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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育网
专题06 特殊的平行四边形压轴题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、解答题
1．如图，将一张边长为8 ( http: / / www.21cnjy.com )的正方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．21cnjy.com
初步探究
（1）当AP=4时
①直接写出点E的坐标 ；
②求直线EF的函数表达式．
深入探究
（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．
拓展应用
（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
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【标准答案】（1）①(0，5)；②；（2）理由见解析；（3）周长=16，不会发生变化，证明见解析．21·cn·jy·com
【思路指引】
（1）①设：OE＝PE＝a，则AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即可求解；21*cnjy*com
②证明△AOP≌△FRE（AAS），则ER＝AP＝4，故点F（8，1），即可求解；
（2）∠EOP＝∠EPO，而 ( http: / / www.21cnjy.com )∠EPH＝∠EOC＝90°，故∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP，即∠POC＝∠OPH，又因为AB∥OC，故∠APO＝∠POC，即可求解；
（3）证明△AOP≌△QOP（AAS）、△OCH≌△OQH（SAS），则CH＝QH，即可求解．
【详解详析】
（1）①设：OE=PE=a，则AE=8﹣a，AP=4，
在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，
即a2=(8﹣a)2+16，解得：a=5，
故点E(0，5)．
故答案为：(0，5)；
②过点F作FR⊥y轴于点R，
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折叠后点O落在P处，则点O、P关于直线EF对称，则OP⊥EF，
∴∠EFR+∠FER=90°，而∠FER+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠EFR，
而∠OAP=∠FRE，RF=AO，
∴△AOP≌△FRE(AAS)，
∴ER=AP=4，
OR=EO﹣OR=5﹣4=1，故点F(8，1)，
将点E、F的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b
得：，解得：，
故直线EF的表达式为：y=﹣x+5；
（2）∵PE=OE，
∴∠EOP=∠EPO．
又∵∠EPH=∠EOC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP．
即∠POC=∠OPH．
又∵AB∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∴∠APO=∠OPH；
（3）如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．
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由（1）知∠APO=∠OPH，
在△AOP和△QOP中，
∴△AOP≌△QOP(AAS)，
∴AP=QP，AO=OQ．
又∵AO=OC，
∴OC=OQ．
又∵∠C=∠OQH=90°，OH=OH，
∴△OCH≌△OQH(SAS)，
∴CH=QH，
∴△PHB的周长=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16．
故答案为：16．
【名师指路】
此题主要考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．2-1-c-n-j-y
2．问题发现
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(1)如图①，已知△ABC，以 ( http: / / www.21cnjy.com )AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试猜想CD与BE的数量关系是________；【版权所有：21教育】
(2)问题探究：如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的长．
(3)问题解决：如图③，△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )C＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值．
【标准答案】(1)CD=BE
(2)9
(3)5
【思路指引】
（1）结论：CD=BE．证明△DAC≌△BAE（SAS），可得结论．
（2）如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，证明△TAC≌△BAD（SAS），推出CT=BD，利用勾股定理求出CT即可．
（3）存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．证明△DBC≌△ABF（SAS），推出DC=AF，可得结论．
(1)
解：CD=BE．
理由：如图①中，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE．
故答案为：CD=BE．
(2)
如图②中，以AB为边向外作等腰直角△ABT，连接CT．
∵∠BAT=∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠TAC，
在△TAC和△BAD中，
∴△TAC≌△BAD（SAS），
∴CT=BD，
∵∠ABT=∠ABC=45°，
∴∠TBC=90°，
∵AB=2BC=6，
∴，
∴，
∴BD=TC=9；
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(3)
存在．如图③中，以BC为边向外作等边△BCF，连接AF．
∵△ABD，△BCF都是等边三角形，
∴BA=BA，BC=BF，∠DBA=∠CBF=60°，
∴∠DBC=∠ABF，
在△DBC和△ABF中，
∴△DBC≌△ABF（SAS），
∴DC=AF，
∵AC=2，CF=BC=3，
∴AF≤AC+CF，
∴AF≤5，
∴当A，C，F共线时，AF的值最大，最大值为5，
∴CD的最大值为5．
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【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
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(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为A ( http: / / www.21cnjy.com )D边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【标准答案】(1)见解析
(2)4
(3)4
【思路指引】
（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE ( http: / / www.21cnjy.com )的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM ( http: / / www.21cnjy.com )的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
(1)
解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
(2)
如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2， ( http: / / www.21cnjy.com )作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
(3)
如图③，作点P关于AD的对称点 ( http: / / www.21cnjy.com )F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【名师指路】
本题是四边形综合题，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ ，AP＝ ，PM＝
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；
（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．
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【标准答案】（1）t，40-2t，t；（2）时，四边形AQMP是菱形；（3）或时△PQM是直角三角形
【思路指引】
（1）根据题意求出求出BP=2t，AQ=t，然后利用含30度角的直角三角形的性质求出AB=2AC=40，由此求出AP=AB-BP=40-2t，；
（2）先证明四边形AQMP是平行四边形，然后根据菱形的判定：当AP=AQ时，四边形AQMP是菱形，，解方程即可；
（3）分三种情况进行讨论：当∠MPQ=90°，当∠MQP=90°时，当∠PMQ=90°时，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解详析】
解：（1）由题意可得：BP=2t，AQ=t
∵∠C＝90°，∠A＝60°
∴∠B=30°，
∴，
∴，
∵PM⊥AC，
∴∠PMB=90°，
∴，
故答案为：t，40-2t，t；
（2）存在，理由如下：
由（1）知，
∵PM⊥BC，AC⊥BC
∴PM∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形，
∴当AP=AQ时，四边形AQMP是菱形，
∴，
解得，
∴当时，四边形AQMP是菱形；
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（3）当△PQM为直角三角形时有三种情况：
①当∠MPQ=90°，此时四边形CMPQ是矩形，
∴∠PQA=∠PQC=90°，
∴∠APQ=30°，
∴AP=2AQ，
∴，
解得；
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②当∠MQP=90°时，由（2）知MQ∥AP，
∴∠APQ=∠PQM=90°，
∴∠PQA=30°，
∴AQ=2AP，
∴，
解得；
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③当∠PMQ=90°时此种情况不存在，
∴综上所述，或时△PQM是直角三角形．
【名师指路】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，菱形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重 ( http: / / www.21cnjy.com )合） ，如图2，线段BD、CF的数量关系为________， 线段BD、CF所在直线的位置关系为_____________；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立 并说明理由;
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB＝____°时，CF⊥BC （点C、F不重合） ．
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【标准答案】（1）①BD=CF；BD⊥CF；②成立，理由见解析；（2）45°．
【思路指引】
（1）①证明△DAB≌△FAC ( http: / / www.21cnjy.com )，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD与CF相等且垂直；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD；
（2）当∠ACB=45°时，过点A作 ( http: / / www.21cnjy.com )AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．
【详解详析】
解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BD⊥CF，
故答案为：BD=CF；BD⊥CF；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．
即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，
则∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°-∠ACB，
∴∠AGC=90°-45°=45°，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG，
∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGC=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．
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【名师指路】
本题考查三角形全等的判定和直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．21*cnjy*com
6．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
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(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．
【标准答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【思路指引】
（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，证明∠BAF＝∠ADG，然后由AAS证△AFB≌△DGA即可；
（2）如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，先证△ABH≌△DAE（ASA），得AH＝DE，再证△DJH≌△DKE（AAS），得DJ＝DK，JH＝EK，则四边形DKFJ是正方形，得FK＝FJ＝DK＝DJ，则DF＝,FJ，进而得出结论；
（3）如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b，由（2）得△ABH≌△DAE（ASA），则AH＝DE，再由直角三角形斜边上的中线性质得PD＝PH＝PE，然后由等腰三角形的性质得DH＝2DK＝2b，DE＝2DT，则AH＝DE＝1﹣2b，证出PK＝QK，最后证点P在线段QR上运动，进而由等腰直角三角形的性质得QR＝DQ＝．
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∵DG⊥AE，BF⊥AE
∴∠AFB＝∠DGA＝90°
∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°
∴∠BAF＝∠ADG
在△AFB和△DGA中
∵
∴△AFB≌△DGA（AAS）．
(2)
证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J
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由题意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD
∵BF⊥AE
∴∠AFB＝90°
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°
∴∠DAE＝∠ABH
在△ABH和△DAE中
∵
∴△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵点E为CD的中点
∴DE＝EC＝ CD
∴AH＝DH
∴DE＝DH
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE
∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°
∴四边形DKFJ是矩形
∴∠JDK＝∠ADC＝90°
∴∠JDH＝∠KDE
在△DJH和△DKE中
∵
∴△DJH≌△DKE（AAS）
∴DJ＝DK，JH＝EK
∴四边形DKFJ是正方形
∴FK＝FJ＝DK＝DJ
∴DF＝FJ
∴
∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF．
(3)
解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b
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由（2）得△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点
∴PD＝EH＝PH＝PE
∵PK⊥DH，PT⊥DE
∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°
∴四边形PTDK是矩形
∴PT＝DK＝b，PK＝DT
∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE
∴PT是△DEH的中位线
∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT
∴AH＝DE＝1﹣2b
∴PK＝ DE＝﹣b，QK＝DQ﹣DK＝﹣b
∴PK＝QK
∵∠PKQ＝90°
∴△PKQ是等腰直角三角形
∴∠KQP＝45°
∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形
∴QR＝DQ＝
∴点P的运动轨迹的长为．
【名师指路】
本题考查了三角形全等，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．2·1·c·n·j·y
7．正方形ABCD边长为6，点E ( http: / / www.21cnjy.com )在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H．
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(1)如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE；
(2)在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y；
(3)如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长．
【标准答案】(1)见解析
(2)y=x2-3x+18（0＜x＜6）
(3)
【思路指引】
（1）如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．只要证明四边形CMGF是平行四边形，△ADE≌△DCM即可解决问题；
（2）根据S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB计算即可解决问题；
（3）如图3中，将△ADE ( http: / / www.21cnjy.com )绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，连接EN．由△NDE≌△NDM（SAS），推出EN=NM，由AB=6，BE=2AE，推出AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，根据EN2=EB2+BN2，构建方程求出x，再在Rt△DCN中，求出DN即可解决问题．
(1)
证明：如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．
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∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠ADC=90°，
∵CM∥FG，DE⊥FG，
∴四边形CMGF是平行四边形，CM⊥DE，
∴CM=FG，∠CKD=90°
∴∠CDE+∠DCM=90°，∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠DCM，
∴△ADE≌△DCM（ASA），
∴CM=DE，
∴DE=FG．
(2)
如图2中，
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∵AF=DE，AD=AB，∠DAE=∠B=90°，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AE=BF，
∵AB=BC，
∴BE=CF=x，
∴y=S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB
=×（x+6）×6-×6×x-×x（6-x）
=3x+18-3x+x2-3x
=x2-3x+18（0＜x＜6）．
(3)
如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，连接EN．
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则四边形DGFN是平行四边形，
∴∠EDN=∠GHD=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠NDC+∠ADE=∠NDC+∠CDM=45°，
∴∠NDE=∠NDM，
∵DN=DN，DE=DM，
∴△NDE≌△NDM（SAS），
∴EN=NM，
∵AB=6，BE=2AE，
∴AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，
在Rt△ENB中，∵EN2=EB2+BN2，
∴（x+2）2=（6-x）2+42，
∴x=3，
在Rt△DCN中，DN=，
∴FG=DN=．
【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．www-2-1-cnjy-com
8．已知矩形ABCD，AB=6，BC=10， ( http: / / www.21cnjy.com )以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD边上取一点E，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求线段EF长；
（2）在平面内找一点G，
①使得以A、B、F、G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；
②如图2，将图1翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m(m＞0)个单位，若以A、O、F、G为顶点的四边形为菱形，请求出m的值并写出点G的坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
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【标准答案】（1） ；（2）①点G的坐标为（﹣8，6）或（8，6）或（8，﹣6）；②或或．
【思路指引】
（1）由矩形的性质得AD＝BC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )OC＝10，CD＝AB＝OA＝6，∠AOC＝∠ECF＝90°，由折叠性质得EF＝DE，AF＝AD＝10，则CE＝6﹣EF，由勾股定理求出BF＝OF＝8，则FC＝OC﹣OF＝2，在Rt△ECF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；21教育名师原创作品
（2）①分三种情况，当AB为平行四边形的对角线时；当AF为平行四边形的对角线时；当BF为平行四边形的对角线时，分别求解点G的坐标即可；
②分三种情况讨论，当为对角线时，由菱形的性质得OA＝AF＝10，则矩形ABCD平移距离m＝OA﹣AB＝4，即OB＝4，设FG交x轴于H，证出四边形OBFH是矩形，得FH＝OB＝4，OH＝BF＝8，则HG＝6，如图，当为菱形的对角线时，当为菱形的对角线时，结合矩形与菱形的性质同理可得出答案．
【详解详析】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝OC＝10，CD＝AB＝OA＝6，∠AOC＝∠ECF＝90°，
由折叠性质得：EF＝DE，AF＝AD＝10，
∴CE＝CD﹣DE＝CD﹣EF＝6﹣EF，
由勾股定理得：BF＝OF，
∴FC＝OC﹣OF＝10﹣8＝2，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+FC2，
即：EF2＝（6﹣EF）2+22，
解得：EF＝；
（2）①如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
当AB为平行四边形的对角线时，AG＝BF＝8，，
∴点G的坐标为：（﹣8，6）；
当AF为平行四边形的对角线时，AG'＝BF＝8，，
∴点G'的坐标为：（8，6）；
当BF为平行四边形的对角线时，FG''＝AB＝6，，
∴点G''的坐标为：（8，﹣6）；
综上所述，点G的坐标为（﹣8，6）或（8，6）或（8，﹣6）；
②如图，当为菱形的对角线时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形AOGF为菱形，
∴OA＝AF＝10，
∴矩形ABCD平移距离m＝OA﹣AB＝10﹣6＝4，
即OB＝4，
设FG交x轴于H，如图所示：
∵，轴，
∴∠FBO＝∠BOH＝∠OHF＝90°，
∴四边形OBFH是矩形，
∴FH＝OB＝4，OH＝BF＝8，
∴HG＝10﹣4＝6，
∴点G的坐标为：（8，﹣6）．
如图，当为菱形的对角线时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则
如图，当为菱形的对角线时，
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可得： 且
解得：
所以即
综上：平移距离与的坐标分别为：或或．
【名师指路】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、菱形的判定与性质，坐标与图形性质、平行四边形的性质、勾股定理、折叠变换的性质、平移的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
9．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，已知A（m，0），B（0，n），且m、n满足．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)求A、B两点的坐标；
(2)如图2，若点C在第一象限，∠ACB=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC=BC，点D为边AB中点，以点D为顶点的直角∠EDF两边分别交边BC于E，交边AC于F，求四边形EDFC的面积；
(3)如图3，若点C在y轴的正半轴上，H是第一象限内的一点，且H点的横、纵坐标始终相等，点P（x，）为直线AB上一点，∠HCP=90°，HC=CP，当点P在x轴下方时，求出点P的坐标．
【标准答案】(1)A（2，0），B（0，4）
(2)
(3)P（4，）
【思路指引】
（1）将化简，然后根据绝对值及平方的非负性质求解即可得；
（2）过点D作，，根据平行线的判定和性质及垂线的性质可得，，，依据等边对等角得出，，由全等三角形的判定和性质可得，，根据等量代换及正方形的判定定理可得四边形DMCN为正方形，再一次利用全等三角形的判定和性质得出，，结合图形可得，由勾股定理及线段中点的性质可得，，，据此求解即可得出结果；
（3）过点H作轴，过点P作轴，根据各角之间的数量关系可得，依据全等三角形的判定和性质可得，，，由点，可得，，设，则，可得，，即可确定，根据题意可得，求解确定x的值，即可得出点P的坐标．
(1)
解：，
∴，
∵，，
∴，，
解得：，，
∴，；
(2)
解：如图所示：过点D作，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，，，
∵，，
∴，
∵D为AB中点，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形DMCN为矩形，
∵，
∴四边形DMCN为正方形，
∴，
即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
由（1）得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴四边形EDFC的面积为；
(3)
解：如图所示：过点H作轴，过点P作轴，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∵H点的横纵坐标相等，且，
∴，
解得：，
将代入可得，
∴点P的坐标为．
【名师指路】
题目主要考查绝对值和平方的非负性质，一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，结合图象，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．【出处：21教育名师】
10．如图1，在一个平面直角三角形中的两直 ( http: / / www.21cnjy.com )角边的平方之和一定等于斜边的平方。在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”。
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角 ( http: / / www.21cnjy.com )边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）3；（2）见解析；（2）73
【思路指引】
（1）由勾股定理得出AC==3；
（2）由勾股定理得出OD2+OA2 ( http: / / www.21cnjy.com )=AD2，OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，则AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2，即可得出结论；
（3）连接CG、AE，设AG交CE于I ( http: / / www.21cnjy.com )，AB交CE于J，由正方形的性质得出∠GBC=∠EBA=90°，AB=BE=5，BG=BC=4，证出∠ABG=∠EBC，由SAS证得△ABG≌△EBC得出∠BAG=∠BEC，则∠EBJ=∠AIJ=90°，得出AG⊥CE，由（2）可得AC2+GE2=CG2+AE2，由勾股定理得出CG2=BC2+BG2，即CG2=42+42=32，AE2=BE2+AB2，即AE2=52+52=50，AB2=AC2+BC2，即52=AC2+42，推出AC2=9，代入AC2+GE2=CG2+AE2 ，即可得出结果．
【详解详析】
解：（1）：∵在△ABC中，∠C=90°中，BC=4，AB=5，
∴AC==3，
故答案为：3；
（2）证明：在Rt△DOA中，∠DOA=90°，
∴OD2+OA2=AD2，
同理：OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2 ；
（3）解：连接CG、AE，设AG交CE于I，AB交CE于J，如图3所示：
∵四边形BCFG和四边形ABED都是正方形，
∴∠GBC=∠EBA=90°，AB=BE=5，BG=BC=4，
∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA，
∴∠ABG=∠EBC，
在△ABG和△EBC中，
，
∴△ABG≌△EBC（SAS），
∴∠BAG=∠BEC，
∵∠AJI=∠EJB，
∴∠EBJ=∠AIJ=90°，
∴AG⊥CE，
由（2）可得：AC2+GE2=CG2+AE2，
在Rt△CBG中，CG2=BC2+BG2，
即CG2=42+42=32，
在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2，
即AE2=52+52=50，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
即52=AC2+42，
∴AC2=9，
∵AC2+GE2=CG2+AE2 ，
即9+GE2=32+50，
∴GE2=73．
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【名师指路】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的知识；熟练掌握正方形的性质与勾股定理是解题的关键．www.21-cn-jy.com
11．问题背景：如图1，在四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；【来源：21·世纪·教育·网】
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中， ( http: / / www.21cnjy.com )舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：仍然成立，理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为320海里21·世纪*教育网
【思路指引】
问题背景：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，证明EF=FG，得到答案；
探索延伸：连接EF，延长AE，BF相交于点C，利用全等三角形的性质证明EF=AE+FB．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，首先证明，∠FOE=∠AOB，利用结论EF=AE+BF求解即可．
【详解详析】
解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE=DG，EF=GF，
∴EF=FG=DF+DG=BE+FD．
故答案为：EF=BE+FD．
探索延伸：EF=BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
又∵∠EAF=∠BAD，
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF，
=∠BAD﹣∠BAD=∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
又∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+FD．
实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在四边形AOBC中，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+FB成立．
即，EF=AE+FB=2×(70+90)=320(海里)
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．
【名师指路】
本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用．
12．小乾同学提出一种新图形 ( http: / / www.21cnjy.com )定义：一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形．如图1，四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB、CD称为腰，另两边AD、BC称为底．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)性质初探：小乾同学探索了等垂四边形的一些性质，请你补充完整：
①等垂四边形两个钝角的和为 °；
②若等垂四边形的两底平行，则它的最小内角为 °．
(2)拓展研究：
①小坤同学发现两底中点的连 ( http: / / www.21cnjy.com )线与腰长有特定的关系，如图2，M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点，试探索MN与AB的数量关系，小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180°，请按此方法求出MN与AB的数量关系，并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数．
②如图1，等垂四边形ABCD的腰为AB、CD，AB=CD=AD=3，则较长的底BC长的取值范围是 ．
(3)实践应用：如图3，直线l ( http: / / www.21cnjy.com )1，l2是两条相互垂直的公路，利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边CD做成一条隔离带，已知AB=250米，BC=240米，AD=320米，此隔离带最长为多少米？
【标准答案】(1)①270；②45；
(2)①，AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45°，理由见解析；②；
(3)650米
【思路指引】
（1）①延长CD与BA延长 ( http: / / www.21cnjy.com )线交于点P，则∠P=90°，可以得到∠B+∠C=90°，再由∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，即可得到∠BAD+∠ADC=270°；②延长CD交BA延长线于P，过点D作DE∥AB交BC于E，则∠DEC=∠B，由等垂四边形的两底平行，即AD∥BC，可证四边形ABED是平行四边形，得到DE=AB，再由AB=CD，AB⊥CD得到DE=CD，DE⊥CD，则∠DEC=∠C=45°，即四边形ABCD的最小内角为45°；
（2）①延长CD交BA延长线与P，交NM延长线与Q，NM延长线与BA延长线交于点F，将腰AB绕中点M旋转180°得到DE，连接CE，BE，由旋转的性质可得：MB=ME，AB=DE，∠ABM=∠DEM，则CD=AB=DE，AB∥DE，即可推出∠DEC=∠DCE，∠EDC=∠EDP=∠BPD=90°，由勾股定理得到，∠DEC=∠DCE=45°，再证MN是△BCE的中位线，得到，MN∥CE，则∠NQC=∠DCE=45°，由此即可推出直线AB与直线MN所在直线相交所成的锐角度数为45°；②延长CD交BA延长线于P，取AD，BC的中点，M、N连接PM，PN，同理可得∠APD=90°，则，，即，由（2）①可知，即可推出，再由∠PMN随着PA减小而减小，当点P与点A重合时，∠PMN最小，此时PN最小，即BC最小，即此时A、D、C三点共线由勾股定理得：，则；
（3）仿照（2）②进行求解即可．
(1)
解：①如图所示，延长CD与BA延长线交于点P，
∵四边形ABCD为等垂四边形，即AB=CD，AB⊥CD，
∴∠P=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，
∴∠BAD+∠ADC=270°，
故答案为：270；
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②如图所示，延长CD交BA延长线于P，过点D作DE∥AB交BC于E，
∴∠DEC=∠B，
∵等垂四边形的两底平行，即AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，
又∵AB=CD，AB⊥CD
∴DE=CD，DE⊥CD，
∴∠DEC=∠C=45°，
∴四边形ABCD的最小内角为45°，
故答案为：45；
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(2)
解：①，AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45°，理由如下：
延长CD交BA延长线与P，交NM延长线与Q，NM延长线与BA延长线交于点F，将腰AB绕中点M旋转180°得到DE，连接CE，BE，21世纪教育网版权所有
∵四边形ABCD是等垂四边形，
∴AB=CD，AB⊥CD，
∴∠BPC=90°，
∵M是AD的中点，
∴MA=MD，
由旋转的性质可得：MB=ME，AB=DE，∠ABM=∠DEM，
∴CD=AB=DE，AB∥DE，
∴∠DEC=∠DCE，∠EDC=∠EDP=∠BPD=90°，
∴，∠DEC=∠DCE=45°，
又∵M、N分别是BE，BC的中点，
∴MN是△BCE的中位线，
∴，MN∥CE，
∴∠NQC=∠DCE=45°，
∵∠BPC=90°，
∴∠QPF=90°，
∴∠QFP=45°，
∴直线AB与直线MN所在直线相交所成的锐角度数为45°；
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②如图所示，延长CD交BA延长线于P，取AD，BC的中点，M、N连接PM，PN，
同理可得∠APD=90°，
∴，，即，
由（2）①可知，
∵，
∴，
又∵∠PMN随着PA减小而减小，当点P与点A重合时，∠PMN最小，此时PN最小，即BC最小，即此时A、D、C三点共线
由勾股定理得：，
∴
故答案为：；
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(3)
解：如图所示，取AB，CD的中点M，N，连接MN，作点C关于M的对称点E，连接CE，AE，DE，设直线l1与直线l2交于点P，
由（2）可知，AE∥BC，AE=BC=240米，
∵l1⊥l2，
∴∠APB=∠PAE=90°，
∴∠DAE=90°，
∴米，
∵M、N分别是CE，CD的中点，
∴MN是△CED的中位线，
∴米，MN∥DE，
∵M为AB的中点，∠APB=90°，
∴米，
同理可得，即
∴米，
∴米，
∴隔离带最长为650米．
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【名师指路】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形三边的关系等等，解题的关键在于能够正确理解题意作出辅助线求解．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择 ( http: / / www.21cnjy.com )、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题06 特殊的平行四边形压轴题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、解答题
1．如图，将一张边长为8的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与y轴重合，OC与x轴重合，点P为正方形AB边上的一点(不与点A、点B重合)．将正方形纸片折叠，使点O落在P处，点C落在G处，PG交BC于H，折痕为EF．连接OP、OH．21cnjy.com
初步探究
（1）当AP=4时
①直接写出点E的坐标 ；
②求直线EF的函数表达式．
深入探究
（2）当点P在边AB上移动时，∠APO与∠OPH的度数总是相等，请说明理由．
拓展应用
（3）当点P在边AB上移动时，△PBH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
( http: / / www.21cnjy.com / )
2．问题发现
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边 ( http: / / www.21cnjy.com )向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试猜想CD与BE的数量关系是________；21·cn·jy·com
(2)问题探究：如图②，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AC＝AD，AB＝2BC＝6．求BD的长．
(3)问题解决：如图③，△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AC＝2，BC＝3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值．2·1·c·n·j·y
3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．21·世纪*教育网
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．www-2-1-cnjy-com
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ ，AP＝ ，PM＝
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；
（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．
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5．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．2-1-c-n-j-y
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重 ( http: / / www.21cnjy.com )合） ，如图2，线段BD、CF的数量关系为________， 线段BD、CF所在直线的位置关系为_____________；21*cnjy*com
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立 并说明理由;
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB＝____°时，CF⊥BC （点C、F不重合） ．
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6．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
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(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．【来源：21cnj*y.co*m】
7．正方形ABCD边长为6， ( http: / / www.21cnjy.com )点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H．【出处：21教育名师】
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(1)如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE；
(2)在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y；21教育网
(3)如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长．
8．已知矩形ABCD，AB=6，BC=10 ( http: / / www.21cnjy.com )，以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD边上取一点E，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求线段EF长；
（2）在平面内找一点G，
①使得以A、B、F、G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；
②如图2，将图1翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m(m＞0)个单位，若以A、O、F、G为顶点的四边形为菱形，请求出m的值并写出点G的坐标．【版权所有：21教育】
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9．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，已知A（m，0），B（0，n），且m、n满足．
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(1)求A、B两点的坐标；
(2)如图2，若点C在第一象限，∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，AC=BC，点D为边AB中点，以点D为顶点的直角∠EDF两边分别交边BC于E，交边AC于F，求四边形EDFC的面积；21教育名师原创作品
(3)如图3，若点C在y轴的正半轴上，H是第一象限内的一点，且H点的横、纵坐标始终相等，点P（x，）为直线AB上一点，∠HCP=90°，HC=CP，当点P在x轴下方时，求出点P的坐标．
10．如图1，在一个平面直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”。21*cnjy*com
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角 ( http: / / www.21cnjy.com )边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
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11．问题背景：如图1，在四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲 ( http: / / www.21cnjy.com )在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
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12．小乾同学提出一种新图形 ( http: / / www.21cnjy.com )定义：一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形．如图1，四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB、CD称为腰，另两边AD、BC称为底．www.21-cn-jy.com
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(1)性质初探：小乾同学探索了等垂四边形的一些性质，请你补充完整：
①等垂四边形两个钝角的和为 °；
②若等垂四边形的两底平行，则它的最小内角为 °．
(2)拓展研究：
①小坤同学发现两底中点的连线与腰长有特定的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系，如图2，M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点，试探索MN与AB的数量关系，小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180°，请按此方法求出MN与AB的数量关系，并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数．
②如图1，等垂四边形ABCD的腰为AB、CD，AB=CD=AD=3，则较长的底BC长的取值范围是 ．
(3)实践应用：如图3，直线l1， ( http: / / www.21cnjy.com )l2是两条相互垂直的公路，利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边CD做成一条隔离带，已知AB=250米，BC=240米，AD=320米，此隔离带最长为多少米？
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