浙教版八年级下册第5章 5.1矩形 同步练习
一、单选题
1．（2016九上·盐城开学考）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2．（2015八下·沛县期中）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等且相互平分
3．（2015八下·大同期中）在一组对边平行的四边形中，增加下列条件中的哪一个条件，这个四边形是矩形（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
4．（2015八下·绍兴期中）若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（ ）
A．80° B．60° C．45° D．40°
5．（2015八下·金平期中）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
7．（2017八上·德惠期末）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．（2017·河北模拟）如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB=ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
9．（2017八上·龙泉驿期末）如图，矩形ABCD中，AB=1，∠AOB=60°，则BC=（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2015八下·伊宁期中）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．四条边都相等
C．对角相等 D．邻角互补
11．（2017八下·通辽期末）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
12．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
13．（2016八下·和平期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
14．（2015八下·深圳期中）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
15．（2016八下·费县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
16．（2016八下·和平期中）在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=80°，则∠OAB的大小为 （度）．
17．（2015八下·沛县期中）矩形两条对角线的夹角为60°，其中矩形中较短的边长为5，则矩形对角线的长为 ．
18．（2015八下·苏州期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为AB边上一点，DE∥AC，交BC于点E，DF∥BC，交AC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为
19．（2017八下·兴化月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOD=120°，AB=1，则△OAB的周长为 ．
20．（2015八下·青田期中）如图，在矩形ABCD中，已知∠DBC=45°，∠DBC的平分线交DC于点E，作EF⊥BD于点F，作FG⊥BC于点G，则 = ．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．请你判定四边形BMDN是什么特殊四边形，并说明理由．
22．（2016八下·广州期中）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4，设AB=x，AD=y，求x2+（y﹣4）2的值．
23．（2016八下·潮南期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2．求证：四边形ABCD是矩形．
四、综合题
24．（2015八下·苏州期中）已知：菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，CE∥BD．
（1）若AC=8，BD=6，求AB的长；
（2）求证：四边形OBEC为矩形．
25．（2015八下·沛县期中）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC= ，求BE的长．
26．（2015八下·泰兴期中）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选B．
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
2．【答案】C
【知识点】矩形的判定；中点四边形
【解析】【解答】解：已知：如下图，
四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故答案为：对角线互相垂直．
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、另一组对边相等，对角线相等，等腰梯形有此性质，故此选项不正确；
B、另一组对边相等，对角线互相垂直，菱形有此性质，故此选项不正确；
C、另一组对边平行，对角线相等，符合矩形的性质，故此选项正确；
D：另一组对边平行，对角线互相垂直，菱形有此性质，故此选项不正确．
故选：C．
【分析】根据矩形的判定及平行四边形的性质对每个选项论证得出正确选项．
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：图形中∠1=40°，
∵矩形的性质对角线相等且互相平分，
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰三角形，
∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．
故选A．
【分析】根据矩形的性质，得△BOC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质进行答题．
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF= = =4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故选：D．
【分析】先根据矩形的性质求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、四边相等的四边形也可能是菱形，故错误；
B、四个角相等的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【分析】此题根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定来分析，也可以举出反例来判断选项的正误．
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接EC．
∵FC垂直平分BE，
∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）
又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，
故EC=2，
利用勾股定理可得AB=CD==．
故选：C．
【分析】本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ABCD为矩形
∴∠A=∠C，AB=CD
∵∠AEB=∠CED
∴△AEB≌△CED，D不符题意；
∴BE=DE，A不符题意；
∠ABE=∠CDE,B符题意；
∵△EBA≌△EDC，△EBD是等腰三角形
∴过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴，C不符题意.
故答案为：B．
【分析】依据折叠的性质和矩形的性质可得到A=∠C，AB=CD，然后依据AAS可证明△AEB≌△CED，故此可对D作出判断，然后依据全等三角形的性质可得到BE=DE，故此可对A作出判断，然后依据轴对称图形的定义可对C作出判断.
9．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA= AC，OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=1，
∴AC=2OA=2，
∴BC= = ．
故选：B．
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再由已知条件得出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=1，AC=2，由勾股定理求出BC即可．
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选：B．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
11．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2 ，即AB=2 ，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB AD=2 ×8=16 ．
故答案为：16 ．
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．
12．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，
∴AD=BC，AB=DC，
∴四边形变成平行四边形，
故A正确；
BD的长度增加，
故B正确；
∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，
∴面积变小了，故C错误；
∵四边形的每条边的长度没变，
∴周长没变，
故D正确，
故选C．
【分析】由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD的长度增加了
13．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．
B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．
D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．
故选A．
【分析】真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．
14．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=DE，DO∥AB，
∴OD为△ABE的中位线，
∴OD=OC，
∵在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS）；
∵在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD；
故B、C、D均正确．
故选A．
【分析】根据AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可证明△AOD≌△EOD，OD为△ABE的中位线，OD=OC，然后根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形即可．
15．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
16．【答案】50
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= （180°﹣∠AOB）= （180°﹣80°）=50°；
故答案为：50．
【分析】根据矩形的性质求出OA=OB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
17．【答案】10
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA= AC，OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=5，
∴AC=2OA=10．
即矩形对角线的长为10．
故答案为：10．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由矩形两条对角线的夹角为60°，证得△AOB是等边三角形，继而求得答案．
18．【答案】2.4
【知识点】垂线段最短；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CD．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
∵DE∥AC，DF∥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC= BC AC=AB CD，
即 ×4×3= ×5 CD，
解得CD=2.4，
∴EF=2.4．
故答案是：2.4．
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
19．【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴OA=OB．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°．
∴△AOB为等边三角形．
∵AC=BD，
∴AO=BO=AB=1．
∴△OAB的周长为AO+BO+AB=3．
故答案为：3．
【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形；根据勾股定理即可求出BD的值．
20．【答案】 +1
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：在△BFE和△BCE中
∵ ，
∴△BFE≌△BCE（AAS），
∴BF=BC，
设BG=x，
∵在矩形ABCD中，∠DBC=45°，
∴BG=FG=x，
∴BC=BF= x，
∴GC= x﹣x，
∴ = = = +1．
故答案为： +1．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△BFE≌△BCE（AAS），进而利用同一未知数表示出BG，GC的长，进而得出答案．
21．【答案】解：四边形BMDN是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴∠MDO=∠NBO，
∵MN是BD的垂直平分线
∴在△MOD与△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（ASA），
∴MO=NO，
∴四边形BMDN是平行四边形．
∵MN是BD的垂直平分线，
∴平行四边形BMDN是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理ASA证得△MOD≌△NOB，则由全等三角形的对应边相等推知MO=NO，所以“对角线互相平分的四边形BMDN是平行四边形，然后由”对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形“证得结论﹣﹣四边形BMDN是菱形．
∴∠MOD=∠NOB=90°．
22．【答案】解：由题意知：AB=CD=x，AD=BC=y，CD⊥BE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°，
∵DF=EF，
∴∠E=∠FDE，
∴∠BDF=∠DBF，
∴DF=BF=4，
∴CF=4﹣y，
在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2=x2+（y﹣4）2=16
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角三角形和等腰三角形的性质得出∠BDF=∠DBF，因此DF=BF=4，得出CF=4﹣y，由勾股定理求出DF2，即可得出所求代数式的值．
23．【答案】证明：在 ABCD中，AO=CO，BO=DO，
∵∠1=∠2，
∴BO=CO，
∴AO=BO=CO=DO，
∴AC=BD，
∴ ABCD为矩形
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据等角对等边得出OB=OC，根据平行四边形性质求出OC=OA= AC，OB=OD= BD，推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可．
24．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO= AC，BO= BD，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，
∴AB= =5
（2）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCBD为平行四边形，
∵∠BOC=90°，
∴四边形OBCE为矩形
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分和勾股定理计算可得AB的长；（2）易证四边形OCBD是平行四边形，再由∠BOC=90°，即可证明四边形OBEC为矩形
25．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=DC
（2）解：由（1）得AE=DC，
∴AE=DC= ，
在矩形ABCD中，AB=CD= ，
在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（ ）2+（ ）2=BE2，
∴BE=2
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE，可证得AE=DC；（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长．
26．【答案】（1）证明：∵将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α，
∴DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，
∵四边形OCBA是正方形，
∴CB=CO，∠B=90°，
∴CB=CD，∠B=∠CDG=90°
在Rt△CDG与Rt△CBG中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG
（2）解：∵∠CDG=90°，
∴∠CDH=90°，
在Rt△COH与Rt△CDH中，
，
∴Rt△COH≌Rt△CDH，
∴∠OCH=∠DCH，HO=DH，
∵Rt△CDG≌Rt△CBG，
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG，
∴∠HCG=∠DCG+∠DCH=45°，
HG=HD+DG=HO+BG
（3）解：当G是AB中点时，四边形ADBE是矩形，
∵G是AB中点，
∴BG=AG= AB
由（2）得DG=BG，
又∵AB=DE，
∴DG= DE，
∴DG=GE=BG=AG，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=DE，
∴ ADBE是矩形，
设点H的坐标为（x，0），
则HO=HD=x，DG=BG=AG=3，AH=6﹣x，
由勾股定理得，（6﹣x）2+33=（3+x）2，
解得，x=2，
∴H（2，0）．
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据旋转变换的性质得到DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，根据正方形的性质得到CB=CO，∠B=90°，根据直角三角形的全等的判定定理证明即可；（2）证明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代换即可；（3）根据矩形的判定定理证明四边形AEBD是矩形，设点H的坐标为（x，0），根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到点H的坐标．
1 / 1浙教版八年级下册第5章 5.1矩形 同步练习
一、单选题
1．（2016九上·盐城开学考）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选B．
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
2．（2015八下·沛县期中）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等且相互平分
【答案】C
【知识点】矩形的判定；中点四边形
【解析】【解答】解：已知：如下图，
四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故答案为：对角线互相垂直．
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
3．（2015八下·大同期中）在一组对边平行的四边形中，增加下列条件中的哪一个条件，这个四边形是矩形（ ）
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、另一组对边相等，对角线相等，等腰梯形有此性质，故此选项不正确；
B、另一组对边相等，对角线互相垂直，菱形有此性质，故此选项不正确；
C、另一组对边平行，对角线相等，符合矩形的性质，故此选项正确；
D：另一组对边平行，对角线互相垂直，菱形有此性质，故此选项不正确．
故选：C．
【分析】根据矩形的判定及平行四边形的性质对每个选项论证得出正确选项．
4．（2015八下·绍兴期中）若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（ ）
A．80° B．60° C．45° D．40°
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：图形中∠1=40°，
∵矩形的性质对角线相等且互相平分，
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰三角形，
∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．
故选A．
【分析】根据矩形的性质，得△BOC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质进行答题．
5．（2015八下·金平期中）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF= = =4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，
故选：D．
【分析】先根据矩形的性质求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
6．在平面中，下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、四边相等的四边形也可能是菱形，故错误；
B、四个角相等的四边形是矩形，正确；
C、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【分析】此题根据平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定来分析，也可以举出反例来判断选项的正误．
7．（2017八上·德惠期末）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接EC．
∵FC垂直平分BE，
∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）
又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，
故EC=2，
利用勾股定理可得AB=CD==．
故选：C．
【分析】本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．
8．（2017·河北模拟）如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（ ）
A．△EBD是等腰三角形，EB=ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ABCD为矩形
∴∠A=∠C，AB=CD
∵∠AEB=∠CED
∴△AEB≌△CED，D不符题意；
∴BE=DE，A不符题意；
∠ABE=∠CDE,B符题意；
∵△EBA≌△EDC，△EBD是等腰三角形
∴过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴，C不符题意.
故答案为：B．
【分析】依据折叠的性质和矩形的性质可得到A=∠C，AB=CD，然后依据AAS可证明△AEB≌△CED，故此可对D作出判断，然后依据全等三角形的性质可得到BE=DE，故此可对A作出判断，然后依据轴对称图形的定义可对C作出判断.
9．（2017八上·龙泉驿期末）如图，矩形ABCD中，AB=1，∠AOB=60°，则BC=（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA= AC，OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=1，
∴AC=2OA=2，
∴BC= = ．
故选：B．
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，再由已知条件得出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=1，AC=2，由勾股定理求出BC即可．
10．（2015八下·伊宁期中）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．四条边都相等
C．对角相等 D．邻角互补
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选：B．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
11．（2017八下·通辽期末）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°
∴△EFB′是等边三角形，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2 ，即AB=2 ，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB AD=2 ×8=16 ．
故答案为：16 ．
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．
12．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（ ）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，
∴AD=BC，AB=DC，
∴四边形变成平行四边形，
故A正确；
BD的长度增加，
故B正确；
∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，
∴面积变小了，故C错误；
∵四边形的每条边的长度没变，
∴周长没变，
故D正确，
故选C．
【分析】由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD的长度增加了
13．（2016八下·和平期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．
B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．
D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．
故选A．
【分析】真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．
14．（2015八下·深圳期中）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AD=DE，DO∥AB，
∴OD为△ABE的中位线，
∴OD=OC，
∵在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS）；
∵在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD；
故B、C、D均正确．
故选A．
【分析】根据AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可证明△AOD≌△EOD，OD为△ABE的中位线，OD=OC，然后根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形即可．
15．（2016八下·费县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
二、填空题
16．（2016八下·和平期中）在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=80°，则∠OAB的大小为 （度）．
【答案】50
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA= （180°﹣∠AOB）= （180°﹣80°）=50°；
故答案为：50．
【分析】根据矩形的性质求出OA=OB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
17．（2015八下·沛县期中）矩形两条对角线的夹角为60°，其中矩形中较短的边长为5，则矩形对角线的长为 ．
【答案】10
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA= AC，OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=5，
∴AC=2OA=10．
即矩形对角线的长为10．
故答案为：10．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由矩形两条对角线的夹角为60°，证得△AOB是等边三角形，继而求得答案．
18．（2015八下·苏州期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为AB边上一点，DE∥AC，交BC于点E，DF∥BC，交AC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为
【答案】2.4
【知识点】垂线段最短；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CD．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
∵DE∥AC，DF∥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC= BC AC=AB CD，
即 ×4×3= ×5 CD，
解得CD=2.4，
∴EF=2.4．
故答案是：2.4．
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
19．（2017八下·兴化月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOD=120°，AB=1，则△OAB的周长为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形，
∴OA=OB．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°．
∴△AOB为等边三角形．
∵AC=BD，
∴AO=BO=AB=1．
∴△OAB的周长为AO+BO+AB=3．
故答案为：3．
【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形；根据勾股定理即可求出BD的值．
20．（2015八下·青田期中）如图，在矩形ABCD中，已知∠DBC=45°，∠DBC的平分线交DC于点E，作EF⊥BD于点F，作FG⊥BC于点G，则 = ．
【答案】 +1
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：在△BFE和△BCE中
∵ ，
∴△BFE≌△BCE（AAS），
∴BF=BC，
设BG=x，
∵在矩形ABCD中，∠DBC=45°，
∴BG=FG=x，
∴BC=BF= x，
∴GC= x﹣x，
∴ = = = +1．
故答案为： +1．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△BFE≌△BCE（AAS），进而利用同一未知数表示出BG，GC的长，进而得出答案．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．请你判定四边形BMDN是什么特殊四边形，并说明理由．
【答案】解：四边形BMDN是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴∠MDO=∠NBO，
∵MN是BD的垂直平分线
∴在△MOD与△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（ASA），
∴MO=NO，
∴四边形BMDN是平行四边形．
∵MN是BD的垂直平分线，
∴平行四边形BMDN是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理ASA证得△MOD≌△NOB，则由全等三角形的对应边相等推知MO=NO，所以“对角线互相平分的四边形BMDN是平行四边形，然后由”对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形“证得结论﹣﹣四边形BMDN是菱形．
∴∠MOD=∠NOB=90°．
22．（2016八下·广州期中）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4，设AB=x，AD=y，求x2+（y﹣4）2的值．
【答案】解：由题意知：AB=CD=x，AD=BC=y，CD⊥BE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°，
∵DF=EF，
∴∠E=∠FDE，
∴∠BDF=∠DBF，
∴DF=BF=4，
∴CF=4﹣y，
在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2=x2+（y﹣4）2=16
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质得到CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角三角形和等腰三角形的性质得出∠BDF=∠DBF，因此DF=BF=4，得出CF=4﹣y，由勾股定理求出DF2，即可得出所求代数式的值．
23．（2016八下·潮南期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】证明：在 ABCD中，AO=CO，BO=DO，
∵∠1=∠2，
∴BO=CO，
∴AO=BO=CO=DO，
∴AC=BD，
∴ ABCD为矩形
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据等角对等边得出OB=OC，根据平行四边形性质求出OC=OA= AC，OB=OD= BD，推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可．
四、综合题
24．（2015八下·苏州期中）已知：菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，CE∥BD．
（1）若AC=8，BD=6，求AB的长；
（2）求证：四边形OBEC为矩形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO= AC，BO= BD，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，
∴AB= =5
（2）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCBD为平行四边形，
∵∠BOC=90°，
∴四边形OBCE为矩形
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分和勾股定理计算可得AB的长；（2）易证四边形OCBD是平行四边形，再由∠BOC=90°，即可证明四边形OBEC为矩形
25．（2015八下·沛县期中）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC= ，求BE的长．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=DC
（2）解：由（1）得AE=DC，
∴AE=DC= ，
在矩形ABCD中，AB=CD= ，
在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（ ）2+（ ）2=BE2，
∴BE=2
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE，可证得AE=DC；（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长．
26．（2015八下·泰兴期中）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．
【答案】（1）证明：∵将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α，
∴DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，
∵四边形OCBA是正方形，
∴CB=CO，∠B=90°，
∴CB=CD，∠B=∠CDG=90°
在Rt△CDG与Rt△CBG中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG
（2）解：∵∠CDG=90°，
∴∠CDH=90°，
在Rt△COH与Rt△CDH中，
，
∴Rt△COH≌Rt△CDH，
∴∠OCH=∠DCH，HO=DH，
∵Rt△CDG≌Rt△CBG，
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG，
∴∠HCG=∠DCG+∠DCH=45°，
HG=HD+DG=HO+BG
（3）解：当G是AB中点时，四边形ADBE是矩形，
∵G是AB中点，
∴BG=AG= AB
由（2）得DG=BG，
又∵AB=DE，
∴DG= DE，
∴DG=GE=BG=AG，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=DE，
∴ ADBE是矩形，
设点H的坐标为（x，0），
则HO=HD=x，DG=BG=AG=3，AH=6﹣x，
由勾股定理得，（6﹣x）2+33=（3+x）2，
解得，x=2，
∴H（2，0）．
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据旋转变换的性质得到DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，根据正方形的性质得到CB=CO，∠B=90°，根据直角三角形的全等的判定定理证明即可；（2）证明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代换即可；（3）根据矩形的判定定理证明四边形AEBD是矩形，设点H的坐标为（x，0），根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到点H的坐标．
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