初中数学浙教版九年级下册第三章 投影与三视图 章末检测（提高训练）
一、单选题
1．（2020七上·台儿庄期中）如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这是一个中间部分掏空的长方体，根据俯视图是从物体上面所看到的图形，
故答案为：C
【分析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据物体的特点作答；
2．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.2 简单几何体的三视图 同步练习）几何体在平面P的正投影，取决于（ ）
①几何体形状；②投影面与几何体的位置关系；③投影面P的大小
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：∵几何体在平面的正投影与几何体的形状、投影面与几何体的位置有关，与投影面的大小无关，
∴只有①②符合题意
故答案为；A
【分析】根据几何体在平面的正投影与几何体的形状、投影面与几何体的位置有关，与投影面的大小无关，即可得出答案。
3．（2020·晋中模拟）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为（ ）
A．3.0m B．4.0m C．5.0m D．6.0m
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【解答】解：根据同一时刻物高与影长成正比例可得，如图，
∴ ＝ ．
∴AD＝3．
∴AB＝AD+DB＝3+1＝4．
故答案为：B．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
4．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册5.1 投影课时作业（1）同步练习）如图，某剧院舞台上的照明灯P射出的光线成“锥体”，其“锥体”面图的“锥角”是60°.已知舞台ABCD是边长为6 m的正方形，要使灯光能照射到整个舞台，则灯P的悬挂高度是（ ）
A． m B．3 m C．3 m D．4 m
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠APC=60°，
∴∠PAC=∠PCA=60°，
∵ABCD是边长为6m的正方形，
∴AC=6 ，OC=3
∴PC＝6 ，
∴PO=3 ，
故答案为：C
【分析】连接AC，根据圆锥体的性质及∠APC=60°，可以判断出三角形PAC是一个等边三角形，根据正方形的性质利用勾股定理算出AC的长，进而得出OC的长，根据圆锥的高，母线，底面圆的半径刚好围成一个直角三角形，利用勾股定理即可算出PO的长。
5．（2020·吉林模拟）如图，大正方体上面正中间放置小正方体，小正方体6个表面写了数字1到6，且所相对面两个数字之和都是7，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意可知，3的对面为4
∴左视图为D
故答案为：D.
【分析】根据题意，计算得到3的对面的数字，根据左视图的含义，求出答案即可。
6．（2020九下·桦南期中）如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的俯视图，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】由俯视图中的数字可得：主视图有3列，从左到右分别是1，3，2个正方形．
故答案为：C．
【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右分别是1，3，2个正方形．
7．（2020七上·呼和浩特期末）有一种正方体如图所示，下列图形是该方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】A.折叠后，三条对角线交于一点，不能构成三角形；
B. 折叠后，侧面俩条对角线无交点，不能构成三角形；
C.折叠后，可以形成三角形；
D，折叠后，底面和侧面的俩条对角线无交点，不能构成三角形.
故答案为：C.
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.
8．（2016·安陆模拟）《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3 寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π=3），则圆柱底周长约为（注：圆柱体的体积=底面积×高）（ ）
A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺
【答案】B
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：由题意得：2000×1.62=s（10+3+ × ）， 解得s= =243，
因为s=πr2，
所以，r=9，
所以，周长=2πr=2×3×9=54（尺），
54尺=5丈4尺，
故选B．
【分析】首先根据圆柱的体积公式：v=sh，求得圆柱的底面积s，然后根据面积s=πr，求得半径，进而即可求得周长．
9．（2020·旌阳模拟）已知圆锥的高为 ，母线为 ，且 ，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿 折叠，使A点恰好落在 上的F点，则弧长 与圆锥的底面周长的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】连接AF，如图，
设OB=5a，AB=18a，∠BAC=n°
∴ ，
解得n=100
即∠BAC=100°
∵将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在 上F点，
∴BA=BF
而AB=AF
∴△ABF为等边三角形
∴∠BAF=60°
∴∠FAC=40°
∴ 的长度=
∴弧长CF与圆锥的底面周长的比值=
故答案为：B
【分析】连接AF，如图，设OB=5a，AB=18a，∠BAC=n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到 ，解得n得到∠BAC=100°，再根据折叠的性质得到BA=BF，则可判断△ABF为等边三角形，于是可计算出∠FAC=40°，然后根据弧长公式计算弧长CF与圆锥的底面周长的比值．
10．（2020·龙湾模拟）如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm，宽留出1cm，则该六棱柱的侧面积是（ ）
A．(108- )cm2 B．(108- )cm2
C．(54- )cm2 D．(54- )cm2
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，
挪动前长为（2h+2a）cm，宽为（4a+a）cm，
挪动后长为（h+2a+a）cm，宽为4acm，
由题意得：(2h+2a)-(h+2a+a)=5， （4a+a）-4a=1，
解得：a=2，h=9-2，
∴六棱柱的侧面积=6×ah=6×2×（9-2）=（108-24）cm2 .
故答案为：A.
【分析】设正六棱柱的地面边长为acm，高为hcm，分别求出挪动前后长方形的长与宽，根据挪动前后的展开图放入矩形内的位置关系列两个关系式，两式联立求出a、h，再由六棱柱的侧面积是6ah计算即可.
二、填空题
11．（2019九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），则点A′的坐标为 ．
【答案】（5，6）
【知识点】点的坐标；中心投影
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），
∴位似比为1：2，故点A′的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【分析】本道题考察的是位似图形的位似比。因为三角形A'B'C'是由三角形ABC以点O为位似中心放大的图，且位似比是1：2，根据点A的坐标进行扩大处理就可以了。
12．（2018·凉州）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为 ．
【答案】
【知识点】几何体的表面积；简单几何体的三视图
【解析】【分析】三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称。从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状。利用知识：主府长对正，主左高平齐，府左宽相等，得该几何体底面正六边形，AB=4，正六边形被分成6个全等的等边三角形，边长AC=2
该几何体的表面积为2 +6 =48+12
【分析】观察图形，根据主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等，得该几何体底面正六边形，AB=4，正六边形被分成6个全等的等边三角形，边长AC=2，再根据该几何体的表面积为2 S 底 +6 S 侧，计算即可求解。
13．（2018·青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 种．
【答案】10
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图知：①第一行第一个位置一定是4，
第二行和第三列至少有一个是3，第三行和第二列至少有一个是2，
则9+3+2+1=15
以最少的方式摆放，还剩1个，则为3个的位置仅有一个，即第二行第三个位置是3，
最终剩余的2个小立方体
①若第三行第一个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有3种，即每行的第二个位置；
②同理，若第三行第三个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置也有3种，即每行的第二个位置；
③若第三行第二个位置摆放2个 ， 剩余一个可以摆放的位置有6种，即除了已确定位置的，其他的位置都可以放。
由于③中分别与①②的一个位置重复
∴可能的情况有3+3+6-2=10种
故答案为：10．
【分析】抓住题中关键的已知条件：一共有16个小立方块，最下面一层摆放了9个小立方块，根据主视图和左视图，画出所有可能的搭建平面图，即可得出答案。
14．（2021八上·甘州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个端点， 点上有一只蚂蚁想到 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .
【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB= =125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。
15．（北师大版数学七年级上册第一章第2节展开与折叠课时练习）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是 ．
【答案】3
【知识点】几何体的展开图；探索图形规律
【解析】【解答】观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，
∵2014÷4=503…2，
∴滚动第2014次后与第二次相同，
∴朝下的点数为3．
【分析】观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，解题的关键是发现规律．
16．（2020·广西模拟）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为 .
【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：如图，连结AC交BD于点H，
∴AC是BD的垂直平分线，
∵∠A＝90°， AB=AD，
∴∠ABD=45°，
∴AB=BH，
设BH=k， 则AB=k，
∴上面圆锥的侧面积= ，
∴，
∵∠ABC＝105° ，
∴∠CBD＝∠ABC-∠ABD=105°-45°=60°，
∴BC=2BH=2k，
∵下面圆锥的侧面积= .
故答案为： .
【分析】连结AC交BD于点H，因为△ABD为等腰直角三角形，可设BH=k， AB=k， 根据扇形的面积公式列出上圆锥的侧面积表达式，由其面积为1得出，由于∠ABC为105°，可知△CBD为等边三角形，再求出下圆锥的侧面积的表达式，代入即可求出结果.
三、解答题
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第五章 投影与视图 单元检测卷 ）一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积．
【答案】解：(1)作图如下：
( 2 )上下面积为16π×2=32π，左半面的侧面积是40π，右半面侧面积20π，还有中截面露出部分为40，所以表面积为：(92π+40) ，
( 3 )体积：160π-40π=120πmm3．
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）由三视图可知，该几何体是一个圆柱上半部分去掉了一半，从而作出图形；
（2）从三视图看该圆柱底面直径是8，故上下面积为16π×2=32π，圆柱左边的的高是10，故左半边的侧面积是4π×10=40π，圆柱右半边的的侧面积是4π×5=20π，还有中截面露出部分是个矩形其面积是8×5=40，把各部分的面积加起来就是其表面积；
（3）其体积用整个没有去掉一部分的大圆柱的体积减去去掉部分的体积即可算出答案。
18．（2019八上·兰州期中）长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】解：将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，
由题意可得：BD=BC+CD=5+10=15cm，AD=CH=15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，
由题意得：BH=BC+CH=5+15=20cm，AH=10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：
则需要爬行的最短距离是15 cm.
连接AB，如图3，
由题意可得：BB′=B′E+BE=15+10=25cm，AB′=BC=5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：
∵
∴则需要爬行的最短距离是
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【分析】根据两点之间线段最短，将长方体展开， 将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内 可得矩形AGFD，结合已知条件可知AD，BD的长，利用勾股定理求出AB的长；将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内， 利用同样的方法求出AB的长，再根据图3求出AB的长，然后比较大小就可得出爬行的最短距离。
19．（2020九上·梅河口期末）如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用 表示） ．
【答案】解：设扇形OAB的圆心角为n°
弧长AB等于纸杯上开口圆周长：
弧长CD等于纸杯下底面圆周长：
可列方程组 ，解得
所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm
纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即
S纸杯表面积
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】设扇形OAB的圆心角为n°，然后根据弧长AB等于纸杯上开口圆周长和弧长CD等于纸杯下底面圆周长，列关于n和OF的方程组，解方程组可得出n和OF的值，然后根据纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积，计算即可．
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册5.1 投影课时作业（2）同步练习）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段 表示站立在广场上的小亮，线段 表示直立在广场上的灯杆，点 表示照明灯的位置．
（1）在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度越来越 （用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在 处的影子 ；
（2）当小亮离开灯杆的距离 时，身高为 的小亮的影长为 ，
①灯杆的高度为多少 ？
②当小亮离开灯杆的距离 时，小亮的影长变为多少 ？
【答案】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示， 即为所求；
（2）解：①先设 米，则当 米时， 米，
∵AB//PO，
∴△AEB∽△PEO，
∴ ，即 ，
∴ ；
②当 时，设小亮的影长是 米，
∵CD//OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即小亮的影长是 米
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1） 在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中， 投影线与地面的夹角越来越大， 他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 连接PA并延长交地面于点E，BE就是小亮的影子；
（2） ①先设 米，则当 米时， 米， 根据中心投影的性质得出 △AEB∽△PEO， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式建立方程，求解即可； ②当 时，设小亮的影长是 米， 根据中心投影的性质得出 △FCD∽△FPO， 根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可。
21．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.1.2 投影—中心投影 同步练习）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，∴，
∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，∴ = ，
∴AH= == (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴，∴CF= = (m)，∴S影子=π·CF2=π· = π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.
（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
22．（2018-2019学年数学北师大版七年级上册第一章《丰富的图形世界》单元检测B卷）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
（1）请画出这个几何体的三视图．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体只有一个面是黄色，有 个正方体只有两个面是黄色，有 个正方体只有三个面是黄色．
（3）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加几个小正方体？
【答案】（1）解：如图所示：
（2）1；2；3
（3）解：最多可以再添加4个小正方体．
【知识点】简单组合体的三视图；作图﹣三视图
【解析】【解答】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形；（2）只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个；有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个；（3）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体，第三列的几何体上放一个一个小正方体。
【分析】（1）简单几何体组合体的三视图，就是分别从正面，左面和上面看得到的正投影，由几何体可知：主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形；
（2）需要给这个几何体的表面喷上黄色的漆，能喷上漆的面只能是露在外面的面，观察图形可知：第一列正方体中最底层中间那个只有一个面露在外边，第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个有两个面露在外边，第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个都有三个面露在外边，从而得出答案；
（3）如果保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放3个小正方体，第三列的几何体上放一个一个小正方体，故最多放四个。
23．（2020九上·蓬莱期末）如图所示，一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q．此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸见下图所示请解决下列问题：
（1）CQ与BE的位置关系是 ，BQ的长是 dm：
（2）求液体的体积；（提示：直棱柱体积＝底面积×高）
（3）若容器底部的倾斜角∠CBE＝α，求α的度数．（参考数据：sin49°＝cos41°＝ ，tan37°＝ ）
【答案】（1）平行；3
（2）解：V液＝ ×3×4×4＝24（dm3）．
（3）解：∵CQ∥BE，
∴∠CBE＝∠BCQ，
∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝ ＝ ，
∴∠BCQ＝37°，
∴α＝∠BCQ＝37°．
【知识点】解直角三角形；简单几何体的三视图
【解析】【解答】（1）CQ∥BE，BQ＝ ＝3dm．
【分析】（1）如图可直接得到CQ与BE的位置关系，再由勾股定理求BQ的长；（2）根据三视图得到直三棱柱的边长，再由直棱柱体积＝底面积×高，即可求得；（3）根据两直线平行内错角相等和三角函数值，即可求得 .
24．（2020九下·广陵月考）如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即 ，如T（60°）＝1.
（1）理解巩固：T（90°）＝ ，T（120°）＝ ；
（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q.
①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；
②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）.（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）
【答案】（1）；
（2）解：①∵圆锥的底面直径PQ＝8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，
则 ＝8π，
解得：n＝160，
∴圆锥侧面展开图的扇形圆心角为160°；
②∵160°÷2＝80°，
∴T（80°）≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.61.
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆锥的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1，∠A＝90°，AB＝AC，
则
∴T（90°）＝ ，
如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD＝60°，
∴BD＝ AB，
∴BC＝ AB，
∴T（120°）＝ ；
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；（2）①根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；
②根据T（A）的定义解答即可.
1 / 1初中数学浙教版九年级下册第三章 投影与三视图 章末检测（提高训练）
一、单选题
1．（2020七上·台儿庄期中）如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.2 简单几何体的三视图 同步练习）几何体在平面P的正投影，取决于（ ）
①几何体形状；②投影面与几何体的位置关系；③投影面P的大小
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2020·晋中模拟）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为（ ）
A．3.0m B．4.0m C．5.0m D．6.0m
4．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册5.1 投影课时作业（1）同步练习）如图，某剧院舞台上的照明灯P射出的光线成“锥体”，其“锥体”面图的“锥角”是60°.已知舞台ABCD是边长为6 m的正方形，要使灯光能照射到整个舞台，则灯P的悬挂高度是（ ）
A． m B．3 m C．3 m D．4 m
5．（2020·吉林模拟）如图，大正方体上面正中间放置小正方体，小正方体6个表面写了数字1到6，且所相对面两个数字之和都是7，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九下·桦南期中）如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体的俯视图，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七上·呼和浩特期末）有一种正方体如图所示，下列图形是该方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2016·安陆模拟）《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3 寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π=3），则圆柱底周长约为（注：圆柱体的体积=底面积×高）（ ）
A．1丈3尺 B．5丈4尺 C．9丈2尺 D．48丈6尺
9．（2020·旌阳模拟）已知圆锥的高为 ，母线为 ，且 ，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿 折叠，使A点恰好落在 上的F点，则弧长 与圆锥的底面周长的比值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·龙湾模拟）如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm，宽留出1cm，则该六棱柱的侧面积是（ ）
A．(108- )cm2 B．(108- )cm2
C．(54- )cm2 D．(54- )cm2
二、填空题
11．（2019九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），则点A′的坐标为 ．
12．（2018·凉州）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为 ．
13．（2018·青岛）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有 种．
14．（2021八上·甘州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个端点， 点上有一只蚂蚁想到 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .
15．（北师大版数学七年级上册第一章第2节展开与折叠课时练习）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是 ．
16．（2020·广西模拟）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为 .
三、解答题
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第五章 投影与视图 单元检测卷 ）一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积．
18．（2019八上·兰州期中）长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？
19．（2020九上·梅河口期末）如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用 表示） ．
20．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册5.1 投影课时作业（2）同步练习）如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段 表示站立在广场上的小亮，线段 表示直立在广场上的灯杆，点 表示照明灯的位置．
（1）在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度越来越 （用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在 处的影子 ；
（2）当小亮离开灯杆的距离 时，身高为 的小亮的影长为 ，
①灯杆的高度为多少 ？
②当小亮离开灯杆的距离 时，小亮的影长变为多少 ？
21．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册3.1.2 投影—中心投影 同步练习）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状
（2）当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m，到地面的距离是3 m，球的半径是0.2 m，则球在地面上影子的面积是多少
22．（2018-2019学年数学北师大版七年级上册第一章《丰富的图形世界》单元检测B卷）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
（1）请画出这个几何体的三视图．
（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有 个正方体只有一个面是黄色，有 个正方体只有两个面是黄色，有 个正方体只有三个面是黄色．
（3）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加几个小正方体？
23．（2020九上·蓬莱期末）如图所示，一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q．此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸见下图所示请解决下列问题：
（1）CQ与BE的位置关系是 ，BQ的长是 dm：
（2）求液体的体积；（提示：直棱柱体积＝底面积×高）
（3）若容器底部的倾斜角∠CBE＝α，求α的度数．（参考数据：sin49°＝cos41°＝ ，tan37°＝ ）
24．（2020九下·广陵月考）如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即 ，如T（60°）＝1.
（1）理解巩固：T（90°）＝ ，T（120°）＝ ；
（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点Q.
①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；
②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）.（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这是一个中间部分掏空的长方体，根据俯视图是从物体上面所看到的图形，
故答案为：C
【分析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据物体的特点作答；
2．【答案】A
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：∵几何体在平面的正投影与几何体的形状、投影面与几何体的位置有关，与投影面的大小无关，
∴只有①②符合题意
故答案为；A
【分析】根据几何体在平面的正投影与几何体的形状、投影面与几何体的位置有关，与投影面的大小无关，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【解答】解：根据同一时刻物高与影长成正比例可得，如图，
∴ ＝ ．
∴AD＝3．
∴AB＝AD+DB＝3+1＝4．
故答案为：B．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
4．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：连接AC，
∵∠APC=60°，
∴∠PAC=∠PCA=60°，
∵ABCD是边长为6m的正方形，
∴AC=6 ，OC=3
∴PC＝6 ，
∴PO=3 ，
故答案为：C
【分析】连接AC，根据圆锥体的性质及∠APC=60°，可以判断出三角形PAC是一个等边三角形，根据正方形的性质利用勾股定理算出AC的长，进而得出OC的长，根据圆锥的高，母线，底面圆的半径刚好围成一个直角三角形，利用勾股定理即可算出PO的长。
5．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意可知，3的对面为4
∴左视图为D
故答案为：D.
【分析】根据题意，计算得到3的对面的数字，根据左视图的含义，求出答案即可。
6．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】由俯视图中的数字可得：主视图有3列，从左到右分别是1，3，2个正方形．
故答案为：C．
【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右分别是1，3，2个正方形．
7．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】A.折叠后，三条对角线交于一点，不能构成三角形；
B. 折叠后，侧面俩条对角线无交点，不能构成三角形；
C.折叠后，可以形成三角形；
D，折叠后，底面和侧面的俩条对角线无交点，不能构成三角形.
故答案为：C.
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.
8．【答案】B
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：由题意得：2000×1.62=s（10+3+ × ）， 解得s= =243，
因为s=πr2，
所以，r=9，
所以，周长=2πr=2×3×9=54（尺），
54尺=5丈4尺，
故选B．
【分析】首先根据圆柱的体积公式：v=sh，求得圆柱的底面积s，然后根据面积s=πr，求得半径，进而即可求得周长．
9．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】连接AF，如图，
设OB=5a，AB=18a，∠BAC=n°
∴ ，
解得n=100
即∠BAC=100°
∵将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在 上F点，
∴BA=BF
而AB=AF
∴△ABF为等边三角形
∴∠BAF=60°
∴∠FAC=40°
∴ 的长度=
∴弧长CF与圆锥的底面周长的比值=
故答案为：B
【分析】连接AF，如图，设OB=5a，AB=18a，∠BAC=n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到 ，解得n得到∠BAC=100°，再根据折叠的性质得到BA=BF，则可判断△ABF为等边三角形，于是可计算出∠FAC=40°，然后根据弧长公式计算弧长CF与圆锥的底面周长的比值．
10．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，
挪动前长为（2h+2a）cm，宽为（4a+a）cm，
挪动后长为（h+2a+a）cm，宽为4acm，
由题意得：(2h+2a)-(h+2a+a)=5， （4a+a）-4a=1，
解得：a=2，h=9-2，
∴六棱柱的侧面积=6×ah=6×2×（9-2）=（108-24）cm2 .
故答案为：A.
【分析】设正六棱柱的地面边长为acm，高为hcm，分别求出挪动前后长方形的长与宽，根据挪动前后的展开图放入矩形内的位置关系列两个关系式，两式联立求出a、h，再由六棱柱的侧面积是6ah计算即可.
11．【答案】（5，6）
【知识点】点的坐标；中心投影
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（3，1）、（6，2）若点A的坐标为（ ，3），
∴位似比为1：2，故点A′的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【分析】本道题考察的是位似图形的位似比。因为三角形A'B'C'是由三角形ABC以点O为位似中心放大的图，且位似比是1：2，根据点A的坐标进行扩大处理就可以了。
12．【答案】
【知识点】几何体的表面积；简单几何体的三视图
【解析】【分析】三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称。从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状。利用知识：主府长对正，主左高平齐，府左宽相等，得该几何体底面正六边形，AB=4，正六边形被分成6个全等的等边三角形，边长AC=2
该几何体的表面积为2 +6 =48+12
【分析】观察图形，根据主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等，得该几何体底面正六边形，AB=4，正六边形被分成6个全等的等边三角形，边长AC=2，再根据该几何体的表面积为2 S 底 +6 S 侧，计算即可求解。
13．【答案】10
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图知：①第一行第一个位置一定是4，
第二行和第三列至少有一个是3，第三行和第二列至少有一个是2，
则9+3+2+1=15
以最少的方式摆放，还剩1个，则为3个的位置仅有一个，即第二行第三个位置是3，
最终剩余的2个小立方体
①若第三行第一个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置有3种，即每行的第二个位置；
②同理，若第三行第三个位置摆放2个，剩余一个可以摆放的位置也有3种，即每行的第二个位置；
③若第三行第二个位置摆放2个 ， 剩余一个可以摆放的位置有6种，即除了已确定位置的，其他的位置都可以放。
由于③中分别与①②的一个位置重复
∴可能的情况有3+3+6-2=10种
故答案为：10．
【分析】抓住题中关键的已知条件：一共有16个小立方块，最下面一层摆放了9个小立方块，根据主视图和左视图，画出所有可能的搭建平面图，即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB= =125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。
15．【答案】3
【知识点】几何体的展开图；探索图形规律
【解析】【解答】观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，
∵2014÷4=503…2，
∴滚动第2014次后与第二次相同，
∴朝下的点数为3．
【分析】观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，解题的关键是发现规律．
16．【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：如图，连结AC交BD于点H，
∴AC是BD的垂直平分线，
∵∠A＝90°， AB=AD，
∴∠ABD=45°，
∴AB=BH，
设BH=k， 则AB=k，
∴上面圆锥的侧面积= ，
∴，
∵∠ABC＝105° ，
∴∠CBD＝∠ABC-∠ABD=105°-45°=60°，
∴BC=2BH=2k，
∵下面圆锥的侧面积= .
故答案为： .
【分析】连结AC交BD于点H，因为△ABD为等腰直角三角形，可设BH=k， AB=k， 根据扇形的面积公式列出上圆锥的侧面积表达式，由其面积为1得出，由于∠ABC为105°，可知△CBD为等边三角形，再求出下圆锥的侧面积的表达式，代入即可求出结果.
17．【答案】解：(1)作图如下：
( 2 )上下面积为16π×2=32π，左半面的侧面积是40π，右半面侧面积20π，还有中截面露出部分为40，所以表面积为：(92π+40) ，
( 3 )体积：160π-40π=120πmm3．
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）由三视图可知，该几何体是一个圆柱上半部分去掉了一半，从而作出图形；
（2）从三视图看该圆柱底面直径是8，故上下面积为16π×2=32π，圆柱左边的的高是10，故左半边的侧面积是4π×10=40π，圆柱右半边的的侧面积是4π×5=20π，还有中截面露出部分是个矩形其面积是8×5=40，把各部分的面积加起来就是其表面积；
（3）其体积用整个没有去掉一部分的大圆柱的体积减去去掉部分的体积即可算出答案。
18．【答案】解：将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，
由题意可得：BD=BC+CD=5+10=15cm，AD=CH=15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，
由题意得：BH=BC+CH=5+15=20cm，AH=10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：
则需要爬行的最短距离是15 cm.
连接AB，如图3，
由题意可得：BB′=B′E+BE=15+10=25cm，AB′=BC=5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：
∵
∴则需要爬行的最短距离是
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理
【解析】【分析】根据两点之间线段最短，将长方体展开， 将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内 可得矩形AGFD，结合已知条件可知AD，BD的长，利用勾股定理求出AB的长；将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内， 利用同样的方法求出AB的长，再根据图3求出AB的长，然后比较大小就可得出爬行的最短距离。
19．【答案】解：设扇形OAB的圆心角为n°
弧长AB等于纸杯上开口圆周长：
弧长CD等于纸杯下底面圆周长：
可列方程组 ，解得
所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm
纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即
S纸杯表面积
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】设扇形OAB的圆心角为n°，然后根据弧长AB等于纸杯上开口圆周长和弧长CD等于纸杯下底面圆周长，列关于n和OF的方程组，解方程组可得出n和OF的值，然后根据纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积，计算即可．
20．【答案】（1）解：因为光是沿直线传播的，所以当小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为变短；如图所示， 即为所求；
（2）解：①先设 米，则当 米时， 米，
∵AB//PO，
∴△AEB∽△PEO，
∴ ，即 ，
∴ ；
②当 时，设小亮的影长是 米，
∵CD//OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
即小亮的影长是 米
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1） 在小亮由 处沿 所在的方向行走到达 处的过程中， 投影线与地面的夹角越来越大， 他在地面上的影子长度的变化情况为变短； 连接PA并延长交地面于点E，BE就是小亮的影子；
（2） ①先设 米，则当 米时， 米， 根据中心投影的性质得出 △AEB∽△PEO， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式建立方程，求解即可； ②当 时，设小亮的影长是 米， 根据中心投影的性质得出 △FCD∽△FPO， 根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可。
21．【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时，影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，∴，
∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，∴ = ，
∴AH= == (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴，∴CF= = (m)，∴S影子=π·CF2=π· = π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.
（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
22．【答案】（1）解：如图所示：
（2）1；2；3
（3）解：最多可以再添加4个小正方体．
【知识点】简单组合体的三视图；作图﹣三视图
【解析】【解答】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形；（2）只有一个面是黄色的应该是第一列正方体中最底层中间那个；有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个；（3）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体，第三列的几何体上放一个一个小正方体。
【分析】（1）简单几何体组合体的三视图，就是分别从正面，左面和上面看得到的正投影，由几何体可知：主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形；
（2）需要给这个几何体的表面喷上黄色的漆，能喷上漆的面只能是露在外面的面，观察图形可知：第一列正方体中最底层中间那个只有一个面露在外边，第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个有两个面露在外边，第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个都有三个面露在外边，从而得出答案；
（3）如果保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放3个小正方体，第三列的几何体上放一个一个小正方体，故最多放四个。
23．【答案】（1）平行；3
（2）解：V液＝ ×3×4×4＝24（dm3）．
（3）解：∵CQ∥BE，
∴∠CBE＝∠BCQ，
∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝ ＝ ，
∴∠BCQ＝37°，
∴α＝∠BCQ＝37°．
【知识点】解直角三角形；简单几何体的三视图
【解析】【解答】（1）CQ∥BE，BQ＝ ＝3dm．
【分析】（1）如图可直接得到CQ与BE的位置关系，再由勾股定理求BQ的长；（2）根据三视图得到直三棱柱的边长，再由直棱柱体积＝底面积×高，即可求得；（3）根据两直线平行内错角相等和三角函数值，即可求得 .
24．【答案】（1）；
（2）解：①∵圆锥的底面直径PQ＝8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，
则 ＝8π，
解得：n＝160，
∴圆锥侧面展开图的扇形圆心角为160°；
②∵160°÷2＝80°，
∴T（80°）≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.61.
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆锥的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图1，∠A＝90°，AB＝AC，
则
∴T（90°）＝ ，
如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD＝60°，
∴BD＝ AB，
∴BC＝ AB，
∴T（120°）＝ ；
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；（2）①根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；
②根据T（A）的定义解答即可.
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