第五章 特殊平行四边形自我综合评价（含答案）

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第五章特殊平行四边形自我综合评价
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.正方形的对称轴共有 (　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
2.如图5-Z-1,已知菱形花坛ABCD的周长是24 m,∠BAD=120°,则花坛对角线AC的长是(　　)
图5-Z-1
A.6 m B.6 m
C.3 m D.3 m
3.如图5-Z-2,在矩形ABCD中,∠AOB=60°,AB=2,则AC的长为 (　　)
图5-Z-2
A.2 B.4
C.2 D.4
4.如图5-Z-3,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连结OH.若OA=6,S菱形ABCD=48,则OH的长为 (　　)
图5-Z-3
A.4 B.8
C. D.6
5.如图5-Z-4,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,在动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动的过程中,线段EF长的大小变化情况是 (　　)
图5-Z-4
A.一直增大 B.一直减小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
6.如图5-Z-5,在菱形ABCD中,
(1)分别以点C,D为圆心,大于CD的长为半径作弧,两弧分别交于点E,F;
(2)作直线EF交边CD于点M,且直线EF恰好经过点A;
(3)连结BM.
根据以上作图过程及所作图形,判断下列结论中错误的是 (　　)
图5-Z-5
A.∠ABC=60°
B.BC=2CM
C.S△ABM=2S△ADM
D.如果AB=2,那么BM=4
7.如图5-Z-6,已知正方形ABCD的边长为2,E是正方形ABCD的边AD上的一点,点A关于BE的对称点为F.若∠DFC=90°,则EF的长为 (　　)
图5-Z-6
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
8.四根长度相等的铁丝首尾顺次相接,连成四边形ABCD,连结AC,转动这个四边形可以使它的形状改变,当∠B=60°时,如图5-Z-7①,AC=,当∠B=90°时,如图②,此时AC的长为　　　　.
图5-Z-7
9.如图5-Z-8,在菱形ABCD中,E,F分别是DB,DC的中点.若AB=10,则EF=　　　　.
图5-Z-8
10.如图5-Z-9,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠DCE=　　　　°.
图5-Z-9
11.如图5-Z-10,正方形ABCD的边长为4,E为边AD上一动点,连结BE,CE,以CE为边向右侧作正方形CEFG.
图5-Z-10
(1)若BE=5,则正方形CEFG的面积为　　　　;
(2)连结DF,DG,则△DFG面积的最小值为　　　　.
三、解答题(共45分)
12.(10分)如图5-Z-11,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连结DE,CE.
(1)求证:△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.
图5-Z-11
13.(10分)如图5-Z-12,已知两个菱形ABCD,CEFG,其中点A,C,F在同一条直线上,连结BE,DG.
(1)在不添加辅助线的情况下,写出其中的两对全等三角形;
(2)求证:BE=DG.
图5-Z-12
14.(12分)如图5-Z-13,在正方形ABCD中,E是BC边上的点,连结AE,作BF⊥AE于点O,交CD边于点F.
(1)求证:△ABE≌△BCF;
(2)若CE=1,CF=2,求AE的长.
图5-Z-13
15.(13分)已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连结EA,EC.
(1)如图5-Z-14①,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC;
(2)如图②,若P为线段AB的中点,连结AC,判断△ACE的形状,并说明理由.
图5-Z-14
详解详析
1.D
2.B　[解析] 易知△ABC为等边三角形,所以AC=AB=6 m.
3.B　[解析] ∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵∠AOB=60°,∴△ABO是等边三角形.
∵AB=2,∴AO=BO=2,∴AC=2AO=4.
故选B.
4.A　[解析] ∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC=6,OB=OD,AC⊥BD,
∴AC=12.
∵DH⊥AB,
∴∠BHD=90°,
∴OH=BD.
∵菱形ABCD的面积=AC·BD=×12×BD=48,
∴BD=8,
∴OH=BD=4.
故选A.
5.C　[解析] 如图,连结AP.
∵∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,
∴四边形AFPE是矩形,∴EF=AP.
由垂线段最短可得,当AP⊥BC时,AP最短,则线段EF的长最小,
∴动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动的过程中,线段EF长的大小变化情况是先减小后增大.
故选C.
6.D　[解析] 如图,连结AC.
由作图可知,EF垂直平分线段CD,
∴AC=AD.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD=AB=BC=AC,
∴△ABC,△ACD都是等边三角形,
∴∠ABC=60°,故A正确;
∵BC=CD,CD=2CM,
∴BC=2CM,故B正确;
∵AB=CD=2DM,AB∥CD,
∴S△ABM=2S△ADM,故C正确;
∵△ACD是等边三角形,∴∠D=60°.
∵AM⊥CD,∴∠AMD=90°,
∴∠DAM=30°.
如果AB=2,那么AD=AB=2,
∴DM=1,∴AM=.
∵在菱形ABCD中,AB∥CD,∠AMD=90°,
∴∠BAM=90°,
∴BM==,故D错误.
故选D.
7.B　[解析] 如图,延长EF交CD于点M,连结BM.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠A=∠BCD=90°.
∵将△ABE沿直线BE对折得到△FBE,
∴∠BFE=∠BFM=90°,AB=BF=BC,AE=EF.
在Rt△BFM和Rt△BCM中,
∵
∴Rt△BFM≌Rt△BCM(HL),
∴MF=MC,∴∠MFC=∠MCF.
∵∠MFC+∠DFM=90°,∠MCF+∠FDM=90°,
∴∠DFM=∠FDM,∴MD=MF=MC.
∵正方形ABCD的边长为2,
∴MF=MC=DM=1.
设AE=EF=x.
∵在Rt△DME中,DE2+DM2=EM2,
∴(2-x)2+12=(x+1)2,
解得x=.
故选B.
8.2　[解析] 由题图①可知AB=,由题图②,得AB=BC=,∴AC=2.
9.5　[解析] 由菱形的性质可知:BC=AB=10.
又∵E,F分别是DB,DC的中点,
∴EF=BC=5.
10.112.5
11.(1)17　(2)6　[解析] (1)∵正方形ABCD的边长为4,
∴AB=AD=CD=4,∠A=∠ADC=90°.
∵BE=5,
∴AE===3,
∴DE=AD-AE=4-3=1,
∴EC2=DE2+CD2=12+42=17,
∴正方形CEFG的面积=EC2=17.
故答案为17.
(2)如图,连结DF,DG.
设DE=x,则CE=,
∴S正方形CEFG=CE2=x2+16.
∵S△DEC+S△DFG=S正方形CEFG,
∴S△DFG=(x2+16)-×x×4=x2-2x+8=(x-2)2+6.
∵(x-2)2≥0,∴(x-2)2+6≥6,
∴△DFG的面积的最小值为6.
故答案为6.
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠A=∠B=90°.
∵E是AB的中点,∴AE=BE.
在△ADE和△BCE中,∵
∴△ADE≌△BCE(SAS).
(2)由(1)知△ADE≌△BCE,则DE=CE.
在Rt△ADE中,AD=4,AE=AB=3,由勾股定理,知DE===5,
∴△CDE的周长为2DE+CD=2DE+AB=2×5+6=16.
13.解:(1)答案不唯一,如△ADC≌△ABC,△GFC≌△EFC.
(2)证明:∵四边形ABCD和四边形CEFG是菱形,
∴DC=BC,CG=CE,∠DCA=∠BCA,∠GCF=∠ECF.
又∵点A,C,F在同一条直线上,
∴∠DCG=∠BCE.
在△BCE和△DCG中,
∵
∴△BCE≌△DCG,∴BE=DG.
14.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠ABF+∠CBF=90°.
∵BF⊥AE,∴∠AOB=90°,
∴∠BAE+∠ABF=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
∴△ABE≌△BCF(ASA).
(2)∵△ABE≌△BCF,
∴BE=CF=2.
又∵CE=1,∴AB=BC=3,
∴AE===.
15.解:(1)证明:∵四边形ABCD和四边形BPEF均是正方形,
∴AB=BC,BP=BF=PE=FE,∠P=∠F=90°,
∴AP=CF.
在△APE和△CFE中,∵
∴△APE≌△CFE,∴EA=EC.
(2)△ACE是直角三角形.
理由:∵P为AB的中点,∴PA=PB.
又∵PB=PE,∴PA=PE.
∵∠APE=180°-∠BPE=90°,
∴∠PAE=45°.
∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠CAB=45°,
∴∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形.
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