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH长，所以MN最小值是2OH．
【详解详析】
解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，
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∵四边形MCNB是平行四边形，
∴O为BC中点，MN＝2MO．
∵AB＝AC＝13，BC＝10，
∴AO⊥BC．
在Rt△AOC中，利用勾股定理可得
AO＝＝12．
利用面积法：AO×CO＝AC×OH，
即12×5＝13×OH，解得OH＝．
当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，
所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是．
所以此时MN最小值为2OH＝．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
10．（2021·浙江·八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形，，，…，点，…都在x轴上，点，…都在直线上，且，，，，…，则点的坐标是___________．
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【标准答案】（，）
【思路指引】
根据一次函数的解析式求出∠ODE ( http: / / www.21cnjy.com )=30°，得到OD=OC1=1，同理得到A1C2=A1D，A2C3=A2D，从而得到相应线段的长，过B3作x轴的垂线，垂足为F，求出A3F和B3F的长，可得点B3的坐标．
【详解详析】
解：如图，在中，
令x=0，则y=，
令y=0，则x=-1，
则OD=1，OE=，
∴DE==，即DE=2OE，
∴∠ODE=30°，
∵∠C1OA1=60°，
∴∠OC1D=30°，
∴OD=OC1=1，同理：A1C2=A1D，A2C3=A2D，
∵OC1=1，OA1=2OC1=2，
∴A1C2=A1D=3，
∴A2C3=A2D=9，
∴A2A3=18，
∵四边形A2A3B3C3是平行四边形，
∴A3B3=A2C3=9，
过B3作x轴的垂线，垂足为F，
∵∠B3A3F=60°，
∴A3F=A3B3=，
∴B3F==，
∴OF=OA3+A3F=2+6+18+=，
∴B3的坐标为（，），
故答案为：（，）．
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【名师指路】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据已知点的变化规律求出相应边和角，找出规律是解题的关键．www.21-cn-jy.com
11．（2020·浙江·宁波外国语学校八年级期末）如图，已知，点A在边OX上，，过点A作于点C，以AC为一边在内作等边三角形ABC，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交OX于点D，作交OY于点E，则的最大值与最小值的积是______．【版权所有：21教育】
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【标准答案】40
【思路指引】
结合题意，得四边形ODPE是平行四边形，从而得到；结合点P是围成的区域（包括各边）内的一点，推导得当点P在AC上时，取最小值；当点P与点B重合时，取最大值；再分别根据两种情况，结合平行四边形、等边三角形、勾股定理的性质计算，即可完成求解．
【详解详析】
过点P做交于点H
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∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴四边形ODPE是平行四边形
∴
∴
∴
∵点P是围成的区域（包括各边）内的一点
结合图形，得：当点P在AC上时，取最小值；当点P与点B重合时，取最大值；
当点P在AC上时，
∵，
∴
∴最小值；
当点P与点B重合时，如下图，AC和BD相交于点G
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∴
∵，，
∴ , ，
∵等边三角形ABC
∴ ,
∴
∴
∴
∴GB是等边三角形ABC的角平分线
∴
又∵，即
∴是的中位线
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴最大值
∴最大值与最小值的积
故答案为：40．
【名师指路】
本题考查了平行四边形、勾股定理、直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形、等边三角形、等边三角形中位线、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、平行四边形、等边三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．
三、解答题
12．（2021·浙江东阳·八年级期末）已知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A．
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（1）探求定点A的坐标．把函数表达式 ( http: / / www.21cnjy.com )作如下变形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标为 ．
（2）如图1，已知△BCD各顶点的坐标分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值．
（3）如图2，设直线l与y轴交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点P，另一条直线y＝（k﹣1）x+3k﹣2与y轴交于点Q，交直线l于点E，点F是EQ的中点．当点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10）时，求点F运动经过的路径长．
【标准答案】（1） (-3，1)；（2）k=1.5；（3）F1F2．
【思路指引】
（1）y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标(-3，1)；
（2）由两点距离可求BC=4，BD=3，在Rt△BCD中，由勾股定理CD=，由AC=-3+4=1，由题意CA+CE=，CE==，可得CE：CD=：5=1：2，可得E为CD的中点E（-2，2.5）由点E在直线l 上，可求k=1.5；
（3）当直线l：过（0，5），，另一直线，点Q1（0，2），当直线l：过（0，10），，另一直线，点Q2（0，7），Q1Q2=7-2=5，F1为EQ1中点，F2为EQ2的中点，求出F1、F2坐标即可．
【详解详析】
解：（1）y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标
(-3，1)；
（2）BC=4，BD=3，在Rt△BCD中，由勾股定理CD=，
∵AC=-3+4=1，
∵CA+CE=，CE==，
∴CE：CD=：5=1：2，
∴E为CD的中点，，E（-2，2.5），
∵点E在直线l 上，
则2.5＝-2k+3k+1，
则k=1.5；
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（3）当直线l：过（0，5），
则，
解得，
另一直线，
则，点Q1（0，2），
当直线l：过（0，10），
则，
解得，
另一直线，
则，点Q2（0，7），
Q1Q2=7-2=5，
F1为EQ1中点，E（-3，1），Q1（0，2），
，
F1（，）
F2为EQ2的中点，E（-3，1），Q2（0，7），
，
F1F2=4-=2.5．
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【名师指路】
本题考查一次函数过定点，按比例分三角形周长，线段中点坐标，掌握求一次函数过定点方法，按比例分三角形周长方法，线段中点坐标求法是解题关键．
13．（2021·浙江· ( http: / / www.21cnjy.com )杭州市建兰中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，A(6，0)、∠OAB＝60°，点P是线段AB上的任意一点（包括端点），点Q在直线AB上，PQ＝4BP．
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（1）点B的坐标是 ；
（2）连接OQ，OP，若OPQ是以PO为底边的等腰三角形，求OPQ的面积；
（3）点C的坐标为(0，2)，点Q在射线AB上，以P，Q，C，D为顶点作平行四边形，若点D落在x轴上，求所有满足条件的BQ的长．
【标准答案】（1），；（2）或；（3）5或1
【思路指引】
（1）解直角三角形求出OB即可．
（2）分两种情形：如图2中，当 ( http: / / www.21cnjy.com )点Q在x轴的上方时，过点Q作QH⊥OA于H，过点O作OK⊥AB于K．利用勾股定理求出x的值即可．当点Q在x轴下方时，同法可得．
（3）分两种情形：如图3-1中，当CD∥PQ，CD=PQ时，如图3-2中，当CD=PQ，CD∥PQ时，分别求出PQ，PB的长，可得结论．
【详解详析】
解：（1）如图1中，
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在中，，，
，
，．
故答案为：，．
（2）如图2中，当点在轴的上方时，过点作于，过点作于．
( http: / / www.21cnjy.com / )
设，则，
在中，，
，，，
在中，，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
当点在轴下方时，同法可得．
综上所述，满足条件的的面积为：或．
（3）如图中，当，时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
．
，
，
．
如图中，当，时，同法可得，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
综上所述，的长为5或1．
【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
14．（2021·浙江龙湾·八年级期中）如图1，中，，点是边上两个动点，且，以为邻边作平行四边形分别交于点，设．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当平行四边形的面积为时，求的值；
（2）求证：；
（3）如图2，连结，当与的一边平行时，求的面积．
【标准答案】（1）1；（2）见解析；（3）或
【思路指引】
（1）先根据含有30°角的直角三角形的性质得出，，再根据平行四边形的面积为得出关于m的方程，解之即可；21*cnjy*com
（2）根据直角三角形的性质和平行四边形的性质得出，再根据AAS即可得出；
（3）分①当AD//PF和②当AD//PQ两种情况进行分析即可；
【详解详析】
解：（1）过点P作PH⊥BC于H，则∠PHC=90°，
∵，，
∴，
∵，，
∴，∠BPH=90°，
∵，
∴，，
∵BC=4，CQ=m，
∴BQ=4-m，
∵平行四边形的面积为，
∴
∴m=1或3
∵P点在AB上
∴m=1，
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）∵四边形是平行四边形
∴PD=BQ=4-m，PD//BC，BP//QD
∴∠D=∠FQC，
∵∠C=90°，
∴∠AEP=90°，
∴，
∴，
∵∠DFE=∠QFC，
∴
（3）过点Q作QM⊥AB于M，则∠BMQ=90°，
∵∠ABC=60°，
∴，，
∵
∴QF=DF，
∴，
∴的面积=，
∵QF与AD相交于点D，则AD不平行QF，
①当AD//PF时，
∵BP//QD，
∴四边形是平行四边形,
∴DF=AP，
∴2m=8-4m，
∴，
∴的面积=，
②当AD//PQ时，
∵BP//QD，
∴四边形是平行四边形,
∴DQ=AP，
∴4m=8-4m，
∴，
∴的面积=，
( http: / / www.21cnjy.com / )
综上所述：的面积为或；
【名师指路】
此题主要考查了平行四边形的性质与判 ( http: / / www.21cnjy.com )定，含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
15．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图1，点分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点分别交坐标轴于点，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接，求证：；
（3）如图3，若点F为，点P在第一象限内，连接，过P作交y轴于点M，在上截取，连接，过P作交于点G，求证：点G是的中点．
【标准答案】（1）（0，4）；（2）见解析；（3）见解析
【思路指引】
（1）作轴于，求出，证，推出，，即可得出答案；
（2）在上截取，连，证，证，即可得出答案．
（3）作交的延长线于，连接、、，只要证明四边形是平行四边形就可以了．
【详解详析】
解：（1）作轴于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
（2）证明：在上截取，连，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，
，（图1中），
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，作交的延长线于，连接、、，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
即点是中点．
【名师指路】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定和性质、平行四边形的判定和性质以及等角的余角相等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
16．（2021·浙江慈溪·八年级期中）定义：数学活动课上：陈老师给出如下定义：有组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）如图1，平行四边形中，的平分线交于E．
求证：四边形是对等四边形．
（2）如图2，已知A、B、C在格点（小正方形的项点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，、为边的两个对等四边形．
（3）如图3，在中，，点A在边上，且，若上存在符合条件的点M，使四边形为对等四边形，求出的长．
【标准答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13或或
【思路指引】
（1）由平行四边形的性质得 ( http: / / www.21cnjy.com )出AD∥BC，∠B=∠D=60°，AB=CD，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得出CE=CD，根据对等四边形的定义可得出结论；
（2）根据对等四边形的定义画出图形即可；
（3）分CM=AB与AM=BC两种情况进行讨论即可．
【详解详析】
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
又，
，
，
，
四边形是对等四边形；
（2）如图2，四边形即为所求；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）如图3，
( http: / / www.21cnjy.com / )
①当时，；
②当时，过作于点，则，，
，，
当点在线段上时，，
当点在上时，．
综合以上可得的长为13或或．
【名师指路】
此题属于四边形综合题，考查了作图-应用与 ( http: / / www.21cnjy.com )设计作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．【出处：21教育名师】
17．如图，四边形中，，点E为延长线上一点，连接，交于H．的平分线交于G．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，若，H为的中点，，求的长；
（3）如图2，若
①，求的度数；
②_____（用含有n的式子表示）
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）①36°；②
【思路指引】
（1）根据平行线的性质得∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，可得AD∥BC，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得到 ( http: / / www.21cnjy.com )相应线段的长度，并证明△AHD≌△EHC，得到AH=EH=6，CE=AD=5，再根据三线合一的性质得到HG=EG=3，CG⊥AE，再利用勾股定理求出CG和AC的长；
（3）①设∠CAG=x，∠DCG=z，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180°①，△ACG中，x+2x+y+z=180°，变形后相减可得结论；
②设∠CAG=x，∠DCG=z， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180°①，△ACG中，x+nx+y+z=180°，变形后相减可得结论．
【详解详析】
解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠DCE，
∵∠B=∠D，
∴∠D=∠DCE，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD=10，
∴CD=10，AD=BC=5，
∵AD∥BE，
∴∠D=∠HCE，
∵H为CD中点，
∴CH=DH，CH=DH=5，
又∠AHD=∠EHC，
∴△AHD≌△EHC（ASA），
∴AH=EH=6，CE=AD=5，
∵CG平分∠DCE，
∴CG⊥AE，即△ACG为直角三角形，HG=EG=EH=3，
∴AG=AH+HG=9，CG==4，
∴AC==；
（3）①设∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，
则∠EAD=y，∠D=∠DCE=2z，∠AGC=2∠CAE=2x，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠BAH=x+y，∠ACD=∠BAC=y，
△AHD中，x+2y+2z=180°①，
△ACG中，x+2x+y+z=180°，
即3x+y+z=180°，
∴6x+2y+2z=360°②，
②-①得：5x=180°，
解得：x=36°，
∴∠CAE=36°；
②设∠CAE=x，∠DCG=z，∠BAC=y，
则∠EAD=y，∠D=∠DCE=2z，∠AGC=n∠CAE=nx，
∵AB∥CD，
∴∠AHD=∠BAH=x+y，∠ACD=∠BAC=y，
△AHD中，x+2y+2z=180°①，
△ACG中，x+nx+y+z=180°，
∴（n+1）x+y+z=180°，
∴2（n+1）x+2y+2z=360°②，
②-①得：（2n+1）x=180°，
∴x=，
即∠CAE=．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定和性质、平行线的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．2·1·c·n·j·y
18．（2021·浙江椒江·八年级期末）如图1，在中，，，引一条射线，使得平分，点是延长线上一点，过作于，是线段上一点，使得，在线段上取点、（点在之间），，且，当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）______，______；
（2）①判断和的位置关系，并说明理由；
②若，当______时，四边形是平行四边形．
（3）如图2，若，
①当时，求的值；
②若，求值．
【标准答案】（1），；（2）①，见解析；②；（3）①；②
【思路指引】
（1）在中，令x=0，可求得y的值，此即MN的长；令y=0，可求得x的值，此即BC的长；
（2）①由已知可得，由四边形内角和可求得∠AED的度数，进而可得 ，因此可得结论；②由①的结论，要使四边形是平行四边形，只要PC=FQ即可，而FQ=y+4，PC=x，由此建立方程，求得关于x的值；2-1-c-n-j-y
（3）①连接，可得，由，可得四边形是平行四边形，从而易得FN=FC=PC=2，可求得y的值，再由QM=MN-y，即可求得结果；②由①FN=FC=PC=4m，可分别求得QM、EQ，由△FCN是一个底角为30°的等腰三角形，可求得CN的长，即BE的长，由BE=EQ，得关于m的方程，解方程即求得m的值．
【详解详析】
（1）在中，令x=0，得y=8，即MN=8；令y=0，得x=12，即BC=12
故答案为：12，8
（2）①
理由如下：
∵，
∴∠ACB=60°
平分
②∵
∴当PC=FQ时，四边形是平行四边形
当m=1时，FN=EM=4
∴FQ=FN+QN=4+y=4+
∴
解得：
故答案为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）①如图2，连接，
，
四边形是平行四边形
∴CN∥BE
∴FC=FN
当时，
②由①得，当时，
，
∴
四边形是平行四边形
解得
【名师指路】
本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解方程等知识，理解PC与QN之间的关系式是本题的关键．
19．（2021·浙江·八年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在轴的负半轴，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求直线的解析式．
（2）若点在直线上，其横坐标为，而点分别是直线和轴上的动点，当最小时，求此时点的坐标．
（3）在（2）的结论下，点分别是直线上的动点，若以点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点的坐标．
【标准答案】（1）；（2），，；（3），，，或，，，或，，，
【思路指引】
（1）先求出点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出三角形是直角三角形，再找出最小时，满足的条件，再计算即可得出；
（3）设出点，坐标，利用中点坐标公式建立方程组求解即可得出结论．
【详解详析】
解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
令，则，
，
令，则，
，
，
点在轴的负半轴且，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
（2）如图，由（1）知，，，，，
，，
，
，
是直角三角形，，
，，
点关于直线的对称点，
点在直线上，其横坐标为，
，，
点关于轴的对称点，，
连接交直线于，交轴于，此时，最小，
，，，
直线的解析式为①，
令，
，
，
，
直线的解析式为②，
联立①②解得，，，
，；
（3）由（2）知，直线的解析式为，
设，
直线，点，
由（2）知，，，，
以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
①当为对角线时，，，
，，
，，，，
②当为对角线时，，，
，，
，，，，
③当为对角线时，，，
，，
，，，，
即：以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，，，，或，，，或，，，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
此题是一次函数综合题，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了待定系数法，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，最值的确定，中点坐标公式，用分类讨论的思想和方程思想解决问题是解本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空 ( http: / / www.21cnjy.com )、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题05 几何思想之平行四边形压轴题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2020·浙江宁波·八年级期中）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点且，下列说法中正确的是（ ）21cnjy.com
①；②；③；④四边形为平行四边形；⑤；⑥．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①⑥ B．①②④⑥ C．①②③④ D．①②④⑤⑥
2．（2020·浙江·兰溪市外国语中学八年级月考）如图，在平行四边形中，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2 B． C． D．
3．（2020·浙江·宁波市镇海蛟川书院八年级期末）如图，，、分别是、的中点，则下列结论：①，②，③，④，其中正确有（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，中，对角线交于点，点分别是的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021·浙江鄞州·八年级期中）如图，在□ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，分别作点C关于AB，AD的对称点G，H，连接CG，CH，AG，AH，GH．如果AB＝30，∠EAF＝30°，□ABCD的面积为270，那么下列说法不正确的是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．CE＝CF B．∠GAH＝60°
C．GH＝AF+CF D．△GCH的面积是□ABCD的面积的一半
二、填空题
6．（2020·浙江·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点C的坐标为，四边形是平行四边形，点D、E份别在边、上，且，．动点P、Q在的一组邻边上，以点D、E、P、Q为项点的四边形是平行四边形时，其面积为_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
7．（2021·浙江越城·八年级期末）如图，在中，，点、分别在边、上，且．将四边形沿直线翻折，点、的对应点分别是点、，如果四边形是平行四边形，那么________度．【出处：21教育名师】
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8．（2021·浙江北仑·八年级期末）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连结AD，BC，AC，下列四个结论中说法正确的有 ___．①四边形ABCD是平行四边形；②CE垂直平分AB；③若AB2＝6，则BC2＝5+2；④DE⊥AC．
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9．（2020·浙江·宁波华茂国 ( http: / / www.21cnjy.com )际学校八年级期末）如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是______
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10．（2021·浙江·八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形，，，…，点，…都在x轴上，点，…都在直线上，且，，，，…，则点的坐标是___________．2·1·c·n·j·y
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11．（2020·浙江·宁波外国语学校八年级期末）如图，已知，点A在边OX上，，过点A作于点C，以AC为一边在内作等边三角形ABC，点P是围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作交OX于点D，作交OY于点E，则的最大值与最小值的积是______．21教育名师原创作品
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三、解答题
12．（2021·浙江东阳·八年级期末）已知直线l：y＝kx+3k+1（k＞0）经过定点A．
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（1）探求定点A的坐标．把函数表达式作如下变 ( http: / / www.21cnjy.com )形：y＝kx+3k+1＝k（x+3）+1，当x＝﹣3时，可以消去k，求出y＝1，则定点A的坐标为 ．21*cnjy*com
（2）如图1，已知△BC ( http: / / www.21cnjy.com )D各顶点的坐标分别为B（0，1），C（﹣4，1），D（0，4），直线l将△BCD的周长分成7：17两部分，求k的值．
（3）如图2，设直线l与 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴交于点P，另一条直线y＝（k﹣1）x+3k﹣2与y轴交于点Q，交直线l于点E，点F是EQ的中点．当点P从（0，5）沿y轴正方向运动到（0，10）时，求点F运动经过的路径长．
13．（2021·浙江·杭州市建兰 ( http: / / www.21cnjy.com )中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，A(6，0)、∠OAB＝60°，点P是线段AB上的任意一点（包括端点），点Q在直线AB上，PQ＝4BP．
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（1）点B的坐标是 ；
（2）连接OQ，OP，若OPQ是以PO为底边的等腰三角形，求OPQ的面积；
（3）点C的坐标为(0，2)，点Q在射线AB上，以P，Q，C，D为顶点作平行四边形，若点D落在x轴上，求所有满足条件的BQ的长．2-1-c-n-j-y
14．（2021·浙江龙湾·八年级期中）如图1，中，，点是边上两个动点，且，以为邻边作平行四边形分别交于点，设．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）当平行四边形的面积为时，求的值；
（2）求证：；
（3）如图2，连结，当与的一边平行时，求的面积．
15．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图1，点分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点分别交坐标轴于点，且．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接，求证：；
（3）如图3，若点F为，点P在第一象限内，连接，过P作交y轴于点M，在上截取，连接，过P作交于点G，求证：点G是的中点．
16．（2021·浙江慈溪·八年级期中）定义：数学活动课上：陈老师给出如下定义：有组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
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（1）如图1，平行四边形中，的平分线交于E．
求证：四边形是对等四边形．
（2）如图2，已知A、B、C在格点（小正方形的项点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，、为边的两个对等四边形．21·cn·jy·com
（3）如图3，在中，，点A在边上，且，若上存在符合条件的点M，使四边形为对等四边形，求出的长．【来源：21cnj*y.co*m】
17．如图，四边形中，，点E为延长线上一点，连接，交于H．的平分线交于G．
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（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，若，H为的中点，，求的长；
（3）如图2，若
①，求的度数；
②_____（用含有n的式子表示）
18．（2021·浙江椒江·八年级期末）如图1，在中，，，引一条射线，使得平分，点是延长线上一点，过作于，是线段上一点，使得，在线段上取点、（点在之间），，且，当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知．
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（1）______，______；
（2）①判断和的位置关系，并说明理由；
②若，当______时，四边形是平行四边形．
（3）如图2，若，
①当时，求的值；
②若，求值．
19．（2021·浙江·八年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在轴的负半轴，且．21教育网
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（1）求直线的解析式．
（2）若点在直线上，其横坐标为，而点分别是直线和轴上的动点，当最小时，求此时点的坐标．
（3）在（2）的结论下，点分别是直线上的动点，若以点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点的坐标．【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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