2.1 一元二次方程（1）(学案)
一、智慧航标
1.经历一元二次方程概念的发生过程.
2.理解一元二次方程的概念.
3.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项.
教学重点与难点
教学重点：一元二次方程的概念，包括一般形式.
教学难点：例1第4题计算容易产生差错，是本节教学的难点.
预习指导：阅读教材P24-25页内容,了解一元二次方程概念的发生过程，用红笔划出这些概念，仿照例题格式完成学案。记下你疑难之处和学习经验，课上交流.
二、智慧起航
（一）智慧激趣
1.有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
分析：设宽为x米，则列方程得： .
整理得： .①
2.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率.
分析：设这两年的年平均增长率为x，则列方程得： .
整理得： . ②
3.学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛共 场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它 队各赛1场，全场比赛共 场，列方程得： ；
整理得 . ③
（二）探索新知
1.探究：（1）上面三个方程左右两边是含未知数的 （填 “整式”“分式”“无理式”）；
（2）方程整理后含有 个未知数；
（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 次。
2.归纳
（1）一元二次方程的定义
等号两边都是 ，只含有 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 次的方程，叫做一元二次方程.
（2）一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化为 的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项.
3.思考：为什么，、可以为零吗？
4.判断下列方程是否为一元二次方程：
① 2（3x+2）=x2 ② +x+3=0 ③
④ ⑤
5.判断未知数的值、、是否是方程的根。
（三）新知应用
1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
① ②
③ ④
思考：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的 .
三、智慧乐园：记录你在预习过程中的困惑和经验并在课堂上交流。
预习自评（ ） 教师评价（ ）
四、课堂小结
五、智慧大道
1.方程：① ② ③ ④ 中是一元二次方程的为 （填序号）。
2.关于的一元二次方程的一个解是，则
3.判断下列各方程后面的两个数是不是它的解.
① （ ）
② （ ）
③ (3 , 1) （ ）
④ () （ ）
4.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
2.1 一元二次方程（2）(学案)
一、智慧航标
1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.
2.会用因式分解法解一元二次方程.
教学重点与难点
教学重点：用因式分解法解一元二次方程.
教学难点：例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成，才能分解因式，是本节教学的难点.
预习指导：阅读教材P27-28页内容，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤，仿照例题格式完成学案。记下你疑难之处和学习经验，课上交流。
二、智慧起航
（一）智慧激趣
1.把方程2x(x+1)=x(x+3)+6化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.
2.下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？
-3,-2，1，2，3．
思考：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入 ，使 两边相等即可．
（二）探索新知
1.认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由.
2.归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
当方程的一边为 ，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.
步骤：
若方程的右边不是零，则先 ，使方程的右边为零；
将方程的左边分解因式；
根据若A·B=0，则A=0或B =0，将解一元二次方程转化为解 .
（三）新知应用
1.解下列一元二次方程：
2.用因式分解法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
3.解方程
4.用因式分解法解下列方程
（1） （2）
三、智慧乐园：记录你在预习过程中的困惑和经验并在课堂上交流。
预习自评（ ） 教师评价（ ）
四、课堂小结
五、智慧大道
1.方程x（x-1）=2的两根为（ ）
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2= -1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
2.方程x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为 ；若有一个根为0，则c= .
5. 用因式分解法解下列方程
（1） （2）
2.2 一元二次方程的解法（1）(学案)
一、智慧航标
1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.
2. 会用开平方法解一元二次方程.
3. 理解配方法.
4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
教学重点与难点
教学重点：开平方法.
教学难点：配方法有一个比较复杂的过程，无论从理解和运用上，对学生来说都有一定的难度.
预习指导：阅读教材P29-30页内容，会用开平方法解一元二次方程，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，仿照例题格式完成学案。记下你疑难之处和学习经验，课上交流。
二、智慧起航
（一）智慧激趣
1.一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为 dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程： .
由此可得： .
根据平方根的意义，得x= .
即x1= ，x2=
可以验证 和 是方程的两根，但棱长不能为 ，所以正方体的棱长为 dm。
2.一般地，对于形如的方程，根据平方根的定义，可解得 ， .
这种解一元二次方程的方法叫做 .
（二）探索新知
1.用开平方法解下列方程
（1） （2）
2.怎样解方程
（1）想一想，你能直接用因式分解或者开平方法解这个方程吗？
（2）你能将方程转化成的形式吗？
3.归纳：把方程变形：左边是一个含有x的式子的完全平方，而右边是一个非负数。
①先移项：含有未知数的项移到左边，含有常数的项移到右边。
②方程两边同加上一个合适的数。
③左边是一个完全平方，右边是一个非负常数。
④最后用开平方法来解
像这样，把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做 。
4.思考：用配方法解一元二次方程关键在哪里？
5.填空
(1)
(2)
(3)
6.归纳：①加上一次项系数 的平方；②前提条件：二次项系数为 .
（三）新知应用
1.用配方法解下列方程
⑴ （2）
（3） （4）
三、智慧乐园：记录你在预习过程中的困惑和经验并在课堂上交流。
预习自评（ ） 教师评价（ ）
四、课堂小结
五、智慧大道
1. 用配方法解方程：x2+8x-20=0.
解：移项，得 x2+8x=20.
配方，得 x2+8x+ =20+ ，
即 (x+ )2= .
∴x+4= .
∴x1= ，x2= .
7．用配方法解方程应该先变形为( )．
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程x2＋2x=8的解为( )．
A．x1=4，x2=－2 B．x1=－10，x2=8
C．x1=10，x2=－8 D．x1=－4，x2=2
4.选择适当的方法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
（5）
5.一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米。这个牧场的周长是多少米？
2.2一元二次方程的解法（2）(学案)
一、智慧航标
1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.
2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.
教学重点与难点
教学重点：用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程.
教学难点：当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程.
预习指导：阅读教材P31-32页内容，会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程，仿照例题格式完成学案。记下你疑难之处和学习经验，课上交流。
二、智慧起航
（一）智慧激趣
1.填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。
⑴x2+ 6x+ =(x+3)2 ⑵x2+8x+ =(x+ )2
⑶x2-12x+ =(x- )2 ⑷x2-+ =(x- )2
⑸a2+2ab+ =(a+ )2 ⑹ a2-2ab+ =(a- )2
2.用配方法解下列方程：
x2-4x+7=0
（二）探索新知
1.用配方法解下列方程
（1）2x2-8x+1=0 （2）3x2－6x + 4 = 0；
（3）2x2+1=3x （4）(2x-1)(x+3)=5
2.利用配方法解方程时应该遵循的步骤：
（1）把方程化为一般形式 ；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的 ；
（3）方程两边同时除以二次项系数 ；
（4）方程两边同时加上一次项系数 ；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为 .
（三）新知应用
1.用配方法解下列方程：
（1） （2）
（3）x(2x-5)=4x-10 （4）x2+5x+7=3x+11
2.一次聚会，出席的每位代表都和其他代表各握一次手，统计结果表明，一共握手45次.问参加聚会的代表有多少人？
三、智慧乐园：记录你在预习过程中的困惑和经验并在课堂上交流。
预习自评（ ） 教师评价（ ）
四、课堂小结
五、智慧大道
1．用配方法解下列方程，其中应在两边同时加上4的是( )
A． B．
C． D．
2．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0
C．（x-）2= D．（x-）2=
3．用配方法解方程．
（1）x2+3=2x (2) (3)
4.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
2.2一元二次方程的解法（3）(学案)
一、智慧航标
1.理解一元二次方程求根公式的推导.
2.会运用公式法解一元二次方程．
教学重点与难点
教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.
教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.
预习指导：阅读教材P33-34页内容，理解一元二次方程求根公式的推导， 会运用公式法解一元二次方程．仿照例题格式完成学案。记下你疑难之处和学习经验，课上交流。
二、智慧起航
（一）智慧激趣
1.用配方法解方程：
2x2+5x-3=0
（二）探索新知
1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
解：移项，得：
因为a≠0，所以方程两边同除以a得：
x2+x=
配方，得：x2+x+ =-+
即（x+ ）2=
∵a≠0 ∴4a2>0 当 b2-4ac≥0时， ≥0
∴x+=± 即x=
∴x1=，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子
x=（b2-4ac≥0）
就可求出方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
注意：用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：⑴将a、b、c的值代入公式时，一定要注意 不能出错。⑵式子b2-4ac≥0是公式的一部分。
（三）新知应用
1.用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x
(3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0
三、智慧乐园：记录你在预习过程中的困惑和经验并在课堂上交流。
预习自评（ ） 教师评价（ ）
四、课堂小结
五、智慧大道
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x= C．x= D．x=
2. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列叙述正确的是
A.方程总有两个实数根 B.只有当b2-4ac≥0时,才有两实根
C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实根 D.当b2-4ac=0时,方程无实根
3．用公式法解一元二次方程，正确的应是( )．
A． B．
C． D．
4.用公式法解一元二次方程
(1)x2＋4x－3=0． (2)
2.3一元二次方程的应用（1）(学案)
一、智慧航标
1.经历一元二次方程的实际应用，体验一元二次方程的应用价值.
2.会列一元二次方程解应用题.
教学重点与难点
教学重点: 本节教学的重点是列一元二次方程解应用题.
教学难点：例2的数量关系比较复杂，学生不容易理解.
预习指导：阅读教材P36-38页内容，经历一元二次方程的实际应用，体验一元二次方程的应用价值．仿照例题格式完成学案。记下你疑难之处和学习经验，课上交流。
二、智慧起航
（一）智慧激趣
1.有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
思考：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
（1）开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示第一轮后，共有 人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x人，用代数式表示 ，第二轮后，共有 人患流感。
（2）根据等量关系列方程：
（3）解这个方程得：
（4）平均一个人传染了 个人。
（5）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 人患流感。
2.某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
思考：如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为 元，
12月份的营业额为 元，即 元。
由此就可列方程：
归纳：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比。
增长率=增长数∶基准数
设基准数为a，增长率为x，
则一月（或一年）后产量为a（1+x）；
二月（或二年）后产量为a（1+x）2；
n月（或n年）后产量为a（1+x）n；
如果已知n月（n年）后总产量为M，则有下面等式：
M=a(1+x)n
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程。
（二）探索新知
1. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
思考：每盆盈利= ×
平均单株盈利=
解：
（三）新知应用
1.市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调一些药品的价格. 某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒. 假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.
2.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
三、智慧乐园：记录你在预习过程中的困惑和经验并在课堂上交流。
预习自评（ ） 教师评价（ ）
四、课堂小结
五、智慧大道
1. 某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是…（ ）
A. 200(1+a%)2=148 B. 200(1-a%)2=148
C. 200(1-2a%)=148 D. 200(1-a2%)=148
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？
2.3一元二次方程的应用（2）(学案)
一、智慧航标
1.继续探索一元二次方程的实际应用，进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值．
2. 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.
教学重点与难点
教学重点：本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用.
教学难点：＂合作学习＂的问题教为复杂，计算量大，是本节的难点.
预习指导：阅读教材P39-40页内容，继续探索一元二次方程的实际应用，进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值．仿照例题格式完成学案。记下你疑难之处和学习经验，课上交流。
二、智慧起航
（一）智慧激趣
1. 某中学准备建一个面积为375cm2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程（ ）
A. x(x-10)=375 B. x(x+10)=375 C. 2x(2x-10)=375 D. 2x(2x+10)=375
2. 从一块正方形的铁片上剪掉2cm宽的长方形铁片, 剩下的面积是48cm2, 则原来铁片的面积为（ ）
A. 64cm2 B. 100cm2 C. 121cm2 D. 144cm2
3. 直角三角形的斜边长为8, 周长为18, 若设一条直角边长为x, 则可得方程 .
（二）探索新知
1.如图，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图那样的无盖纸盒．若纸盒的底面积是450cm2,那么纸盒的高是多少？
（三）新知应用
1.围绕长方形公园的栅栏长280m．已知该公园的面积为4800 m2,求这个公园的长与宽．
2.一轮船以30km/h的速度由西向东航行（如图2-6），在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动．已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得BC=500km,BA=300km.
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？
（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到报警开始，经过多少时间就进入台风影响区？
建议：
①假设经过t时后，轮船和台风中心分别在cb位置；
②运用数形结合的方法寻找相等关系，并列出方程；
③通过相互交流，检查列方程，计算等过程是否正确；
④讨论：如果把航速改为10km/h,结果该怎样？
三、智慧乐园：记录你在预习过程中的困惑和经验并在课堂上交流。
预习自评（ ） 教师评价（ ）
四、课堂小结
五、智慧大道
1.某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图)，求彩纸的宽度.
2.如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△ PBQ的面积等于8cm2 ？
十字相乘法测试题
复习相关知识：
1、计算：（1） （2）
（3） （4）
（5）
2、把12分解成两个整数的积，有几种不同的结果？请写出所有不同的结果。
3、（1）已知两数之积为，和为2，则此两数为
（2）已知，且，求的值
思考：
1、在与相乘时，二次项、一次项、常数项分别是怎样产生的？是什么运算？ 2、根据分解因式和乘法的互逆关系，你能把多项式分解因式吗？
二、例1．把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
三、方法总结：将二次三项式分解因式，关键是选择和， ，
（1）为正数时，、 ，且与 同号；
（2）为负数时，、 ，其中绝对值 （填“较大”或“较小”）因数与同号；
（3）先把 分解成若干组两数之积，选择其中两数之和等于 的一组数。
练习：把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
四、例2．把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
练习：把下列各式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （2）
（3）
五、例3．计算：
（1） （2）
（3） （4）
你能用十字相乘法分解下列各式吗？
（1） （2）
（3） （4）
六、解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
（13） （14）
（15） （16）
（17） （18）
（19） （20）
