浙教版数学九年级下册2.2切线长定理基础检测
一、单选题
1．P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，则△PDE的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．不能确定
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD=DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC=EB，
又直线PA和直线PB为圆O的切线，所以PA=PB=4，
则△PDE的周长C=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE
=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8．
故选B
【分析】根据题意画出图形，由PA和PB为圆的切线，根据切线长定理得到PA与PB相等，同理得到DA与DC相等，EC与EB相等，然后表示出三角形PDE的三边和，等量代换后即可求出三角形PDE的周长．
2．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若AB=10，BC=4，则AD的长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，OD，设⊙O的半径为r，
∵BC、CD、DA与半⊙O相切，
∴AD和AO的高为r，
∴AO=AD，
同理BO=BC，
∴AB=AO+BO=AD+BC，
又知AB=10，BC=4，
故知AD=6，
故选C．
【分析】连接OC，OD，设⊙O的半径为r，在△AOD和△BOC中，AD和AO，BO和BC上的高都为r，则AO=AD，BO=BC，从而得出BA=AD+BC．
3．已知P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A、B为切点，∠P=70°，C为⊙O上一个动点，且不与A、B重合，则∠BCA=（ ）
A．35°、145° B．110°、70°
C．55°、125° D．110°
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图；连接OA、OB，则∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠BOA=180°﹣∠P=110°，
∴∠AEB=∠AOB=55°；
∵四边形AEBF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFB=180°﹣∠AEB=125°，
①当C点在优弧AB上运动时，∠BCA=∠AEB=55°；
②当C点在劣弧AB上运动时，∠BCA=∠AFB=125°；
故选C．
【分析】连接OA、OB，首先根据四边形内角和求出∠AOB的度数；由于C点的位置有两种情况，需分类讨论．
4．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD=BC；③PB=PF；④AD2=4AB DC．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．只有①②
C．只有①②④ D．只有③④
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵BA，BE是圆的切线．
∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD=CE，AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确；
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴
即：OA OD=AB CD
∴AD2=4AB DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选C．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，以及切线长定理，相似三角形的性质即可作出判断．
5．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，
故选B．
【分析】根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．
6．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ ）
A．35° B．45° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣35°=55°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=55°，
所以∠P=70°．
故选D．
【分析】根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．
7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，
∴BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH．
∴BG+CH=BI+CI=BC=9，
∴C△ADE=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=C△ABC﹣（BG+EH+BC）=25﹣2×9=7．
故选A．
【分析】根据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，则C△ADE=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=C△ABC﹣（BG+EH+BC），据此即可求解．
8．如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC=2，CD=3，
DB=6，则△PAB的周长为何（ ）
A．6 B．9 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：根据切线长定理可得：PD=PC=2，DB=6
∴AP=BP=4
∵PA=PB，PC=PD，即=2
∵∠APB=∠DPC
∴△ABP∽△CDP
易得△CDP的周长是7，所以△PAB的周长是2×7=14．
故选D．
【分析】由切线长定理可求得PA=PB，PC=PD；根据PC、DB的长，即可求出PA、PB的长；易证得△APB∽△DPC，因此两三角形的周长比等于相似比，由此可求出△PAB的周长．
9．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BE+CG=10（cm）．
故选D．
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
10．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是 上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A．12 B．6 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA=PB，
∵DE是⊙O的切线，
∴DA=DC，EB=EC，
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12，
∴PA=6．
故选B．
【分析】由PA，PB分别和⊙O切于A，B两点与DE是⊙O的切线，根据切线长定理，即可得PA=PB，DA=DC，EB=EC，又由△PDE的周长为12，易求得PA+PB=12，则可求得答案．
11．如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：据切线长定理有AD=AE，BE=BF，CD=CF；
则△ABC的周长=AB+BC+AC
=AB+BF+CF+AC
=AB+BE+AC+CD
=AD+AE=2AD
=40．
故选C．
【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，将△ABC的周长转化为切线长求解．
12．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．8 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，
又∠P=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AB=PA=8．
故选B．
【分析】根据切线长定理和等边三角形的判定方法，发现等边三角形即可求解．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F
∵AB，AE都为圆的切线
∴AE=AB
∵OB=OE，AO=AO
∴△ABO≌△AEO（SSS）
∴∠OAB=∠OAE
∴AO⊥BE
在直角△AOB里AO2=OB2+AB2
∵OB=1，AB=3
∴AO=
易证明△BOF∽△AOB
∴BO：AO=OF：OB
∴1：=OF：1
∴OF=
sin∠CBE= =
故选D．
【分析】取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，则易证AO⊥BE，△BOF∽△AOB，则sin∠CBE=，求得OF的长即可求解．
14．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（ ）
A．PA=PB B．∠APO=20° C．∠OBP=70° D．∠AOP=70°
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，∠A=∠B=90°，
∴∠OBP=∠OAP，
∴C是错误的．
故选C．
【分析】根据切线长定理得A，B是正确的；再根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余得D是正确的；根据切线的性质定理得C错误．
15．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：
①S四边形ABCD= AB CD；
②AD=AB；
③AD=ON；
④AB为过O、C、D三点的圆的切线．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD、AP，
∵DA、DP、BC分别是圆的切线，切点分别是A、P、B，
∴DA=DP，CP=CB，∠A=90°=∠B=∠DPO，
∴AD+BC=DP+CP=CD，
∴S四边形ABCD=（AD+BC） AB=AB CD，∴①正确；
∵AD=DP＜OD＜AB，∴②错误；
∵AB是圆的直径，
∴∠APB=90°，
∵DP=AD，AO=OP，
∴D、O在AP的垂直平分线上，
∴OD⊥AP，
∵∠DPO=∠APB=90°，
∴∠OPB=∠DPA=∠DOP，
∵OM∥CD，
∴∠POM=∠DPO=90°，
在△DPO和△NOP中
∠PON=∠DPO，OP=OP，∠DOP=∠OPN，
∴△DPO≌△NOP，
∴ON=DP=AD，∴③正确；
∵AP⊥OD，OA=OP，
∴∠AOD=∠POD，
同理∠BOC=∠POC，
∴∠DOC=×180°=90°，
∴△CDO的外接圆的直径是CD，
∵∠A=∠B=90°，
取CD的中点Q，连接OQ，
∵OA=OB，
∴AD∥OQ∥BC，
∴∠AOQ=90°，
∴④正确．
故选C．
【分析】连接OD、AP，根据切线长定理求出AD=DP，CP=BC，根据面积公式判断①即可；根据直角三角形斜边大于直角边即可判断②；证△DPO和△PON全等证出DP=ON即可判断③，证△DOC是直角三角形，取CD中点Q，证出OQ是半径，证梯形ABCD，推出∠AOQ=90°即可判断④．
二、填空题
16．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线DC分别相交于C、D．已知△PCD的周长等于14cm，则PA= cm．
【答案】7
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14（cm）；
∴PA=PB=7cm，
故答案为：7．
【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
17．（2017·上思模拟）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
【分析】本题考查了切线长定理，由于AB、AC、BD是⊙O的切线，运用切线长定理并利用等式的性质可得，AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
18．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若PA=10，则△PCD的周长=
【答案】20
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20．
故答案为：20．
【分析】由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．
19．如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E、F、G、H．若AB=4cm，AD=3cm，BC=3.6cm，则CD= cm．
【答案】2.6
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E、F、G、H，
∴DG=DH，CG=CF，BF=BE，AE=AH，
则DC+AB=AD+BC
∵AB=4cm，AD=3cm，BC=3.6cm，
∴CD=3+3.6﹣4=2.6．
故答案为：2.6．
【分析】直接利用切线长定理求出DC+AB=AD+BC，进而得出答案．
20．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于E，PA=6，则△PDC的周长为
【答案】12
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB，
∴三角形PDC的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12．
故答案为：12．
【分析】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB即可得出答案．
三、解答题
21．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
【答案】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB，
∴三角形PDE的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°，
∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE=∠OCA=∠ACD；
同理：∠ODE=∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=（∠ACD+∠CDB）=120°，
∴∠COD=180﹣120°=60°．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；
（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数．
22．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长．
【答案】解：∵AB∥CD，⊙O为内切圆，
∴∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠AOD=90°，
∵AO=8cm，DO=6cm，
∴AD=10cm，
∵OE⊥AD，
∴AD OE=OD OA，
∴OE=4.8cm．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】由⊙O为内切圆，则AO、DO为角平分线，则∠AOD=90°，由勾股定理求得AD，再由切线的性质得OE⊥AD，由三角形的面积公式求出OE的长．
23．已知PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，PO=13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．
【答案】解：连接OA，则OA⊥PA．
在直角三角形APO中，PO=13cm，OA=5cm，
根据勾股定理，得
AP=12cm．
∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，
∴PA=PB，DA=DF，EF=EB，
∴△PDE的周长=2PA=24cm．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】连接OA．根据切线的性质定理，得OA⊥PA．根据勾股定理，得PA=12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长．
24．如图：⊙O的直径AB=12，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=X，BC=Y，求Y与X的函数关系式，并画出它的大致图象．
【答案】解：过D作DF⊥CB，交CB于点F，
∵DA与DC都为圆O的切线，
∴DA=DE，
又CB与CE都为圆O的切线，
∴CB=CE，
又∠DAB=∠ABF=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD为矩形，
∴DA=FB，DF=AB，
在直角三角形CDF中，
∵AD=x，BC=y，AB=12，
∴CD=CE+ED=DA+CB=x+y，DF=AB=12，CF=CB﹣FB=y﹣x，
根据勾股定理得：CD2=DF2+CF2，
即（x+y）2=122+（y﹣x）2，
化简得：xy=36，即y=（x＞0）；
在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】过D作DF垂直于CB，根据切线的性质及垂直定义得到∠ADF，∠DAB，∠DFB为直角，可得四边形ABFD为矩形，根据矩形的对边相等可得DF=AB，AD=BF，又DA与DE为圆O的切线，根据切线长定理得到DA=DE，同理得到CE=CB，可得CD=CE+DE=AD+CB，表示出CD，CF=CB﹣FB=CB﹣AD，表示出CF，再由DF=AB，由AB的长得出DF的长，在直角三角形CDF中，根据勾股定理列出关于x与y的关系式，整理后可得出y与x的反比例关系式，同时根据x表示线段长，可得x大于0，即反比例为第一象限的部分，画出图象即可．
25．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，以CD为直径的圆与AB相切，AB=6，求梯形ABCD的中位线长．
【答案】解：作OM⊥AB于M，连接OA、OB．
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠D=180﹣∠C=90°，
∴以CD为直径的圆与AD、BC相切
∵以CD为直径的圆与AB相切，
∴AD=AM，BM=BC，
∴梯形ABCD的中位线长=（AD+BC）=AB=3．
故梯形ABCD的中位线长为3．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】作OM⊥AB于M，连接OA、OB，证得AD=AM，BM=BC，用梯形的中位线定理求中位线长为3．
26．（2020九上·南京期中）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，求△PCD的周长．
【答案】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，
∴PA+PB=m，PA PB=m﹣1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB=，
即 =m﹣1，
即m2﹣4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周长为：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA=PB，又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA与PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB．
27．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA=4，求△PED的周长；
（2）若∠P=40°，求∠AFB的度数．
【答案】解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC=DA，
同理EC=EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA=PB，
∴三角形PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+PE+BE=PA+PB=2PA=8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠P=40°，
∴∠PAB=∠PBA=（180﹣40）=70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF=∠PBF=90°﹣70°=20°
∴∠AFB=90°﹣20°=70°．
答：（1）若PA=4，△PED的周长为8；
（2）若∠P=40°，∠AFB的度数为70°．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论；
（2）连接AB，根据切线长定理求证PA=PB，再三角形内角和定理求出∠PAB和∠PBA的度数，然后再利用BF为圆直径即可求出∠AFB的度数．
28．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？
【答案】解：∵PA、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，
∴AP=BP，DA=DC，CE=BE，
∴△PED的周长是：PD+DE+PE
=PD+DC+CE+PE
=PD+DA+PE+BE
=PA+PB
=2PA=10cm．
答：△PED的周长是10cm．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】根据切线长定理求出AP=BP，DA=DC，CE=BE，代入求出△PDE的周长为2PA，代入即可．
1 / 1浙教版数学九年级下册2.2切线长定理基础检测
一、单选题
1．P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，则△PDE的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．不能确定
2．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若AB=10，BC=4，则AD的长（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A、B为切点，∠P=70°，C为⊙O上一个动点，且不与A、B重合，则∠BCA=（ ）
A．35°、145° B．110°、70°
C．55°、125° D．110°
4．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD=BC；③PB=PF；④AD2=4AB DC．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．只有①②
C．只有①②④ D．只有③④
5．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
6．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ ）
A．35° B．45° C．60° D．70°
7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
8．如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC=2，CD=3，
DB=6，则△PAB的周长为何（ ）
A．6 B．9 C．12 D．14
9．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
10．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是 上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A．12 B．6 C．8 D．4
11．如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
12．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦AB的长是（ ）
A．4 B．8 C．4 D．8
13．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE=（ ）
A． B． C． D．
14．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（ ）
A．PA=PB B．∠APO=20° C．∠OBP=70° D．∠AOP=70°
15．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：
①S四边形ABCD= AB CD；
②AD=AB；
③AD=ON；
④AB为过O、C、D三点的圆的切线．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
16．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线DC分别相交于C、D．已知△PCD的周长等于14cm，则PA= cm．
17．（2017·上思模拟）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
18．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若PA=10，则△PCD的周长=
19．如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E、F、G、H．若AB=4cm，AD=3cm，BC=3.6cm，则CD= cm．
20．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于E，PA=6，则△PDC的周长为
三、解答题
21．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
22．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长．
23．已知PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，PO=13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．
24．如图：⊙O的直径AB=12，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=X，BC=Y，求Y与X的函数关系式，并画出它的大致图象．
25．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，以CD为直径的圆与AB相切，AB=6，求梯形ABCD的中位线长．
26．（2020九上·南京期中）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，求△PCD的周长．
27．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA=4，求△PED的周长；
（2）若∠P=40°，求∠AFB的度数．
28．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是上的一个动点（点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD=DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC=EB，
又直线PA和直线PB为圆O的切线，所以PA=PB=4，
则△PDE的周长C=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE
=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8．
故选B
【分析】根据题意画出图形，由PA和PB为圆的切线，根据切线长定理得到PA与PB相等，同理得到DA与DC相等，EC与EB相等，然后表示出三角形PDE的三边和，等量代换后即可求出三角形PDE的周长．
2．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，OD，设⊙O的半径为r，
∵BC、CD、DA与半⊙O相切，
∴AD和AO的高为r，
∴AO=AD，
同理BO=BC，
∴AB=AO+BO=AD+BC，
又知AB=10，BC=4，
故知AD=6，
故选C．
【分析】连接OC，OD，设⊙O的半径为r，在△AOD和△BOC中，AD和AO，BO和BC上的高都为r，则AO=AD，BO=BC，从而得出BA=AD+BC．
3．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图；连接OA、OB，则∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠BOA=180°﹣∠P=110°，
∴∠AEB=∠AOB=55°；
∵四边形AEBF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFB=180°﹣∠AEB=125°，
①当C点在优弧AB上运动时，∠BCA=∠AEB=55°；
②当C点在劣弧AB上运动时，∠BCA=∠AFB=125°；
故选C．
【分析】连接OA、OB，首先根据四边形内角和求出∠AOB的度数；由于C点的位置有两种情况，需分类讨论．
4．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵BA，BE是圆的切线．
∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD=CE，AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确；
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴
即：OA OD=AB CD
∴AD2=4AB DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选C．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，以及切线长定理，相似三角形的性质即可作出判断．
5．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，
故选B．
【分析】根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．
6．【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣35°=55°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=55°，
所以∠P=70°．
故选D．
【分析】根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．
7．【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，
∴BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH．
∴BG+CH=BI+CI=BC=9，
∴C△ADE=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=C△ABC﹣（BG+EH+BC）=25﹣2×9=7．
故选A．
【分析】根据切线长定理，可得BI=BG，CI=CH，DG=DF，EF=EH，则C△ADE=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=C△ABC﹣（BG+EH+BC），据此即可求解．
8．【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：根据切线长定理可得：PD=PC=2，DB=6
∴AP=BP=4
∵PA=PB，PC=PD，即=2
∵∠APB=∠DPC
∴△ABP∽△CDP
易得△CDP的周长是7，所以△PAB的周长是2×7=14．
故选D．
【分析】由切线长定理可求得PA=PB，PC=PD；根据PC、DB的长，即可求出PA、PB的长；易证得△APB∽△DPC，因此两三角形的周长比等于相似比，由此可求出△PAB的周长．
9．【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BE+CG=10（cm）．
故选D．
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
10．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA=PB，
∵DE是⊙O的切线，
∴DA=DC，EB=EC，
∵△PDE的周长为12，
即PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12，
∴PA=6．
故选B．
【分析】由PA，PB分别和⊙O切于A，B两点与DE是⊙O的切线，根据切线长定理，即可得PA=PB，DA=DC，EB=EC，又由△PDE的周长为12，易求得PA+PB=12，则可求得答案．
11．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：据切线长定理有AD=AE，BE=BF，CD=CF；
则△ABC的周长=AB+BC+AC
=AB+BF+CF+AC
=AB+BE+AC+CD
=AD+AE=2AD
=40．
故选C．
【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，将△ABC的周长转化为切线长求解．
12．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，
又∠P=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AB=PA=8．
故选B．
【分析】根据切线长定理和等边三角形的判定方法，发现等边三角形即可求解．
13．【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F
∵AB，AE都为圆的切线
∴AE=AB
∵OB=OE，AO=AO
∴△ABO≌△AEO（SSS）
∴∠OAB=∠OAE
∴AO⊥BE
在直角△AOB里AO2=OB2+AB2
∵OB=1，AB=3
∴AO=
易证明△BOF∽△AOB
∴BO：AO=OF：OB
∴1：=OF：1
∴OF=
sin∠CBE= =
故选D．
【分析】取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F，则易证AO⊥BE，△BOF∽△AOB，则sin∠CBE=，求得OF的长即可求解．
14．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB=40°，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，∠A=∠B=90°，
∴∠OBP=∠OAP，
∴C是错误的．
故选C．
【分析】根据切线长定理得A，B是正确的；再根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余得D是正确的；根据切线的性质定理得C错误．
15．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD、AP，
∵DA、DP、BC分别是圆的切线，切点分别是A、P、B，
∴DA=DP，CP=CB，∠A=90°=∠B=∠DPO，
∴AD+BC=DP+CP=CD，
∴S四边形ABCD=（AD+BC） AB=AB CD，∴①正确；
∵AD=DP＜OD＜AB，∴②错误；
∵AB是圆的直径，
∴∠APB=90°，
∵DP=AD，AO=OP，
∴D、O在AP的垂直平分线上，
∴OD⊥AP，
∵∠DPO=∠APB=90°，
∴∠OPB=∠DPA=∠DOP，
∵OM∥CD，
∴∠POM=∠DPO=90°，
在△DPO和△NOP中
∠PON=∠DPO，OP=OP，∠DOP=∠OPN，
∴△DPO≌△NOP，
∴ON=DP=AD，∴③正确；
∵AP⊥OD，OA=OP，
∴∠AOD=∠POD，
同理∠BOC=∠POC，
∴∠DOC=×180°=90°，
∴△CDO的外接圆的直径是CD，
∵∠A=∠B=90°，
取CD的中点Q，连接OQ，
∵OA=OB，
∴AD∥OQ∥BC，
∴∠AOQ=90°，
∴④正确．
故选C．
【分析】连接OD、AP，根据切线长定理求出AD=DP，CP=BC，根据面积公式判断①即可；根据直角三角形斜边大于直角边即可判断②；证△DPO和△PON全等证出DP=ON即可判断③，证△DOC是直角三角形，取CD中点Q，证出OQ是半径，证梯形ABCD，推出∠AOQ=90°即可判断④．
16．【答案】7
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14（cm）；
∴PA=PB=7cm，
故答案为：7．
【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．
17．【答案】2
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
【分析】本题考查了切线长定理，由于AB、AC、BD是⊙O的切线，运用切线长定理并利用等式的性质可得，AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
18．【答案】20
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20．
故答案为：20．
【分析】由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．
19．【答案】2.6
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E、F、G、H，
∴DG=DH，CG=CF，BF=BE，AE=AH，
则DC+AB=AD+BC
∵AB=4cm，AD=3cm，BC=3.6cm，
∴CD=3+3.6﹣4=2.6．
故答案为：2.6．
【分析】直接利用切线长定理求出DC+AB=AD+BC，进而得出答案．
20．【答案】12
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB，
∴三角形PDC的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12．
故答案为：12．
【分析】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB即可得出答案．
21．【答案】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB，
∴三角形PDE的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°，
∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE=∠OCA=∠ACD；
同理：∠ODE=∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=（∠ACD+∠CDB）=120°，
∴∠COD=180﹣120°=60°．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；
（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数．
22．【答案】解：∵AB∥CD，⊙O为内切圆，
∴∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠AOD=90°，
∵AO=8cm，DO=6cm，
∴AD=10cm，
∵OE⊥AD，
∴AD OE=OD OA，
∴OE=4.8cm．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】由⊙O为内切圆，则AO、DO为角平分线，则∠AOD=90°，由勾股定理求得AD，再由切线的性质得OE⊥AD，由三角形的面积公式求出OE的长．
23．【答案】解：连接OA，则OA⊥PA．
在直角三角形APO中，PO=13cm，OA=5cm，
根据勾股定理，得
AP=12cm．
∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，
∴PA=PB，DA=DF，EF=EB，
∴△PDE的周长=2PA=24cm．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】连接OA．根据切线的性质定理，得OA⊥PA．根据勾股定理，得PA=12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长．
24．【答案】解：过D作DF⊥CB，交CB于点F，
∵DA与DC都为圆O的切线，
∴DA=DE，
又CB与CE都为圆O的切线，
∴CB=CE，
又∠DAB=∠ABF=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD为矩形，
∴DA=FB，DF=AB，
在直角三角形CDF中，
∵AD=x，BC=y，AB=12，
∴CD=CE+ED=DA+CB=x+y，DF=AB=12，CF=CB﹣FB=y﹣x，
根据勾股定理得：CD2=DF2+CF2，
即（x+y）2=122+（y﹣x）2，
化简得：xy=36，即y=（x＞0）；
在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】过D作DF垂直于CB，根据切线的性质及垂直定义得到∠ADF，∠DAB，∠DFB为直角，可得四边形ABFD为矩形，根据矩形的对边相等可得DF=AB，AD=BF，又DA与DE为圆O的切线，根据切线长定理得到DA=DE，同理得到CE=CB，可得CD=CE+DE=AD+CB，表示出CD，CF=CB﹣FB=CB﹣AD，表示出CF，再由DF=AB，由AB的长得出DF的长，在直角三角形CDF中，根据勾股定理列出关于x与y的关系式，整理后可得出y与x的反比例关系式，同时根据x表示线段长，可得x大于0，即反比例为第一象限的部分，画出图象即可．
25．【答案】解：作OM⊥AB于M，连接OA、OB．
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠D=180﹣∠C=90°，
∴以CD为直径的圆与AD、BC相切
∵以CD为直径的圆与AB相切，
∴AD=AM，BM=BC，
∴梯形ABCD的中位线长=（AD+BC）=AB=3．
故梯形ABCD的中位线长为3．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】作OM⊥AB于M，连接OA、OB，证得AD=AM，BM=BC，用梯形的中位线定理求中位线长为3．
26．【答案】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，
∴PA+PB=m，PA PB=m﹣1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，
∴PA=PB=，
即 =m﹣1，
即m2﹣4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周长为：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA=PB，又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA与PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB．
27．【答案】解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC=DA，
同理EC=EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA=PB，
∴三角形PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+PE+BE=PA+PB=2PA=8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∵∠P=40°，
∴∠PAB=∠PBA=（180﹣40）=70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF=∠PBF=90°﹣70°=20°
∴∠AFB=90°﹣20°=70°．
答：（1）若PA=4，△PED的周长为8；
（2）若∠P=40°，∠AFB的度数为70°．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论；
（2）连接AB，根据切线长定理求证PA=PB，再三角形内角和定理求出∠PAB和∠PBA的度数，然后再利用BF为圆直径即可求出∠AFB的度数．
28．【答案】解：∵PA、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，
∴AP=BP，DA=DC，CE=BE，
∴△PED的周长是：PD+DE+PE
=PD+DC+CE+PE
=PD+DA+PE+BE
=PA+PB
=2PA=10cm．
答：△PED的周长是10cm．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】根据切线长定理求出AP=BP，DA=DC，CE=BE，代入求出△PDE的周长为2PA，代入即可．
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