初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理：勾股定理 同步训练
一、基础夯实
1．（2019八下·大连月考）如图，正方形A，B，C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为（ ）
A．4 B．15 C．16 D．18
2．（2019八下·温州期末）如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°，AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为（ ）
A．(2 +2)m B．(4 +2)m C．(5 +2)m D．7m
3．（2019八下·赵县期末）下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13②13、1415③3k、4k、5k(k为正整数)④ 、2、
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4．（2019八下·天台期末）下列三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A．6, 7, 8 B．2, 3, 4 C．3, 4, 6 D．6，8, 10
5．（2019八下·封开期末）在△ABC中，∠C=90°，若b=7;c=9，则a= ，
6．（2019八下·大连月考）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=1米，BC=5米，已知两棵树的水平距离为3米，请计算出这棵树原来的高度（结果保留根号）
二、提高特训
7．（2019八下·天台期中）如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，那么AC= .
8．（2019八下·赵县期末）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
9．（2019八下·大连月考）如图，有一个长方体的盒子，它的长、宽、高分别是4m，3m和12m，则盒内可放的木棒最长为 m.
10．（2019八下·陆川期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是
A． B．
C． D．
11．（2019八下·河池期中）已知一个直角三角形的两边的长分别是4和5，则第三边长为 .
12．（2019八下·融安期中）如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为
.
三、中考演练
13．（2019·宿迁）如图， ，若 的顶点 在射线 上，且 ，点 在射线 上运动，当 是锐角三角形时， 的取值范围是 .
14．（2019·南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.
15．（2019·黔东南）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是 .
16．（2019·通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为 ．
17．（2019·伊春）如图，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一动点，且 ，则 的最小值为 ．
18．（2019·临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧 ( 、 、 共线)处同时施工．测得 ， ， ，求 的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵正方形A、B的边长分别为3和5，
∴正方形C的边长为= ，
所以正方形C的面积为42=16。
故答案为：C。
【分析】首先根据勾股定理算出正方形C的边长，再根据正方形的面积等于边长的平方即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2， 4BD2+BD2=100， BD=2，则AD=2BD=4，
AE=AD+DE=4+2 .
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求。
3．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】
①5、12、13 ，满足52+122=132
②13、14、15，不满足a2+b2=c2
③3k、4k、5k(k为正整数)，满足（3k）2+（4k）2=（5k）2
④ 、2、 ， 不满足a2+b2=c2
综上，共有两组勾股数。
故答案为：B.
【分析】根据勾股数的定义，可判断勾股数。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】 解：A、最大边82=64<62+72=85, 为锐角三角形，A不符合题意；
B、最大边42=16>32+22=13, 为钝角三角形，B不符合题意；
C、最大边62=36>32+42=25, 为钝角三角形，C不符合题意；
C、最大边102=100=62+82=100, 为直角三角形，D不符合题意；
故答案为：D
【分析】先找出最大边，然后根据勾股定理分析判断，最大边的平方小于另外两边的平方和是锐角三角形，等于另外两边的平方和是直角三角形，大于另外两边的平方和是钝角三角形。
5．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理得，a=。
【分析】在直角三角形中，根据勾股定理计算出a的值即可。
6．【答案】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，
由题意知BC=5，CD=3，
根据勾股定理得：BD=4，
∵AB=1，
∴AD=5，
AC= ，
∴这棵数原来的高度=1+ ，
答：这棵树原来的高度为（1+ ）米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 如图作CD⊥AB交AB延长线于D， 在Rt△BDC中利用勾股定理算出BD的长，再在Rt△ACD中根据勾股定理算出AC的长，从而利用AC+AB即可算出树甲的高度。
7．【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵在Rt△BEC中，∠C=90°，BE=13，BC=5，
∴由勾股定理得到：EC= .
∵DE=7，
∴DC=EC-DE=12-7=5.
∴在Rt△ADC中，∠C=90°，AD=13，CD=5，
∴由勾股定理得到：AC= .
【分析】在Rt△BEC中，利用勾股定理算出EC的长，根据线段的和差由DC=EC-DE算出DC的长，在Rt△ADC中，根据勾股定理算出AC的长。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
h最大时为筷子与杯底垂直时，h=12cm
最小时为筷子与杯底和杯高形成直角三角形时，AB=
h=24-13=11cm，
∴11cm≤h≤12cm.
故答案为：C.
【分析】根据题意，找到h最小、最大值的情况，利用勾股定理解答。
9．【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
长和宽组成的长方形的对角线B’D’= cm
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形.
棍子最长为BD= cm。
故答案为：13。
【分析】这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形，根据勾股定理即可算出答案。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】A、 ，整理得a2+b2=c2；
B、 ，整理得a2+b2=c2；
C、 ，整理得a2+b2=c2；
D、 .
故答案为：D
【分析】先把每个图形的面积都用两种方法表示，列出等量关系式，再把等量关系式整理后与勾股定理作比较即可.
11．【答案】3或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设第三边为长为 .
①当斜边长为 时，
，
， （舍）.
②当 和 为直角边长时，
.
∵
∴ .
综合①②，x= 或5.故答案为： 或5.
【分析】由题意分两种情况：①斜边长为 ；② 和 为直角边长；根据勾股定理即可求出第三边长 .
12．【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD
∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°
在Rt△ABC中
AC=
在Rt△ACD中
AD=
在Rt△ADE中
AE=
故答案为：2
【分析】利用垂直的定义可知△ABC，△ADC，△ADE都是直角三角形，再利用勾股定理分别求出AC，AD，从而可求出AE的长。
13．【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点 作 ，
垂足为 ， ，交 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，由勾股定理得： ，
在 中， ， ，
∴ .
∴ ，由勾股定理得： ，
当 是锐角三角形时，点 在 上移动，此时 .
故答案为： .
【分析】如图，过点 作 ，垂足为 ， ，交 于点 ，在 中，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出 ，进而由勾股定理算出BC1的长；同理得出BC2的长，当 是锐角三角形时，点 在 上移动，从而即可得出BC的取值范围。
14．【答案】5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为： ＝15，
则木筷露在杯子外面的部分至少有：20 15＝5（cm）.
故答案为：5.
【分析】当木筷的一部分，杯子的高，杯子底面的直径三线围成一个直角三角形的时候，木筷放到杯子内的部分是最长的，根据勾股定理算出这个长度，即可算出木筷露在杯子外面的部分的长度。
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，
BC=10×tan60°=10，
∵AB∥CF，
∴BM=BC×sin30°=10×=5，
CM=BC×cos30°=15，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∠EDF=45°，
∴MD=BM=5，
∴CD=CM-MD=15-5，
故答案为：15-5
【分析】过点作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而得出答案。
16．【答案】6或 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①如图1
当 ， ，
则 ，
∴底边长为6；
②如图2．
当 ， 时，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时底边长为 ；
③如图3：
当 ， 时，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时底边长为 ．
故答案为：6或 或 ．
【分析】等腰三角形，根据高的情况，决定底边。利用勾股定理，分析判断即可求出底边长。
17．【答案】
【知识点】两点间的距离；勾股定理
【解析】【解答】 为矩形，
又
点 到 的距离与到 的距离相等，即点 线段 垂直平分线 上，
连接 ，交 与点 ，此时 的值最小，
且
故答案为：
【分析】根据两点之间直线最短，利用勾股定理，可进行计算。
18．【答案】解：作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长是
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】做出辅助线，利用勾股定理，可求得BD的长度。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理：勾股定理 同步训练
一、基础夯实
1．（2019八下·大连月考）如图，正方形A，B，C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为（ ）
A．4 B．15 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵正方形A、B的边长分别为3和5，
∴正方形C的边长为= ，
所以正方形C的面积为42=16。
故答案为：C。
【分析】首先根据勾股定理算出正方形C的边长，再根据正方形的面积等于边长的平方即可得出答案。
2．（2019八下·温州期末）如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°，AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为（ ）
A．(2 +2)m B．(4 +2)m C．(5 +2)m D．7m
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2， 4BD2+BD2=100， BD=2，则AD=2BD=4，
AE=AD+DE=4+2 .
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求。
3．（2019八下·赵县期末）下列几组数中，是勾股数的有（ ）
①5、12、13②13、1415③3k、4k、5k(k为正整数)④ 、2、
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】
①5、12、13 ，满足52+122=132
②13、14、15，不满足a2+b2=c2
③3k、4k、5k(k为正整数)，满足（3k）2+（4k）2=（5k）2
④ 、2、 ， 不满足a2+b2=c2
综上，共有两组勾股数。
故答案为：B.
【分析】根据勾股数的定义，可判断勾股数。
4．（2019八下·天台期末）下列三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A．6, 7, 8 B．2, 3, 4 C．3, 4, 6 D．6，8, 10
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】 解：A、最大边82=64<62+72=85, 为锐角三角形，A不符合题意；
B、最大边42=16>32+22=13, 为钝角三角形，B不符合题意；
C、最大边62=36>32+42=25, 为钝角三角形，C不符合题意；
C、最大边102=100=62+82=100, 为直角三角形，D不符合题意；
故答案为：D
【分析】先找出最大边，然后根据勾股定理分析判断，最大边的平方小于另外两边的平方和是锐角三角形，等于另外两边的平方和是直角三角形，大于另外两边的平方和是钝角三角形。
5．（2019八下·封开期末）在△ABC中，∠C=90°，若b=7;c=9，则a= ，
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理得，a=。
【分析】在直角三角形中，根据勾股定理计算出a的值即可。
6．（2019八下·大连月考）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=1米，BC=5米，已知两棵树的水平距离为3米，请计算出这棵树原来的高度（结果保留根号）
【答案】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，
由题意知BC=5，CD=3，
根据勾股定理得：BD=4，
∵AB=1，
∴AD=5，
AC= ，
∴这棵数原来的高度=1+ ，
答：这棵树原来的高度为（1+ ）米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 如图作CD⊥AB交AB延长线于D， 在Rt△BDC中利用勾股定理算出BD的长，再在Rt△ACD中根据勾股定理算出AC的长，从而利用AC+AB即可算出树甲的高度。
二、提高特训
7．（2019八下·天台期中）如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，那么AC= .
【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵在Rt△BEC中，∠C=90°，BE=13，BC=5，
∴由勾股定理得到：EC= .
∵DE=7，
∴DC=EC-DE=12-7=5.
∴在Rt△ADC中，∠C=90°，AD=13，CD=5，
∴由勾股定理得到：AC= .
【分析】在Rt△BEC中，利用勾股定理算出EC的长，根据线段的和差由DC=EC-DE算出DC的长，在Rt△ADC中，根据勾股定理算出AC的长。
8．（2019八下·赵县期末）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
h最大时为筷子与杯底垂直时，h=12cm
最小时为筷子与杯底和杯高形成直角三角形时，AB=
h=24-13=11cm，
∴11cm≤h≤12cm.
故答案为：C.
【分析】根据题意，找到h最小、最大值的情况，利用勾股定理解答。
9．（2019八下·大连月考）如图，有一个长方体的盒子，它的长、宽、高分别是4m，3m和12m，则盒内可放的木棒最长为 m.
【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
长和宽组成的长方形的对角线B’D’= cm
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形.
棍子最长为BD= cm。
故答案为：13。
【分析】这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形，根据勾股定理即可算出答案。
10．（2019八下·陆川期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】A、 ，整理得a2+b2=c2；
B、 ，整理得a2+b2=c2；
C、 ，整理得a2+b2=c2；
D、 .
故答案为：D
【分析】先把每个图形的面积都用两种方法表示，列出等量关系式，再把等量关系式整理后与勾股定理作比较即可.
11．（2019八下·河池期中）已知一个直角三角形的两边的长分别是4和5，则第三边长为 .
【答案】3或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设第三边为长为 .
①当斜边长为 时，
，
， （舍）.
②当 和 为直角边长时，
.
∵
∴ .
综合①②，x= 或5.故答案为： 或5.
【分析】由题意分两种情况：①斜边长为 ；② 和 为直角边长；根据勾股定理即可求出第三边长 .
12．（2019八下·融安期中）如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为
.
【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD
∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°
在Rt△ABC中
AC=
在Rt△ACD中
AD=
在Rt△ADE中
AE=
故答案为：2
【分析】利用垂直的定义可知△ABC，△ADC，△ADE都是直角三角形，再利用勾股定理分别求出AC，AD，从而可求出AE的长。
三、中考演练
13．（2019·宿迁）如图， ，若 的顶点 在射线 上，且 ，点 在射线 上运动，当 是锐角三角形时， 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点 作 ，
垂足为 ， ，交 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，由勾股定理得： ，
在 中， ， ，
∴ .
∴ ，由勾股定理得： ，
当 是锐角三角形时，点 在 上移动，此时 .
故答案为： .
【分析】如图，过点 作 ，垂足为 ， ，交 于点 ，在 中，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出 ，进而由勾股定理算出BC1的长；同理得出BC2的长，当 是锐角三角形时，点 在 上移动，从而即可得出BC的取值范围。
14．（2019·南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.
【答案】5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为： ＝15，
则木筷露在杯子外面的部分至少有：20 15＝5（cm）.
故答案为：5.
【分析】当木筷的一部分，杯子的高，杯子底面的直径三线围成一个直角三角形的时候，木筷放到杯子内的部分是最长的，根据勾股定理算出这个长度，即可算出木筷露在杯子外面的部分的长度。
15．（2019·黔东南）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，
BC=10×tan60°=10，
∵AB∥CF，
∴BM=BC×sin30°=10×=5，
CM=BC×cos30°=15，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∠EDF=45°，
∴MD=BM=5，
∴CD=CM-MD=15-5，
故答案为：15-5
【分析】过点作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而得出答案。
16．（2019·通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为 ．
【答案】6或 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①如图1
当 ， ，
则 ，
∴底边长为6；
②如图2．
当 ， 时，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时底边长为 ；
③如图3：
当 ， 时，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时底边长为 ．
故答案为：6或 或 ．
【分析】等腰三角形，根据高的情况，决定底边。利用勾股定理，分析判断即可求出底边长。
17．（2019·伊春）如图，矩形 中， ， ，点 是矩形 内一动点，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两点间的距离；勾股定理
【解析】【解答】 为矩形，
又
点 到 的距离与到 的距离相等，即点 线段 垂直平分线 上，
连接 ，交 与点 ，此时 的值最小，
且
故答案为：
【分析】根据两点之间直线最短，利用勾股定理，可进行计算。
18．（2019·临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧 ( 、 、 共线)处同时施工．测得 ， ， ，求 的长．
【答案】解：作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长是
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】做出辅助线，利用勾股定理，可求得BD的长度。
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