初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步训练
一、等腰三角形的判定
1．（2018八上·慈溪期中）如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
2．（2019八上·越秀期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
3．在 中， ，当 时， 是等腰三角形．
4．（2019八上·江门期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是角平分线，图中的等腰三角形共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
5．（2019·广西模拟）如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠a= °。(填一个即可).
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
7．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
二、等边三角形的判定
8．（2018八上·无锡期中）△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形，上述结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2019·永康模拟）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
10．（2018八上·柳州期中）已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=5cm，则△ABC的周长为 .
11．（2018八上·泸西期中）如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．
12．（2018八上·合浦期中）货轮在海上以每小时6海量的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离。
13．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．
三、中考演练
14．（2018·桂林）如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是
15．（2018·株洲）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝ ，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝ .
16．（2019·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是 .
17．（2019·玉林）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°.
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG时，都能得到符合题意的等腰三角形，共计有4条.
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质，分别利用以AB为底边和AB为腰，就可得出符合题意的等腰三角形。
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB=AP；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．
故答案为：B．
【分析】使得△PAB是等腰三角形，即应在三角形中存在有相等的两条边，所以可分以下三种情况分别讨论：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。即可判断存在6个点。
3．【答案】80°或50°或20°
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=80°，
∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°或50°或20°.
【分析】根据题意可得，三角形ABC为等腰三角形，所以共有以下几种情况：①当∠A为顶角时，可求得底角∠B=50°；②当∠B为顶角时，可求得顶角∠B=20°；③当∠A和∠B均为底角时，即可求得底角∠B=80°。
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：根据已知条件，可得出等腰三角形为△ABC、△AED、△BOC、△EOD、△BED和△EDC，共6个等腰三角形.
故答案为：A。
【分析】根据角平分线的性质，可得出共有6个等腰三角形。
5．【答案】130(答案不唯一)
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解： 如图
△ABC是等腰三角形
当∠ABC=∠ACB时，
∵∠ABC=50°
∴∠ACB=50°
∴∠BAC=180°-50°-50°=80°
∵a∥b
∠DAB=∠ABC=50°
∵∠a=∠DAB+∠BAC=50°+80°=130°；
当∠ABC=∠BAC=50°时
∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+50°=100°；
当∠BAC=∠ACB时
∠BAC=
∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+65°=115°；
故答案为：130°或100°或115°
【分析】利用平行线的性质，可求出∠DAB的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当∠ABC=∠ACB时；当∠ABC=∠BAC=50°时；当∠BAC=∠ACB时，再由∠a=∠DAB+∠BAC，可求解。
6．【答案】证明：∵FD∥AC
∴∠PFD=∠E，∠FDB=∠C，
∵AB=AC
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B
∴FB=FD，
∵FB=FD，EP⊥BC
∴∠PFB=∠PFD，
∵∠PFB=∠AFE，
∴∠PFD=∠AFE
∵∠PFD=∠E，
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF即△AEF是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质，可证得∠PFD=∠E，∠FDB=∠C，根据等边对等角可证得∠B=∠C，再根据垂直的定义推出∠E=∠PED，然后去证明∠E=∠AFE，然后利用等角对等边就可证得结论。
7．【答案】证明：如图，
∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义，去证明∠2=∠3，可证AE=DE，再根据垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠B=∠BDE，利用等角对等边就可得出DE=BE，利用等腰三角形的定义，可证得结论。
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】①三边相等的三角形是等边三角形，正确；
②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；
④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确；则正确的有4个，
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的定义及性质：有三个角相等的三角形是等边三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；即可解答此题。
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】连接AB，
根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°.
故答案为：B.
【分析】连接AB,利用三边相等可证△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可得∠AOB=60°.
10．【答案】15cm
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ △ABC中，∠A=∠B=60°
∴∠C=180°-∠A-∠C=180°-60°-60°=60°
∴∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC=5
∴△ABC的周长为：3×5=15
故答案为：15cm
【分析】利用三角形的内角和定理证明AB=AC=BC，就可求出此三角形的周长。
11．【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
故△ABC是等腰三角形
（2）解：当∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形，理由如下：
∵∠CAE=120°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ∠EAD=∠CAD ，根据二直线平行，同位角相等，内错角相等得出 ∠EAD=∠B，∠CAD=∠C， 故 ∠B=∠C， 从而得出结论： △ABC是等腰三角形 ；
（2） 当∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形，理由如下： 根据邻补角的定义，由 ∠CAE=120°， 得出 ∠BAC = 60°， 根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形得出结论。
12．【答案】解：依题意，得 海里， 显然 ∴△ABC是等边三角形，∴ 海里.答：货轮到达C处时与灯塔A的距离为30海里.
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据路程等于速度乘以时间得出BC的长，根据平角的定义得出∠CBA=60°，根据题意∠BCA=40°+20°=60°。根据两个角是60°的三角形是等边三角形得出：△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AC=BC=30 海里。
13．【答案】解：△BDE是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°，
∴∠B=∠BED=∠BDE，
∴△BDE是等边三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】因为三角形ABC为等边三角形，即可得到∠A=∠C=60°；根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BED=∠BDE=60°，即可证明三角形BED为等边三角形。
14．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
【分析】由AB=AC，得出△ABC是等腰三角形．根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠C=∠ABC=72°．根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC=36°，从而得出∠A=∠ABD=36°，故△ABD是等腰三角形．根据三角形的外角定理及等量代换得出∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，故△BDC是等腰三角形．
15．【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BD=CD，AB=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN=AM=3 ，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，
∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP= AM=6，
故答案为：6．
【分析】根据平行四边形的性质及BD=CD得出BD=BA，根据等腰三角形两腰上的高相等得出DN=AM=3，根据三角形的外角的定理，及∠ABD=∠MAP+∠PAB得出∠P=∠PAM，从而判断出△APM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出AP的长。
16．【答案】14
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE
∵点M为AB的中点，AB=8
∴AM=BM=4
∴△ACM≌△CMN
∴AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN
同理可证：BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD
∵∠CMD=120°
∴∠AMC+∠BMD=180°-120°=60°
∴∠CMN+∠EMD=60°
∴∠NME=180°-60°-60°=60°
∴△MNE是等边三角形
∴NE=ME=4
∵CD≤CE+NE+DE
∴当点C、N、E、D共线时，CD的值最大
∴CD的最大值为CE+NE+DE=2+4+8=14
【分析】 作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE，利用轴对称的性质易证AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN ，BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD，再由∠CMD=120°，去证明∠NME=60°，就可得到△MNE是等边三角形，求出NE的长，再由CD≤CE+NE+DE，可知当点C、N、E、D共线时，CD的值最大，然后就可求出CD的最大值。
17．【答案】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形.
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点A,B为圆心，大于AB长度的一半为半径画弧，两弧分别在AB的两侧相交，过这两交点作直线，该直线交AC于点D，点D就是所求的点；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠ABC＝∠C＝72°， ∠ABD＝∠A＝36°， 根据三角形的外角定理由∠BDC＝∠A+∠ABD得出∠BDC的度数，根据等量代换得出 ∠BDC＝∠C， 故 △BCD是等腰三角形。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步训练
一、等腰三角形的判定
1．（2018八上·慈溪期中）如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG时，都能得到符合题意的等腰三角形，共计有4条.
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质，分别利用以AB为底边和AB为腰，就可得出符合题意的等腰三角形。
2．（2019八上·越秀期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；
第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB=AP；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．
故答案为：B．
【分析】使得△PAB是等腰三角形，即应在三角形中存在有相等的两条边，所以可分以下三种情况分别讨论：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。即可判断存在6个点。
3．在 中， ，当 时， 是等腰三角形．
【答案】80°或50°或20°
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=80°，
∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°或50°或20°.
【分析】根据题意可得，三角形ABC为等腰三角形，所以共有以下几种情况：①当∠A为顶角时，可求得底角∠B=50°；②当∠B为顶角时，可求得顶角∠B=20°；③当∠A和∠B均为底角时，即可求得底角∠B=80°。
4．（2019八上·江门期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是角平分线，图中的等腰三角形共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：根据已知条件，可得出等腰三角形为△ABC、△AED、△BOC、△EOD、△BED和△EDC，共6个等腰三角形.
故答案为：A。
【分析】根据角平分线的性质，可得出共有6个等腰三角形。
5．（2019·广西模拟）如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠a= °。(填一个即可).
【答案】130(答案不唯一)
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解： 如图
△ABC是等腰三角形
当∠ABC=∠ACB时，
∵∠ABC=50°
∴∠ACB=50°
∴∠BAC=180°-50°-50°=80°
∵a∥b
∠DAB=∠ABC=50°
∵∠a=∠DAB+∠BAC=50°+80°=130°；
当∠ABC=∠BAC=50°时
∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+50°=100°；
当∠BAC=∠ACB时
∠BAC=
∴∠a=∠DAB+∠BAC=50°+65°=115°；
故答案为：130°或100°或115°
【分析】利用平行线的性质，可求出∠DAB的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当∠ABC=∠ACB时；当∠ABC=∠BAC=50°时；当∠BAC=∠ACB时，再由∠a=∠DAB+∠BAC，可求解。
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
【答案】证明：∵FD∥AC
∴∠PFD=∠E，∠FDB=∠C，
∵AB=AC
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B
∴FB=FD，
∵FB=FD，EP⊥BC
∴∠PFB=∠PFD，
∵∠PFB=∠AFE，
∴∠PFD=∠AFE
∵∠PFD=∠E，
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF即△AEF是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质，可证得∠PFD=∠E，∠FDB=∠C，根据等边对等角可证得∠B=∠C，再根据垂直的定义推出∠E=∠PED，然后去证明∠E=∠AFE，然后利用等角对等边就可证得结论。
7．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
【答案】证明：如图，
∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】利用平行线的性质及角平分线的定义，去证明∠2=∠3，可证AE=DE，再根据垂直的定义及同角的余角相等，可证得∠B=∠BDE，利用等角对等边就可得出DE=BE，利用等腰三角形的定义，可证得结论。
二、等边三角形的判定
8．（2018八上·无锡期中）△ABC中，①若AB＝BC＝CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形，上述结论中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】①三边相等的三角形是等边三角形，正确；
②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；
④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确；则正确的有4个，
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的定义及性质：有三个角相等的三角形是等边三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；即可解答此题。
9．（2019·永康模拟）如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】连接AB，
根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°.
故答案为：B.
【分析】连接AB,利用三边相等可证△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可得∠AOB=60°.
10．（2018八上·柳州期中）已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=5cm，则△ABC的周长为 .
【答案】15cm
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ △ABC中，∠A=∠B=60°
∴∠C=180°-∠A-∠C=180°-60°-60°=60°
∴∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC=5
∴△ABC的周长为：3×5=15
故答案为：15cm
【分析】利用三角形的内角和定理证明AB=AC=BC，就可求出此三角形的周长。
11．（2018八上·泸西期中）如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
故△ABC是等腰三角形
（2）解：当∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形，理由如下：
∵∠CAE=120°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出 ∠EAD=∠CAD ，根据二直线平行，同位角相等，内错角相等得出 ∠EAD=∠B，∠CAD=∠C， 故 ∠B=∠C， 从而得出结论： △ABC是等腰三角形 ；
（2） 当∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形，理由如下： 根据邻补角的定义，由 ∠CAE=120°， 得出 ∠BAC = 60°， 根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形得出结论。
12．（2018八上·合浦期中）货轮在海上以每小时6海量的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离。
【答案】解：依题意，得 海里， 显然 ∴△ABC是等边三角形，∴ 海里.答：货轮到达C处时与灯塔A的距离为30海里.
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据路程等于速度乘以时间得出BC的长，根据平角的定义得出∠CBA=60°，根据题意∠BCA=40°+20°=60°。根据两个角是60°的三角形是等边三角形得出：△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AC=BC=30 海里。
13．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．
【答案】解：△BDE是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°，
∴∠B=∠BED=∠BDE，
∴△BDE是等边三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】因为三角形ABC为等边三角形，即可得到∠A=∠C=60°；根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠BED=∠BDE=60°，即可证明三角形BED为等边三角形。
三、中考演练
14．（2018·桂林）如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
【分析】由AB=AC，得出△ABC是等腰三角形．根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠C=∠ABC=72°．根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC=36°，从而得出∠A=∠ABD=36°，故△ABD是等腰三角形．根据三角形的外角定理及等量代换得出∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，故△BDC是等腰三角形．
15．（2018·株洲）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝ ，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝ .
【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BD=CD，AB=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN=AM=3 ，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，
∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP= AM=6，
故答案为：6．
【分析】根据平行四边形的性质及BD=CD得出BD=BA，根据等腰三角形两腰上的高相等得出DN=AM=3，根据三角形的外角的定理，及∠ABD=∠MAP+∠PAB得出∠P=∠PAM，从而判断出△APM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边之间的关系得出AP的长。
16．（2019·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是 .
【答案】14
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE
∵点M为AB的中点，AB=8
∴AM=BM=4
∴△ACM≌△CMN
∴AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN
同理可证：BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD
∵∠CMD=120°
∴∠AMC+∠BMD=180°-120°=60°
∴∠CMN+∠EMD=60°
∴∠NME=180°-60°-60°=60°
∴△MNE是等边三角形
∴NE=ME=4
∵CD≤CE+NE+DE
∴当点C、N、E、D共线时，CD的值最大
∴CD的最大值为CE+NE+DE=2+4+8=14
【分析】 作点A，N关于CM对称，作点B、E关于MD对称，连接MN，ME，CN，NE，DE，利用轴对称的性质易证AC=CN=2，AM=NM=4，∠AMC=∠CMN ，BD=DE=8，BM=ME=4，∠BMD=∠EMD，再由∠CMD=120°，去证明∠NME=60°，就可得到△MNE是等边三角形，求出NE的长，再由CD≤CE+NE+DE，可知当点C、N、E、D共线时，CD的值最大，然后就可求出CD的最大值。
17．（2019·玉林）如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°.
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形.
【答案】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形.
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点A,B为圆心，大于AB长度的一半为半径画弧，两弧分别在AB的两侧相交，过这两交点作直线，该直线交AC于点D，点D就是所求的点；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和得出 ∠ABC＝∠C＝72°， ∠ABD＝∠A＝36°， 根据三角形的外角定理由∠BDC＝∠A+∠ABD得出∠BDC的度数，根据等量代换得出 ∠BDC＝∠C， 故 △BCD是等腰三角形。
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