浙教版八年级下册第5章 5.2菱形 同步练习
一、单选题
1．（2015八下·沛县期中）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（ ）
A．962 B．48cm2 C．24cm2 D．12cm2
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的对角线分别为3a，4a，
∵菱形的周长为40，
∴菱形的边长为10，
∴（ ）2+（2a）2=102，
∴a2=16，
∴菱形的面积= ×3a×4a=6a2=96．
故选A．
【分析】设菱形的对角线分别为3a，4a，列出方程求出a2，根据菱形的面积= ×3a×4a=6a2即可解决问题．
2．（2017·全椒模拟）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
A．78° B．75° C．60° D．45°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，
即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得：∠CDE=∠PDE=45°，
在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．
故答案为：B．
【分析】连接BD，由菱形的性质和已知条件得△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，根据等边三角形三线合一的性质得∠ADP=∠BDP=30°，从而得∠PDC=90°；由折叠的性质得：∠CDE=∠PDE=45°，再由三角形内角和定理得∠DEC度数．
3．（2015八下·扬州期中）如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（ ）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，
∵AE=AF，
∴OE=OF=AE=AF，
∵AE=AF，
∴BC﹣BH=CD﹣DG，即OH=HC=CG=OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE﹣4（8﹣AE）=12，
解得：AE=5.5，
故选C
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可．
4．（2015八下·镇江期中）如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（ ）
A．15 B．16 C．19 D．20
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是3，
∴AE=AF=3，
∵S四边形ABCD=AE BC=AF CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图2，
，
设AB=BC=x，则BE=9﹣x，
∵BC2=BE2+CE2，
∴x2=（9﹣x）2+32，
解得x=5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：
5×3=15．
故选：A．
【分析】首先根据图1，证明四边形ABCD是菱形；然后判断出菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设AB=BC=x，则BE=9﹣x，利用勾股定理求出x的值，即可求出四边形ABCD面积的最大值是多少．
5．（2015八下·金平期中）如图四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC=4，OB=OD=3，
∴AB=5cm，
∴S菱形ABCD= AC BD=AB DH，
∴DH= =4.8．
故选C．
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得AB的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高．
6．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=24．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．
7．（2015八下·六合期中）如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB等于（ ）
A．22.5° B．45° C．30° D．135°
【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB= ∠DAB= ×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB= ∠CAE= ×45°=22.5°，
故选A．
【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB= ∠CAB，即可解决问题．
8．（2017八上·龙泉驿期末）如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（ ）
①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．则能使 ABCD是菱形的有①或③．
故选：A．
【分析】四边形ABCD是平行四边形，要是其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．
9．（2015八下·伊宁期中）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．四条边都相等
C．对角相等 D．邻角互补
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选：B．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
10．（2016八下·宜昌期中）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1．
故选C．
【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．
11．（2016八下·和平期中）菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线的长度是（ ）
A．20 B．5 cm C． cm D．5cm
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵菱形的周长为20cm，
∴菱形的边长为5cm，
∵两邻角之比为1：2，
∴较小角为60°，
∴∠ABO=30°，AB=5cm，
∵最长边为BD，BO=AB cos∠ABO=5× = （cm），
∴BD=2BO=5 （cm）．
故选：B．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x，因为邻角之和为180°，进而得出x的值，再画出其图形，根据三角函数，可以得到其中较长的对角线的长．
12．（2016八下·和平期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．
B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．
D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．
故选A．
【分析】真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．
13．（2016八下·费县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
14．（2015八下·深圳期中）如图，在菱形ABCD中，AB=10，对角线AC=12．若过点A作AE⊥CD，垂足为E，则AE的长为（ ）
A．9 B． C． D．9.5
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
∴AC⊥BD，AO= AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=12，
∴AO=6，
∴B0= =8，
∴DB=16，
∴菱形ABCD的面积是 ×AC DB= ×12×16=96，
∴DC AE=96，
解得：AE= ，
故选：C．
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO= AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式DC AE= AC BD可得答案．
15．（2015九下·深圳期中）如图，已知四边形ABCD是菱形，过顶点D作DE⊥AD，交对角线AC于点E，若∠DAE=20°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAC，
∵∠DAE=20°，
∴∠BAC=20°，
∴∠ADC=180°﹣40°=140°，
∵DE⊥AD，
∴∠CDE=140°﹣90°=50°．
故选：C．
【分析】利用菱形的对角线平分每组对角，进而得出∠ADC的度数，进而得出∠CDE的度数．
二、填空题
16．（2015八下·罗平期中）已知一个菱形的面积为8 cm2，且两条对角线的长度比为1： ，则菱形的边长为 ．
【答案】4cm
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：解：设菱形的两对角线长分别为xcm， xcm，
根据题意得 x x=8 ，
解得x1=4，x2=﹣4（舍去），
所以菱形短的对角线长为4cm，
则另一条对角线长为：4 cm，
故菱形的边长为： =4（cm）．
故答案为：4cm．
【分析】设菱形的两对角线长分别为xcm， xcm，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得到 x x=8 ，然后解方程即可菱形短的对角线长，进而得出答案．
17．（2015八下·金平期中）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
连接BD、AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°﹣60°=30°，
∵∠AOB=90°，
∴AO= AB= ×2=1，
由勾股定理得：BO=DO= ，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF= BD= ×（ + ）= ，
故答案为： ．
【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
18．（2015八下·金平期中）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 ，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
【答案】OA=OC
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：OA=OC，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
【分析】可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．
19．（2016八下·潮南期中）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 ．
【答案】（4，4）
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=CE= AC，BE=DE= BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD=2，BD=8，
∴AE=OD=2，DE=4，
∴AC=4，
∴点C的坐标为：（4，4）；
故答案为：（4，4）．
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE= AC，BE=DE= BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C的坐标．
20．（2015八下·深圳期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．
【答案】 ﹣1
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD= MD= ，
∴FM=DM×cos30°= ，
∴MC= = ，
∴A′C=MC﹣MA′= ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
三、综合题
21．（2016八下·和平期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．
（1）若AB=1，则BC的长= ；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）1
（2）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BC=BA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BC=BA=1．
故答案为1．
【分析】（1）只要证明△ABC是等腰三角形即可解决问题．（2）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可．
22．（2015八下·罗平期中）已知：如图，菱形花坛ABCD周长是80m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，相交于O点．
（1）求两条小路的长AC、BD．（结果可用根号表示）
（2）求花坛的面积．（结果可用根号表示）
【答案】（1）解：∵菱形花坛ABCD周长是80m，∠ABC=60°，
∴AB=BC=DC=AD=20cm，∠ABD=30°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=20cm，
∴AO=10cm，
∴BO= =10 （cm），
则BD=20 cm，AC=20cm
（2）解：由（1）得：花坛的面积为：20×20 =400 （cm2），
答：花坛的面积为400 cm2
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）直接利用菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而得出AO，BO的长，即可得出答案；（2）利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
23．（2016八下·凉州期中）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）填空：
①当t为 s时，四边形ACFE是菱形；
②当t为 s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．
【答案】（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）
（2）6；1.5
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的判定；直角梯形
【解析】【解答】（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6（s）；②四边形AFCE为直角梯形时，
（i）若CE⊥AG，则AE=3，BF=3×2=6，即点F与点C重合，不是直角梯形．
（ii）若AF⊥BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴F为BC中点，即BF=3，
∴此时的时间为3÷2=1.5（s）；
故答案为：6；1.5．
【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；②分两种情况考虑：若CE⊥AG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的长度及时间t的值．
四、解答题
24．（2016八下·潮南期中）如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．
【答案】证明：
∵AF∥CD，FG∥AC，
∴四边形ACGF是平行四边形，∠2=∠3，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AC=AF，
∴四边形ACGF是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】首先根据平行线的性质得到∠2=∠3，从而根据角平分线的性质得到∠1=∠3，得到AF=AC，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形证得结论．
25．（线段垂直平分线的判定）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．请你判定四边形BMDN是什么特殊四边形，并说明理由．
【答案】解：四边形BMDN是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴∠MDO=∠NBO，
∵MN是BD的垂直平分线
∴在△MOD与△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（ASA），
∴MO=NO，
∴四边形BMDN是平行四边形．
∵MN是BD的垂直平分线，
∴平行四边形BMDN是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理ASA证得△MOD≌△NOB，则由全等三角形的对应边相等推知MO=NO，所以“对角线互相平分的四边形BMDN是平行四边形，然后由”对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形“证得结论﹣﹣四边形BMDN是菱形．
∴∠MOD=∠NOB=90°．
26．（2016八下·寿光期中）如图在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法请分别做出判断，并证明．
【答案】解：甲、乙做法都正确．
甲做法：
证明：∵MN垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOM=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠MAC=∠NCA，
在△AOPM和△CON中，
，
∴△AOPM≌△CON，
∴OM=ON，
∴AC和MN互相垂直平分，
∴四边形ANCM是菱形；
乙做法：
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAF，
又∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE，
同理可得AB=AF，
∴BE=AF，
∵BE∥AF，
∴四边形ABEF为平行四边形
又∵AB=BE，
∴四边形ANCM是菱形
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】对于甲做法：利用MN垂直平分AC得到AO=CO，∠AOM=90°，再由AD∥BC得到∠MAC=∠NCA，则可证明△AOPM≌△CON，所以OM=ON，于是根据菱形的判定方法可判断四边形ANCM是菱形；
对于乙做法：由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAF，再由AD∥BC得到∠EAF=∠BEA，则∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，同理可得AB=AF，所以BE=AF，于是可证明四边形ABEF为平行四边形，再加上邻边相等可判断四边形ANCM是菱形．
1 / 1浙教版八年级下册第5章 5.2菱形 同步练习
一、单选题
1．（2015八下·沛县期中）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（ ）
A．962 B．48cm2 C．24cm2 D．12cm2
2．（2017·全椒模拟）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ）
A．78° B．75° C．60° D．45°
3．（2015八下·扬州期中）如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（ ）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
4．（2015八下·镇江期中）如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（ ）
A．15 B．16 C．19 D．20
5．（2015八下·金平期中）如图四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
7．（2015八下·六合期中）如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB等于（ ）
A．22.5° B．45° C．30° D．135°
8．（2017八上·龙泉驿期末）如图，下列选项中能使平行四边形ABCD是菱形的条件有（ ）
①AC⊥BD ②BA⊥AD ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
9．（2015八下·伊宁期中）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．四条边都相等
C．对角相等 D．邻角互补
10．（2016八下·宜昌期中）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
11．（2016八下·和平期中）菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线的长度是（ ）
A．20 B．5 cm C． cm D．5cm
12．（2016八下·和平期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
13．（2016八下·费县期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
14．（2015八下·深圳期中）如图，在菱形ABCD中，AB=10，对角线AC=12．若过点A作AE⊥CD，垂足为E，则AE的长为（ ）
A．9 B． C． D．9.5
15．（2015九下·深圳期中）如图，已知四边形ABCD是菱形，过顶点D作DE⊥AD，交对角线AC于点E，若∠DAE=20°，则∠CDE的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
二、填空题
16．（2015八下·罗平期中）已知一个菱形的面积为8 cm2，且两条对角线的长度比为1： ，则菱形的边长为 ．
17．（2015八下·金平期中）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．
18．（2015八下·金平期中）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 ，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
19．（2016八下·潮南期中）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 ．
20．（2015八下·深圳期中）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．
三、综合题
21．（2016八下·和平期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD．
（1）若AB=1，则BC的长= ；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
22．（2015八下·罗平期中）已知：如图，菱形花坛ABCD周长是80m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，相交于O点．
（1）求两条小路的长AC、BD．（结果可用根号表示）
（2）求花坛的面积．（结果可用根号表示）
23．（2016八下·凉州期中）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）填空：
①当t为 s时，四边形ACFE是菱形；
②当t为 s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．
四、解答题
24．（2016八下·潮南期中）如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．
25．（线段垂直平分线的判定）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．请你判定四边形BMDN是什么特殊四边形，并说明理由．
26．（2016八下·寿光期中）如图在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法请分别做出判断，并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的对角线分别为3a，4a，
∵菱形的周长为40，
∴菱形的边长为10，
∴（ ）2+（2a）2=102，
∴a2=16，
∴菱形的面积= ×3a×4a=6a2=96．
故选A．
【分析】设菱形的对角线分别为3a，4a，列出方程求出a2，根据菱形的面积= ×3a×4a=6a2即可解决问题．
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，
即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得：∠CDE=∠PDE=45°，
在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．
故答案为：B．
【分析】连接BD，由菱形的性质和已知条件得△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，根据等边三角形三线合一的性质得∠ADP=∠BDP=30°，从而得∠PDC=90°；由折叠的性质得：∠CDE=∠PDE=45°，再由三角形内角和定理得∠DEC度数．
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，
∵AE=AF，
∴OE=OF=AE=AF，
∵AE=AF，
∴BC﹣BH=CD﹣DG，即OH=HC=CG=OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE﹣4（8﹣AE）=12，
解得：AE=5.5，
故选C
【分析】根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可．
4．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是3，
∴AE=AF=3，
∵S四边形ABCD=AE BC=AF CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
如图2，
，
设AB=BC=x，则BE=9﹣x，
∵BC2=BE2+CE2，
∴x2=（9﹣x）2+32，
解得x=5，
∴四边形ABCD面积的最大值是：
5×3=15．
故选：A．
【分析】首先根据图1，证明四边形ABCD是菱形；然后判断出菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设AB=BC=x，则BE=9﹣x，利用勾股定理求出x的值，即可求出四边形ABCD面积的最大值是多少．
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC=4，OB=OD=3，
∴AB=5cm，
∴S菱形ABCD= AC BD=AB DH，
∴DH= =4.8．
故选C．
【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得AB的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高．
6．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=24．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB= ∠DAB= ×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB= ∠CAE= ×45°=22.5°，
故选A．
【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB= ∠CAB，即可解决问题．
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．则能使 ABCD是菱形的有①或③．
故选：A．
【分析】四边形ABCD是平行四边形，要是其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选；
B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选；
D、平行四边形邻角互补，故D不选．
故选：B．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1．
故选C．
【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．
11．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵菱形的周长为20cm，
∴菱形的边长为5cm，
∵两邻角之比为1：2，
∴较小角为60°，
∴∠ABO=30°，AB=5cm，
∵最长边为BD，BO=AB cos∠ABO=5× = （cm），
∴BD=2BO=5 （cm）．
故选：B．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x，因为邻角之和为180°，进而得出x的值，再画出其图形，根据三角函数，可以得到其中较长的对角线的长．
12．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．
B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．
D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．
故选A．
【分析】真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．
13．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
故选C．
【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
14．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
∴AC⊥BD，AO= AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=12，
∴AO=6，
∴B0= =8，
∴DB=16，
∴菱形ABCD的面积是 ×AC DB= ×12×16=96，
∴DC AE=96，
解得：AE= ，
故选：C．
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO= AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式DC AE= AC BD可得答案．
15．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAC，
∵∠DAE=20°，
∴∠BAC=20°，
∴∠ADC=180°﹣40°=140°，
∵DE⊥AD，
∴∠CDE=140°﹣90°=50°．
故选：C．
【分析】利用菱形的对角线平分每组对角，进而得出∠ADC的度数，进而得出∠CDE的度数．
16．【答案】4cm
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：解：设菱形的两对角线长分别为xcm， xcm，
根据题意得 x x=8 ，
解得x1=4，x2=﹣4（舍去），
所以菱形短的对角线长为4cm，
则另一条对角线长为：4 cm，
故菱形的边长为： =4（cm）．
故答案为：4cm．
【分析】设菱形的两对角线长分别为xcm， xcm，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得到 x x=8 ，然后解方程即可菱形短的对角线长，进而得出答案．
17．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
连接BD、AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°﹣60°=30°，
∵∠AOB=90°，
∴AO= AB= ×2=1，
由勾股定理得：BO=DO= ，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF= BD= ×（ + ）= ，
故答案为： ．
【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO=30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出，EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．
18．【答案】OA=OC
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：OA=OC，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
【分析】可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．
19．【答案】（4，4）
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=CE= AC，BE=DE= BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD=2，BD=8，
∴AE=OD=2，DE=4，
∴AC=4，
∴点C的坐标为：（4，4）；
故答案为：（4，4）．
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE=CE= AC，BE=DE= BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD=2，求出DE=4，AC=4，即可得出点C的坐标．
20．【答案】 ﹣1
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD= MD= ，
∴FM=DM×cos30°= ，
∴MC= = ，
∴A′C=MC﹣MA′= ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
21．【答案】（1）1
（2）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BC=BA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠BDC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠BCA，
∴BC=BA=1．
故答案为1．
【分析】（1）只要证明△ABC是等腰三角形即可解决问题．（2）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可．
22．【答案】（1）解：∵菱形花坛ABCD周长是80m，∠ABC=60°，
∴AB=BC=DC=AD=20cm，∠ABD=30°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=20cm，
∴AO=10cm，
∴BO= =10 （cm），
则BD=20 cm，AC=20cm
（2）解：由（1）得：花坛的面积为：20×20 =400 （cm2），
答：花坛的面积为400 cm2
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】（1）直接利用菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而得出AO，BO的长，即可得出答案；（2）利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．
23．【答案】（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）
（2）6；1.5
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的判定；直角梯形
【解析】【解答】（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6（s）；②四边形AFCE为直角梯形时，
（i）若CE⊥AG，则AE=3，BF=3×2=6，即点F与点C重合，不是直角梯形．
（ii）若AF⊥BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴F为BC中点，即BF=3，
∴此时的时间为3÷2=1.5（s）；
故答案为：6；1.5．
【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；②分两种情况考虑：若CE⊥AG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的长度及时间t的值．
24．【答案】证明：
∵AF∥CD，FG∥AC，
∴四边形ACGF是平行四边形，∠2=∠3，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AC=AF，
∴四边形ACGF是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】首先根据平行线的性质得到∠2=∠3，从而根据角平分线的性质得到∠1=∠3，得到AF=AC，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形证得结论．
25．【答案】解：四边形BMDN是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OD=OB，
∴∠MDO=∠NBO，
∵MN是BD的垂直平分线
∴在△MOD与△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（ASA），
∴MO=NO，
∴四边形BMDN是平行四边形．
∵MN是BD的垂直平分线，
∴平行四边形BMDN是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理ASA证得△MOD≌△NOB，则由全等三角形的对应边相等推知MO=NO，所以“对角线互相平分的四边形BMDN是平行四边形，然后由”对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形“证得结论﹣﹣四边形BMDN是菱形．
∴∠MOD=∠NOB=90°．
26．【答案】解：甲、乙做法都正确．
甲做法：
证明：∵MN垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOM=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠MAC=∠NCA，
在△AOPM和△CON中，
，
∴△AOPM≌△CON，
∴OM=ON，
∴AC和MN互相垂直平分，
∴四边形ANCM是菱形；
乙做法：
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAF，
又∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE，
同理可得AB=AF，
∴BE=AF，
∵BE∥AF，
∴四边形ABEF为平行四边形
又∵AB=BE，
∴四边形ANCM是菱形
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】对于甲做法：利用MN垂直平分AC得到AO=CO，∠AOM=90°，再由AD∥BC得到∠MAC=∠NCA，则可证明△AOPM≌△CON，所以OM=ON，于是根据菱形的判定方法可判断四边形ANCM是菱形；
对于乙做法：由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAF，再由AD∥BC得到∠EAF=∠BEA，则∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，同理可得AB=AF，所以BE=AF，于是可证明四边形ABEF为平行四边形，再加上邻边相等可判断四边形ANCM是菱形．
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