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本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 特殊平行四边形的动点问题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（ ）21cnjy.com
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A． B．8 C．6 D．
2．（2021·浙江·杭州 ( http: / / www.21cnjy.com )市第十五中学八年级期中）已知 ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造 AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中， AEFG面积变化情况是（ ）
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A．一直增大 B．保持不变
C．先增大后减小 D．先减小后增大
3．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( ) www.21-cn-jy.com
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A．4 B．10 C．12 D．16
4．（2019·黑龙江绥化·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的两个动点，是正方形四边上的任意一点，且，设．当是等腰三角形时，下列关于点个数的说法中，一定正确的是（ ）21*cnjy*com
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①当（即两点重合）时，点有个
②当时，点最多有个
③当点有个时，x＝2﹣2
④当是等边三角形时，点有4个
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
5．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
二、解答题
6．在四边形中，，点E从A出发以的速度向D运动，点F从点B出发，以的速度向点C运动，两点同时运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．2-1-c-n-j-y
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（1）用含t的代数式表示：______，______，_________，
（2）t取何值时，四边形为矩形？
（3）M是上一点，且，t取何值时，以A M E F为顶点的四边形是平行四边形？
7．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图所示，在直角梯形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当动点Q到点D时另一个动点P停止运动．设运动的时间为t（秒）．
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（1）设的面积为S，用含有t的代数式表示S．
（2）当t为何值时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形？
8．（2021·浙江余杭·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，在长方形ABCD种，AB＝3，BC＝6，动点P从点A出发，沿射线AD方向以每秒3个单位长度的速度运动；同时Q从点B出发，沿射线BC方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P，Q的运动时间为t（秒）．21·世纪*教育网
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（1）当t＝2时，求线段PQ的长；
（2）当线段PQ与线段DC相交于点M，且DM＝CM时，求t的值；
（3）连接AQ，是否存在某一时刻，△APQ为等腰三角形？若存在，求出此时△APQ的面积；若不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
9．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA=18，OC=，∠AOC=45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为t．【出处：21教育名师】
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（1）求点C，B的坐标；
（2）当t为何值时，？此时，在平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．21教育名师原创作品
10．在四边形中，，点P从点A出发，沿折线方向以的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段方向以的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．21*cnjy*com
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（1）求的长；
（2）当四边形为平行四边形时，求四边形的周长；
（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为 若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
11．（2021·浙江·杭州市第十五中学八年级期中）如图，平行四边形中，．点P以的速度从顶点A出发沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点A出发沿折线向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为．
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（1）求平行四边形的面积；
（2）求当时，的面积；
（3）当的面积是平行四边形面积的时，求t的值．
12．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）如图所示，是一个边长为4的等边三角形，D是直线边上一点，以为边作，使，并以，为边作平行四边形．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）当点D在线段上时，交于点G，求证：；
（2）求线段的最小值；
（3）当直线与的一边垂直时，请直接写出平行四边形的面积．
13．如图，平行四边形中，，点P以的速度从顶点A出发沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点A出发沿折线向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．【版权所有：21教育】
（1）求平行四边形的面积；
（2）求当时，的面积；
（3）当的面积是平行四边形面积的时，求t的值．
14．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知，中一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．21教育网
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（1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
（2）如图②，在（1）问的条件下，连结并延长，与的延长线交于点F，连结，若，求的面积．
（3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
15．如图，在菱形中，，点P在对角线上（不与点B，D重合)，点E、F分别在边，上，且．
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（1)如图1，若，求证：．
（2)如图2，点P在线段上运动时，设．
①若四边形的面积为，求x的值．
②探究x与y的数量关系．
16．如图，在中，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度在间往返运动，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．
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（1）当四边形的面积为面积的一半时，则运动时间为多少秒；
（2）几秒钟后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形？
17．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（）．21·cn·jy·com
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（1）写出点C的坐标；当运动2秒时，求的面积．
（2）在整个运动过程中，是否 ( http: / / www.21cnjy.com )存在这样的t，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出t的值，若不存在，请改变点P的运动速度，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形，求出此时点P的速度．www-2-1-cnjy-com
（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 特殊平行四边形的动点问题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（ ）
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A． B．8 C．6 D．
【标准答案】B
【思路指引】
过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，利用勾股定理求出AH，再由当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH的长．
【详解详析】
解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC，
∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，
∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，
∵菱形的边长为10，即AB=BC=10，
设BH=x，则AH=10+x，
则，
即，
解得：x=6，
∴AH=16，
∴CH==8，
当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH=8，
故选B．
【名师指路】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
2．（2021·浙江·杭州市第十五中学八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）已知 ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造 AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中， AEFG面积变化情况是（ ）
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A．一直增大 B．保持不变
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【标准答案】B
【思路指引】
延长BE，与GF的延长线交于点P，先证明四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．所以根据图示进行判断即可．www-2-1-cnjy-com
【详解详析】
解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为S1、S2、S3、S4，
延长BE，与GF的延长线交于点P．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BP，∠ADG＝∠P．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF，
∴∠G＝∠EFP．
∵AD∥BP，AE∥DP，
∴四边形ADPE是平行四边形．
在△AGD与△EFP中，，
∴△AGD≌△EFP（AAS），
∴S4＝S△EFP，
∴S4+S四边形AEFD＝S△EFP+S四边形AEFD，
即S AEFG＝S ADPE，
又∵ ADPE与 ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等，
∴S ABCD＝S ADPE，
∴平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积．
故 AEFG面积不变，
故选：B．
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【名师指路】
本题考查了平行四边形面积变化情 ( http: / / www.21cnjy.com )况，解题的关键是根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．【来源：21cnj*y.co*m】
3．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( ) 21教育名师原创作品
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A．4 B．10 C．12 D．16
【标准答案】B
【思路指引】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，
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当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，
在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B．
【名师指路】
本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．
4．（2019·黑龙江绥化·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的两个动点，是正方形四边上的任意一点，且，设．当是等腰三角形时，下列关于点个数的说法中，一定正确的是（ ）【版权所有：21教育】
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①当（即两点重合）时，点有个
②当时，点最多有个
③当点有个时，x＝2﹣2
④当是等边三角形时，点有4个
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
【标准答案】B
【思路指引】
根据题意分别以点E、点F为圆心，以EF长为半径画圆，以EF为直径画圆，观察圆与正方形交点的个数，然后进行分析判断即可.
【详解详析】
①当(即两点重合)时，如图1，
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分别以为圆心，为半径画圆，各个点，
以为直径作圆，有个点，共个，
所以，①正确；
②当0＜x＜4﹣2时，如图2、图3所示，此时P点最多有8个，
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故②错误；
③当点有个时，如图2、图3所示，此时0＜x＜4﹣2，
故③错误；
如图4，当△PEF是等边三角形时，有两个P点关于BD对称的位置，共有4个，故④正确；
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综上，不正确的是②③，一定正确的是①④，
故选B.
【名师指路】
本题考查了正方形的性质、等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.注意数形结合思想的运用.
5．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合．已知AB=，P、Q分别是AC、BC上的动点,当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（ ）
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A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由于四边形DPBQ为平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形，则BC∥DP，即DP⊥AC，P为AC中点，作出平行四边形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是□DPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求出面积即可．求得面积．
【详解详析】
当点P运动到边AC中点（如图），即CP=时，
以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴BC∥DP，
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∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=4，BC=2，
∴根据勾股定理得：AC=6，
∵△DAC为等腰直角三角形，
∴DP=CP=AC=3，
∵BC∥DP，
∴PC是平行四边形DPBQ的高，
∴S平行四边形DPBQ=DP CP==9．
故选D.
【名师指路】
本题是四边形的综合题，考查了一 ( http: / / www.21cnjy.com )副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得出结论．
二、解答题
6．在四边形中，，点E从A出发以的速度向D运动，点F从点B出发，以的速度向点C运动，两点同时运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．
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（1）用含t的代数式表示：______，______，_________，
（2）t取何值时，四边形为矩形？
（3）M是上一点，且，t取何值时，以A M E F为顶点的四边形是平行四边形？
【标准答案】（1）6-t，2t，10-2t；（2）4s；（3）4s或s
【思路指引】
（1）根据E，F的速度，结合AD，BC的长即可得解；
（2）当DE=CF时，四边形EFCD为矩形，列出方程即可解决问题；
（3）分两种情形列出方程即可解决问题．
【详解详析】
解：（1）由题意可得：
DE=6-t，BF=2t，FC=10-2t；
（2）当DE=CF时，四边形EFCD为矩形，
则有6-t=10-2t，解得t=4，
答：t=4s时，四边形EFCD为矩形．
（3）①当点F在线段BM上，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=4-2t，解得t=，
②当F在线段CM上，AE=FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t=2t-4，解得t=4，
综上所述，t=4s或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【名师指路】
本题考查矩形判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
7．（2021·浙江杭州·八年级期末）如图所示，在直角梯形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当动点Q到点D时另一个动点P停止运动．设运动的时间为t（秒）．
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（1）设的面积为S，用含有t的代数式表示S．
（2）当t为何值时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形？
【标准答案】（1）S=96-6t；（2）5或
【思路指引】
（1）由题意得出AQ=t，DQ=16-t，△DPQ的面积S=DQ AB，即可得出S与t之间的关系式；
（2）分点P未到达点C时和点P在BC延长线上两种情况，用t表示出QD、CP，然后根据平行四边形对边相等列出方程求解即可．
【详解详析】
解：（1）根据题意得：AQ=t，
∴DQ=16-t，
∴△DPQ的面积S=×（16-t）×12=96-6t，
即S与t之间的关系式为：S=96-6t；
（2）当P在BC上时，
∵四边形PCDQ是平行四边形，
∴PC=QD，
∴16-t=21-2t，
解得t=5；
当点P在BC延长线上时，
∵四边形CPDQ是平行四边形，
∴16-t=2t-21，
解得t=，
综上所述，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值是5或．
【名师指路】
本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质，三角形面积的计算等知识；本题有一定难度，综合性强．21*cnjy*com
8．（2021·浙江余杭·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，在长方形ABCD种，AB＝3，BC＝6，动点P从点A出发，沿射线AD方向以每秒3个单位长度的速度运动；同时Q从点B出发，沿射线BC方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P，Q的运动时间为t（秒）．
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（1）当t＝2时，求线段PQ的长；
（2）当线段PQ与线段DC相交于点M，且DM＝CM时，求t的值；
（3）连接AQ，是否存在某一时刻，△APQ为等腰三角形？若存在，求出此时△APQ的面积；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）5；（2）t＝3；（3）存在，△APQ的面积为或．
【思路指引】
（1）过点Q作QE⊥AD于E，可证四边形ABQE是矩形，可得QE＝CD＝AB＝3，AE＝BQ＝2，由勾股定理可求解；
（2）由“AAS”可证△DMP≌△CMQ，可得CQ＝DP，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解详析】
解：（1）如图1，过点Q作QE⊥AD于E，
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当t＝2时，AP＝6，BQ＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
又∵QE⊥AD，
∴四边形ABQE是矩形，
∴QE＝CD＝AB＝3，AE＝BQ＝2，
∴EP＝AP﹣AE＝6﹣2＝4，
∴PQ＝＝＝5；
（2）如图2，
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∵AD//BC，
∴∠CQM＝∠DPM，
∵点M是CD中点，
∴CM＝DM，
又∵∠DMP＝∠CMQ，
∴△DMP≌△CMQ（AAS），
∴CQ＝DP，
∴6﹣t＝3t﹣6，
∴t＝3；
（3）存在，
由题意可得：AP＝3t，
若AP＝AQ时，则9t2＝，
∴t＝（负值舍去），AP＝，△APQ的面积为：；
若AP＝PQ时，9t2＝，
∴t＝（负值舍去），AP＝，△APQ的面积为：；
若AQ＝PQ时，＝，
∴t＝0（不合题意舍去），
综上所述：当t＝或时，△APQ为等腰三角形，△APQ的面积为或．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．2-1-c-n-j-y
9．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA=18，OC=，∠AOC=45°，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动时间为t．
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（1）求点C，B的坐标；
（2）当t为何值时，？此时，在平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）C（8，8），B（26，8）；（2）（5，13）或（5，-3）或（31，3）
【思路指引】
（1）过点C作CD⊥OA，垂足为D，由勾股定理求出OD=CD=8，由平行四边形的性质可得出答案；
（2）求出P坐标为（18，8），Q（5，5），由平行四边形的性质可得出答案．
【详解详析】
解：（1）如图1，过点C作CD⊥OA，垂足为D，
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∵∠AOC=45°，
∴△OCD为等腰直角三角形，
在△OCD中，OD2+CD2=OC2，
∵OC=，
∴OD=CD==8，
∴点C坐标为（8，8），
∵OA=18，即点A坐标为（18，0），
∵四边形OABC为平行四边形，
∴点B坐标为（26，8）；
（2）若AP⊥BC，如图2，
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则点P坐标为（18，8），
∴CP=18-8=10，
∴此时t=10÷2=5s，
此时OQ=，
同（1）可知点Q此时的坐标为（5，5），
∵A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形，
∴点M的坐标为（5，13）或（5，-3）或（31，3）．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．21世纪教育网版权所有
10．在四边形中，，点P从点A出发，沿折线方向以的速度匀速运动；点Q从点D出发，沿线段方向以的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．21*cnjy*com
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（1）求的长；
（2）当四边形为平行四边形时，求四边形的周长；
（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为 若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．21教育网
【标准答案】（1）16cm；（2）；（3）秒或秒
【思路指引】
（1）过作于，得出平行四边形，求出，根据勾股定理求出即可；
（2）根据平行四边形的对边相等得出方程，求出即可；
（3）分为三种情况，根据题意画出符合条件的所有图形，根据三角形的面积得出方程，求出符合范围的数即可．
【详解详析】
解：（1）如图1，
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过作于，
在四边形中，，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
；
（2）如图2，
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当四边形是平行四边形时，，
即，
解得，
此时，，，
所以；
即四边形的周长是；
（3）当在上时，如图3，
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即，
，
解得；
当在上时，如图4，即，
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，、
此方程没有实数解；
当在上时：
若点在点的右侧，如图5，即，
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，
解得，不合题意，应舍去；
若在的左侧，如图6，即，
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，
解得；
综上所述，当秒或秒时，的面积为．
【名师指路】
本题考查了梯形性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，有一定的难度．【来源：21·世纪·教育·网】
11．（2021·浙江·杭州市第十五中学八年级期中）如图，平行四边形中，．点P以的速度从顶点A出发沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点A出发沿折线向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为．
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（1）求平行四边形的面积；
（2）求当时，的面积；
（3）当的面积是平行四边形面积的时，求t的值．
【标准答案】（1）cm2；（2）cm2；（3）或3
【思路指引】
（1）过点B作BE⊥CD于点E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点Q作QM⊥AP，分别计算出t=1s时，AP，AQ和QM的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点P在线段AB上，点Q在线段AD上和点P在线段BC上，点Q在线段CD上，两种情况计算即可．
【详解详析】
解：（1）平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，
∴CD=AB=4cm，BC=AD=2cm，
如图，过点B作BE⊥CD于点E，
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∵∠C=60°，
∴CE=BC=1cm，
∴BE==cm，
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BE=4×=cm2，
答：平行四边形ABCD的面积为cm2．
（2）当t=1s时，
AP=2×1=2cm，AQ=1×1=1cm，
如图，过点Q作QM⊥AP，
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∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠C=60°，
∴∠A=60°，
∴AM=AQ=cm，
∴QM==cm，
∴△APQ的面积为：×AP×QM=×2×=cm2，
答：当t=1s时，△APQ的面积为cm2；
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为cm2．
∴当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△APQ的面积为：×=cm2，
当点P在线段AB上运动t秒时，点Q在AD上运动t秒，此时0AP=2tcm，AQ=tcm，高为=cm，
∴，
解得：t=或（舍）；
当点P运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点Q也运动到线段CD上，即2如图，过点P作MN垂直CD于点M，垂直于AB延长线于点N，
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∵四边形ABCD为平行四边形，∠C=60°，
∴AB∥CD，
∴∠PBN=∠C=60°，
PN=PB=（2t-4）=cm，PM==cm，
S△APQ=，
解得：t=1（舍）或t=3，
当t=3时，点P位于点C处，点Q位于线段CD上，符合题意．
综上，t的值为或3．
【名师指路】
本题考查了动点在平行四边形的边上运动所形成的三角形的面积的问题，数形结合，按照三角形或平行四边形的面积公式计算，是解题的关键．【出处：21教育名师】
12．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）如图所示，是一个边长为4的等边三角形，D是直线边上一点，以为边作，使，并以，为边作平行四边形．
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（1）当点D在线段上时，交于点G，求证：；
（2）求线段的最小值；
（3）当直线与的一边垂直时，请直接写出平行四边形的面积．
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）或或
【思路指引】
（1）由，，可得，是等边三角形可得，且可得，从而可证；
（2）由知，故最小时，也最小，求出最小值即可；
（3）分三种情况：①时，②时，时，分别画出图形，求出底边长度和高，即可得到答案．
【详解详析】
解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，即，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
，
最小时，也最小，此时，如图：
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是等边三角形，
，
，
，
故答案为：；
（3）直线与的一边垂直，分三种情况：
①时，如图：
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此时，
，
，
又，
在中，
，，
，
②时，如图：
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此时，平行四边形为矩形，
在中，，
，
，
③时，延长交于，如图：
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此时，
，
，
，
，
中，，，
，
中，，
，
，
综上所述，直线与的一边垂直，的面积为或或．
【名师指路】
本题考查等边三角形、平行四边形性质及应用，涉及全等三角形、矩形等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论．
13．如图，平行四边形中，，点P以的速度从顶点A出发沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点A出发沿折线向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求平行四边形的面积；
（2）求当时，的面积；
（3）当的面积是平行四边形面积的时，求t的值．
【标准答案】（1）16cm2；（2）cm2；（3）或3
【思路指引】
（1）过点B作BE⊥CD于点E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点Q作QM⊥AP，分别计算出t=0.5s时，AP，AQ和QM的长，再按三角形面积公式计算即可；
（3）分点P在线段AB上，点Q在线段AD上和点P在线段BC上，点Q在线段CD上，两种情况计算即可．
【详解详析】
解：（1）平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，
∴CD=AB=8cm，BC=AD=4cm，
如图，过点B作BE⊥CD于点E，
∵∠C=30°，
∴BE=BC=2cm，
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BE=8×2=16cm2，
答：平行四边形ABCD的面积为16cm2．
（2）当t=0.5s时，
AP=4×0.5=2cm，AQ=2×0.5=1cm，
如图，过点Q作QM⊥AP，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠C=30°，
∴∠A=30°，
∴QM=AQ=×1=cm，
∴△APQ的面积为：×AP×QM=×2×=cm2，
答：当t=0.5s时，△APQ的面积为cm2；
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为16cm2．
∴当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△APQ的面积为：16×=6cm2，
当点P在线段AB上运动t秒时，点Q在AD上运动t秒，
AP=4tcm，AQ=2tcm，高为=tcm，
∴，
解得：t=或（舍）；
当点P运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点Q也运动到线段CD上，
如图，过点P作MN垂直CD于点M，垂直于AB延长线于点N，
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∵四边形ABCD为平行四边形，∠C=30°，
∴AB∥CD，
∴∠PBN=∠C=30°，
PN=PB=（4t-8）=（2t-4）（cm），PM=2-（2t-4）=（6-2t）（cm），
S△APQ=，
解得：t=1（舍）或t=3，
当t=3时，点P位于点C处，点Q位于线段CD上，符合题意．
综上，t的值为或3．
【名师指路】
本题考查了动点在平行四边形的边上运动所形成的三角形的面积的问题，数形结合，按照三角形或平行四边形的面积公式计算，是解题的关键．
14．（2021·浙江杭州·八年级期末）已知，中一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
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（1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
（2）如图②，在（1）问的条件下，连结并延长，与的延长线交于点F，连结，若，求的面积．
（3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．21cnjy.com
【标准答案】（1）60°；（2）；（3）或或9.6
【思路指引】
（1）如图①中，只要证明是等边三角形即可．
（2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题．
（3）如图③中，分四种情形列出方程解方程即可．
【详解详析】
解：（1）如图①中，
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四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
（2）如图②中，
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四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
（3）如图③中，
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，
当时，四边形是平行四边形，
或或或，
解得或8或9.6，
为或或9.6时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【名师指路】
本题考查四边形综合题、平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．如图，在菱形中，，点P在对角线上（不与点B，D重合)，点E、F分别在边，上，且．
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（1)如图1，若，求证：．
（2)如图2，点P在线段上运动时，设．
①若四边形的面积为，求x的值．
②探究x与y的数量关系．
【标准答案】（1）见解析；（2）①6或2；②
【思路指引】
（1）若AP⊥BD，则AP为等腰△BAD的中线，PE为△DBC的中位线即可通过等量代换求证．
（2）①用含x的式子表示出四边形PFCE面积，根据题意建立方程求解即可．
②构造辅助线，利用勾股定理即可找到y与x的数量关系．
【详解详析】
解：（1）证明：由题意得：AB=AD，AP⊥BD，
∴AP为等腰△BAD的中线，即点P为BD的中点，
又∵PE∥BC，
∴点E为DC的中点，PE为△DBC的中位线，
∴PE=BC=DC＝EC=DE，
又∵PE∥BC，PF∥DC，
∴四边形FPEC为平行四边形，
∴PF=EC，
而DE=EC，
∴DE=PF；
（2）①过点作于点，如图所示：
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，，，为对角线，
，，
，则，，
在中，，
，
四边形的面积为，
，
解得：，，
或2；
②过点作于点，过点作于点，如图3，
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由①可知，，
在中，，
，
在中，，，，
，
在中，，，，
由勾股定理可得：，
，即：，
与的数量关系为：．
【名师指路】
本题考查四边形的综合应用，熟练四边形的综合性质，结合一元二次方程以及勾股定理等知识点，理清题意，合理添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．21·cn·jy·com
16．如图，在中，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度在间往返运动，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）．
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（1）当四边形的面积为面积的一半时，则运动时间为多少秒；
（2）几秒钟后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形？
【标准答案】（1）4；（2）2秒或4秒或6秒
【思路指引】
（1）设运动时间为t秒，分0≤t≤3，3＜t≤6两种情况，四边形APQB和是同高，因此根据梯形面积和平行四边形面积公式列出方程，再解即可；21·世纪*教育网
（2）分四边形ABQP是平行四边形，四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形PQCD是平行四边形，四边形APCQ是平行四边形，四边形BPDQ是平行四边形，四种情况，分别列出方程，解之即可．
【详解详析】
解：（1）设运动时间为t秒，
∵在中，AB=4cm，AD=6cm，
∴CD=4cm，BC=6cm，
设平行四边形ABCD中BC边上的高为h，
由题意可得：当点P到达点D时，点Q恰好回到点C，
当四边形的面积为面积的一半时，
若0≤t≤3，
有，
解得：t=0（舍去）；
若3＜t≤6，
有，
解得：t=4；
∴t的值为4；
（2）若四边形ABQP是平行四边形，
则AP=BQ，
则或，
解得：t=2或t=6；
若四边形PQCD是平行四边形，
则PD=CQ，
则或，
解得：t=2或t=6，
若四边形APCQ是平行四边形，
则AP=CQ，
则或，
解得：t=0（舍）或t=4，
若四边形BPDQ是平行四边形，
则PD=BQ，
则或，
解得：t=0（舍）或t=4，
综上：2秒或4秒或6秒后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形．
【名师指路】
此题主要考查了平行四边形的判定，以及梯形的面积计算，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2·1·c·n·j·y
17．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，，点A的坐标为，点B的坐标为．动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单位的速度匀速运动；动点Q同时从点A出发，到达点B之后，继续沿射线BC运动，以每秒2个单位的速度匀速运动，设点P运动的时间为t秒（）．
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（1）写出点C的坐标；当运动2秒时，求的面积．
（2）在整个运动过程中，是否 ( http: / / www.21cnjy.com )存在这样的t，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出t的值，若不存在，请改变点P的运动速度，使以A，P，Q，C为顶点的四边形是矩形，求出此时点P的速度．
（3）在整个运动过程中，t为何值时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？
【标准答案】（1）C，；（2）不存在，点P的速度为每秒个单位；（3）s或8s
【思路指引】
（1）利用平行四边形的性质可得点C坐标，作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．求出PA．QE即可得到的面积．
（2）画出以点A、P、Q、C为顶点的四边形是矩形时的图像，求出此时点P和点Q运动的时间，再判断，从而求出点P应有的速度；
（3）当点Q在射线BC上时，CQ=PA时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．
【详解详析】
解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=6，BC∥OA，
∵B，
∴C，
如图，作QE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．
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∵A（6，0），B，
∴OA=6，OF=10，BF=，
∴AF=10-6=4，AB==8，
当t=2时，OP=2，PA=4，AQ=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠BAF=∠COA=60°，
∵QE⊥AE，
∴∠AEQ=90°，
∴AE=AQ=2，
∴EQ==，
∴S△PAQ= PA EQ=×4×=；
（2）如果以点A、P、Q、C为顶点的四边形是矩形，如图，
此时OP=4，则t=4，
AB+BQ=8+4=12，则t=6，
∴不存在这样的t，
若改变点P的运动速度，则为；
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（3）如图，当点Q在射线BC上时，CQ=PA时，A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．
∴|14-2t|=|t-6|，
解得t=或8，
∴t为s或8s时，以A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形．
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【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
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