中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题05 四边形中的线段最值问题专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·湖北武汉·八年级期中） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在矩形ABCD中，AB＝4，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△BEF沿EF折叠，点B落在B'的位置，连接B'D，则B'D的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意B'的运动轨迹是以E为 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心，以AE的长为半径的圆，当B'点落在DE上时，B'D取得最小值，然后再根据勾股定理求出DE，最后根据折叠的性质可得BE'=BE=2，进一步即可求出答案．
【详解详析】
解：如图，B'的运动轨迹是以E为圆心，以AE的长为半径的圆，当B'点落在DE上时，B'D取得最小值，
根据折叠的性质可得，△EBF≌△EB'F，
∵EB'⊥B'F，
∴EB'=EB，
∵E是AB边的中点，AB=4，
∴AE=EB'=2，
∵AD=6，
∴
∴.DB'=2﹣2．
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定B'D的值最小时点B'在何位置是解答本题的关键．21·世纪*教育网
2．（2021·河南扶沟·八年级期中）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则BF+EF的最小值为（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．6 C．7 D．8
【标准答案】A
【思路指引】
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时BF+EF最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案．2-1-c-n-j-y
【详解详析】
解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴BF+EF=DE，此时BF+EF最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点E在AB上且BE=1，
∴AE=3，
∴DE=＝5，
即BF+EF的最小值为5，
故选：A．
【名师指路】
此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角 ( http: / / www.21cnjy.com )都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时BF+EF有最小值，这是解题的关键．
3．（2021·河南建安·八年级期中）如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
连接MD、BM，根据菱形的性质可得MN+MB=MN+MD，则有连接DN，要使MN+MD最小，则点M应为DN与AC的交点，又有，可得△ABD是等边三角形，即可求出DN．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：连接MD、BM，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在菱形中，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，则MD=MB，
∴MN+MB=MN+MD，
连接DN，要使MN+MD最小，则点M应为DN与AC的交点，
即MN+MB最小值为DN的长，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AD=AB=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AN=BN=1，DN⊥AB，
在Rt△ADN中，
．
故选：B．
【名师指路】
本题主要考查了菱形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，等边三角形的判定和性质，勾股定理和最值，能够得到MN+MB=MN+MD，即MN+MB最小值为DN的长是解本题的关键．21·cn·jy·com
4．（2021·山东·曹县教学研究室八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则的最小值为（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
连接EC，PC，由AP＋PE＝PC＋PE≥EC得EC就是AP＋PE的最小值，求出EC即可．
【详解详析】
解：如图，连接EC，PC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AP＋PE＝PC＋PE≥EC，
∴EC就是AP＋PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，
∴CD＝4cm，ED＝2cm，
∴CE＝，
∴AP＋PE的最小值是2cm．
故选：B．
【名师指路】
本题考查正方形的性质、最短路径问题，解决此题的关键是将AP＋PE转化为PC＋PE．
5．（2021·河南濮阳·八年级期中）如图，在矩形中，，，在上，，是线段上的动点，将沿所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．4 C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长 ( http: / / www.21cnjy.com )为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B’E＝BE＝1，DE B’E即为所求．
【详解详析】
解：如图，B’的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当B’点落在DE上时，B’D取得最小值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据折叠的性质，△EBF≌△EB’ F，
∴EB’⊥B’F，
∴EB’＝EB，
∵
∴EB’＝1，
∵，，
∴AE=3-1=2，
∴DE＝，
∴DB’＝-1．
故选D．
【名师指路】
本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B’在何位置时，B’D的值最小，是解决问题的关键．21世纪教育网版权所有
6．（2021·安徽怀宁·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝，EG＝，在Rt△AEG中，求出AE＝，则△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，即为所求．
【详解详析】
解：∵菱形ABCD，
∴点A与点C关于BD对称，
连接AE交BD于点P，连接PC，
则PE＋PC＝PA＋PC＝AE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，
∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，
∴BE＝1，AB＝2，
过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠EBG＝60°，
∴BG＝，EG＝，
在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，
∴AE＝，
∴△PCE的周长＝AE＋CE＝＋1，
∴△PCE的周长的最小值为＋1，
故选：B．
【名师指路】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE的长是解题的关键．
7．（2021·全国·八年级课时练习）如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B． C． D．10
【标准答案】D
【思路指引】
要使DN+MN最小，首先应分 ( http: / / www.21cnjy.com )析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．由此可知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【详解详析】
解：如图，连接，，，设交于点，
四边形正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴点与点是关于直线对称，
，
，
点为上的动点，
∴当B、M、N三点不共线时，BN+MN＞BM，
当点运动到点时，，
∴的最小值为的长度，
四边形为正方形，
，，
又∵，
∴，
，
的最小值是10．
故选：D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，能够根据轴对称的性质以及三角形的三边关系找到点N与点P重合时取最小值是解决本题的关键．www.21-cn-jy.com
8．（2021·上海民办华二宝山实验学校八年级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．2
【标准答案】B
【思路指引】
先由S△PBC＝S矩形ABCD．得出动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形BCE中，由勾股定理求得CE的值，即PB＋PC的最小值．
【详解详析】
解：设△PBC中BC边上的高是h．
∵S△PBC＝S矩形ABCD．
∴BC h＝AB AD，
∴h＝AB＝1，
∴动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，
如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△BCE中，∵BC＝3，BE＝BA＝2，
∴CE＝，
即PB＋PC的最小值为．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了轴对称 最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交于点，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．6 C．7 D．8
【标准答案】C
【思路指引】
连接AQ，过点D作，根据垂直平分线的性质得到，再根据计算即可；
【详解详析】
连接AQ，过点D作，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵，面积为21，
∴，
∴，
∵MN垂直平分AB，
∴，
∴，
∴当AQ的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小，
∵，
∴，
∴的值最小值为7；
故选C．
【名师指路】
本题主要考查了四边形综合，垂直平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．
10．（2022·全国·八年级）如图，在，，，，点P为斜边上一动点，过点P作于点，于点，连结，则线段的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【标准答案】D
【思路指引】
连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．
【详解详析】
解：连接PC，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴PC的最小值为：
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
二、填空题
11．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）如图，在矩形中，，，动点满足，则周长的最小值为______．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】6+2
【思路指引】
先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则AB+BE就是周长的最小值．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，进而即可求解．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵，
∴AB h＝AB AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则AB+BE就是周长的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2＋2＝4，
∴BE＝，即PA＋PB的最小值为2．
∴周长的最小值=6+2．
故答案为：6+2．
【名师指路】
本题考查了轴对称 最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
12．（2021·天津市双菱中学八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=6，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是___．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于长，利用勾股定理进行计算，即可得到的长，进而得出的最小值．
【详解详析】
解：如图所示，作点关于的对称点，连接，将沿着的方向平移长的距离，得到，连接，
则四边形是平行四边形，
，，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于长，
连接，交于，
由轴对称的性质，可得垂直平分，
又矩形中，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
又，
，
中，，
的最小值是，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质以及最短路线 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）如图，菱形的边长等于4，，为中点，为对角线上任意一点，则的最小值为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
连接AE，交BD于点P’，连接CP’，过点A作AM⊥CB交CB的延长线于点M，可得的最小值=AE，由∠BAM=30°，得AM=，进而即可求解．
【详解详析】
解：连接AE，交BD于点P’，连接CP’，过点A作AM⊥CB交CB的延长线于点M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵在菱形中，点A、C关于BD对称，
∴的最小值=CP’+EP’=AP’+EP’=AE，
∵，AD∥BC，
∴∠ABM=，
∴∠BAM=30°，
∴BM==2，AM=，
∵为中点，
∴BE=2，
∴ME=2+2=4，
∴AE=，即：的最小值=．
【名师指路】
本题主要考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称—最短路线，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
14．（2021·河南安阳·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E为对角线DB的中点，P为线段AD上一动点，则EPB的周长最小值为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，先说明B、F关于直线AD对称，将EP＋PB转化为EP＋PF≥EF，由E、G分别为DB、AB的中点，再结合中位线定理得EG＝AD＝BC＝1，EG⊥AB，从而有EF，EB＝，故△EPB的周长最小值为．
【详解详析】
解：延长BA至F，使得AF＝AB，连接EF，取AB中点G，连EG，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AF＝AB，∠DAB＝90°，
∴AD垂直平分BF，即B、F关于直线AD对称，
∴PB＝PF，
∴EP＋PB＝EP＋PF≥EF，
∵E、G分别为DB、AB的中点，
∴EG∥AD，EG＝AD＝BC＝1，FG＝AF＋AG＝4＋2＝6，
∴EG⊥AB，
∴EF＝，
EB＝，
∴△EPB的周长最小值为．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质、 ( http: / / www.21cnjy.com )最短距离问题、勾股定理、中位线定理，延长BA至F，使得AF＝AB，构造B、F关于直线AD对称，将EP＋PB转化为EP＋PF≥EF是解决本题的关键．
15．（2021·广东·深圳市福田 ( http: / / www.21cnjy.com )区莲花中学八年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；
【详解详析】
解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵B（0，4），A（﹣1，0），
∴OB＝4，OA＝1，
∴OE＝3，AB＝，
作点A关于直线x＝1的对称点A'，
∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，
在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝，
∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝+1+5＝+6．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
16．（2021·四川泸县·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若，，则GH的最小值为___________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =AF，求出AF的最小值即可解决问题．
【详解详析】
( http: / / www.21cnjy.com / )
连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
AB= BC= 2
∵ G， H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
GH =AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°，
∵∠B= 45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=AB=×2=，
∴GH =
即GH的最小值为
故答案为：
【名师指路】
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【来源：21·世纪·教育·网】
17．（2021·重庆实验外国语学校八年级期中）已知，在菱形中，，对角线将菱形分成2个三角形，点、将对角线三等分，，点在菱形的边上（含顶点），则能够满足的点的个数有___________个．
【标准答案】8
【思路指引】
先作点E关于AD的对称点E'，连接EF交AD ( http: / / www.21cnjy.com )与点P，求出PE+PF的最小值，再求出P与A重合及P与D重合时 PE+PF的值判断AD边上符合条件的P的个数，再根据对称性求解．
【详解详析】
解：①当点菱形的边上时，
在菱形中，，则和为等边三角形，
∵点、将对角线三等分，则，
作点关于的对称点，则、、共线，
连接交于点，则此时最小，
则最小值，
过点作，交的延长线于点，
在中，，，
则，
，
在中，，
则，
②当在点时，，
故在菱形的每条边上符合距离和等于11的点是两个，
那么四条边上一共8个．
故答案为：8．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】本题考查菱形与最值问题．熟练掌握求四边形中的最值问题为解题关键．
18．（2021·四川省 ( http: / / www.21cnjy.com )成都市石室联合中学八年级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
要使四边形APQE的周长 ( http: / / www.21cnjy.com )最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，即四边形APQE的周长最小．21教育网
【详解详析】
在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关 ( http: / / www.21cnjy.com )于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．则四边形APQF是平行四边形
∴PA=FQ=GQ
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵E为CD边的中点
∴DE=EC=2
∴
∵GH=DF=6，EH=EC+CH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴，
∴四边形APQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP
=+EQ+2+AP
=+EQ+2+QG
=+EG+2
=．
故答案为．
【名师指路】
本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．
三、解答题
19．（2021·广东惠州·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【思路指引】
（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
（2）矩形的性质和勾股定理求解．
（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小，由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝，即可得到答案．
【详解详析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OC＝OD，
∵△COD关于CD的对称图形为△CED，
∴OD＝ED，EC＝OC，
∴OD＝ED＝EC＝OC，
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2．
∵四边形OCED是正方形，
∴∠COD＝90°．
在直角△COD中，由勾股定理得：
OC +OD ＝2 ，
∵OD＝OC，
∴OC＝；
（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：
此时PE+PQ的值最小为；理由如下：
∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，
∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，
∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，
∵AC＝BD＝3，
∴OC＝OD＝，
∴∠DCO＝∠ACD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠OCQ＝60°，
∴∠COQ＝30°，
∴CQ＝，
即PE+PQ的最小值为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【名师指路】
本题主要考查了翻折变换的性质，矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理以及垂线最短等知识，熟练掌握翻折的性质和菱形的性质与判定是解题的关键.21教育名师原创作品
20．（2021·广西大化·八年级期中）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
【标准答案】（1）见解析；（2）
【思路指引】
（1）根据矩形的性质即可得到OC=OD，再根据翻折，即可得到四边相等，即可求证菱形；
（2）作于，交于，证明OP=PE，所以转化为OP+PQ，当时，即OQ最短，即可解决．
【详解详析】
解：（1）证明：四边形是矩形
与相等且互相平分
关于的对称图形为
，
四边形是菱形
（2）解：作于，交于，则如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
沿所在直线折叠，得到
，
在中，
即的最小值为．
【名师指路】
本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和最短路径问题，熟练菱形的判定方法以及最短路径的方法是解决本题的关键．
21．（2021·山东青州· ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期末）如图①，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM．
（1）AM+PM的最小值等于 ；
（2）求证：△BNM是等边三角形；
（3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）；（2）见解析；（3），
【思路指引】
（1）如图①中，连接PC．利用勾股定理求出PC，再证明AM=MC，推出AM+PM=PM+CM≥PC，由此可得结论．
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．
（3）首先说明E，N，M，C共线时，AM+B ( http: / / www.21cnjy.com )M+CM的值最小，此时点M在EC与BD的交点处，求出直线EC，BD的解析式，构建方程组可得结论．
【详解详析】
解：（1）如图①中，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
四边形是正方形，
，，，
是的中点，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
（2）证明：由旋转的性质可知，
，
是等边三角形．
（3）解：如图②中，过点作轴于，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
由旋转的性质可知，，
是等边三角形，
，
，
，
，，，共线时，的值最小，此时点在与的交点处，
，，
，
，，
，，
，，
设直线解析式为，则有，
解得，
，
同法可得直线的解析式为，
由，解得，
，．
【名师指路】
本题属于四边形综合题，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的应用，最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．【出处：21教育名师】
22．（2021·湖北·武汉市武珞路中学八年级期中）将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为（0，a），点E的坐标为（b，0），并且实数a，b使式子成立，
（1）直接写出点D、E的坐标；
（2）∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，
①如图①，求证AE=EF；
②如图②，连接AF交DC于点G，作GM∥AD交AE于点M，作EN∥AB交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积；
（3）如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP=CQ，请直接写出的最小值_____________________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）（6，6），（3，0）；（2）①见解析；②；（3）
【思路指引】
（1）由算术平方根的意义可得出a=6，b=3，则可得出答案；
（2）①取OA的中点K，连接KE ( http: / / www.21cnjy.com )，证明△AKE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出AE=EF；②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，证明△AOE≌△ADH（SAS），由全等三角形的性质得出∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，证明△AEG≌△AHG（SAS），得出EN=EG，同理可得GM=GE，设DG=x，则CG=6-x，由勾股定理得出32+（6-x）2=（x+3）2，解得x=2，则可求出答案；
（3）在外角平分线上取点E， ( http: / / www.21cnjy.com )使CF=AO，证明△APB≌△CQF（SAS），得出PB=QF，当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，过点F作FR⊥x轴于点R，由勾股定理求出OF2，则可得出答案．
【详解详析】
解：∵实数a，b使式子成立，
∴，
∴a=6，b=3，
∴OA=6，
∵在正方形ABCD中，
∴D（6，6），E（3，0）；
故答案为：（6，6），（3，0）；
（2）①取OA的中点K，连接KE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEO=∠AEO+∠OAE=90°，
∴∠FEC=∠OAE，
∵OE=EC=3，K为OA的中点，OA=OC，
∴AK=EC，OK=OE，
∴∠OKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∴∠AKE=∠ECF，
在△AKE和△ECF中，
，
∴△AKE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵四边形AOCD是正方形，
∴AO=AD，∠AOE=∠ADH=90°，
∴△AOE≌△ADH（SAS），
∴∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，
由①知AE=EF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
∴∠OAE+∠DAG=∠DAH+∠DAG=∠GAH=45°，
∴∠GAH=∠GAE，
∴△AEG≌△AHG（SAS），
∴EG=GH=DG+OE，∠AGE=∠AGH，∠AEG=∠AHD，
∴∠AEO=∠AEG，
∵EN∥CD，
∴∠AGH=∠GNE=∠AGE，
∴EN=EG，
同理可得GM=GE，
∴GM=EN，
又∵GM⊥EN，
设DG=x，则CG=6-x，
∴OE=CE=3，
∴EG=x+3，
在Rt△ECG中，32+（6-x）2=（x+3）2，
解得x=2，
∴EG=EN=GM=5，
∴S四边形MNGE=GM EN＝，
（3）在外角平分线上取点F，使CF=AO，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠OAP=∠QCF=45°，
∵AP=CQ，
∴△APB≌△CQF（SAS），
∴PB=QF，
∴BP+BQ=BQ+QF，
∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵∠DCF=∠RCF=45°，
∴△CFR为等腰直角三角形，
∵AO=CF=6，
∴CR=FR=，
∴OR=，
在Rt△ORF中，，
的最小值为，
故答案为：．
【名师指路】
本题是四边形综合题，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选 ( http: / / www.21cnjy.com )择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
专题05 四边形中的线段最值问题专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·湖北武汉·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△BEF沿EF折叠，点B落在B'的位置，连接B'D，则B'D的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4
2．（2021·河南扶沟·八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则BF+EF的最小值为（ ）21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2021·河南建安·八年级期中）如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4．（2021·山东·曹县教学研究室八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则的最小值为（ ）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
5．（2021·河南濮阳·八年级期中）如图，在矩形中，，，在上，，是线段上的动点，将沿所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．4 C． D．
6．（2021·安徽怀宁·八年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
7．（2021·全国·八年级课时练习）如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（ ）．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．8 B． C． D．10
8．（2021·上海民办华二宝山实验学校八年级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD，则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．2
9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交于点，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2022·全国·八年级）如图，在，，，，点P为斜边上一动点，过点P作于点，于点，连结，则线段的最小值为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
二、填空题
11．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期中）如图，在矩形中，，，动点满足，则周长的最小值为______．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
12．（2021·天津市双菱中学 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=6，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是___．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）如图，菱形的边长等于4，，为中点，为对角线上任意一点，则的最小值为______．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
14．（2021·河南安阳·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E为对角线DB的中点，P为线段AD上一动点，则EPB的周长最小值为______．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．（2021·广东·深圳市福田区莲花中学 ( http: / / www.21cnjy.com )八年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
16．（2021·四川泸县·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若，，则GH的最小值为___________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
17．（2021·重庆实验外国语学校八年级期中）已知，在菱形中，，对角线将菱形分成2个三角形，点、将对角线三等分，，点在菱形的边上（含顶点），则能够满足的点的个数有___________个．21教育名师原创作品
18．（2021·四川省成都市石室联合中学八 ( http: / / www.21cnjy.com )年级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
19．（2021·广东惠州·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．21教育网
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；
（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
20．（2021·广西大化·八年级期中）如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？
21．（2021·山东青州·八年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图①，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM．【出处：21教育名师】
（1）AM+PM的最小值等于 ；
（2）求证：△BNM是等边三角形；
（3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
22．（2021·湖北·武汉市武珞路中学八年级期中）将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为（0，a），点E的坐标为（b，0），并且实数a，b使式子成立，
（1）直接写出点D、E的坐标；
（2）∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，
①如图①，求证AE=EF；
②如图②，连接AF交DC于点G，作GM∥AD交AE于点M，作EN∥AB交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积；21*cnjy*com
（3）如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP=CQ，请直接写出的最小值_____________________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
