初中数学浙教版九年级上册第二章 简单事件的概率 单元检测（提高篇）
一、单选题
1．（2019九上·丽江期末）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．两枚骰子朝上一面的点数和为6
B．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2
C．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数
D．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数
2．（2019九上·乌鲁木齐期末）根据你对下列诗词的理解，请你从概率统计的角度判断：所给诗词描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．锄禾日当午，汗滴禾下土 B．白日依山尽，黄河入海流
C．离离原上草，一岁一枯荣 D．春眠不觉晓，处处闻啼鸟
3．（人教版数学九年级上册25.1.1随机事件课时练习）某校九年级一班共有学生50人，现在对他们的生日（可以不同年）进行统计，则正确的说法是（ ）
A．至少有两名学生生日相同
B．不可能有两名学生生日相同
C．可能有两名学生生日相同，但可能性不大
D．可能有两名学生生日相同，且可能性很大
4．（2020·绵阳模拟）如图所示，电路图上有A，B，C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光．现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·莲湖期中）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V数”.若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”得概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·邵阳模拟）“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法不正确的是（ ）
A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70
C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次
D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
7．（2020·渠县模拟）某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
“正面向上”的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的；②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；③在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
8．（2019·苏州模拟）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（新人教版数学九年级上册第25章 25.2用列举法求概率同步训练）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（ ）.
A． B． C． D．
10．（2018九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
二、填空题
11．（2019·台州模拟）写一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数 ，当 时，y随x的增大而增大”成为随机事件，这个实数m的值 .
12．（2018九上·天台月考）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
13．（2020·通州模拟）为了了解学生每月的零用钱情况，从甲、乙、丙三个学校各随机抽取200名学生，调查了他们的零用钱情况（单位：元）具体情况如下：
学校频数零用钱 100≤x＜200 200≤x＜300 300≤x＜400 400≤x＜500 500以上 合计
甲 5 35 150 8 2 200
乙 16 54 68 52 10 200
丙 0 10 40 70 80 200
在调查过程中，从 （填“甲”，“乙”或“丙”）校随机抽取学生，抽到的学生“零用钱不低于300元”的可能性最大．
14．（2019·北京模拟）某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表所示：
柑橘总重量n/千克 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘重量m/千克 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
根据表中数据，估计柑橘损坏的概率为 （结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为 元．
15．（2020·杭州模拟）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 ，则密码的位数至少需要 位。
16．（新人教版数学九年级上册第25章 25.2用列举法求概率同步训练）将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ．
三、解答题
17．（2020·金华模拟）有三张正面分别写有数字1，3，4的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，把方程组 的解记为平面直角坐标系中点A的坐标(x，y)，求点A在第四象限的概率。
18．（2020九下·江阴期中）如图，在3 3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点.
（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以所取点及B、C为顶点画三角形，那么所画三角形是等腰三角形的概率是 .
（2）从A、D、E、F四点中任意取两点，以所取两点及B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）
19．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第2章 简单事件的概率 单元检测a卷）一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“車”字朝上的频数 14 18 38 47 52 78 88
相应的频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.56
（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分．
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？
（3）在（2）的基础上，进一步估计：将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为多少？
20．（2020·莲湖模拟）小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上.
（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为4的倍数的概率是 ；
（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加.若为偶数，则小红获胜；若为奇数，则小丁获胜.请用画树状图或列表法的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.
21．（2019·孝感）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字-2，-1，0，1，它们除了数字不一样外，其它完全相同.
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 .
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 的纵坐标，如图，已知四边形 的四个顶点的坐标分别为 ， ， ， ，请用画树状图或列表法，求点 落在四边形 所围成的部分内（含边界）的概率.
22．（2019·萧山模拟）阅读对话，解答问题.
（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；
（2）小冬抽出（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b＝0根为有理数的是小丽赢，方程的根为无理数的是小兵赢，你觉得游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏方案.
23．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第六章 概率初步 达标检测卷）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 .
（1）假设平均每天通过该路口的汽车为5000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
（2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】A、两枚骰子朝上一面的点数和为6为不确定事件，如1+2=3，2+4=6，故不符合题意；
B、每枚骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，最小为1，两枚骰子朝上一面的点数和最小为1+1=2，故B不符合题意，是必然事件，符合题意；
C、D两枚骰子朝上一面的点数均为偶数、均为奇数为不确定事件，如1，2，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】（1）两个点数和为6是一个随机事件；
（2）由题意两个点数的和最少等于1+1=2，所以是必然事件；
（3）两个点数均为偶数是一个随机事件；
（4）两个点数均为奇数是一个随机事件。
2．【答案】D
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】选项A，锄禾日当午，汗滴禾下土是必然事件；选项B，白日依山尽，黄河入海流是必然事件；选项C，离离原上草，一岁一枯荣是必然事件；选项D，春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件.
故答案为：D．
【分析】必然事件是指一定会发生或者一定不会发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不会发生的事件。根据定义即可判断求解。
3．【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】A、因为一年有365天而一个班只有50人，所以至少有两名学生生日相同是随机事件．错误；B、是随机事件．错误；C、因为 ＜50%，所以可能性不大．正确；D、由C可知，可能性不大，错误．故选C．
【分析】依据可能性的大小的概念对各选项进行逐一分析即可．
4．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，
∴任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，而小灯泡发光的只有选择闭合C，
∴小灯泡发光的概率等于： ．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，而小灯泡发光的只有选择闭合C，然后利用概率公式求解即可求得答案．
5．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图得：
∵可以组成的数有：321，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425，
其中是“V数”的有：423，523，324，524，325，425六个，
∴从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是： 。
故答案为：C。
【分析】利用树状图列举出共有12等可能结果，求出能与2组成“V数”的有6种，利用概率公式计算即可.
6．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项符合题意；
由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项符合题意；
C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故C选项符合题意；
D、随机事件，结果不确定，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘20次，一定有6次获得文具盒．
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①通过上述实验的结果，因为正面向上的概率小于0.5可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的，符合题意，
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动，符合题意；
③在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确，不符合题意；
正确的有①②，
故答案为：B．
【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否符合题意，从而可以解答本题．
8．【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵空白部分的小正方形共有7个，
其中在第三行中取任意一个均能够成这个正方体的表面展开图，第三行共有4个空格，
∴任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是：.
故答案为：A.
【分析】 随机事件概率大小的求法，要找准两点：①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
9．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】
可以找到4个恰好能使△ABC的面积为1的点，则概率为：4÷16= ．故选：C．
【分析】此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点．
按照题意分别找出点C所在的位置：当点C与点A在同一条直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有2个；当点C与点B在同一条直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个，再根据概率公式求出概率即可．
10．【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D： 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写6，才能必胜，
故答案为：D.
【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。
11．【答案】m＞1的实数
【知识点】事件的分类；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】实数m的值m＞1,使得事件对于二次函数
,当x>2时,y随x的増大
而增大”成为随机事件
故答案为:m＞1
【分析】由于该抛物线的对称轴为x=5m-3，要使"当x>2时,y随x的増大而增大”成为随机事件，可得5m-3＞2，可得m＞1，据此可得m的值只要比1大即可（答案不唯一）.
12．【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性为：
B线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性为：
C线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性为：
∴B线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大
故答案为：B
【分析】分别求出A、B、C线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性，再比较大小，即可得出答案。
13．【答案】丙
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：甲校中“零用钱不低于300元”的人数占总人数的比例为 ＝ ；
乙校中“零用钱不低于300元”的人数占总人数的比例为 ＝ ，
丙校中“零用钱不低于300元”的人数占总人数的比例为 ＝ ，
由 ＞ ＞ 知抽到丙校的“零用钱不低于300元”可能性最大．
故答案为：丙．
【分析】先计算出三个班中“零用钱不低于300元”的人数占总人数的比例，比较大小即可得．
14．【答案】0.1；10
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数为0.1；
根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克．
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有9000x＝9×10000，
解得x＝10．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为10元，
故答案为：0.1，10．
【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘损坏率大约是0.1；根据概率，计算出完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克，设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价＝进价+利润”列方程解答．
15．【答案】3
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵取一位数时一次拨对密码的概率为；
取两位数时一次拨对密码的概率为；
取三位数时一次拨对密码的概率为；
∴ 使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要3位.
故答案为：3.
【分析】分别求出取一位数时一次拨对密码的概率；取两位数时一次拨对密码的概率；取三位数时一次拨对密码的概率，即可求解。
16．【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，
共有5种情况，分别是1，2，5；1，3，4；2，3，3；4，2，2；1，1，6；
因为1，2，5两边之和小于第三边，
所以错误；
因为1，3，4两边之和等于第三边，
所以错误
因为2，3，3两边之和大于于第三边，
所以正确；
因为4，2，2两边之和等于第三边，
所以错误；
因为1，1，6两边之和小于第三边，
所以错误；
所以其中能构成三角形的是：2，3，3一种情况，
所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ；
故答案为：
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
先求出将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，共有几种情况，再找出其中能构成三角形的情况，最后根据概率公式计算即可．
17．【答案】解：当a=1时，方程组的解为
此时点A的坐标为(4，-1)，在第四象限
当a=3时，方程组的解为
此时点A的坐标为(0，1)，不在第四象限.
当a=4时，方程组的解为
此时点4的坐标为(1， )，不在第四象限
又∵抽到的卡片上的数字有1，3，4三种情况，且都是等可能的，
∴点A在第四象限的概率为
【知识点】概率公式
【解析】【分析】分别把a=1，3，4代入方程组中，解出x、y的值，求出点A在第四象限的情况数，再根据概率公式，除以总情况数（3种）即可.
18．【答案】（1）
（2）解：用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
∵共有12种等可能情况，其中满足要求的有4种
∴所画的四边形是平行四边形的概率P＝
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以所取点及B、C为顶点可以画4个三角形，那么所画三角形是等腰三角形的有1个，故所画三角形是等腰三角形的概率是：
故答案为：
【分析】（1）找出从A、D、E、F四点中任意取一点组成等腰三角形的个数，再根据概率公式即可得出结论；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所画四边形是平行四边形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.
19．【答案】（1）解：所填数字为：120×0.55=66，88÷160=0.55；
折线图：
（2）解：如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，估计这个机会约是0.55．
（3）解：根据（2）的结果估计连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为0.5．
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据频数等于实验次数乘以频率，及频率等于频数除以实验次数即可算出表中空白数字；根据实验次数及频率的数值，在坐标系中描出格点，再顺次连接即可补全折线统计图；
（2）用频率估计概率，如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，估计这个机会约是0.55；
（3）将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，第一次可能车字朝上，也可能朝下，第二次也是可能车字朝上，也可能朝下，出现的所有等可能结果是（上，下）（上，上）（下，上）（下，下）共四种，其中刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的共有2种，根据概率公式即可算出刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性。
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意，画树状图如下：
结果相加依次为
由此可知，两人抽取的牌面上的数字相加共有12种等可能的结果，其中是偶数的结果为6种，是奇数的结果为6种
则小红获胜的概率为 ，小丁获胜的概率为
因为 ，即小红和小丁获胜的概率相等
所以这个游戏规则对双方公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】解：（1）小红从4张牌中抽取一张有4种等可能的结果，其中数字为4的倍数的牌只有一种，即牌的数字为8
则所求的概率为
故答案为： ；
【分析】（1）数字为4的倍数的牌只有8，利用简单事件的概率公式计算即可得；
（2）先画出树状图，再分别求出小红获胜和小丁获胜的概率，由此即可得出答案.
21．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
0 1
0
1
由表知，共有16种等可能结果，其中点 落在四边形 所围成的部分内(含边界)的有：
、 、 、 、 、 、 、 这8个，
所以点 落在四边形 所围成的部分内(含边界)的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】(1)在 ， ，0，1中正数有1个，
∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ，
故答案为： ；
【分析】（1）一共4个数，这四个数中是正数的只有1个，利用概率公式就可求出摸出的球上面标的数字是正数的概率。
（2）由题意可知此事件是抽取放回，列表可得所有等可能的结果数，再求出点M落在四边形ABCD所围成的部分（含边界）的情况数，然后利用概率公式进行计算可求出此事件的概率。
22．【答案】（1）解：（a，b）对应的表格为：
a b 1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
4 （4，1） （4，2） （4，3）
（2）解：游戏不公平，
∵符合有理数根的有2种，而符合无理数根的只有1种；
∴P（小丽赢）＝ ，P（小兵赢）＝ ，
∴P（小丽赢）≠P（小兵赢），
∴不公平.
设计方案：小冬抽出（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b＝0根为等根的是小丽赢，方程的根为无理数的是小兵赢.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）利用列表法列举出共有12种等可能结果；
（2）分别求出小丽赢、小兵赢的概率，进行比较即可；修改方案只要使小丽赢和小兵赢的概率相等即可（答案不唯一）；
23．【答案】（1）解：汽车在此左转的车辆数为5000× ＝1500(辆)，(2分)在此右转的车辆数为5000× ＝2000(辆)，(4分)在此直行的车辆数为5000× ＝1500(辆)．
（2）解：根据频率估计概率的知识，得P(汽车向左转)＝ ，P(汽车向右转)＝ ，P(汽车直行)＝ .(9分)∴可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)，右转绿灯亮的时间为90× ＝36(秒)，直行绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）分别用5000乘以汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
（2）由汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，据此可分别求出调整绿灯亮的时间，分别用90乘以 汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册第二章 简单事件的概率 单元检测（提高篇）
一、单选题
1．（2019九上·丽江期末）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．两枚骰子朝上一面的点数和为6
B．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2
C．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数
D．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数
【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】A、两枚骰子朝上一面的点数和为6为不确定事件，如1+2=3，2+4=6，故不符合题意；
B、每枚骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，最小为1，两枚骰子朝上一面的点数和最小为1+1=2，故B不符合题意，是必然事件，符合题意；
C、D两枚骰子朝上一面的点数均为偶数、均为奇数为不确定事件，如1，2，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】（1）两个点数和为6是一个随机事件；
（2）由题意两个点数的和最少等于1+1=2，所以是必然事件；
（3）两个点数均为偶数是一个随机事件；
（4）两个点数均为奇数是一个随机事件。
2．（2019九上·乌鲁木齐期末）根据你对下列诗词的理解，请你从概率统计的角度判断：所给诗词描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．锄禾日当午，汗滴禾下土 B．白日依山尽，黄河入海流
C．离离原上草，一岁一枯荣 D．春眠不觉晓，处处闻啼鸟
【答案】D
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】选项A，锄禾日当午，汗滴禾下土是必然事件；选项B，白日依山尽，黄河入海流是必然事件；选项C，离离原上草，一岁一枯荣是必然事件；选项D，春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件.
故答案为：D．
【分析】必然事件是指一定会发生或者一定不会发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不会发生的事件。根据定义即可判断求解。
3．（人教版数学九年级上册25.1.1随机事件课时练习）某校九年级一班共有学生50人，现在对他们的生日（可以不同年）进行统计，则正确的说法是（ ）
A．至少有两名学生生日相同
B．不可能有两名学生生日相同
C．可能有两名学生生日相同，但可能性不大
D．可能有两名学生生日相同，且可能性很大
【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】A、因为一年有365天而一个班只有50人，所以至少有两名学生生日相同是随机事件．错误；B、是随机事件．错误；C、因为 ＜50%，所以可能性不大．正确；D、由C可知，可能性不大，错误．故选C．
【分析】依据可能性的大小的概念对各选项进行逐一分析即可．
4．（2020·绵阳模拟）如图所示，电路图上有A，B，C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光．现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，
∴任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，而小灯泡发光的只有选择闭合C，
∴小灯泡发光的概率等于： ．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，而小灯泡发光的只有选择闭合C，然后利用概率公式求解即可求得答案．
5．（2019九上·莲湖期中）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V数”.若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”得概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图得：
∵可以组成的数有：321，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425，
其中是“V数”的有：423，523，324，524，325，425六个，
∴从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是： 。
故答案为：C。
【分析】利用树状图列举出共有12等可能结果，求出能与2组成“V数”的有6种，利用概率公式计算即可.
6．（2019·邵阳模拟）“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法不正确的是（ ）
A．当n很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是0.70
C．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次
D．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项符合题意；
由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项符合题意；
C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故C选项符合题意；
D、随机事件，结果不确定，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘20次，一定有6次获得文具盒．
7．（2020·渠县模拟）某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
“正面向上”的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的；②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；③在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①通过上述实验的结果，因为正面向上的概率小于0.5可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的，符合题意，
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动，符合题意；
③在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确，不符合题意；
正确的有①②，
故答案为：B．
【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否符合题意，从而可以解答本题．
8．（2019·苏州模拟）如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵空白部分的小正方形共有7个，
其中在第三行中取任意一个均能够成这个正方体的表面展开图，第三行共有4个空格，
∴任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是：.
故答案为：A.
【分析】 随机事件概率大小的求法，要找准两点：①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
9．（新人教版数学九年级上册第25章 25.2用列举法求概率同步训练）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】
可以找到4个恰好能使△ABC的面积为1的点，则概率为：4÷16= ．故选：C．
【分析】此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点．
按照题意分别找出点C所在的位置：当点C与点A在同一条直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有2个；当点C与点B在同一条直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个，再根据概率公式求出概率即可．
10．（2018九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D： 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写6，才能必胜，
故答案为：D.
【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。
二、填空题
11．（2019·台州模拟）写一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数 ，当 时，y随x的增大而增大”成为随机事件，这个实数m的值 .
【答案】m＞1的实数
【知识点】事件的分类；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】实数m的值m＞1,使得事件对于二次函数
,当x>2时,y随x的増大
而增大”成为随机事件
故答案为:m＞1
【分析】由于该抛物线的对称轴为x=5m-3，要使"当x>2时,y随x的増大而增大”成为随机事件，可得5m-3＞2，可得m＞1，据此可得m的值只要比1大即可（答案不唯一）.
12．（2018九上·天台月考）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
早高峰期间，乘坐 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性为：
B线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性为：
C线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性为：
∴B线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大
故答案为：B
【分析】分别求出A、B、C线路公交车从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性，再比较大小，即可得出答案。
13．（2020·通州模拟）为了了解学生每月的零用钱情况，从甲、乙、丙三个学校各随机抽取200名学生，调查了他们的零用钱情况（单位：元）具体情况如下：
学校频数零用钱 100≤x＜200 200≤x＜300 300≤x＜400 400≤x＜500 500以上 合计
甲 5 35 150 8 2 200
乙 16 54 68 52 10 200
丙 0 10 40 70 80 200
在调查过程中，从 （填“甲”，“乙”或“丙”）校随机抽取学生，抽到的学生“零用钱不低于300元”的可能性最大．
【答案】丙
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：甲校中“零用钱不低于300元”的人数占总人数的比例为 ＝ ；
乙校中“零用钱不低于300元”的人数占总人数的比例为 ＝ ，
丙校中“零用钱不低于300元”的人数占总人数的比例为 ＝ ，
由 ＞ ＞ 知抽到丙校的“零用钱不低于300元”可能性最大．
故答案为：丙．
【分析】先计算出三个班中“零用钱不低于300元”的人数占总人数的比例，比较大小即可得．
14．（2019·北京模拟）某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表所示：
柑橘总重量n/千克 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘重量m/千克 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
根据表中数据，估计柑橘损坏的概率为 （结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为 元．
【答案】0.1；10
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数为0.1；
根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克．
设每千克柑橘的销售价为x元，则应有9000x＝9×10000，
解得x＝10．
所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为10元，
故答案为：0.1，10．
【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘损坏率大约是0.1；根据概率，计算出完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克，设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价＝进价+利润”列方程解答．
15．（2020·杭州模拟）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 ，则密码的位数至少需要 位。
【答案】3
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵取一位数时一次拨对密码的概率为；
取两位数时一次拨对密码的概率为；
取三位数时一次拨对密码的概率为；
∴ 使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要3位.
故答案为：3.
【分析】分别求出取一位数时一次拨对密码的概率；取两位数时一次拨对密码的概率；取三位数时一次拨对密码的概率，即可求解。
16．（新人教版数学九年级上册第25章 25.2用列举法求概率同步训练）将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，
共有5种情况，分别是1，2，5；1，3，4；2，3，3；4，2，2；1，1，6；
因为1，2，5两边之和小于第三边，
所以错误；
因为1，3，4两边之和等于第三边，
所以错误
因为2，3，3两边之和大于于第三边，
所以正确；
因为4，2，2两边之和等于第三边，
所以错误；
因为1，1，6两边之和小于第三边，
所以错误；
所以其中能构成三角形的是：2，3，3一种情况，
所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ；
故答案为：
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
先求出将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，共有几种情况，再找出其中能构成三角形的情况，最后根据概率公式计算即可．
三、解答题
17．（2020·金华模拟）有三张正面分别写有数字1，3，4的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，把方程组 的解记为平面直角坐标系中点A的坐标(x，y)，求点A在第四象限的概率。
【答案】解：当a=1时，方程组的解为
此时点A的坐标为(4，-1)，在第四象限
当a=3时，方程组的解为
此时点A的坐标为(0，1)，不在第四象限.
当a=4时，方程组的解为
此时点4的坐标为(1， )，不在第四象限
又∵抽到的卡片上的数字有1，3，4三种情况，且都是等可能的，
∴点A在第四象限的概率为
【知识点】概率公式
【解析】【分析】分别把a=1，3，4代入方程组中，解出x、y的值，求出点A在第四象限的情况数，再根据概率公式，除以总情况数（3种）即可.
18．（2020九下·江阴期中）如图，在3 3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点.
（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以所取点及B、C为顶点画三角形，那么所画三角形是等腰三角形的概率是 .
（2）从A、D、E、F四点中任意取两点，以所取两点及B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方式写出分析过程）
【答案】（1）
（2）解：用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：
∵共有12种等可能情况，其中满足要求的有4种
∴所画的四边形是平行四边形的概率P＝
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以所取点及B、C为顶点可以画4个三角形，那么所画三角形是等腰三角形的有1个，故所画三角形是等腰三角形的概率是：
故答案为：
【分析】（1）找出从A、D、E、F四点中任意取一点组成等腰三角形的个数，再根据概率公式即可得出结论；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所画四边形是平行四边形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.
19．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册第2章 简单事件的概率 单元检测a卷）一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
实验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“車”字朝上的频数 14 18 38 47 52 78 88
相应的频率 0.7 0.45 0.63 0.59 0.52 0.55 0.56
（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分．
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？
（3）在（2）的基础上，进一步估计：将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为多少？
【答案】（1）解：所填数字为：120×0.55=66，88÷160=0.55；
折线图：
（2）解：如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，估计这个机会约是0.55．
（3）解：根据（2）的结果估计连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为0.5．
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据频数等于实验次数乘以频率，及频率等于频数除以实验次数即可算出表中空白数字；根据实验次数及频率的数值，在坐标系中描出格点，再顺次连接即可补全折线统计图；
（2）用频率估计概率，如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，估计这个机会约是0.55；
（3）将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，第一次可能车字朝上，也可能朝下，第二次也是可能车字朝上，也可能朝下，出现的所有等可能结果是（上，下）（上，上）（下，上）（下，下）共四种，其中刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的共有2种，根据概率公式即可算出刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性。
20．（2020·莲湖模拟）小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上.
（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为4的倍数的概率是 ；
（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加.若为偶数，则小红获胜；若为奇数，则小丁获胜.请用画树状图或列表法的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.
【答案】（1）
（2）解：根据题意，画树状图如下：
结果相加依次为
由此可知，两人抽取的牌面上的数字相加共有12种等可能的结果，其中是偶数的结果为6种，是奇数的结果为6种
则小红获胜的概率为 ，小丁获胜的概率为
因为 ，即小红和小丁获胜的概率相等
所以这个游戏规则对双方公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】解：（1）小红从4张牌中抽取一张有4种等可能的结果，其中数字为4的倍数的牌只有一种，即牌的数字为8
则所求的概率为
故答案为： ；
【分析】（1）数字为4的倍数的牌只有8，利用简单事件的概率公式计算即可得；
（2）先画出树状图，再分别求出小红获胜和小丁获胜的概率，由此即可得出答案.
21．（2019·孝感）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字-2，-1，0，1，它们除了数字不一样外，其它完全相同.
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 .
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 的纵坐标，如图，已知四边形 的四个顶点的坐标分别为 ， ， ， ，请用画树状图或列表法，求点 落在四边形 所围成的部分内（含边界）的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
0 1
0
1
由表知，共有16种等可能结果，其中点 落在四边形 所围成的部分内(含边界)的有：
、 、 、 、 、 、 、 这8个，
所以点 落在四边形 所围成的部分内(含边界)的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】(1)在 ， ，0，1中正数有1个，
∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ，
故答案为： ；
【分析】（1）一共4个数，这四个数中是正数的只有1个，利用概率公式就可求出摸出的球上面标的数字是正数的概率。
（2）由题意可知此事件是抽取放回，列表可得所有等可能的结果数，再求出点M落在四边形ABCD所围成的部分（含边界）的情况数，然后利用概率公式进行计算可求出此事件的概率。
22．（2019·萧山模拟）阅读对话，解答问题.
（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；
（2）小冬抽出（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b＝0根为有理数的是小丽赢，方程的根为无理数的是小兵赢，你觉得游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏方案.
【答案】（1）解：（a，b）对应的表格为：
a b 1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
4 （4，1） （4，2） （4，3）
（2）解：游戏不公平，
∵符合有理数根的有2种，而符合无理数根的只有1种；
∴P（小丽赢）＝ ，P（小兵赢）＝ ，
∴P（小丽赢）≠P（小兵赢），
∴不公平.
设计方案：小冬抽出（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b＝0根为等根的是小丽赢，方程的根为无理数的是小兵赢.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）利用列表法列举出共有12种等可能结果；
（2）分别求出小丽赢、小兵赢的概率，进行比较即可；修改方案只要使小丽赢和小兵赢的概率相等即可（答案不唯一）；
23．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第六章 概率初步 达标检测卷）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 .
（1）假设平均每天通过该路口的汽车为5000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
（2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
【答案】（1）解：汽车在此左转的车辆数为5000× ＝1500(辆)，(2分)在此右转的车辆数为5000× ＝2000(辆)，(4分)在此直行的车辆数为5000× ＝1500(辆)．
（2）解：根据频率估计概率的知识，得P(汽车向左转)＝ ，P(汽车向右转)＝ ，P(汽车直行)＝ .(9分)∴可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)，右转绿灯亮的时间为90× ＝36(秒)，直行绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）分别用5000乘以汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
（2）由汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，据此可分别求出调整绿灯亮的时间，分别用90乘以 汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
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