浙教版数学八年级下册4.2平行四边形基础练习

浙教版数学八年级下册4.2平行四边形基础练习
一、单选题
1．如图， ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，∠ADC的角平分线DE交BC于点E，交AC于点F，CG⊥DE，垂足为G，DG=cm，则EF的长为（　　）
A．2cm B．cm C．1cm D．cm
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果BD=12，AC=10，BC=m，那么m的取值范围是（　　）
A．10＜m＜12 B．2＜m＜22
C．1＜m＜11 D．5＜m＜6
3．（2021八下·槐荫期末）在 ABCD中，AC⊥AD，∠B=30°，AC=2，则 ABCD的周长是（　　）
A．4+2 B．8 C．8+4 D．16
4．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2，则平行四边形ABCD的周长是（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
5．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线交AD于点E，连接CE．若AB=4，BC=6，则△CDE的周长是（　　）

A．7 B．10 C．11 D．12
6．（2018·徐州模拟）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不能得出BE∥DF的是（　　）
A．AE=CF B．BE=DF
C．∠EBF=∠FDE D．∠BED=∠BFD
7．已知平行四边形ABCD的对角钱AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=2，AC=8，则对角线BD的长是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（　　）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于0，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，则图中的全等三角形共（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
10．（2017八下·江东期中）如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF= ∠BCD，（2）EF=CF；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）∠DFE=3∠AEF，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=4，则AB的长为（　　）

A．4 B．3 C． D．2
12．如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（　　）

A．120° B．135° C．150° D．45°
13．在面积为60的 ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB=10，BC=12，则CE+CF的值为（　　）
A．22+11 B．22﹣11
C．22+11或22﹣11 D．22+11或2+
14．如图，在 ABCD中，∠A=70°，将 ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　）

A．70° B．40° C．30° D．20°
15．如图， ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），则C点坐标为　 　 .

17．如图， ABCD中，E为AD边上一点，AE=AB，AF⊥AB，交线段BE于点F，G为AE上一点，AG：GE=1：5，连结GF并延长交边BC于点H．若GE：BH=1：2，则tan∠GHB=　 　 .
18．如图，在 ABCD中，∠B=80°，∠ADC的角平分线DE与BC交于点E．若BE=CE，则∠DAE=　 　度．

19．如图，在 ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=　　 　

20．如图，在 ABCD中，AD=4，AB=8，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　　 　 ．（结果保留π）
三、解答题
21．已知：如图， ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，交侧的延长线于点F．
求证：AE=AF．
22．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线交直线AD于点E，交直线BA于点F，当点P在线段BD上时，易证得：AC=PE+PF（如图①所示）．当点P在线段BD的延长线上（如图②所示）和当点P在线段DB的延长线上（如图③所示）两种情况时，探究线段AC、PE、PF之间的数量关系，并对图③的结论进行证明．
23．如图，在 ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌△DOF
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是怎样的特殊四边形？证明你的结论
24．如图，在 ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点F恰好落在线段DE上．
（1）求证：∠FAD=∠CDE
（2）当AB=5，AD=6，且tan∠ABC=2时，求线段EC的长．
25．已知ABCD是平行四边形，用尺规分别作出△BAC与△DAC共公边AC上的高BE、DF．求证：BE=DF．
26．如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交CD，AB于E，F．
（1）作∠BCD的角平分线CF（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：AE=CF
27．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别是E、F．求证：△ABE≌△CDF．
四、综合题
28．已知，如图，在 ABCD中，点E在边AB上，连接CE．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）；以点A为顶点，AB为一边作∠FAB=∠CEB，AF交CD于点F
（2）求证：AF=CE
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，
∴∠ADE=∠EDC，∠ADE=∠DEC，AB=DC，
∴∠CDE=∠CED，
∵AB=3cm，AD=6cm，
∴DC=EC=3cm，
∵CG⊥DE，DG=cm，
∴EG=cm，
∴DE=3cm，
∵AD∥BC，
∴△AFD∽△CFE，
∴，则，
解得：EF=．
故选：B．
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠CDE=∠CED，进而求出DE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出EF的长．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AC=5，OB= BD=6，
在△OBC中，6﹣5＜m＜6+5，
∴1＜m＜11；
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质得出OC、OB的长，在△OBC中，根据三角形的三边关系，即可得出m的取值范围．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AC⊥AD，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
∴BC= ，
∴ ABCD的周长是：2（AB+BC）=8+4．
故选C．
【分析】由AC⊥AD，∠B=30°，AC=2，根据含30°角的直角三角形的性质，可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长，继而求得答案．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=45°，
∴∠C=180°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=180°﹣∠C=45°，
∴AB=AE，AD=AF，
∴AB+AD=（AE+AF）=×2 =4，
∴平行四边形ABCD的周长是：4×2=8．
故选D．
【分析】由AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，易求得∠C的度数，又由在平行四边形ABCD中，证得△ABE与△ADF是等腰直角三角形，继而求得答案．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵AB=4，BC=6，
∴AD+CD=10，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=10．
故选B．
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=10，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
A、∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF；
B、∵BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形或等腰梯形，
∴故本选项不能判定BE∥DF；
C、∵AD∥BC，
∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°，
∵∠EBF=∠FDE，
∴∠BED=∠BFD，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF；
D、∵AD∥BC，
∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°，
∵∠BED=∠BFD，
∴∠EBF=∠FDE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF．
故选B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，然后由AE=CF，∠EBF=∠FDE，∠BED=∠BFD均可判定四边形BFDE是平行四边形，则可证得BE∥DF，利用排除法即可求得答案．
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
，
∴BD=2OB=4；
故选：D．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=AC=4，OB=OD= BD，由勾股定理求出OB，即可得出BD的长．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故选C．
【分析】由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
同理：△ABC≌△CDA；
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（SAS），
同理：△AOB≌△COD，
∴∠ABO=∠CDO，
∵AC⊥BD，AE⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，∠AEB=∠CFD=90°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
同理：△ADE≌△CBF．
故选C．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC，即可证得△ABD≌△CDB（SSS），△ABC≌△CDA，△AOD≌△COB（SAS），△AOB≌△COD，又由AC⊥BD，AE⊥BD，可得△AOE≌△COF，△ABE≌△CDF（AAS），△ADE≌△CBF．
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故正确；
·（2）延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故正确；
·（3）∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
·（4）设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故正确，
故选：C．
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
11．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，
∴∠DEC=∠ECB，∠DCE=∠BCE，AB=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=7，AE=4，
∴DE=DC=AB=3．
故选：B．
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠DEC=∠DCE，进而得出DE=DC=AB求出即可．
12．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，
∵AD=DE=CE，
∴AD=DE=CE=BC，
∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，
∴∠ADE=180°﹣2x，∠BCE=180°﹣2y，
∴∠ADC=180°﹣2x+45°=225°﹣2x，∠BCD=225°﹣2y，
∴∠BAD=180°﹣（225°﹣2x）=2x﹣45°，
∴2x﹣45°=225°﹣2y，
∴x+y=135°，
∴∠AEB=360°﹣135°﹣90°=135°；
故选：B．
【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°﹣2x，∠BAD=2x﹣45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．
13．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∠A为锐角时；
∵平行四边形ABCD的面积=BC AE=AB AF=60，AB=10，BC=12，
∴AE=5，AF=6，
∵AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴BE==5，DF==6，
∴CE=12+5，CF=10+6，
∴CE+CF=22+11；
②如图2所示：∠A为钝角时；
由①得：CE=10﹣5，CF=6﹣10，
∴CE+CF=2+；
故选：D．
【分析】分两种情况：①由平行四边形ABCD的面积求出AE=5，AF=6，再根据勾股定理求出BE、DF，求出CE、CF，即可得出结果；
②CE=10﹣5，CF=6﹣10，即可得出结果．
14．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：AM=MD=MF，
∴∠MFA=∠A=70°，
∴∠AMF=180°﹣70°﹣70°=40°；
故选：B．
【分析】根据折叠的性质得出AM=MD=MF，得出∠MFA=∠A=70°，再由三角形内角和定理即可求出∠AMF．
15．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6+4=10；
故选：C．
【分析】由平行四边形的性质得出DC=AB=4，AD=BC=6，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．
16．【答案】（2，3）
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，AC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（3，1），
∴P的坐标（1.5，0.5），
∵A（1，﹣2），
∴C的坐标为（2，3），
故答案为：（2，3）．
【分析】连接OB，AC，根据O，B，的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标．
17．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】
解；过F点作MN⊥BC，则MN⊥AD，设AG=a，
∵AG：GE=1：5，GE：BH=1：2，
∴EG=5a，BH=10a，AE=6a，
∵AE=AB，
∴AB=6a，∠AEB=∠ABE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴BE是∠ABE的平分线，
∵FA⊥AB，FM⊥BC，
∴FM=FA，
在Rt△ABF与Rt△MBF中
∴Rt△ABF≌Rt△MBF（HL），
∴BM=AB=6a，
∵∠AEB=∠EBC，∠EFG=∠BFH，
∴△EFG∽△BFH，
∵FA=FM，
∴FN：FA=1：2，
在Rt△AFN中，∠EAF=30°，
∵∠FAB=90°，
∴∠DAB=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠MBF=30°，
在Rt△MBF中，FM=tan30° BM=×6a=2a，
∵BH=10a，BM=6a，
∴HM=BH﹣BM=4a，
∴tan∠GHB=
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，求得∠NAF=30°，进而求得∠DAB=120°，从而求得∠FBM=30°，根据正切定理求得FM，设GA=a，根据三角形相似求得BH=2EG=10a，根据三角形全等求得MB=AB=6a，从而求得HM=4a，在Rt△FHM中根据正切定理即可求得，
18．【答案】50
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，∠B=80°，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，
∵DE是∠ADC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD，
∵BE=CE，
∴AB=BE，
∴∠AEB=∠BAE=50°，
∴∠DAE=∠AEB=50°．
故答案为：50．
【分析】由在 ABCD中，∠B=80°，∠ADC的角平分线DE与BC交于点E．易证得△CDE是等腰三角形，又由BE=CE，即可得AB=B，继而求得答案．
19．【答案】20°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DC=BD，
∴∠C=∠DBC=70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=70°，
∵AE⊥BD于E，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=20°，
故答案为：20°．
【分析】根据等边对等角可得∠C=∠DBC=70°，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，进而得到∠ADB=∠CBD=70°，再利用三角形内角和定理计算出∠DAE即可．
20．【答案】12﹣π
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=4，AB=8，∠A=30°，
∴DF=AD sin30°=2，EB=AB﹣AE=4，
∴阴影部分的面积：8×2﹣ ﹣4×2×
=16﹣π﹣4
=12﹣π．
故答案为：12﹣π．
【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求 ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积= ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
21．【答案】证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠BCE，∠AEF=∠DCE，
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF．

【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，证出∠F=∠BCE，∠AEF=∠DCE，再由已知条件证出∠F=∠AEF，根据等角对等边即可得出结论．
22．【答案】解：当P在BD的延长线上时，如图②，延长FE交BC的延长线于点G，
∵AC∥FG，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∴PF=PG，
∴EG=PG﹣PE=PF﹣PE，
又∵AB∥CG，AC∥EG，
∴四边形ACGE为平行四边形，
∴AC=EG，
∴AC=PF﹣PE；
当P在DB的延长线上时，如图③，延长CB交EF于点G，
∵AC∥EF，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∴PG=PF，
∴EG=PE﹣PG=PE﹣PF，
又∵AC∥EG，AE∥CG，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴EG=AC，
∴AC=PE﹣PF．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】在②中延长FE交BC的延长线于点G，可证得PF=PG，再证明四边形ACGE为平行四边形可得AC=EG，可得到AC=PF﹣PE；在③中延长CB交EF于点G，可证得PG=PF，可得到AC=PE﹣PF．
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AE∥CF，
∴∠E=∠F，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）
（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形；理由如下：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，又∵△BOE≌△DOF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出OB=OD，AE∥CF，得出∠E=∠F，由AAS即可证明△BOE≌△DOF；
（2）先由对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，
∵将△BAE沿AE翻折得到△FAE，点F恰好落在线段DE上，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠B=∠AFE，
∴∠AFE=∠ADC，
∵∠FAD=∠AFE﹣∠1，∠CDE=∠ADC﹣∠1，
∴∠FAD=∠CDE
（2）过点D作DG⊥BE，交BE的延长线于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=5，
∴∠2=∠B，∠3=∠EAD，
由（1）可知，△ABE≌△AFE，
∴∠B=∠AFE，∠3=∠4，
∴∠4=∠EAD，
∴ED=AD=6，
在Rt△CDG中，tan∠2=tan∠ABC==2，
∴DG=2CG，
∵DG2+CG2=CD2，
∴（2CG）2+CG2=52，
∴CG=，DG=2，
在Rt△EDG中，
∵EG2+DG2=DE2，
∴EG=4，
∴EC=4﹣．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和翻折的性质得出∠B=∠ADC，∠B=∠AFE，得出∠AFE=∠ADC，即可得出结论；
（2）过点D作DG⊥BE，交BE的延长线于点G．由平行四边形的性质得出∠2=∠B，∠3=∠EAD，由翻折的性质得出∠B=∠AFE，∠3=∠4，得出∠4=∠EAD．得出ED=AD=6，由三角函数得出DG=2CG，根据勾股定理得出DG2+CG2=CD2，求出CG、DG，再根据勾股定理求出EG，即可得出EC．
25．【答案】证明：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠DFC=90°．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】利用三角板过点B，D作高线BE，DF即可，证线段所在的三角形全等，根据“AAS”可证△ABE≌△CDF即可证明．
26．【答案】（1）解：如图；①以B为圆心，以任意长为半径化弧，分别与AB，BC的交于点M，N，
②分别以M，N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，
③作射线BP，交CD于点F，则BF即为所求
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE=∠DAB，∠BCF=∠DCB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）首先以B为圆心，以任意长为半径化弧，分别与AB，BC的交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则BF即为所求；
（2）由 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，易得AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF，继而证得△DAE≌△BCF，则可证得结论．
27．【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中
∵，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，进而利用AAS得出△ABE≌△CDF．
28．【答案】（1）解：如图所示：

（2）证明：由（1）得：∠FAB=∠CEB，
∴AF∥CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作∠FAB=∠CEB即可；
（2）首先根据平行线的判定可得AF∥CE，再根据平行四边形的性质可得AB∥CD，然后证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF=CE．
1 / 1浙教版数学八年级下册4.2平行四边形基础练习
一、单选题
1．如图， ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，∠ADC的角平分线DE交BC于点E，交AC于点F，CG⊥DE，垂足为G，DG=cm，则EF的长为（　　）
A．2cm B．cm C．1cm D．cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，
∴∠ADE=∠EDC，∠ADE=∠DEC，AB=DC，
∴∠CDE=∠CED，
∵AB=3cm，AD=6cm，
∴DC=EC=3cm，
∵CG⊥DE，DG=cm，
∴EG=cm，
∴DE=3cm，
∵AD∥BC，
∴△AFD∽△CFE，
∴，则，
解得：EF=．
故选：B．
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠CDE=∠CED，进而求出DE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出EF的长．
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果BD=12，AC=10，BC=m，那么m的取值范围是（　　）
A．10＜m＜12 B．2＜m＜22
C．1＜m＜11 D．5＜m＜6
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=AC=5，OB= BD=6，
在△OBC中，6﹣5＜m＜6+5，
∴1＜m＜11；
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质得出OC、OB的长，在△OBC中，根据三角形的三边关系，即可得出m的取值范围．
3．（2021八下·槐荫期末）在 ABCD中，AC⊥AD，∠B=30°，AC=2，则 ABCD的周长是（　　）
A．4+2 B．8 C．8+4 D．16
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AC⊥AD，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
∴BC= ，
∴ ABCD的周长是：2（AB+BC）=8+4．
故选C．
【分析】由AC⊥AD，∠B=30°，AC=2，根据含30°角的直角三角形的性质，可求得AB的长，然后由勾股定理求得BC的长，继而求得答案．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2，则平行四边形ABCD的周长是（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=45°，
∴∠C=180°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=180°﹣∠C=45°，
∴AB=AE，AD=AF，
∴AB+AD=（AE+AF）=×2 =4，
∴平行四边形ABCD的周长是：4×2=8．
故选D．
【分析】由AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，易求得∠C的度数，又由在平行四边形ABCD中，证得△ABE与△ADF是等腰直角三角形，继而求得答案．
5．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线交AD于点E，连接CE．若AB=4，BC=6，则△CDE的周长是（　　）

A．7 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵AB=4，BC=6，
∴AD+CD=10，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=10．
故选B．
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=10，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．
6．（2018·徐州模拟）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不能得出BE∥DF的是（　　）
A．AE=CF B．BE=DF
C．∠EBF=∠FDE D．∠BED=∠BFD
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
A、∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF；
B、∵BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形或等腰梯形，
∴故本选项不能判定BE∥DF；
C、∵AD∥BC，
∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°，
∵∠EBF=∠FDE，
∴∠BED=∠BFD，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF；
D、∵AD∥BC，
∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°，
∵∠BED=∠BFD，
∴∠EBF=∠FDE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF．
故选B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，然后由AE=CF，∠EBF=∠FDE，∠BED=∠BFD均可判定四边形BFDE是平行四边形，则可证得BE∥DF，利用排除法即可求得答案．
7．已知平行四边形ABCD的对角钱AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=2，AC=8，则对角线BD的长是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
，
∴BD=2OB=4；
故选：D．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=AC=4，OB=OD= BD，由勾股定理求出OB，即可得出BD的长．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（　　）
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故选C．
【分析】由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于0，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，则图中的全等三角形共（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
同理：△ABC≌△CDA；
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（SAS），
同理：△AOB≌△COD，
∴∠ABO=∠CDO，
∵AC⊥BD，AE⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，∠AEB=∠CFD=90°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
同理：△ADE≌△CBF．
故选C．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，OB=OD，AB=CD，AD=BC，即可证得△ABD≌△CDB（SSS），△ABC≌△CDA，△AOD≌△COB（SAS），△AOB≌△COD，又由AC⊥BD，AE⊥BD，可得△AOE≌△COF，△ABE≌△CDF（AAS），△ADE≌△CBF．
10．（2017八下·江东期中）如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF= ∠BCD，（2）EF=CF；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）∠DFE=3∠AEF，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故正确；
·（2）延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故正确；
·（3）∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
·（4）设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故正确，
故选：C．
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=4，则AB的长为（　　）

A．4 B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，
∴∠DEC=∠ECB，∠DCE=∠BCE，AB=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=7，AE=4，
∴DE=DC=AB=3．
故选：B．
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠DEC=∠DCE，进而得出DE=DC=AB求出即可．
12．如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（　　）

A．120° B．135° C．150° D．45°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，
∵AD=DE=CE，
∴AD=DE=CE=BC，
∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，
∴∠ADE=180°﹣2x，∠BCE=180°﹣2y，
∴∠ADC=180°﹣2x+45°=225°﹣2x，∠BCD=225°﹣2y，
∴∠BAD=180°﹣（225°﹣2x）=2x﹣45°，
∴2x﹣45°=225°﹣2y，
∴x+y=135°，
∴∠AEB=360°﹣135°﹣90°=135°；
故选：B．
【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°﹣2x，∠BAD=2x﹣45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．
13．在面积为60的 ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB=10，BC=12，则CE+CF的值为（　　）
A．22+11 B．22﹣11
C．22+11或22﹣11 D．22+11或2+
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∠A为锐角时；
∵平行四边形ABCD的面积=BC AE=AB AF=60，AB=10，BC=12，
∴AE=5，AF=6，
∵AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴BE==5，DF==6，
∴CE=12+5，CF=10+6，
∴CE+CF=22+11；
②如图2所示：∠A为钝角时；
由①得：CE=10﹣5，CF=6﹣10，
∴CE+CF=2+；
故选：D．
【分析】分两种情况：①由平行四边形ABCD的面积求出AE=5，AF=6，再根据勾股定理求出BE、DF，求出CE、CF，即可得出结果；
②CE=10﹣5，CF=6﹣10，即可得出结果．
14．如图，在 ABCD中，∠A=70°，将 ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（　　）

A．70° B．40° C．30° D．20°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：AM=MD=MF，
∴∠MFA=∠A=70°，
∴∠AMF=180°﹣70°﹣70°=40°；
故选：B．
【分析】根据折叠的性质得出AM=MD=MF，得出∠MFA=∠A=70°，再由三角形内角和定理即可求出∠AMF．
15．如图， ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6+4=10；
故选：C．
【分析】由平行四边形的性质得出DC=AB=4，AD=BC=6，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），则C点坐标为　 　 .

【答案】（2，3）
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，AC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（3，1），
∴P的坐标（1.5，0.5），
∵A（1，﹣2），
∴C的坐标为（2，3），
故答案为：（2，3）．
【分析】连接OB，AC，根据O，B，的坐标易求P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标．
17．如图， ABCD中，E为AD边上一点，AE=AB，AF⊥AB，交线段BE于点F，G为AE上一点，AG：GE=1：5，连结GF并延长交边BC于点H．若GE：BH=1：2，则tan∠GHB=　 　 .
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】
解；过F点作MN⊥BC，则MN⊥AD，设AG=a，
∵AG：GE=1：5，GE：BH=1：2，
∴EG=5a，BH=10a，AE=6a，
∵AE=AB，
∴AB=6a，∠AEB=∠ABE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴BE是∠ABE的平分线，
∵FA⊥AB，FM⊥BC，
∴FM=FA，
在Rt△ABF与Rt△MBF中
∴Rt△ABF≌Rt△MBF（HL），
∴BM=AB=6a，
∵∠AEB=∠EBC，∠EFG=∠BFH，
∴△EFG∽△BFH，
∵FA=FM，
∴FN：FA=1：2，
在Rt△AFN中，∠EAF=30°，
∵∠FAB=90°，
∴∠DAB=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠MBF=30°，
在Rt△MBF中，FM=tan30° BM=×6a=2a，
∵BH=10a，BM=6a，
∴HM=BH﹣BM=4a，
∴tan∠GHB=
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，求得∠NAF=30°，进而求得∠DAB=120°，从而求得∠FBM=30°，根据正切定理求得FM，设GA=a，根据三角形相似求得BH=2EG=10a，根据三角形全等求得MB=AB=6a，从而求得HM=4a，在Rt△FHM中根据正切定理即可求得，
18．如图，在 ABCD中，∠B=80°，∠ADC的角平分线DE与BC交于点E．若BE=CE，则∠DAE=　 　度．

【答案】50
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，∠B=80°，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，
∵DE是∠ADC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD，
∵BE=CE，
∴AB=BE，
∴∠AEB=∠BAE=50°，
∴∠DAE=∠AEB=50°．
故答案为：50．
【分析】由在 ABCD中，∠B=80°，∠ADC的角平分线DE与BC交于点E．易证得△CDE是等腰三角形，又由BE=CE，即可得AB=B，继而求得答案．
19．如图，在 ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=　　 　

【答案】20°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DC=BD，
∴∠C=∠DBC=70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=70°，
∵AE⊥BD于E，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=20°，
故答案为：20°．
【分析】根据等边对等角可得∠C=∠DBC=70°，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，进而得到∠ADB=∠CBD=70°，再利用三角形内角和定理计算出∠DAE即可．
20．如图，在 ABCD中，AD=4，AB=8，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　　 　 ．（结果保留π）
【答案】12﹣π
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=4，AB=8，∠A=30°，
∴DF=AD sin30°=2，EB=AB﹣AE=4，
∴阴影部分的面积：8×2﹣ ﹣4×2×
=16﹣π﹣4
=12﹣π．
故答案为：12﹣π．
【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求 ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积= ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
三、解答题
21．已知：如图， ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，交侧的延长线于点F．
求证：AE=AF．
【答案】证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠BCE，∠AEF=∠DCE，
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF．

【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，证出∠F=∠BCE，∠AEF=∠DCE，再由已知条件证出∠F=∠AEF，根据等角对等边即可得出结论．
22．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线交直线AD于点E，交直线BA于点F，当点P在线段BD上时，易证得：AC=PE+PF（如图①所示）．当点P在线段BD的延长线上（如图②所示）和当点P在线段DB的延长线上（如图③所示）两种情况时，探究线段AC、PE、PF之间的数量关系，并对图③的结论进行证明．
【答案】解：当P在BD的延长线上时，如图②，延长FE交BC的延长线于点G，
∵AC∥FG，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∴PF=PG，
∴EG=PG﹣PE=PF﹣PE，
又∵AB∥CG，AC∥EG，
∴四边形ACGE为平行四边形，
∴AC=EG，
∴AC=PF﹣PE；
当P在DB的延长线上时，如图③，延长CB交EF于点G，
∵AC∥EF，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∴PG=PF，
∴EG=PE﹣PG=PE﹣PF，
又∵AC∥EG，AE∥CG，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴EG=AC，
∴AC=PE﹣PF．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】在②中延长FE交BC的延长线于点G，可证得PF=PG，再证明四边形ACGE为平行四边形可得AC=EG，可得到AC=PF﹣PE；在③中延长CB交EF于点G，可证得PG=PF，可得到AC=PE﹣PF．
23．如图，在 ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△BOE≌△DOF
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是怎样的特殊四边形？证明你的结论
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AE∥CF，
∴∠E=∠F，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）
（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形；理由如下：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，又∵△BOE≌△DOF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出OB=OD，AE∥CF，得出∠E=∠F，由AAS即可证明△BOE≌△DOF；
（2）先由对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．
24．如图，在 ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点F恰好落在线段DE上．
（1）求证：∠FAD=∠CDE
（2）当AB=5，AD=6，且tan∠ABC=2时，求线段EC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，
∵将△BAE沿AE翻折得到△FAE，点F恰好落在线段DE上，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠B=∠AFE，
∴∠AFE=∠ADC，
∵∠FAD=∠AFE﹣∠1，∠CDE=∠ADC﹣∠1，
∴∠FAD=∠CDE
（2）过点D作DG⊥BE，交BE的延长线于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=5，
∴∠2=∠B，∠3=∠EAD，
由（1）可知，△ABE≌△AFE，
∴∠B=∠AFE，∠3=∠4，
∴∠4=∠EAD，
∴ED=AD=6，
在Rt△CDG中，tan∠2=tan∠ABC==2，
∴DG=2CG，
∵DG2+CG2=CD2，
∴（2CG）2+CG2=52，
∴CG=，DG=2，
在Rt△EDG中，
∵EG2+DG2=DE2，
∴EG=4，
∴EC=4﹣．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和翻折的性质得出∠B=∠ADC，∠B=∠AFE，得出∠AFE=∠ADC，即可得出结论；
（2）过点D作DG⊥BE，交BE的延长线于点G．由平行四边形的性质得出∠2=∠B，∠3=∠EAD，由翻折的性质得出∠B=∠AFE，∠3=∠4，得出∠4=∠EAD．得出ED=AD=6，由三角函数得出DG=2CG，根据勾股定理得出DG2+CG2=CD2，求出CG、DG，再根据勾股定理求出EG，即可得出EC．
25．已知ABCD是平行四边形，用尺规分别作出△BAC与△DAC共公边AC上的高BE、DF．求证：BE=DF．
【答案】证明：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠BAC=∠DCA．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠DFC=90°．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】利用三角板过点B，D作高线BE，DF即可，证线段所在的三角形全等，根据“AAS”可证△ABE≌△CDF即可证明．
26．如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交CD，AB于E，F．
（1）作∠BCD的角平分线CF（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（2）求证：AE=CF
【答案】（1）解：如图；①以B为圆心，以任意长为半径化弧，分别与AB，BC的交于点M，N，
②分别以M，N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，
③作射线BP，交CD于点F，则BF即为所求
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE=∠DAB，∠BCF=∠DCB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）首先以B为圆心，以任意长为半径化弧，分别与AB，BC的交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，交CD于点F，则BF即为所求；
（2）由 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，易得AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF，继而证得△DAE≌△BCF，则可证得结论．
27．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别是E、F．求证：△ABE≌△CDF．
【答案】证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中
∵，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，进而利用AAS得出△ABE≌△CDF．
四、综合题
28．已知，如图，在 ABCD中，点E在边AB上，连接CE．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）；以点A为顶点，AB为一边作∠FAB=∠CEB，AF交CD于点F
（2）求证：AF=CE
【答案】（1）解：如图所示：

（2）证明：由（1）得：∠FAB=∠CEB，
∴AF∥CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作∠FAB=∠CEB即可；
（2）首先根据平行线的判定可得AF∥CE，再根据平行四边形的性质可得AB∥CD，然后证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF=CE．
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