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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题01 几何思想之矩形的判定与性质专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江吴兴·八年级期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
由条件：四边形ABCD为平行四边形及DE=AD，可得四边形DBCE为平行四边形，根据所给的四个选项及矩形的判定即可作出判断．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，BC=AD，BC∥AD，AB∥CD
∵DE=AD
∴BC=DE
∵BC∥AD
∴BC∥DE
∴四边形DBCE是平行四边形
当AB=BE时，则由AB=CD得BE=CD，即四边形DBCE的两条对角线相等，根据矩形的判定知，四边形DBCE是矩形；
当CE⊥DE时或时，根据矩形的定义即知，四边形DBCE是矩形；
当时，则由AB∥CD，可知BE⊥CD，即的对角线相互垂直，但不能判定它是矩形．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定方法是本题的关键．
2．（2021·浙江·杭州外国语 ( http: / / www.21cnjy.com )学校八年级期中）如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过D作DF⊥BC于点F，DF＝5cm，∠EDB＝15°，则DE＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12.5cm B．5cm C．7.5cm D．10cm
【标准答案】D
【思路指引】
过点作的垂线交于点，先证明四边形为矩形，得出，利用角平分线的性质，证明出为等腰三角形，得出，再在中，利用对应的边等于斜边的一半即可求解．
【详解详析】
解：过点作的垂线交于点，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意：，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
∠ABC的平分线交AC于点D，
，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
在中，
，
，
，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了角平线的定义、等腰三角形的判定及性质、矩形的判定、直角三角形中对应的边等于斜边的一半，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线构造直角三角形．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少
【标准答案】C
【思路指引】
连接AP，先判断出四边形AF ( http: / / www.21cnjy.com )PE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=AP，再根据垂线段最短可得AP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
【详解详析】
如图，连接AP．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选C．
【名师指路】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．2·1·c·n·j·y
4．（2021·浙江·温州 ( http: / / www.21cnjy.com )市第二十一中学八年级月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AB上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
首先证明四边形CEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长PM经过点C，推出EF=CP，可得PM=EF=PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．
【详解详析】
解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC==4，
∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEC=∠PFC=∠EPF=90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长PM经过点C，
∴EF=CP，PM=EF=PC，
当PC⊥AB时，PC=，
∴PM的最小值为，
故选D．
【名师指路】
此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当CP⊥AB时，CP最小．
5．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，在四边形中，平分，，，，，则四边形的周长是（ ）．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．18 B．20 C．22 D．24
【标准答案】C
【思路指引】
过点A做交于点E，根据角平分线和平行线性质，推导得；通过判定四边形为矩形，得，；再根据勾股定理计算，得，从而得到四边形的周长．
【详解详析】
如图，过点A做交于点E
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴四边形为矩形
∴，
又∵，即
∴
∴四边形的周长
故选：C．
【名师指路】
本题考查了平行线、角平分线、等腰三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解．
6．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【标准答案】A
【思路指引】
先求证四边形AFPE是矩形，再根据直 ( http: / / www.21cnjy.com )线外一点到直线上任一点的距离、垂线段最短，再利用相似三角形对应边成比例即可求得AP最短时的长，最后求出PM最短时的长即可．
【详解详析】
解：连结AP，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴PM=AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP==4.8，
∴AP最短时，AP=4.8，
∴当PM最短时，PM=AP=2.4．
故选A．
【名师指路】
本题主要考查了矩形的判定与性质以及垂线段最短，根据题意说明四边形AFPE是矩形并灵活运用“垂线段最短”成为解答本题的关键．
7．（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，△ADM沿直线AM翻折后点D落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4+3 B．3+3 C．9﹣3 D．6﹣3
【标准答案】C
【思路指引】
过点N作NH⊥AD于H，先证明四边形NE ( http: / / www.21cnjy.com )DH为矩形，得到HD=NE，NH=DE，根据ED=2EC，ED+EC=CD=6，可以得到ED=HN=4，再利用勾股定理求出AH，即可得到NE的值，最后再直角三角形MNE中用勾股定理求解即可.21教育网
【详解详析】
解：如图所示，过点N作NH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是正方形，AD=6
∴AD=CD=6，∠D=90°，
∵NE⊥CD，NH⊥AD，
∴∠NED=∠NHD=∠NHA=90°，
∴四边形NEDH为矩形，
∴HD=NE，NH=DE，
∵ED=2EC，ED+EC=CD=6，
∴ED=HN=4，
由翻折的性质可得AD=AN=6，DM=MN
∴，
∴，
设DM=MN=x，则ME=4-x,
则,
∴，
解得，
∴，
故选C.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．（2021·浙江台州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，根据含30度直角三角形的性质求出DE，根据矩形的性质求出EF，得到DF的长，进而求出CD即可．
【详解详析】
解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴DE=AD=2，
∵∠BED=90°，∠B=90°，∠CFE=90°，
∴四边形BCFE为矩形，
∴EF=BC=1，
∴DF=DE-EF=1，
∵∠ADC=120°，∠ADE=60°，
∴∠CDF=120°-60°=60°，
在Rt△CFD中，∠DCF=30°，
∴CD=2DF=2，
故选：A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9．（2021·浙江龙湾·八年级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．保持不变
【标准答案】D
【思路指引】
过点作于，于，先根据矩形的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论．
【详解详析】
解：如图，过点作于，于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则四边形是矩形，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长度保持不变，
故选：D．
【名师指路】
本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键．
10．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，四边形，则四边形的面积为（ ）
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A．5 B．6 C．8 D．9
【标准答案】B
【思路指引】
结合题意，根据正方形面积比，计算得，从而得；根据勾股定理性质，计算得；再根据勾股定理计算，得；结合，通过计算得；通过证明，得，结合矩形和四边形、的面积关系计算，即可得到答案．
【详解详析】
解：∵
∴
∵四边形与四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∵四边形+梯形
∴
∴
∴
∵，
∴，即
∵四边形与四边形是正方形
∴，
∴
∴
∴
∴四边形
∵
∴四边形是矩形
∴矩形四边形四边形四边形
∴四边形矩形
故选：B．
【名师指路】
本题考查了矩形、正方形、勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理、全等三角形、平方根、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、正方形、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．【版权所有：21教育】
二、填空题
11．（2021·浙江·宁波市第七 ( http: / / www.21cnjy.com )中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点P在边CD上，且PC平分∠BPD，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交BP于点F，过点M作ME⊥CP于E．则EF＝______________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
过点作交于，根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而求出，根据矩形的对边相等可得，再利用勾股定理列式求出，然后求出，再次利用勾股定理列式计算即可求出，从而得解．
【详解详析】
解：如图，过点作交于，
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则，，
∵PC平分∠BPD，
∴∠BPC=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠BCP，
，
，BP=PC，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
矩形中，，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
12．（2021·浙江·乐清市英华学校八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_____．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】3或6．
【思路指引】
当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如答图1所示．
连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出．
②当点落在边上时，如答图2所示．此时四边形为正方形．
【详解详析】
解：当为直角三角形时，有两种情况：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①当点落在矩形内部时，如答图1所示．
连结，
在中，，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，如图，
，，
，
设，则，，
在中，
，
，
解得，
；
②当点落在边上时，如答图2所示．
此时为正方形，
．
综上所述，的长为3或6．
故答案为3或6．
【名师指路】
本题考查了折叠问题：折叠前 ( http: / / www.21cnjy.com )后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．21*cnjy*com
13．（2021·浙江·杭州市建兰中学八年级期中）在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝25，点E在线段BC上，CE＝12，点F是线段AD上的一个动点，连接BF，若将四边形ABEF沿EF折叠，点A、B分别落在点、处，则当点B恰好落在矩形ABCD的一边上时，AF的长为_____．
【标准答案】5或10.6
【思路指引】
分两种情况解答：①当点落在边上，根据折叠不变性，，，连接，则；在△中由勾股定理可得，设，则，根据，由勾股定理列出方程，解方程，结论可得；②当点落在边上，过作，仿照①，列出方程，结论可得．
【详解详析】
解：分两种情况解答：①当点落在边上时，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
连接，由题意：，，．
在矩形中，
，
．
，
．
．
．
，
．
设，则，．
．
．
．
解得：．
．
②当点落在边上，如下图：过点作于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意：，，．
在矩形中，
，
．
，
．
．
在△中，，
．
．
．
．
设，则．
，
．
解得：．
．
综上，或10.6．
故答案为：5或10.6．
【名师指路】
本题主要考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理．利用折叠不变性和勾股定理列出方程是解题的关键．
14．如图，直线上有两点，且，以为边向上构造矩形，连接对角线为的中点，F为直线上的动点，连接，作C关于的对称点，连接，若与的重叠部分面积等于的，则___．21*cnjy*com
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【标准答案】或
【思路指引】
分两种情形①如图1中，当点在线段上时，连接，，作于，于．只要证明四边形是平行四边形即可解决问题；②如图2中，当点在线段的延长线上时，同法可求．
【详解详析】
解：如图1中，当点在线段上时，连接，，作于，于．
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与的重叠部分面积等于的，
，
，于，于，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
如图2中，点在线段的延长线上时，同法可得
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故答案为或．
【名师指路】
本题考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．【来源：21cnj*y.co*m】
15．如图，在矩形纸片中，点为边上的中点，点G沿运动（不含端点），将矩形纸片沿直线翻折，使得点B落在边上，则折痕长度为______．
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【标准答案】或
【思路指引】
过F作ME⊥AD于E，可得出四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABME为矩形，利用矩形的性质得到AE=BF，AB=EM，分两种情况考虑：（i）当G在AB上，B′落在AE上时，如图1所示，由折叠的性质得到B′M=BM，BG=B′G，在直角三角形EMB′中，利用勾股定理求出B′E的长，由AE-B′E求出AB′的长，设AG=x，由AB-AG表示出BG，即为B′G，在直角三角形AB′G中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AG的长，进而求出BG的长，在直角三角形GBM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长；（ii）当G在AE上，B′落在ED上，如图2所示，同理求出B′E的长，设A′G=AG=y，由AE+B′E-AG表示出GB′，在直角三角形A′B′G中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，求出AG的长，由AE-AG求出GE的长，在直角三角形GEM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长，综上，得到所有满足题意的折痕MG的长．
【详解详析】
解：如图1所示，过作于，在上，落在上，可得四边形为矩形，
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，，
又，为的中点，
由折叠可得：，
在中，根据勾股定理得：，
，
设，则有，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
在中，根据勾股定理得：；
如图2所示，过作于，在上，落在上，可得四边形为矩形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
又，为的中点，
由折叠可得：，
在中，根据勾股定理得：，
，
设，则，，
在△中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
综上，折痕或．
故答案为：或．
【名师指路】
此题考查了翻折变换-折叠问题，涉及的知识有：矩形的判定与性质，勾股定理，利用了方程、转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．
16．（2021·浙江瓯海·八年级期中）如图，在长方形中，，M为的中点，沿过点M的直线翻折，使点B落在边上，记折痕为，则折痕的长为_________．
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【标准答案】或
【思路指引】
设点沿过点的直线翻折后落在上的对应点为点，分类讨论①过点作交于点，在上，根据折叠性质得，由勾股定理得，，，②过点作交于点，在上，由折叠得，由勾股定理得，，设，则，在△中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，即可得出结论．
【详解详析】
解：设点沿过点的直线翻折后落在上的对应点为点，
①过点作交于点，在上，
( http: / / www.21cnjy.com / )
可得四边形为矩形，
，，
为中点，，
由折叠可得：，
在△中，由勾股定理得，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
在中，
由勾股定理得，
，
②过点作交于点，在上，可得，
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形为矩形，
，，
又，为中点，
由折叠得，，
在，由勾股定理得，
，
，
设，则，
则，
在△中，，
由勾股定理得，
，
，
则，
在中，，
由勾股定理得，
，
综上所述，或，
故答案为：或．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握矩形和翻折变换的性质以及都股定理等基本知识点，本题注意分类讨论．
17．（2021·浙江拱墅·八年级期末）如图，对折矩形纸片ABCD，使边AD与BC重合，折痕为EF，将纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕BH交EF于点M．若＝m（m＞1），则的值为____．（用含m的代数式表示）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
根据折叠的性质得到AE=BE， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=BG，AH=HG，∠A=∠BGH=90°，证明△HGM是等边三角形，设AB=1，BC=m，利用勾股定理求出EM，求出MG，GF的长，即可得到比值．
【详解详析】
解：由第一次折叠可知：AE=BE，
由第二次折叠可知：AB=BG，AH=HG，∠A=∠BGH=90°，
∴BG=2BE，
∴∠BGE=30°，∠EBG=60°，
∴∠ABH=∠GBH=30°，∠HGM=60°，
∴BM=2EM，∠BME=∠HMG=60°，
∴△HGM是等边三角形，
∵=m，
∴设AB=1，BC=m，
∴BG=1，AE=BE=，AD=EF=m，
在△BEM中，，即，
∴，又E为AB中点，EM∥AD，
∴AH=2EM==HG=MG，
∴GF=EF-EM-MG=，
∴=，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，折叠问题，等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，知识点较多，解题的关键是利用基本性质得到线段之间的关系．
18．（2021·浙江·嵊州市初级中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，下列五个结论：①EF=CF；②∠BAE+∠ECF=90 ；③CF∥AE；④△ECF是等边三角形；⑤；其中一定成立的有_______（填序号）．
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【标准答案】②③⑤
【思路指引】
先证明∠BAE≠30°，即可推出∠BEA=∠AEF≠60°，则∠FEC≠60°，从而可以推出△FEC不是等边三角形，即可判断①④ ，根据∠BEF=∠EFC+∠ECF，∠ECF=∠EFC，∠BEA=∠AEF，即可得到∠AEB=∠FCE，即可判断②③；过点F作FG∥BC交AE于G，过点B作BH⊥AE于H，先证明四边形FGEC是平行四边形，四边形BEFG是平行四边形，即可得到GH=HE，然后利用面积法和勾股定理即可判断⑤．
【详解详析】
解：由折叠的性质可知：BE=EF，AB=AF，∠BEA=∠AEF，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC=，
∴FE=EC，
∴∠ECF=∠EFC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴，∠BAE+∠AEB=90°，
∴，
∴∠BAE≠30°，
∴∠BEA=∠AEF≠60°，
∴∠FEC≠60°，
∴△FEC不是等边三角形，故④错误，
∴EF≠CF，故①错误；
∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB=∠FCE，
∵∠BAE+∠AEB=90°，AE∥CF故③正确
∴∠BAE+∠ECF=90°，故②正确，
如图，过点F作FG∥BC交AE于G，过点B作BH⊥AE于H，
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴GF=BE=EC，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF=BG=BE，GE=CF，
∴GH=HE，
∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
故答案为：②③⑤ ．
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【名师指路】
本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定，平行四边形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
三、解答题
19．（2021·浙江余杭·八年级月考）如图，在长方形中，，，动点沿着的方向运动，到点运动停止，设点运动的路程为，的面积为．21·世纪*教育网
（1）点在边上，求关于的函数表达式．
（2）点在边上，的面积是否发生变化？请说明理由．
（3）点在边上，的面积是否发生变化？如果发生变化，求出面积的变化范围，并写出关于的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时的面积．www-2-1-cnjy-com
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【标准答案】（1）；（2）的面积不发生变化，理由见解析；（3）的面积发生变化，，．
【思路指引】
（1）由题意可求出的长，利用三角形的面积公式即可得到求与的关系式；
（2）当点在上运动时，的面积不发生改变，过点作于点，利用三角形的面积公式可得的面积为18，是个定值；21世纪教育网版权所有
（3）先求出的长，再利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，然后利用点在上可得出的范围，由此即可得出面积的变化范围．
【详解详析】
解：（1）在长方形中，，，
，
由题意知，当点在边上时，，且，
；
（2）的面积不发生变化．理由如下：
如图，过点作于点，
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则，
，是一个定值，
所以的面积不发生变化；
（3）的面积发生变化，求解过程如下：
当点在边上时，，且，
，，
，
，
，
即．
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【名师指路】
本题考查了一次函数的几何应用、长方形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的求解方法是解题关键．
20．如图，已知在矩形ABCD中，点E在AB边上，F在CE边上，且∠ACD＝∠DAF．
（1）当∠CAF＝30°时，求矩形的长宽之比；
（2）若∠CAF＝∠ECB，请回答下列问题；
①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，求y关于x的表达式；
②若EB＝1，求CF的长．
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【标准答案】（1）；（2）① ；②2．
【思路指引】
（1）根据矩形的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可；
（2）①根据矩形的性质和角的关系得出关系式即可；
②延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，根据矩形的性质和边的关系解答即可．
【详解详析】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠ACD＝∠DAF，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAC﹣∠CAF＝∠DAF﹣∠CAF，
∴∠BAF＝∠CAD，
∵∠CAF＝30°，
∴∠BAF＝∠CAD＝，
∴△ACD是含30°的直角三角形，
∴AD：DC＝∶1，
即矩形的长宽之比为∶1；
（2）①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，
∵∠CAF＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠CAF＝y，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝x+y，
∵∠ACD＝∠DAF＝∠CAF+∠CAD＝y+x+y＝x+2y，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACE+∠BCE＝90°，
∴x+2y+x+y＝90°，
∴y＝30°-x；
②延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，如图所示：
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DCA＝∠DAF，
∴∠BAC＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠DAC，
∵∠AFE＝∠FAC+∠ACE，∠ACB＝∠ECB+∠ACE，∠FAC＝∠ECB，
∴∠AFE＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∵AB⊥BC，BG＝BE，
∴CG＝CE，
∴∠ECB＝∠GCB，
∵∠ACG＝∠ACB+∠BCG，∠ACB＝∠CAD，
∴∠ACG＝∠DAF＝∠BAC，
∴AG＝CG，
又∵CE＝CG，
∴CE＝AG，
∴CF+EF＝AE+2EB，
∴CF＝2EB＝2．
【名师指路】
本题考查了四边形得到综合题、矩形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（2021·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图，△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，点P是线段AC上一动点，PE//BC交射线BD于点E，连接AE，点是点E关于AC的对称点.
（1）线段BC＝______，AC＝_____；
（2）在点P从点C运动到点A的过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，△AEB是否有可能是等腰三角形？若有可能，求出当△AEB是等腰三角形时，CP所有可能的长；若不可能，请说明理由；
（3）当点恰好落在线段BC上时，PC＝______．
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【标准答案】（1），；（2）有可能，或；（3）.
【思路指引】
（1）过点A作AF⊥BC于F，过点P作PG⊥BC于G，根据已知角和已知边解直角三角形即可求解；
（2）过点D作DQ⊥BC于Q，根据等腰三角形的性质分情况讨论，利用已知角和边解直角三角形即可；
（3）过点C作EC⊥BC交BD延长线于E，根据等腰直角三角形的性质解直角三角形即可求解.
【详解详析】
（1）解：过点A作AF⊥BC于F，过点P作PG⊥BC于G，
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∵∠C=45°，∠ABC=60°，AF⊥BC，
∴和是直角三角形，
在直角三角形中，已知AB=4，∠FAB=30°
∴BF=AB =×4=2，
由勾股定理可得：AF==，
又∵在直角三角形中，∠C=45°，AF=FC=，
∴BC=2+，
∴AC=；
（2）解：过点D作DQ⊥BC于Q，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠DBC-30°，
设CQ=x，则BQ=BC-CQ=2+-x，
在直角三角形中，∠DQB=30°，
∴，
勾股定理可得：,
∴，
∴，
求得x=2即DQ=CQ=2，BQ=，
∴BD=，DC=，
由题意，是等腰三角形，故有三种情况：
①当AB=AE时，∠ABE=∠AEB=30°，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠BAE=180°-30°-30°=120°，
∵∠ABC=60°，∠BAE=120°，
∴AE//BC，
∵PE//BC，P为AC上一动点，
∴点P与点A重合，即PC=AC=，
②当AB=EB时，EB=AB=2，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BD=2，AB=2，EB=AB=2，
∴点D与点E重合（点E在BD上），
∴点P与点E重合,即PC=CD=，
∵此时不满足PE//BC，
∴不存在；
③当AE=BE时，过点E作EM⊥AB于M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在直角三角形中，BM=,∠MBE=30°，
∴ME=，
勾股定理可得：MB=，
∴，
∴，
过点E作EH⊥BC，PG⊥BC，
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在直角三角形中，BE=,∠HBE=30°，
∴，
∵四边形EHGP是矩形，
∴PG=EH=，
在直角三角形中，∠PCG=45°，
∴PG=GC=,
由勾股定理可得：PC=
综上，CP可能的长为或.
（3）连接EC、，
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∵∠ACB=45°，PE∥BC，
∴∠EPC=∠ACB=45゜，
∵E与关于AC对称，
∴∠ECP=∠ACB=45゜，
∴∠BCE=∠ACB+∠ECP=90゜，∠PEC=180゜－∠EPC－∠ECP=90゜，
∴EC⊥BC，是等腰直角三角形，
∴PE=CE，
由勾股定理可得：PC2=PE2+CE2,
∴PC2=2CE2，
∴CE =PC，
又∵在直角三角形中，∠EBC=30°，BC=2+,
∴EC=，
由勾股定理可得：BC=，
∴，
∴CE=BC =,
∴PC=.
【名师指路】
本题主要考查含30°的直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握含30°的直角三角形的性质和勾股定理.www.21-cn-jy.com
22．（2021·浙江·温州市第十四中学八年级期中）如图1，在Rt中，，AC=BC=4，D是AB的中点．延长至点，在右侧作，点为射线上一点，连结交于点，过点作交于点．21教育名师原创作品
（1）求证：；
（2）如图 2，点在射线上，且平分，连结．
①求证：；
②当是以为腰的等腰三角形时，则 ．(直接写出答案，结果保留根号)．
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【标准答案】（1）见解析；（2）①见解析；②或．
【思路指引】
（1）先证明∠DGC+∠DFC=180°，再根据∠BFD+∠DFC=180°，得出结论；
（2）①先证明∠FHD=∠CHD，再证明=∠DFH，最后根据△DFH≌△DGH得出结论；②分两种情况讨论：①当EH=HF时；②当EH=EF时，分别求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵，，
∴∠ACB=∠FDG=90°，
∴∠DGC+∠DFC=360°-∠ACB-∠FDG=180°，
∵∠BFD+∠DFC=180°，
∴∠BFD=∠DGC；
（2）①连接DC，DH，DO⊥AC，DK⊥BC，DP⊥HF，交HF的延长线于点P，
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD是∠BCA的平分线，
∴∠FHD=∠CHD，
∵DO⊥AC，DK⊥BC，
∴DO=DK，
∵平分，
∴∠BFE=HFE=∠DFC，
∴∠PFD=∠KFD，
∵DK⊥BC，DP⊥HF，
∴DK=DP，
∴DP=DO，
∵DO⊥AC，DP⊥HF，
∴DH平分∠FHC，
∴∠FHD=∠CHD，
由（1）得=∠HFE+∠HFC，∠BFE=∠HFE=∠DFC，
∴=∠DFC+∠HFC=∠DFH，即=∠DFH，
∵DH=DH，
∴△DFH≌△DGH，
∴FH=GH；
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②连接DH，
由①得GH=FH，△DGH≌△DFH，
∴DG=DF，
∵∠DOC=∠DKB=90 ，DK=DO，
∴△DOG≌△DKF，
∴OG=FK，
∵AB=AC，
∴∠A=∠ABC=45 ，
∵CD⊥AB，
∴DB=DC=DA，
∴BK=OC，
∴BK-FK=OC-OG，
设BF=x，则CG=x，FC=4-x，
当EH=HF时，则∠FEH=∠EFH=∠BFE，
∴EH∥BC，
∴四边形BCHE为矩形，
∴EH=BC=4=FH，则CH=GH-GC=4-x，
根据勾股定理可得：，
∴，
解得：，即BF=．
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当EH=EF时，作EK⊥FH于点K，
∵EF平分∠BFH，
∴BE=KE，BF=FK，
∵EF=EH，
∴FK=KH，即FH=2BF，
设BF=x，则FH=2x，FC=4-x，
∵FH=GH=2x，CG=x，
∴GH=x，
根据勾股定理可得：，
∴，
解得（负值舍去）， 即BF=，
综上：BF=或．
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【名师指路】
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理及矩形的判定，解题的关键是熟练掌握有关性质．【来源：21·世纪·教育·网】
23．（2021·浙江镇海·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知，点，点落在第二象限，点是轴正半轴上一动点，
（1）如图1，当时，将沿着直线翻折，点落在第一象限的点处．
①若轴，求点的坐标；
②如图2，当点运动到中点时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由；
③如图3，在折叠过程中，是否存在点，使得是以为腰的等暖三角形﹖若存在，求出对应点的坐标．若不存在．请说明理由；
（2）如图4，将沿着翻折．得到．(点的对应点为点)，若点到轴的距离不大于，直接写出的取值范围．（不需要解答过程)
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【标准答案】（1）①，；②四边形ABDE是平行四边形；理由见解析；③存在，D（0，2.5）；（2）
【思路指引】
（1）①由，求出和长度，由轴，求出点的坐标；
②延长交轴于点，连接，得到正方形，从而，且，故得证四边形是平行四边形；
③利用等腰三角形的定义和翻折的特征得到中垂线，再得证三角形全等，从而求出点的坐标；
（2）分析清楚和点到轴的距离之间的关系，然后当到轴的距离为3时，求出的值，最后得出的取值范围．
【详解详析】
解：（1）当时，，
①，，
，，
，
将沿着直线翻折后轴，如图（1），
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，
，
，．
故答案为：，．
②四边形是平行四边形，理由如下：
延长交轴于点，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，点是的中点，
，
，
，，
，
，
，
由折叠得：，
四边形是正方形，
，，
四边形是平行四边形．
③如图（3），连接，延长交于点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由折叠可知，，，
是的中垂线，
，，
是以、为腰的等腰三角形，
，
，
，
设，则：，
，
，
解得：，
，
存在点，使得是以、为腰的等腰三角形．
（3）如图（4），过点作轴于点，作轴于点，则，四边形是矩形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由折叠得：，
当到轴的距离为3，即时，
，，
，
，
，
，
解得：，
越小，点越向左，越大，
越小，越小，即点到轴的距离越小，
点到轴的距离不大于3，
．
【名师指路】
本题考查了平行的性质、勾股定理、翻折的特征、等腰三角形的性质、全等的判定和性质、三角形的面积等知识点．要求学生能够熟练应用勾股定理求线段长度，应用等面积法列方程求解，同时学会数学结合的思想解题．对于的取值范围，要会分析和点到轴的距离之间的关系．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题01 几何思想之矩形的判定与性质专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江吴兴·八年级期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）．www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
2．（2021·浙江·杭州外国语学校八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过D作DF⊥BC于点F，DF＝5cm，∠EDB＝15°，则DE＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12.5cm B．5cm C．7.5cm D．10cm
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°， ( http: / / www.21cnjy.com )P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少
4．（2021·浙江·温州市第二十 ( http: / / www.21cnjy.com )一中学八年级月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AB上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（ ）21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
5．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，在四边形中，平分，，，，，则四边形的周长是（ ）．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．18 B．20 C．22 D．24
6．（2021·浙江杭州·八年级期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）21教育网
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A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
7．（2021·浙江省余姚市实 ( http: / / www.21cnjy.com )验学校八年级期中）在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，△ADM沿直线AM翻折后点D落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．4+3 B．3+3 C．9﹣3 D．6﹣3
8．（2021·浙江台州·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，则的长为（ ）
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A． B． C． D．
9．（2021·浙江龙湾·八年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．保持不变
10．（2021·浙江瑞安·八年级期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形．延长，分别交，于点，，连结，．图中两块阴影部分面积分别记为，，若，四边形，则四边形的面积为（ ）
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A．5 B．6 C．8 D．9
二、填空题
11．（2021·浙江·宁波 ( http: / / www.21cnjy.com )市第七中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点P在边CD上，且PC平分∠BPD，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交BP于点F，过点M作ME⊥CP于E．则EF＝______________．21世纪教育网版权所有
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12．（2021·浙江·乐清市英华 ( http: / / www.21cnjy.com )学校八年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_____．
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13．（2021·浙江·杭州市建兰中学八年级期中）在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝25，点E在线段BC上，CE＝12，点F是线段AD上的一个动点，连接BF，若将四边形ABEF沿EF折叠，点A、B分别落在点、处，则当点B恰好落在矩形ABCD的一边上时，AF的长为_____．【版权所有：21教育】
14．如图，直线上有两点，且，以为边向上构造矩形，连接对角线为的中点，F为直线上的动点，连接，作C关于的对称点，连接，若与的重叠部分面积等于的，则___．21教育名师原创作品
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15．如图，在矩形纸片中，点为边上的中点，点G沿运动（不含端点），将矩形纸片沿直线翻折，使得点B落在边上，则折痕长度为______．
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16．（2021·浙江瓯海·八年级期中）如图，在长方形中，，M为的中点，沿过点M的直线翻折，使点B落在边上，记折痕为，则折痕的长为_________．
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17．（2021·浙江拱墅·八年级期末）如图，对折矩形纸片ABCD，使边AD与BC重合，折痕为EF，将纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕BH交EF于点M．若＝m（m＞1），则的值为____．（用含m的代数式表示）
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18．（2021·浙江·嵊州市初级中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，下列五个结论：①EF=CF；②∠BAE+∠ECF=90 ；③CF∥AE；④△ECF是等边三角形；⑤；其中一定成立的有_______（填序号）．
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三、解答题
19．（2021·浙江余杭·八年级月考）如图，在长方形中，，，动点沿着的方向运动，到点运动停止，设点运动的路程为，的面积为．21*cnjy*com
（1）点在边上，求关于的函数表达式．
（2）点在边上，的面积是否发生变化？请说明理由．
（3）点在边上，的面积是否发生变化？如果发生变化，求出面积的变化范围，并写出关于的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时的面积．21·cn·jy·com
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20．如图，已知在矩形ABCD中，点E在AB边上，F在CE边上，且∠ACD＝∠DAF．
（1）当∠CAF＝30°时，求矩形的长宽之比；
（2）若∠CAF＝∠ECB，请回答下列问题；
①设∠ACE＝x，∠CAF＝y，求y关于x的表达式；
②若EB＝1，求CF的长．
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21．（2021·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图，△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，点P是线段AC上一动点，PE//BC交射线BD于点E，连接AE，点是点E关于AC的对称点.21*cnjy*com
（1）线段BC＝______，AC＝_____；
（2）在点P从点C运动到点A的 ( http: / / www.21cnjy.com )过程中，△AEB是否有可能是等腰三角形？若有可能，求出当△AEB是等腰三角形时，CP所有可能的长；若不可能，请说明理由；2·1·c·n·j·y
（3）当点恰好落在线段BC上时，PC＝______．
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22．（2021·浙江·温州市第十四中学八年级期中）如图1，在Rt中，，AC=BC=4，D是AB的中点．延长至点，在右侧作，点为射线上一点，连结交于点，过点作交于点．2-1-c-n-j-y
（1）求证：；
（2）如图 2，点在射线上，且平分，连结．
①求证：；
②当是以为腰的等腰三角形时，则 ．(直接写出答案，结果保留根号)．
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23．（2021·浙江镇海·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知，点，点落在第二象限，点是轴正半轴上一动点，
（1）如图1，当时，将沿着直线翻折，点落在第一象限的点处．
①若轴，求点的坐标；
②如图2，当点运动到中点时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由；
③如图3，在折叠过程中，是否存在点，使得是以为腰的等暖三角形﹖若存在，求出对应点的坐标．若不存在．请说明理由；
（2）如图4，将沿着翻折．得到．(点的对应点为点)，若点到轴的距离不大于，直接写出的取值范围．（不需要解答过程)
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