【精品解析】浙教版数学九年级下册2.1直线和圆的位置关系基础检测

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名称 【精品解析】浙教版数学九年级下册2.1直线和圆的位置关系基础检测
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科目 数学
更新时间 2016-04-18 09:16:55

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浙教版数学九年级下册2.1直线和圆的位置关系基础检测
一、单选题
1.两个同心圆的半径之比为3:5,AB是大圆的直径,大圆的弦BC与小圆相切,若AC=12,那么BC=(  )
A.6 B.8 C.10 D.16
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:设弦BC与小圆相切于点D,连接OD,如下图所示:
∵AB为大圆的直径,
∴AC⊥BC,
∵OD⊥BC,O为AB的中点∴OD∥AC
∴OD为△ABC的中位线;
∵AC=12,
∴OD=6;
∵两个同心圆的半径之比为3:5,
∴大圆半径为10,
∴AB=20,
∴BC==16.
故选D.
【分析】设弦BC与小圆相切于点D,连接OD,OD⊥BC,AB为大圆的直径,AC⊥BC,故OD为△ABC的中位线;因由已知可知AC=12,OD即可知,两个同心圆的半径之比为3:5,可求得大圆半径,再由勾股定理可求得BC的长.
2.如图,线段AB是⊙O的直径,点C、D为⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,若∠E=50°,则∠CDB等于(  )
A.20° B.25° C.30° D.40°
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连接OC,
∵CE是⊙O的切线,
∴∠OCE=90°,
∵∠E=50°,
∴∠COE=90°﹣50°=40°,
∴∠CDB=∠COE=20°.
故选A.
【分析】连接OC,根据切线的性质可知∠OCE=90°,再由直角三角形的性质得出∠COE的度数,由圆周角定理即可得出结论.
3.(2019·毕节模拟)如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为(  )
A.4 B.6 C.3 D.2
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连接OD,
∵DF为圆O的切线,
∴OD⊥DF,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°,
∵OD=OC,
∴△OCD为等边三角形,
∴∠CDO=∠A=60°,∠ABC=∠DOC=60°,
∴OD∥AB,
∴DF⊥AB,
在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,
∴AD=4,即AC=8,
∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6,
在Rt△BFG中,∠BFG=30°,
∴BG=3,
则根据勾股定理得:FG=3.
故选:B
【分析】连接OD,由DF为圆的切线,利用切线的性质得到OD垂直于DF,根据三角形ABC为等边三角形,利用等边三角形的性质得到三条边相等,三内角相等,都为60°,由OD=OC,得到三角形OCD为等边三角形,进而得到OD平行与AB,由O为BC的中点,得到D为AC的中点,在直角三角形ADF中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长,进而求出AC的长,即为AB的长,由AB﹣AF求出FB的长,在直角三角形FBG中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长,再利用勾股定理即可求出FG的长.
4.如图,AB是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,BC∥OD交⊙O于点C,若AB=2,OD=3,则BC的长为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:∵OD∥BC,
∴∠AOD=∠B;
∵AD是⊙O的切线,
∴BA⊥AD,AB为圆O的直径,
∴∠OAD=∠ACB=90°,
∴Rt△AOD∽Rt△CBA,
∴=,即=,
∴BC=.
故选B.
【分析】由于OD∥BC,可得同位角∠B=∠AOD,进而可证得Rt△AOD∽Rt△CBA,根据相似三角形所得比例线段即可求出BC的长.
5.(2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第2课时 切线的性质和判定 同步训练)如图,△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O,边AB与⊙O相切,切点为B.如果∠A=34°,那么∠C等于(  )
A.28° B.33° C.34° D.56°
【答案】A
【知识点】圆周角定理;切线的性质
【解析】【解答】解:连结OB,
∵AB与O相切
∴OB⊥AB
∴∠ABO=90°
∴∠AOB=90° ∠A=90° 34°=56°
∵弧BD=弧BD
∴∠C=∠AOB
∴∠C=×56°=28°
故答案为:A
【分析】由切线的性质及三角形内角和定理,求出∠AOB的度数,再根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,就可求出∠C的度数。
6.如图,半径均为整数的同心圆组成的“圆环带”,若大圆的弦AB与小圆相切于点P,且弦AB的长度为定值,则满足条件的不全等的“圆环带”有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连结OP、OA,如图,
∵大圆的弦AB与小圆相切于点P,
∴OP⊥AB,
∴AP=BP=AB=2,
在Rt△OAP中,OA2﹣OP2=AP2=(2)2=12,
∴(OA﹣OP)(OA+OP)=12,
而OA、OP为整数,
∴或或,
解得,
∴满足条件的不全等的“圆环带”有1个,即大圆半径为4,小圆半径为2.
故选A.
【分析】连结OP、OA,如图,根据切线的性质得OP⊥AB,则利用垂径定理得到AP=BP=AB=2,在Rt△OAP中利用勾股定理得到OA2﹣OP2=AP2=12,则(OA﹣OP)(OA+OP)=12,然后利用OA、OP为整数和整数的整除性解得,于是可判断满足条件的不全等的“圆环带”有1个.
7.如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D,过D作半圆的切线与边AC交于点E,过E作EF∥AB,与BC交于点F.若AB=20,OF=7.5,则CD的长为(  )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连结AD,如图,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠1+∠ADE=90°,∠2+∠C=90°,
∵DE为切线,
∴ED=EA,
∴∠ADE=∠2,
∴∠1=∠C,
∴ED=EC,
∴CE=AE,
∵EF∥AB,
∴EF为△ABC的中位线,
∴BF=CF,
而BO=AO,
∴OF为△ABC的中位线,
∴OF∥AE,
∴AE=OF=7.5,
∴AC=2AE=15,
在Rt△ACD中,BC===25,
∵∠DCA=∠ACB,
∴△CDA∽△CAB,
∴=,即=,
∴CD=9.
故选C.
【分析】连结AD,如图,先根据圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据切线长定理得到ED=EA,则∠ADE=∠2,于是利用等角的余角相等得∠1=∠C,则AE=DE=CE,则可判断EF为△ABC的中位线,得到BF=CF,接着可判断OF为△ABC的中位线,得到OF∥AE,所以AE=OF=7.5,然后在Rt△ACD中,利用勾股定理计算出BC=25,再证明△CDA∽△CAB,于是利用相似比可计算出CD.
8.如图,矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于点A,圆O的半径为4,且=2.若在没有滑动的情况下,将圆O向右滚动,使得O点向右移动了98π,则此时与地面相切的弧为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:∵圆O半径为4,
∴圆的周长为:2π×r=8π,
∵将圆O向右滚动,使得O点向右移动了98π,
∴98π÷8π=12…2π,
即圆滚动12周后,又向右滚动了2π,
∵矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于A点,=2,
∴=×8π=π<2π,+=×8π=4π>2π,
∴此时与地面相切;
故选:B.
【分析】根据题意得出圆的周长以及圆转动的周数,进而得出与地面相切的弧.
9.下列说法正确的是(  )
A.相切两圆的连心线经过切点 B.长度相等的两条弧是等弧
C.平分弦的直径垂直于弦 D.相等的圆心角所对的弦相等
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:A、根据圆的轴对称性可知此命题正确.
B、等弧指的是在同圆或等圆中,能够完全重合的弧.而此命题没有强调在同圆或等圆中,所以长度相等的两条弧,不一定能够完全重合,此命题错误;
B、此弦不能是直径,命题错误;
C、相等的圆心角指的是在同圆或等圆中,此命题错误;
故选A.
【分析】要找出正确命题,可运用相关基础知识分析找出正确选项,也可以通过举反例排除不正确选项,从而得出正确选项.(1)等弧指的是在同圆或等圆中,能够完全重合的弧.长度相等的两条弧,不一定能够完全重合;(2)此弦不能是直径;(3)相等的圆心角所对的弦相等指的是在同圆或等圆中.
10.如图,AB是⊙O的直径,C,D 是⊙O上的点,∠CDB=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E,则sinE的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连接OC,
∵EC切⊙O于C,
∴∠OCE=90°,
∵∠CDB=30°,
∴∠A=∠CDB=30°,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A=30°,
∴∠COE=30°+30°=60°,
∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°,
∴sinE=,
故选A.
【分析】连接OC,求出∠OCE=90°,求出∠A=∠ACO=30°,根据三角形外角性质求出∠COE=60°,即可求出答案.
11.如图,AB是⊙O的直径,延长AB至点P,使PB等于半径OB,过点P作⊙O的切线,切点为C,则∠ABC的度数等于(  )
A.45° B.50° C.55° D.60°
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连接OC,
∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴△OCP是直角三角形,
∵OB=BP,
∴BC=OP,
∴BC=OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠ABC的度数等于60°,
故选D.
【分析】连接OC,由切线的性质可知△OCB是直角三角形,因为使PB等于半径OB,所以O为OP中点,所以BC=OB=OC,由此可得三角形OBC是等边三角形,进而求出∠ABC的度数.
12.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点O是边BC的中点,半圆O与△ABC相切于点D、E,则阴影部分的面积等于(  )
A.1﹣ B. C.1﹣ D.
【答案】B
【知识点】切线的性质;扇形面积的计算
【解析】【解答】解:连接OD,OE,
∵半圆O与△ABC相切于点D、E,
∴OD⊥AB,OE⊥AC,
∵在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,
∴四边形ADOE是正方形,△OBD和△OCE是等腰直角三角形,
∴OD=OE=AD=BD=AE=EC=1,
∴∠ABC=∠EOC=45°,
∴AB∥OE,
∴∠DBF=∠OEF,
在△BDF和△EOF中,

∴△BDF≌△EOF(AAS),
∴S阴影=S扇形DOE=×π×12=.
故选B.
【分析】首先连接OD,OE,易得△BDF≌△EOF,继而可得S阴影=S扇形DOE,即可求得答案.
13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,D点从BC的中点到C点运动,点E在AD上,以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,则⊙E的半径R的取值范围为(  )
A.≤R≤ B.≤R≤ C.≤R≤2 D.1≤R≤
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:当点E在AD上,AD为△ABC的中线,如图1,作EH⊥BC于H,EF⊥AB于F,
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,
∴EH=EF=R,
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=5,AC=3,
∴BC==4,
∵点D为BC的中点,
∴BD=CD=2,
在Rt△ADC中,AD==,
∵EH∥AC,
∴△DEH∽△DAC,
∴==,即==,
∴DE=R,DH=R,
∴AE=AD﹣DE=﹣R,BH=BD+DH=2+R,
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,
∴BF=BH=2+R
∴AF=AB﹣BF=3﹣R,
在Rt△AEF中,∵EF2+AF2=AE2,
∴R2+(3﹣R)2=(﹣R)2,解得R=;
当点D运动到点C的位置,如图2,作EF⊥AB于F,
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,
∴EC=EF=R,
∴AE=AC﹣EC=3﹣R,
∵∠FAE=∠CAB,
∴Rt△AFE∽Rt△ACB,
∴=,即=,解得R=,
∴当D点从BC的中点到C点运动,点E在AD上,以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,则⊙E的半径R的取值范围为≤R≤.
故选B.
【分析】当点E在AD上,AD为△ABC的中线,如图1,作EH⊥BC于H,EF⊥AB于F,根据切线的性质得EH=EF=R,在Rt△ABC中利用勾股定理计算出BC=4,在Rt△ADC中,根据勾股定理计算出AD=,然后证明△DEH∽△DAC,利用相似比得到DE=R,DH=R,则AE=AD﹣DE=﹣R,BH=BD+DH=2+R,则根据切线长定理得BF=BH=2+R,所以AF=AB﹣BF=3﹣R,再在Rt△AEF中根据勾股定理得到R2+(3﹣R)2=(﹣R)2,解得R=;
当点D运动到点C的位置,如图2,作EF⊥AB于F,利用切线的性质得EC=EF=R,则AE=AC﹣EC=3﹣R,再证明Rt△AFE∽Rt△ACB,利用相似比可计算出R=,
由于D为BC的中点时,⊙E的半径最小,D点与C点重合时,⊙E的半径最大,所以则⊙E的半径R的取值范围为≤R≤.
14.已知⊙O与直线l相切于A点,点P、Q同时从A点出发,P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动.连接OQ、OP(如图),则阴影部分面积S1、S2的大小关系是(  )
A.S1=S2
B.S1≤S2
C.S1≥S2
D.先S1<S2,再S1=S2,最后S1>S2
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:∵直线l与圆O相切,
∴OA⊥AP,
∴S扇形AOQ= r= OA,S△AOP=OA AP,
∵ =AP,
∴S扇形AOQ=S△AOP,即S扇形AOQ﹣S扇形AOB=S△AOP﹣S扇形AOB,
则S1=S2.
故选A.
【分析】由题意得到弧AQ长度与AP相等,利用扇形面积公式及三角形面积公式得到扇形AOQ面积与三角形AOP面积相等,都减去扇形AOB面积即可得到S1、S2的大小关系.
15.如图,两个同心圆的半径分别为6cm和3cm,大圆的弦AB与小圆相切,则劣弧AB的长为(  )
A.2π B.4π C.6π D.8π
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:如图,连接OC,AO,
∵大圆的一条弦AB与小圆相切,
∴OC⊥AB,
∵OA=6,OC=3,
∴OA=2OC,
∴∠A=30°,
∴∠AOC=60°,
∴∠AOB=120°,
∴劣弧AB的长= =4π,
故选B.
【分析】首先连接OC,AO,由切线的性质,可得OC⊥AB,根据已知条件可得:OA=2OC,进而求出∠AOC的度数,则圆心角∠AOB可求,根据弧长公式即可求出劣弧AB的长.
二、填空题
16.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,若⊙O和三角形三边所在直线都相切,则符合条件的⊙O的半径为    .
【答案】1,2,3,6 
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:设圆的半径为r,
①如图,当是圆O时,∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,
∴斜边AC==5,
则符合条件的⊙O的半径为:r==1,
②当是⊙O1时,⊙01的半径为=6,
③当是⊙O2时,根据切线长定理得:4﹣r+5=3+r,
解得:r=3,
④当是⊙O3时,根据切线长定理得:3﹣r+5=4+r,
解得:r=2,
故答案是:1,2,3,6.
【分析】首先利用勾股定理求得斜边BC的长,根据直角三角形三边的长和内切圆的半径之间的关系求解即可.
17.(人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系课时练习)如果圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径,那么直线l和⊙O的公共点有   个.
【答案】1
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径,
∴直线与圆O相切,
∴直线l和⊙O的公共点有1个,
故答案为:1.
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系,解题的关键是县确定位置关系,然后确定交点个数.
18.在直角坐标平面内,圆心O的坐标是(3,﹣5),如果圆O经过点(0,﹣1),那么圆O与x轴的位置关系是    .
【答案】相切 
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:∵圆心O的坐标是(3,﹣5),如果圆O经过点(0,﹣1),
∴圆的半径为=5,
∵O到x轴的距离为5,
∴圆O与x轴的位置关系是相切,
故答案为:相切.
【分析】确定圆O的半径,然后根据点O到x轴的距离与圆的半径的大小进行判断即可.
19.如图,已知∠BOA=30°,M为OB边上一点,以M为圆心、2cm为半径作⊙M.点M在射线OB上运动,当OM=5cm时,⊙M与直线OA的位置关系是    .
【答案】相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:作MH⊥OA于H,如图,
在Rt△OMH中,∵∠HOM=30°,
∴MH=OM=,
∵⊙M的半径为2,
∴MH>2,
∴⊙M与直线OA的位置关系是相离.
故答案为相离.
【分析】作MH⊥OA于H,如图,根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=OM=,则MH大于⊙M的半径,然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解.
20.如图,CA⊥AB,DB⊥AB,已知AC=2,AB=6,点P射线BD上一动点,以CP为直径作⊙O,点P运动时,若⊙O与线段AB有公共点,则BP最大值为    .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:当AB与⊙O相切时,PB的值最大,
如图,设AB与⊙O相切于E,连接OE,则OE⊥AB,
过点C作CF⊥PB于F,
∵CA⊥AB,DB⊥AB,
∴AC∥OE∥PB,
四边形ABPC是矩形,
∴CF=AB=6,
∵CO=OP,
∴AE=BE,
设PB=x,则PC=2OE=2+x,PF=x﹣2,
∴(x+2)2=(x﹣2)2+62,
解得;x=,
∴BP最大值为:,
故答案为:.
【分析】首先判断当AB与⊙O相切时,PB的值最大,设AB与⊙O相切于E,连接OE,则OE⊥AB,过点C作CF⊥PB于F,由CA⊥AB,DB⊥AB,得到AC∥OE∥PB,四边形ABPC是矩形,证得CF=AB=6,在直角三角形PCF中,由勾股定理列方程求解.
三、解答题
21.如图,AB是⊙O的切线,B为切点,圆心O在AC上,∠A=30°,D为的中点.
(1)求证:AB=BC.
(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.
【答案】解:(1)∵AB是⊙O的切线,∴∠OBA=90°,∠AOB=90°﹣30°=60°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∠OCB=30°=∠A,∴AB=BC.(2)四边形BOCD为菱形,理由如下:连接OD交BC于点M,∵D是的中点,∴OD垂直平分BC.在Rt△OMC中,∵∠OCM=30°,∴OC=2OM=OD∴OM=MD,∴四边形BOCD为菱形.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)由AB是⊙O的切线,∠A=30°,易求得∠OCB的度数,继而可得∠A=∠OCB=30°,又由等角对等边,证得AB=BC;
(2)首先连接OD,易证得△BOD与△COD是等边三角形,可得OB=BD=OC=CD,即可证得四边形BOCD是菱形.
22.如图,在⊙O中,直径AB交弦ED于点G,EG=DG,⊙O的切线BC交DO的延长线于点C,F是DC与⊙O的交点,连结AF.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若OD=1,CF=,求AF的长.
【答案】解:(1)∵直径AB交弦ED于点G,EG=DG,
∴AB⊥ED,
∵BC是⊙O的切线,
∴AB⊥BC,
∴DE∥BC;
(2)连接BF,BD,
∵OD=1,CF=,
∴CD=OD+CF=,
∵BC是⊙O的切线,
∴BC2=CF CD=×=,
∴BC=,
∵∠CBF=∠CDB,∠BCF=∠DCB,
∴△CBF∽△CDB,
∴==3,
∴BD=3BF,
∵AF=BD,
∴AF=3BF,
∵AB是直径,
∴∠AFB=90°,
∴AF2+BF2=AB2,
∴AB=2OD=2,
∴AF2+(AF)2=22,
∴AF=.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)根据垂径定理和切线的性质定理就可证得;
(2)连接BF,BD,根据切线长定理就可求得BC,进而根据三角形相似求得BD=BF,然后根据勾股定理就可求得.
23.如图,BE是圆O的直径,A在EB的延长线上,AP为圆O的切线,P为切点,弦PD垂直于BE于点C.
(1)求证:∠AOD=∠APC;
(2)若OC:CB=1:2,AB=6,求圆O的半径及tan∠APB.
【答案】解:(1)证明:连接OP.∵OP=OD,∴∠OPD=∠D;∵PD⊥BE,∴∠OCD=90°;在Rt△OCD中,∠D+∠AOD=90°,又∵AP是⊙O的切线,∴AP⊥OP,则∠OPD+∠APC=90°,∴∠AOD=∠APC;(2)连接PE.∴∠BPE=90°(直径所对的圆周角是直角);∵AP是⊙O的切线,∴∠APB=∠OPE=∠PEA;∵OC:CB=1:2,∴设OC=x,则BC=2x,OP=OB=3x;在Rt△OPC中,OP=3x,OC=x,由勾股定理得:PC2=OP2﹣OC2=8x2;在Rt△OPC中,PC⊥OA,由射影定理得:PC2=OC AC,即8x2=x(2x+6),6x2=6x,解得x=0(舍去),x=1;∴OP=OB=3,PC=2,CE=OC+OE=3+1=4,∴tan∠APB=tan∠PEC==,∴⊙O的半径为3,∠APB的正切值是.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)连接OP.可结合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性质进行证明;
(2)根据OC、BC的比例关系,可用未知数表示出OC、BC的表达式,进而可得OP、OB的表达式;在Rt△AOP中,PC⊥OA,根据射影定理得:PC2=PC AC,PC2的表达式可在Rt△OPC中由勾股定理求得,由此求得未知数的知,从而确定PC、CE的长,也就能求出⊙O的半径和∠APB的正切值.
24.如图,∠B=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.若AD=2,且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣8x+k=0的两个实数根.
(1)求⊙O的半径.
(2)求CD的长.
【答案】解:(1)连接OD、DE、DB,设⊙O半径为r,
∵CD为⊙O切线,∴∠ODA=90°,
∵BE为⊙O直径,∴∠BDE=90°,
∴∠ADE=∠BDO,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∵∠DAE=∠BAD,
∴△ADE∽△ABD,
∴,
∴AB AE=,
∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣8x+k=0的两个实数根,
∴k=12,
解方程x2﹣8x+12=0得:两个实数根为:2和6,
∴设半径的长为r,
可得半径r=×(6﹣2)=2;
(2)∵∠B=90°,
∴CB为⊙O切线,
∴CD=CB,
∴CB2+AB2=AC2,
∴CD2+62=(2+CD)2,
∴CD=2.
答:CD的长度为2.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)根据切线长定理得出AB AE的长=12,进而得出k的值,设半径的长为r,再代入切线长定理解答即可;
(2)根据切线长定理,即可得出CD=CB,由勾股定理得CD的长即可.
25.如图,以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D,过点D作⊙O的切线交AB于点E.
(1)如图1,若∠ABC=90°,求证:OE∥AC;
(2)如图2,已知AB=AC,若sin∠ADE=,求tanA的值.
【答案】解:(1)证明:连结OD,如图1,
∵DE为⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
∴∠ODE=90°,
在Rt△OBE和Rt△ODE中,
∴Rt△OBE≌Rt△ODE,
∴∠1=∠2,
∵OC=OD,
∴∠3=∠C,
而∠1+∠2=∠C+∠3,
∴∠2=∠C,
∴OE∥AC;
(2)解:连结OD,作OF⊥CD于F,DH⊥OC于H,如图2,
∵AB=AC,OC=OD,
而∠ACB=∠OCD,
∴∠A=∠COD,
∵DE为⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
∴∠ODE=90°,
∴∠ADE+∠ODF=90°,
而∠DOF+∠ODF=90°,
∴∠ADE=∠DOF,
∴sin∠DOF=sin∠ADE=,
在Rt△DOF中,sin∠DOF==,
设DF=x,则OD=3x,
∴OF==2x,DF=CF=x,OC=3x,
∵DH OC=OF CD,
∴DH==x,
在Rt△ODH中,OH==x,
∴tan∠DOH===,
∴tan∠A=.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)连结OD,如图1,根据切线的性质得∠ODE=90°,再证明Rt△OBE≌Rt△ODE得到∠1=∠2,加上∠3=∠C,则利用三角形外角性质可得∠2=∠C,然后根据平行线的判定可判断OE∥AC;
(2)连结OD,作OF⊥CD于F,DH⊥OC于H,如图2,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理,由AB=AC,OC=OD,∠ACB=∠OCD可得∠A=∠COD,根据切线的性质得∠ODE=90°,则∠ADE+∠ODF=90°,
而∠DOF+∠ODF=90°,利用等角的余角相等得∠ADE=∠DOF,于是有sin∠DOF=sin∠ADE=,在Rt△DOF中,根据正弦的定义得到=,则可设DF=x,则OD=3x,利用勾股定理计算出OF=2x,DF=CF=x,OC=3x,接着可运用面积法计算出DH=x,然后在Rt△ODH中用勾股定理计算出OH=x,再根据正切的定义求解即可.
26.(2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第二章圆 单元卷)如图,CB是⊙O的直径,P是CB延长线上一点,PB=2,PA切⊙O于A点,PA=4.求⊙O的半径.
【答案】解:如图,
连接OA,
∵PA切⊙O于A点,
∴OA⊥PA,
设OA=x,
∴OP=x+2,
在Rt△OPA中
x2+42=( x+2)2
∴x=3
∴⊙O的半径为3.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】设圆的半径是x,利用勾股定理可得关于x的方程,求出x的值即可
27.如图,点C是以AB为直径的⊙O上的一点,BD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D.
(1)求证:BC平分∠DBA;
(2)若CD=6,BC=10,求⊙O的半径长.
【答案】解:(1)证明:连接OC,
∵CD是⊙O的切线,C为切点,
∴OC⊥CD,
∵BD⊥DC,
∴OC∥BD,
∴∠DBC=∠BCO,
∵OC=OB,
∴∠BCO=∠CBO,
∴∠DBC=∠CBO,
即BC平分∠DBA;
(2)解:连接AC,
在Rt△CBD中,BD==8,
∵AB为直径,C在圆上,
∴∠ACB=90°,
∴∠BDC=∠BCA,
∵∠DBC=∠ABC,
∴△ABC∽△CBD,
∴=,
∴=,
∴AB=,
即⊙O的半径为.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC∥BD,推出∠CBA=∠DBC,根据角平分线定义得出即可;
(2)连接AC,根据勾股定理求出BD,证△ACB∽△CDB,得出比例式,代入后求出AB即可.
28.已知:AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的任意一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线PD与AC交于点D.
(1)如图1,若∠CPA恰好等于30°,求∠CDP的度数;
(2)如图2,若点P位于(1)中不同的位置,(1)的结论是否仍然成立?说明你的理由.
【答案】解:(1)连接OC,
∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC
∴∠OCP=90°.
∵∠CPA=30°,
∴∠COP=60°
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO=30°
∵PD平分∠APC,
∴∠APD=15°,
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°.
(2)∠CDP的大小不发生变化.
∵PC是⊙O的切线,
∴∠OCP=90°.
∵PD是∠CPA的平分线,
∴∠APC=2∠APD.
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠COP=2∠A,
在Rt△OCP中,∠OCP=90°,
∴∠COP+∠OPC=90°,
∴2(∠A+∠APD)=90°,
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°.
即∠CDP的大小不发生变化.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)连接OC,则∠OCP=90°,根据∠CPA=30°,求得∠COP,再由OA=OC,得出∠A=∠ACO,由PD平分∠APC,即可得出∠CDP=45°.
(2)由PC是⊙O的切线,得∠OCP=90°.再根据PD是∠CPA的平分线,得∠APC=2∠APD.根据OA=OC,可得出∠A=∠ACO,即∠COP=2∠A,在Rt△OCP中,∠OCP=90°,则∠COP+∠OPC=90°,从而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°.所以∠CDP的大小不发生变化.
1 / 1浙教版数学九年级下册2.1直线和圆的位置关系基础检测
一、单选题
1.两个同心圆的半径之比为3:5,AB是大圆的直径,大圆的弦BC与小圆相切,若AC=12,那么BC=(  )
A.6 B.8 C.10 D.16
2.如图,线段AB是⊙O的直径,点C、D为⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,若∠E=50°,则∠CDB等于(  )
A.20° B.25° C.30° D.40°
3.(2019·毕节模拟)如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为(  )
A.4 B.6 C.3 D.2
4.如图,AB是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,BC∥OD交⊙O于点C,若AB=2,OD=3,则BC的长为(  )
A. B. C. D.
5.(2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.4直线与圆的位置关系 第2课时 切线的性质和判定 同步训练)如图,△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O,边AB与⊙O相切,切点为B.如果∠A=34°,那么∠C等于(  )
A.28° B.33° C.34° D.56°
6.如图,半径均为整数的同心圆组成的“圆环带”,若大圆的弦AB与小圆相切于点P,且弦AB的长度为定值,则满足条件的不全等的“圆环带”有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
7.如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作半圆⊙O与边BC交于点D,过D作半圆的切线与边AC交于点E,过E作EF∥AB,与BC交于点F.若AB=20,OF=7.5,则CD的长为(  )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.如图,矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于点A,圆O的半径为4,且=2.若在没有滑动的情况下,将圆O向右滚动,使得O点向右移动了98π,则此时与地面相切的弧为(  )
A. B. C. D.
9.下列说法正确的是(  )
A.相切两圆的连心线经过切点 B.长度相等的两条弧是等弧
C.平分弦的直径垂直于弦 D.相等的圆心角所对的弦相等
10.如图,AB是⊙O的直径,C,D 是⊙O上的点,∠CDB=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E,则sinE的值为(  )
A. B. C. D.
11.如图,AB是⊙O的直径,延长AB至点P,使PB等于半径OB,过点P作⊙O的切线,切点为C,则∠ABC的度数等于(  )
A.45° B.50° C.55° D.60°
12.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点O是边BC的中点,半圆O与△ABC相切于点D、E,则阴影部分的面积等于(  )
A.1﹣ B. C.1﹣ D.
13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,D点从BC的中点到C点运动,点E在AD上,以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,则⊙E的半径R的取值范围为(  )
A.≤R≤ B.≤R≤ C.≤R≤2 D.1≤R≤
14.已知⊙O与直线l相切于A点,点P、Q同时从A点出发,P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动.连接OQ、OP(如图),则阴影部分面积S1、S2的大小关系是(  )
A.S1=S2
B.S1≤S2
C.S1≥S2
D.先S1<S2,再S1=S2,最后S1>S2
15.如图,两个同心圆的半径分别为6cm和3cm,大圆的弦AB与小圆相切,则劣弧AB的长为(  )
A.2π B.4π C.6π D.8π
二、填空题
16.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,若⊙O和三角形三边所在直线都相切,则符合条件的⊙O的半径为    .
17.(人教版数学九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系课时练习)如果圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径,那么直线l和⊙O的公共点有   个.
18.在直角坐标平面内,圆心O的坐标是(3,﹣5),如果圆O经过点(0,﹣1),那么圆O与x轴的位置关系是    .
19.如图,已知∠BOA=30°,M为OB边上一点,以M为圆心、2cm为半径作⊙M.点M在射线OB上运动,当OM=5cm时,⊙M与直线OA的位置关系是    .
20.如图,CA⊥AB,DB⊥AB,已知AC=2,AB=6,点P射线BD上一动点,以CP为直径作⊙O,点P运动时,若⊙O与线段AB有公共点,则BP最大值为    .
三、解答题
21.如图,AB是⊙O的切线,B为切点,圆心O在AC上,∠A=30°,D为的中点.
(1)求证:AB=BC.
(2)试判断四边形BOCD的形状,并说明理由.
22.如图,在⊙O中,直径AB交弦ED于点G,EG=DG,⊙O的切线BC交DO的延长线于点C,F是DC与⊙O的交点,连结AF.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若OD=1,CF=,求AF的长.
23.如图,BE是圆O的直径,A在EB的延长线上,AP为圆O的切线,P为切点,弦PD垂直于BE于点C.
(1)求证:∠AOD=∠APC;
(2)若OC:CB=1:2,AB=6,求圆O的半径及tan∠APB.
24.如图,∠B=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.若AD=2,且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣8x+k=0的两个实数根.
(1)求⊙O的半径.
(2)求CD的长.
25.如图,以△ABC的边BC为直径的⊙O交AC于点D,过点D作⊙O的切线交AB于点E.
(1)如图1,若∠ABC=90°,求证:OE∥AC;
(2)如图2,已知AB=AC,若sin∠ADE=,求tanA的值.
26.(2018-2019学年初中数学湘教版九年级下册 第二章圆 单元卷)如图,CB是⊙O的直径,P是CB延长线上一点,PB=2,PA切⊙O于A点,PA=4.求⊙O的半径.
27.如图,点C是以AB为直径的⊙O上的一点,BD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D.
(1)求证:BC平分∠DBA;
(2)若CD=6,BC=10,求⊙O的半径长.
28.已知:AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的任意一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线PD与AC交于点D.
(1)如图1,若∠CPA恰好等于30°,求∠CDP的度数;
(2)如图2,若点P位于(1)中不同的位置,(1)的结论是否仍然成立?说明你的理由.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:设弦BC与小圆相切于点D,连接OD,如下图所示:
∵AB为大圆的直径,
∴AC⊥BC,
∵OD⊥BC,O为AB的中点∴OD∥AC
∴OD为△ABC的中位线;
∵AC=12,
∴OD=6;
∵两个同心圆的半径之比为3:5,
∴大圆半径为10,
∴AB=20,
∴BC==16.
故选D.
【分析】设弦BC与小圆相切于点D,连接OD,OD⊥BC,AB为大圆的直径,AC⊥BC,故OD为△ABC的中位线;因由已知可知AC=12,OD即可知,两个同心圆的半径之比为3:5,可求得大圆半径,再由勾股定理可求得BC的长.
2.【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连接OC,
∵CE是⊙O的切线,
∴∠OCE=90°,
∵∠E=50°,
∴∠COE=90°﹣50°=40°,
∴∠CDB=∠COE=20°.
故选A.
【分析】连接OC,根据切线的性质可知∠OCE=90°,再由直角三角形的性质得出∠COE的度数,由圆周角定理即可得出结论.
3.【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连接OD,
∵DF为圆O的切线,
∴OD⊥DF,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°,
∵OD=OC,
∴△OCD为等边三角形,
∴∠CDO=∠A=60°,∠ABC=∠DOC=60°,
∴OD∥AB,
∴DF⊥AB,
在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,
∴AD=4,即AC=8,
∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6,
在Rt△BFG中,∠BFG=30°,
∴BG=3,
则根据勾股定理得:FG=3.
故选:B
【分析】连接OD,由DF为圆的切线,利用切线的性质得到OD垂直于DF,根据三角形ABC为等边三角形,利用等边三角形的性质得到三条边相等,三内角相等,都为60°,由OD=OC,得到三角形OCD为等边三角形,进而得到OD平行与AB,由O为BC的中点,得到D为AC的中点,在直角三角形ADF中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长,进而求出AC的长,即为AB的长,由AB﹣AF求出FB的长,在直角三角形FBG中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长,再利用勾股定理即可求出FG的长.
4.【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:∵OD∥BC,
∴∠AOD=∠B;
∵AD是⊙O的切线,
∴BA⊥AD,AB为圆O的直径,
∴∠OAD=∠ACB=90°,
∴Rt△AOD∽Rt△CBA,
∴=,即=,
∴BC=.
故选B.
【分析】由于OD∥BC,可得同位角∠B=∠AOD,进而可证得Rt△AOD∽Rt△CBA,根据相似三角形所得比例线段即可求出BC的长.
5.【答案】A
【知识点】圆周角定理;切线的性质
【解析】【解答】解:连结OB,
∵AB与O相切
∴OB⊥AB
∴∠ABO=90°
∴∠AOB=90° ∠A=90° 34°=56°
∵弧BD=弧BD
∴∠C=∠AOB
∴∠C=×56°=28°
故答案为:A
【分析】由切线的性质及三角形内角和定理,求出∠AOB的度数,再根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,就可求出∠C的度数。
6.【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连结OP、OA,如图,
∵大圆的弦AB与小圆相切于点P,
∴OP⊥AB,
∴AP=BP=AB=2,
在Rt△OAP中,OA2﹣OP2=AP2=(2)2=12,
∴(OA﹣OP)(OA+OP)=12,
而OA、OP为整数,
∴或或,
解得,
∴满足条件的不全等的“圆环带”有1个,即大圆半径为4,小圆半径为2.
故选A.
【分析】连结OP、OA,如图,根据切线的性质得OP⊥AB,则利用垂径定理得到AP=BP=AB=2,在Rt△OAP中利用勾股定理得到OA2﹣OP2=AP2=12,则(OA﹣OP)(OA+OP)=12,然后利用OA、OP为整数和整数的整除性解得,于是可判断满足条件的不全等的“圆环带”有1个.
7.【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连结AD,如图,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠1+∠ADE=90°,∠2+∠C=90°,
∵DE为切线,
∴ED=EA,
∴∠ADE=∠2,
∴∠1=∠C,
∴ED=EC,
∴CE=AE,
∵EF∥AB,
∴EF为△ABC的中位线,
∴BF=CF,
而BO=AO,
∴OF为△ABC的中位线,
∴OF∥AE,
∴AE=OF=7.5,
∴AC=2AE=15,
在Rt△ACD中,BC===25,
∵∠DCA=∠ACB,
∴△CDA∽△CAB,
∴=,即=,
∴CD=9.
故选C.
【分析】连结AD,如图,先根据圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据切线长定理得到ED=EA,则∠ADE=∠2,于是利用等角的余角相等得∠1=∠C,则AE=DE=CE,则可判断EF为△ABC的中位线,得到BF=CF,接着可判断OF为△ABC的中位线,得到OF∥AE,所以AE=OF=7.5,然后在Rt△ACD中,利用勾股定理计算出BC=25,再证明△CDA∽△CAB,于是利用相似比可计算出CD.
8.【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:∵圆O半径为4,
∴圆的周长为:2π×r=8π,
∵将圆O向右滚动,使得O点向右移动了98π,
∴98π÷8π=12…2π,
即圆滚动12周后,又向右滚动了2π,
∵矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于A点,=2,
∴=×8π=π<2π,+=×8π=4π>2π,
∴此时与地面相切;
故选:B.
【分析】根据题意得出圆的周长以及圆转动的周数,进而得出与地面相切的弧.
9.【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:A、根据圆的轴对称性可知此命题正确.
B、等弧指的是在同圆或等圆中,能够完全重合的弧.而此命题没有强调在同圆或等圆中,所以长度相等的两条弧,不一定能够完全重合,此命题错误;
B、此弦不能是直径,命题错误;
C、相等的圆心角指的是在同圆或等圆中,此命题错误;
故选A.
【分析】要找出正确命题,可运用相关基础知识分析找出正确选项,也可以通过举反例排除不正确选项,从而得出正确选项.(1)等弧指的是在同圆或等圆中,能够完全重合的弧.长度相等的两条弧,不一定能够完全重合;(2)此弦不能是直径;(3)相等的圆心角所对的弦相等指的是在同圆或等圆中.
10.【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连接OC,
∵EC切⊙O于C,
∴∠OCE=90°,
∵∠CDB=30°,
∴∠A=∠CDB=30°,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A=30°,
∴∠COE=30°+30°=60°,
∴∠E=180°﹣90°﹣60°=30°,
∴sinE=,
故选A.
【分析】连接OC,求出∠OCE=90°,求出∠A=∠ACO=30°,根据三角形外角性质求出∠COE=60°,即可求出答案.
11.【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:连接OC,
∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴△OCP是直角三角形,
∵OB=BP,
∴BC=OP,
∴BC=OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠ABC的度数等于60°,
故选D.
【分析】连接OC,由切线的性质可知△OCB是直角三角形,因为使PB等于半径OB,所以O为OP中点,所以BC=OB=OC,由此可得三角形OBC是等边三角形,进而求出∠ABC的度数.
12.【答案】B
【知识点】切线的性质;扇形面积的计算
【解析】【解答】解:连接OD,OE,
∵半圆O与△ABC相切于点D、E,
∴OD⊥AB,OE⊥AC,
∵在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,
∴四边形ADOE是正方形,△OBD和△OCE是等腰直角三角形,
∴OD=OE=AD=BD=AE=EC=1,
∴∠ABC=∠EOC=45°,
∴AB∥OE,
∴∠DBF=∠OEF,
在△BDF和△EOF中,

∴△BDF≌△EOF(AAS),
∴S阴影=S扇形DOE=×π×12=.
故选B.
【分析】首先连接OD,OE,易得△BDF≌△EOF,继而可得S阴影=S扇形DOE,即可求得答案.
13.【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:当点E在AD上,AD为△ABC的中线,如图1,作EH⊥BC于H,EF⊥AB于F,
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,
∴EH=EF=R,
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=5,AC=3,
∴BC==4,
∵点D为BC的中点,
∴BD=CD=2,
在Rt△ADC中,AD==,
∵EH∥AC,
∴△DEH∽△DAC,
∴==,即==,
∴DE=R,DH=R,
∴AE=AD﹣DE=﹣R,BH=BD+DH=2+R,
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,
∴BF=BH=2+R
∴AF=AB﹣BF=3﹣R,
在Rt△AEF中,∵EF2+AF2=AE2,
∴R2+(3﹣R)2=(﹣R)2,解得R=;
当点D运动到点C的位置,如图2,作EF⊥AB于F,
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,
∴EC=EF=R,
∴AE=AC﹣EC=3﹣R,
∵∠FAE=∠CAB,
∴Rt△AFE∽Rt△ACB,
∴=,即=,解得R=,
∴当D点从BC的中点到C点运动,点E在AD上,以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,则⊙E的半径R的取值范围为≤R≤.
故选B.
【分析】当点E在AD上,AD为△ABC的中线,如图1,作EH⊥BC于H,EF⊥AB于F,根据切线的性质得EH=EF=R,在Rt△ABC中利用勾股定理计算出BC=4,在Rt△ADC中,根据勾股定理计算出AD=,然后证明△DEH∽△DAC,利用相似比得到DE=R,DH=R,则AE=AD﹣DE=﹣R,BH=BD+DH=2+R,则根据切线长定理得BF=BH=2+R,所以AF=AB﹣BF=3﹣R,再在Rt△AEF中根据勾股定理得到R2+(3﹣R)2=(﹣R)2,解得R=;
当点D运动到点C的位置,如图2,作EF⊥AB于F,利用切线的性质得EC=EF=R,则AE=AC﹣EC=3﹣R,再证明Rt△AFE∽Rt△ACB,利用相似比可计算出R=,
由于D为BC的中点时,⊙E的半径最小,D点与C点重合时,⊙E的半径最大,所以则⊙E的半径R的取值范围为≤R≤.
14.【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:∵直线l与圆O相切,
∴OA⊥AP,
∴S扇形AOQ= r= OA,S△AOP=OA AP,
∵ =AP,
∴S扇形AOQ=S△AOP,即S扇形AOQ﹣S扇形AOB=S△AOP﹣S扇形AOB,
则S1=S2.
故选A.
【分析】由题意得到弧AQ长度与AP相等,利用扇形面积公式及三角形面积公式得到扇形AOQ面积与三角形AOP面积相等,都减去扇形AOB面积即可得到S1、S2的大小关系.
15.【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解:如图,连接OC,AO,
∵大圆的一条弦AB与小圆相切,
∴OC⊥AB,
∵OA=6,OC=3,
∴OA=2OC,
∴∠A=30°,
∴∠AOC=60°,
∴∠AOB=120°,
∴劣弧AB的长= =4π,
故选B.
【分析】首先连接OC,AO,由切线的性质,可得OC⊥AB,根据已知条件可得:OA=2OC,进而求出∠AOC的度数,则圆心角∠AOB可求,根据弧长公式即可求出劣弧AB的长.
16.【答案】1,2,3,6 
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:设圆的半径为r,
①如图,当是圆O时,∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,
∴斜边AC==5,
则符合条件的⊙O的半径为:r==1,
②当是⊙O1时,⊙01的半径为=6,
③当是⊙O2时,根据切线长定理得:4﹣r+5=3+r,
解得:r=3,
④当是⊙O3时,根据切线长定理得:3﹣r+5=4+r,
解得:r=2,
故答案是:1,2,3,6.
【分析】首先利用勾股定理求得斜边BC的长,根据直角三角形三边的长和内切圆的半径之间的关系求解即可.
17.【答案】1
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】∵圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径,
∴直线与圆O相切,
∴直线l和⊙O的公共点有1个,
故答案为:1.
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系,解题的关键是县确定位置关系,然后确定交点个数.
18.【答案】相切 
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:∵圆心O的坐标是(3,﹣5),如果圆O经过点(0,﹣1),
∴圆的半径为=5,
∵O到x轴的距离为5,
∴圆O与x轴的位置关系是相切,
故答案为:相切.
【分析】确定圆O的半径,然后根据点O到x轴的距离与圆的半径的大小进行判断即可.
19.【答案】相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:作MH⊥OA于H,如图,
在Rt△OMH中,∵∠HOM=30°,
∴MH=OM=,
∵⊙M的半径为2,
∴MH>2,
∴⊙M与直线OA的位置关系是相离.
故答案为相离.
【分析】作MH⊥OA于H,如图,根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=OM=,则MH大于⊙M的半径,然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解.
20.【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:当AB与⊙O相切时,PB的值最大,
如图,设AB与⊙O相切于E,连接OE,则OE⊥AB,
过点C作CF⊥PB于F,
∵CA⊥AB,DB⊥AB,
∴AC∥OE∥PB,
四边形ABPC是矩形,
∴CF=AB=6,
∵CO=OP,
∴AE=BE,
设PB=x,则PC=2OE=2+x,PF=x﹣2,
∴(x+2)2=(x﹣2)2+62,
解得;x=,
∴BP最大值为:,
故答案为:.
【分析】首先判断当AB与⊙O相切时,PB的值最大,设AB与⊙O相切于E,连接OE,则OE⊥AB,过点C作CF⊥PB于F,由CA⊥AB,DB⊥AB,得到AC∥OE∥PB,四边形ABPC是矩形,证得CF=AB=6,在直角三角形PCF中,由勾股定理列方程求解.
21.【答案】解:(1)∵AB是⊙O的切线,∴∠OBA=90°,∠AOB=90°﹣30°=60°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∠OCB=30°=∠A,∴AB=BC.(2)四边形BOCD为菱形,理由如下:连接OD交BC于点M,∵D是的中点,∴OD垂直平分BC.在Rt△OMC中,∵∠OCM=30°,∴OC=2OM=OD∴OM=MD,∴四边形BOCD为菱形.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)由AB是⊙O的切线,∠A=30°,易求得∠OCB的度数,继而可得∠A=∠OCB=30°,又由等角对等边,证得AB=BC;
(2)首先连接OD,易证得△BOD与△COD是等边三角形,可得OB=BD=OC=CD,即可证得四边形BOCD是菱形.
22.【答案】解:(1)∵直径AB交弦ED于点G,EG=DG,
∴AB⊥ED,
∵BC是⊙O的切线,
∴AB⊥BC,
∴DE∥BC;
(2)连接BF,BD,
∵OD=1,CF=,
∴CD=OD+CF=,
∵BC是⊙O的切线,
∴BC2=CF CD=×=,
∴BC=,
∵∠CBF=∠CDB,∠BCF=∠DCB,
∴△CBF∽△CDB,
∴==3,
∴BD=3BF,
∵AF=BD,
∴AF=3BF,
∵AB是直径,
∴∠AFB=90°,
∴AF2+BF2=AB2,
∴AB=2OD=2,
∴AF2+(AF)2=22,
∴AF=.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)根据垂径定理和切线的性质定理就可证得;
(2)连接BF,BD,根据切线长定理就可求得BC,进而根据三角形相似求得BD=BF,然后根据勾股定理就可求得.
23.【答案】解:(1)证明:连接OP.∵OP=OD,∴∠OPD=∠D;∵PD⊥BE,∴∠OCD=90°;在Rt△OCD中,∠D+∠AOD=90°,又∵AP是⊙O的切线,∴AP⊥OP,则∠OPD+∠APC=90°,∴∠AOD=∠APC;(2)连接PE.∴∠BPE=90°(直径所对的圆周角是直角);∵AP是⊙O的切线,∴∠APB=∠OPE=∠PEA;∵OC:CB=1:2,∴设OC=x,则BC=2x,OP=OB=3x;在Rt△OPC中,OP=3x,OC=x,由勾股定理得:PC2=OP2﹣OC2=8x2;在Rt△OPC中,PC⊥OA,由射影定理得:PC2=OC AC,即8x2=x(2x+6),6x2=6x,解得x=0(舍去),x=1;∴OP=OB=3,PC=2,CE=OC+OE=3+1=4,∴tan∠APB=tan∠PEC==,∴⊙O的半径为3,∠APB的正切值是.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)连接OP.可结合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性质进行证明;
(2)根据OC、BC的比例关系,可用未知数表示出OC、BC的表达式,进而可得OP、OB的表达式;在Rt△AOP中,PC⊥OA,根据射影定理得:PC2=PC AC,PC2的表达式可在Rt△OPC中由勾股定理求得,由此求得未知数的知,从而确定PC、CE的长,也就能求出⊙O的半径和∠APB的正切值.
24.【答案】解:(1)连接OD、DE、DB,设⊙O半径为r,
∵CD为⊙O切线,∴∠ODA=90°,
∵BE为⊙O直径,∴∠BDE=90°,
∴∠ADE=∠BDO,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,
∵∠DAE=∠BAD,
∴△ADE∽△ABD,
∴,
∴AB AE=,
∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣8x+k=0的两个实数根,
∴k=12,
解方程x2﹣8x+12=0得:两个实数根为:2和6,
∴设半径的长为r,
可得半径r=×(6﹣2)=2;
(2)∵∠B=90°,
∴CB为⊙O切线,
∴CD=CB,
∴CB2+AB2=AC2,
∴CD2+62=(2+CD)2,
∴CD=2.
答:CD的长度为2.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)根据切线长定理得出AB AE的长=12,进而得出k的值,设半径的长为r,再代入切线长定理解答即可;
(2)根据切线长定理,即可得出CD=CB,由勾股定理得CD的长即可.
25.【答案】解:(1)证明:连结OD,如图1,
∵DE为⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
∴∠ODE=90°,
在Rt△OBE和Rt△ODE中,
∴Rt△OBE≌Rt△ODE,
∴∠1=∠2,
∵OC=OD,
∴∠3=∠C,
而∠1+∠2=∠C+∠3,
∴∠2=∠C,
∴OE∥AC;
(2)解:连结OD,作OF⊥CD于F,DH⊥OC于H,如图2,
∵AB=AC,OC=OD,
而∠ACB=∠OCD,
∴∠A=∠COD,
∵DE为⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
∴∠ODE=90°,
∴∠ADE+∠ODF=90°,
而∠DOF+∠ODF=90°,
∴∠ADE=∠DOF,
∴sin∠DOF=sin∠ADE=,
在Rt△DOF中,sin∠DOF==,
设DF=x,则OD=3x,
∴OF==2x,DF=CF=x,OC=3x,
∵DH OC=OF CD,
∴DH==x,
在Rt△ODH中,OH==x,
∴tan∠DOH===,
∴tan∠A=.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)连结OD,如图1,根据切线的性质得∠ODE=90°,再证明Rt△OBE≌Rt△ODE得到∠1=∠2,加上∠3=∠C,则利用三角形外角性质可得∠2=∠C,然后根据平行线的判定可判断OE∥AC;
(2)连结OD,作OF⊥CD于F,DH⊥OC于H,如图2,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理,由AB=AC,OC=OD,∠ACB=∠OCD可得∠A=∠COD,根据切线的性质得∠ODE=90°,则∠ADE+∠ODF=90°,
而∠DOF+∠ODF=90°,利用等角的余角相等得∠ADE=∠DOF,于是有sin∠DOF=sin∠ADE=,在Rt△DOF中,根据正弦的定义得到=,则可设DF=x,则OD=3x,利用勾股定理计算出OF=2x,DF=CF=x,OC=3x,接着可运用面积法计算出DH=x,然后在Rt△ODH中用勾股定理计算出OH=x,再根据正切的定义求解即可.
26.【答案】解:如图,
连接OA,
∵PA切⊙O于A点,
∴OA⊥PA,
设OA=x,
∴OP=x+2,
在Rt△OPA中
x2+42=( x+2)2
∴x=3
∴⊙O的半径为3.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】设圆的半径是x,利用勾股定理可得关于x的方程,求出x的值即可
27.【答案】解:(1)证明:连接OC,
∵CD是⊙O的切线,C为切点,
∴OC⊥CD,
∵BD⊥DC,
∴OC∥BD,
∴∠DBC=∠BCO,
∵OC=OB,
∴∠BCO=∠CBO,
∴∠DBC=∠CBO,
即BC平分∠DBA;
(2)解:连接AC,
在Rt△CBD中,BD==8,
∵AB为直径,C在圆上,
∴∠ACB=90°,
∴∠BDC=∠BCA,
∵∠DBC=∠ABC,
∴△ABC∽△CBD,
∴=,
∴=,
∴AB=,
即⊙O的半径为.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC∥BD,推出∠CBA=∠DBC,根据角平分线定义得出即可;
(2)连接AC,根据勾股定理求出BD,证△ACB∽△CDB,得出比例式,代入后求出AB即可.
28.【答案】解:(1)连接OC,
∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC
∴∠OCP=90°.
∵∠CPA=30°,
∴∠COP=60°
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO=30°
∵PD平分∠APC,
∴∠APD=15°,
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°.
(2)∠CDP的大小不发生变化.
∵PC是⊙O的切线,
∴∠OCP=90°.
∵PD是∠CPA的平分线,
∴∠APC=2∠APD.
∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∴∠COP=2∠A,
在Rt△OCP中,∠OCP=90°,
∴∠COP+∠OPC=90°,
∴2(∠A+∠APD)=90°,
∴∠CDP=∠A+∠APD=45°.
即∠CDP的大小不发生变化.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】(1)连接OC,则∠OCP=90°,根据∠CPA=30°,求得∠COP,再由OA=OC,得出∠A=∠ACO,由PD平分∠APC,即可得出∠CDP=45°.
(2)由PC是⊙O的切线,得∠OCP=90°.再根据PD是∠CPA的平分线,得∠APC=2∠APD.根据OA=OC,可得出∠A=∠ACO,即∠COP=2∠A,在Rt△OCP中,∠OCP=90°,则∠COP+∠OPC=90°,从而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°.所以∠CDP的大小不发生变化.
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