浙教版数学九年级下册1.3解直角三角形基础检测
一、单选题
1．如图，学校大门出口处有一自动感应栏杆，点A是栏杆转动的支点，当车辆经过时，栏杆AE会自动升起，某天早上，栏杆发生故障，在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的角度∠BAE=127°，已知AB⊥BC，支架AB高1.2米，大门BC打开的宽度为2米，以下哪辆车可以通过？（ ）
（栏杆宽度，汽车反光镜忽略不计）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．车辆尺寸：长×宽×高）
A．宝马Z4（4200mm×1800mm×1360mm）
B．奇瑞QQ（4000mm×1600mm×1520mm）
C．大众朗逸（4600mm×1700mm×1400mm）
D．奥迪A4（4700mm×1800mm×1400mm）
2．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
3．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（ ）
A．0组 B．一组
C．二组 D．三组
4．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，则鱼竿转过的角度是（ ）
A．60° B．45° C．15° D．90°
5．在△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosA=，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
6．△ABC中，∠B=90°，AC=，tan∠C=，则BC边的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．4
7．在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB=，则∠C的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则AB的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边上的高为h，sinA=，则AB的长等于（ ）
A．h B．h C．h D．h
10．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E点F分别在射线AD，射线BC上，若点E与点B关于AC对称，点E点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（ ）
A．∠AEB+22°=∠DEF B．1+tan∠ADB=
C．2BC=5CF D．4cos∠AGB=
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠a=α，则CD长为（ ）
A．c sin2α B．c cos2α
C．c sinα tanα D．c sinα cosα
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC：AC=3：4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinB=，则AC等于（ ）
A．3 B．9 C．4 D．12
14．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，AC=40，则△ABC的面积是（ ）
A．800 B．800 C．400 D．400
15．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（ ）
A．45 B．5 C． D．
二、填空题
16．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 m．
17．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）
18．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为 °（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．
19．如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了 米．
20．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
三、解答题
21．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm．
（1）求∠CAO′的度数．
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
22．如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD=42°
（1）求∠CEF的度数；
（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长（结果保留两位小数）．
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
23．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
24．钓鱼岛是我国的神圣领土，中国人民维护国家领土完整的决心是坚定的，多年来，我国的海监、渔政等执法船定期开赴钓鱼岛巡视．某日，我海监船（A处）测得钓鱼岛（B处）距离为20海里，海监船继续向东航行，在C处测得钓鱼岛在北偏东45°的方向上，距离为10海里，求AC的距离．（结果保留根号）
25．（2017·芜湖模拟）如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B两处，同时测得事发地点C在A的南偏东60°且C在B的南偏东30°上．已知B在A的正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点C的距离．（注：里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）
26．如图，一条高速公路在城市A的东偏北30°方向直线延伸，县城M在城市A东偏北60°方向上，测验员从A沿高速公路前行4000米到达C，测得县城M位于C的北偏西60°方向上，现要设计一条从县城M进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点N，使修建到县城M的道路最短，试确定N点的位置并求出最短路线长．（结果取整数，≈1.732）
27．在一山顶有铁塔AB，从点P到铁塔底部B点有一条索道PB，索道长为300米，与水平线成角为α=30°，在P处测得A点的仰角为β=45°，试求铁塔的高AB．（精确到0.1米，其中≈1.41，≈1.73）
28．在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离．（单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点N作NQ⊥BC于Q，交AG于点R，则∠BAG=90°，
∵∠BAE=127°，∠BAG=90°，
∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=37°．
在△NAR中，∠ARN=90°，∠EAG=37°，
当车宽为1.8m，则GR=1.8m，故AR=2﹣1.8=0.2（m），
∴NR=ARtan37°=0.2×0.75=0.15（m），
∴NQ=1.2+0.15=1.35＜1.36，
∴宝马Z4（4200mm×1800mm×1360mm）无法通过，
∴奥迪A4（4700mm×1800mm×1400mm）无法通过，
故此选项A，D不合题意；
当车宽为1.6m，则GR=1.6m，故AR=2﹣1.6=0.4（m），
∴NR=ARtan37°=0.4×0.75=0.3（m），
∴NQ=1.2+0.3=1.5＜1.52，
∴奇瑞QQ（4000mm×1600mm×1520mm）无法通过，故此选项不合题意；
当车宽为1.7m，则GR=1.7m，故AR=2﹣1.7=0.3（m），
∴NR=ARtan37°=0.3×0.75=0.225（m），
∴NQ=1.2+0.225=1.425＞1.4，
∴大众朗逸（4600mm×1700mm×1400mm）可以通过，故此选项符合题意；
故选：C．
【分析】根据由题意只要车辆靠左行驶，车的最大高度小于AE抬起的高度NQ，即可通过，进而分别计算判断得出即可．
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：假设AC=x，
∴BC=x，
∵滑梯AB的长为3m，
∴2x2=9，
解得：x=，
∵∠D=30°，
∴2AC=AD，
∴AD=3．
故选C．
【分析】根据∠ABC=∠BAC=45°，AB=3，求出AC的长，再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可．
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中设AC=x，AD=CD+x，AB= ，AB= ；因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．
故选D．
【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于（1）（3），根据AB= 即可解答．
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵sin∠CAB= = = ，
∴∠CAB=45°．
∵= =，
∴∠C′AB′=60°．
∴∠CAC′=60°﹣45°=15°，
鱼竿转过的角度是15°．
故选：C．
【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出∠CAB，∠C′AB′，然后可以求出∠C′AC，即求出了鱼竿转过的角度．
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：
∵cosA==，AB=10，
∴AC=8，
由勾股定理得：BC=C==6．
故选A．
【分析】解直角三角形求出AC，根据勾股定理求出BC即可．
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∴tan∠C==，
设AB=x，则BC=2x，
∴AC==x，
∴x=，解得x=1，
∴BC=2x=2．
故选B．
【分析】根据正切定义得到tan∠C==，则可设AB=x，BC=2x，利用勾股定理计算出AC=x，所以x=，解得x=1，然后计算2x即可得到BC的长．
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，
∵sinB=，
∴=，
∵AB=5，
∴AD=3，
∴BD==4，
∵BC=6，
∴CD=2，
∴AC==，
∴sinC===，
故选C．
【分析】过点A作AD⊥BC，根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD，根据勾股定理得出AC，再由三角函数的定义得出答案即可．
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴tanA=，
∵AC=4，tanA=，
∴BC=AC tanA=2，
∴AB===2．
故选C．
【分析】在Rt△ABC中，已知tanA，AC的值，根据tanA=，可将BC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出．
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，CD为斜边AB上的高，
在Rt△ABC中，sinA==，
设BC=3k，则AB=5k，
根据勾股定理，得AC==4k；
在Rt△ACD中，sinA===，
AC=h，
∵4k=h，
∴k=h，
∴AB=5×h=h．
故选C．
【分析】在Rt△ABC中，根据正弦的定义得sinA==，设BC=3k，则AB=5k，根据勾股定理求出AC=4k；在Rt△ACD中，由h与sinA的值，求出AC=h，那么4k=h，求出k，进而得到AB．
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，
由轴对称性得，AB=AE，设为1，
则BE==，
∵点E与点F关于BD对称，
∴DE=BF=BE=，
∴AD=1+，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四边形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，∠AEB+22°=45°+22°=67°，
∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，
∴∠BFE==67.5°，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故A错误；
1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=，故B正确；
∵CF=BF﹣BC=﹣1，
∴5CF=5（﹣1），
又∵2BC=2×1=2，
∴2BC≠5CF，故C错误；
由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（）2﹣（）2=，
∴OE=，
∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EBG+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF，
∴cos∠AGB===，4cos∠AGB=2，故D错误．
故选：B．
【分析】连接CE，设EF与BD相交于点O，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利用勾股定理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解．
11．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=α，
siα=，BC=c sinα，
∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A=α，
在Rt△DCB中，∠CDB=90°，
cos∠DCB=，
CD=BC cosα=c sinα cosα，
故选：D．
【分析】根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案．
12．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，
根据勾股定理，AB=5x，
设CD为a，
BD平分∠ABC，则DE=CD=a，
AD=4x﹣a，AE=5x﹣3x=2x，
在Rt△ADE中，
AD2=DE2+AE2，
即（4x﹣a）2=a2+（2x）2，
解得，a=x，
tan∠DBC=
故选：B．
【分析】作DE⊥AB于E，设BC为3x，则AC为4x，求出AB=5x，设CD为a，根据勾股定理，用x表示a，根据三角函数的概念求出tan∠DBC的值．
13．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵sinB==，
∴AC=×15=9．
故选B．
【分析】直接根据正弦的定义求解．
14．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过C作CD⊥AB，
∵在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，
∴∠A=∠B=30°，
∴BC=AC，
∴D为AB中点，
在Rt△ACD中，AC=40，
∴CD=AC=20，
根据勾股定理得：AD==20，
∴AB=2AD=40，
则△ABC的面积是AB CD=400，
故选D
【分析】如图所示，过C作CD⊥AB，根据题意，利用锐角三角函数定义求出∠A与∠B的度数，利用等角对等边得到AC=BC，利用三线合一得到D为AB中点，在直角三角形ACD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AB的长，求出三角形ABC面积即可．
15．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵sinA=，
∴BC=AB sinA
=15×
=5，
故选：B．
【分析】根据锐角三角函数的概念sinA=，代入已知数据计算即可．
16．【答案】135
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，
∴∠ADB=30°，
在Rt△ABD中，
tan30°=，
解得，=，
∴AD=45，
∵在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，
∴在Rt△ACD中，
CD=AD tan60°=45×=135米．
故答案为135米．
【分析】根据“爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长，然后根据“在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°”可以求出CD的长．
17．【答案】137
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，
设AD=xm，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，
∴CD=AD=x，
∴BD=BC+CD=x+100，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，
∴x=（x+100），
∴x=50（+1）≈137，
即山高AD为137米．
故答案为137．
【分析】根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再进行近似计算即可．
18．【答案】27.8
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵tan∠A==≈0.5283，
∴∠A=27.8°，
故答案为：27.8°．
【分析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．
19．【答案】1000
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥水平面于点C，
在Rt△ABC中，
∵AB=2000米，∠A=30°，
∴BC=ABsin30°=2000×=1000．
故答案为：1000．
【分析】过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=200米，∠A=30°，求出BC的长度即可．
20．【答案】14.1
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cos∠CBE=，
∴BE=BC cos∠CBE
=15×0.940
=14.1cm．
故答案为：14.1．
【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．
21．【答案】解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，
∴sin∠CAO′=，
∴∠CAO′=30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D
∵sin∠BOD=，
∴BD=OB sin∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOD=60°，
∴BD=OB sin∠BOD=24×=12，
∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，
∴∠AO′C=60°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，
理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠EO′F=120°，
∴∠FO′A=∠CAO′=30°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OB sin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
22．【答案】解：（1）∵∠CGD=42°，∠C=90°，
∴∠CDG=90°﹣42°=48°，
∵DG∥EF，
∴∠CEF=∠CDG=48°；
（2）∵点H，B的读数分别为4，13.4，
∴HB=13.4﹣4=9.4（m），
∴BC=HBcos42°≈9.4×0.74≈6.96（m）．
答：BC的长为6.96m．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互为求出∠CDG的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出∠DEF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠EFA；
（2）根据度数求出HB的长度，再根据∠CBH=∠CGD=42°，利用42°的余弦值进求解．
23．【答案】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=，求出BE的长即可；
（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．
24．【答案】解：作BD⊥AC交AC的延长线于D，
由题意得，∠BCD=45°，BC=10海里，
∴CD=BD=10海里，
∵AB=20海里，BD=10海里，
∴AD= =10，
∴AC=AD﹣CD=10﹣10海里．
答：AC的距离为（10﹣10）海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作BD⊥AC交AC的延长线于D，根据正弦的定义求出BD、CD的长，根据勾股定理求出AD的长，计算即可．
25．【答案】解：作BG⊥AC于G，
∵点C在A的南偏东60°，
∴∠A=90°﹣60°=30°，
∵C在B的南偏东30°，
∴∠ABC=120°，
∴∠C=30°，
∴BC=AB=100里，
∴BG=BC sin30°=50里，
CG=BC cos30°=50里，
∴AC=2CG=100里．
答：A船到达事发地点C的距离是100里，B船到达事发地点C的距离是100里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作BG⊥AC于G，在图中标注方向角，根据等腰三角形的性质和正弦、余弦的概念求出AC、BC即可．
26．【答案】解：如图，过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，∵∠EAD=60°，∠CAD=30°，∴∠CAM=30°，∴∠AMN=60°，又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM=60°，∴∠MCB=30°，∵∠EAC=60°，∴∠CAD=30°，∴∠BCA=30°，∴∠MCA=∠MCB+∠BCA=60°，∴在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，∴MC=AC=2000，∠CMN=30°，∴NC=MC=1000，∵AC=4000米，∴AN=AC﹣NC=4000﹣1000=3000（米）．答：点N到A市最短路线3000米．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据方向角可以证得∠AMC=90°，根据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长．
27．【答案】解：由题意得，PB=300米，∠BPC=30°，
∴BC=PB sin∠BPC=150米，PC=PB cos∠BPC=150≈259.5米，
∵∠APC=45°，
∴AC=PC=259.5米，
∴AB=AC﹣BC=109.5米．
答：铁塔的高AB约为109.5米．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据正弦、余弦的定义分别求出BC、PC的长，根据AB=AC﹣BC计算即可．
28．【答案】解：设绳子AC的长为x米；
在△ABC中，AB=AC sin60°，
过D作DF⊥AB于F，如图所示：
∵∠ADF=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF=x sin45°，
∵AB﹣AF=BF=1.6，
则x sin60°﹣x sin45°=1.6，
解得：x=10，
∴AB=10×sin60°≈8.7（m），EC=EB﹣CB=x cos45°﹣x×cos60°=10×﹣10×≈2.1（m）；
答：旗杆AB的高度为8.7m，小铭后退的距离为2.1m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB=AC sin60°，过D作DF⊥AB于F，则△ADF是等腰直角三角形，得出AF=DF=x sin45°，由AB﹣AF=BF=1.6得出方程，解方程求出x，得出AB，再由三角函数即可得出小铭后退的距离．
1 / 1浙教版数学九年级下册1.3解直角三角形基础检测
一、单选题
1．如图，学校大门出口处有一自动感应栏杆，点A是栏杆转动的支点，当车辆经过时，栏杆AE会自动升起，某天早上，栏杆发生故障，在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的角度∠BAE=127°，已知AB⊥BC，支架AB高1.2米，大门BC打开的宽度为2米，以下哪辆车可以通过？（ ）
（栏杆宽度，汽车反光镜忽略不计）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．车辆尺寸：长×宽×高）
A．宝马Z4（4200mm×1800mm×1360mm）
B．奇瑞QQ（4000mm×1600mm×1520mm）
C．大众朗逸（4600mm×1700mm×1400mm）
D．奥迪A4（4700mm×1800mm×1400mm）
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点N作NQ⊥BC于Q，交AG于点R，则∠BAG=90°，
∵∠BAE=127°，∠BAG=90°，
∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=37°．
在△NAR中，∠ARN=90°，∠EAG=37°，
当车宽为1.8m，则GR=1.8m，故AR=2﹣1.8=0.2（m），
∴NR=ARtan37°=0.2×0.75=0.15（m），
∴NQ=1.2+0.15=1.35＜1.36，
∴宝马Z4（4200mm×1800mm×1360mm）无法通过，
∴奥迪A4（4700mm×1800mm×1400mm）无法通过，
故此选项A，D不合题意；
当车宽为1.6m，则GR=1.6m，故AR=2﹣1.6=0.4（m），
∴NR=ARtan37°=0.4×0.75=0.3（m），
∴NQ=1.2+0.3=1.5＜1.52，
∴奇瑞QQ（4000mm×1600mm×1520mm）无法通过，故此选项不合题意；
当车宽为1.7m，则GR=1.7m，故AR=2﹣1.7=0.3（m），
∴NR=ARtan37°=0.3×0.75=0.225（m），
∴NQ=1.2+0.225=1.425＞1.4，
∴大众朗逸（4600mm×1700mm×1400mm）可以通过，故此选项符合题意；
故选：C．
【分析】根据由题意只要车辆靠左行驶，车的最大高度小于AE抬起的高度NQ，即可通过，进而分别计算判断得出即可．
2．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：假设AC=x，
∴BC=x，
∵滑梯AB的长为3m，
∴2x2=9，
解得：x=，
∵∠D=30°，
∴2AC=AD，
∴AD=3．
故选C．
【分析】根据∠ABC=∠BAC=45°，AB=3，求出AC的长，再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可．
3．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有（ ）
A．0组 B．一组
C．二组 D．三组
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中设AC=x，AD=CD+x，AB= ，AB= ；因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．
故选D．
【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于（1）（3），根据AB= 即可解答．
4．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，则鱼竿转过的角度是（ ）
A．60° B．45° C．15° D．90°
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵sin∠CAB= = = ，
∴∠CAB=45°．
∵= =，
∴∠C′AB′=60°．
∴∠CAC′=60°﹣45°=15°，
鱼竿转过的角度是15°．
故选：C．
【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出∠CAB，∠C′AB′，然后可以求出∠C′AC，即求出了鱼竿转过的角度．
5．在△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosA=，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：
∵cosA==，AB=10，
∴AC=8，
由勾股定理得：BC=C==6．
故选A．
【分析】解直角三角形求出AC，根据勾股定理求出BC即可．
6．△ABC中，∠B=90°，AC=，tan∠C=，则BC边的长为（ ）
A．2 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∴tan∠C==，
设AB=x，则BC=2x，
∴AC==x，
∴x=，解得x=1，
∴BC=2x=2．
故选B．
【分析】根据正切定义得到tan∠C==，则可设AB=x，BC=2x，利用勾股定理计算出AC=x，所以x=，解得x=1，然后计算2x即可得到BC的长．
7．在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB=，则∠C的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，
∵sinB=，
∴=，
∵AB=5，
∴AD=3，
∴BD==4，
∵BC=6，
∴CD=2，
∴AC==，
∴sinC===，
故选C．
【分析】过点A作AD⊥BC，根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD，根据勾股定理得出AC，再由三角函数的定义得出答案即可．
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则AB的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴tanA=，
∵AC=4，tanA=，
∴BC=AC tanA=2，
∴AB===2．
故选C．
【分析】在Rt△ABC中，已知tanA，AC的值，根据tanA=，可将BC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边上的高为h，sinA=，则AB的长等于（ ）
A．h B．h C．h D．h
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，CD为斜边AB上的高，
在Rt△ABC中，sinA==，
设BC=3k，则AB=5k，
根据勾股定理，得AC==4k；
在Rt△ACD中，sinA===，
AC=h，
∵4k=h，
∴k=h，
∴AB=5×h=h．
故选C．
【分析】在Rt△ABC中，根据正弦的定义得sinA==，设BC=3k，则AB=5k，根据勾股定理求出AC=4k；在Rt△ACD中，由h与sinA的值，求出AC=h，那么4k=h，求出k，进而得到AB．
10．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E点F分别在射线AD，射线BC上，若点E与点B关于AC对称，点E点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（ ）
A．∠AEB+22°=∠DEF B．1+tan∠ADB=
C．2BC=5CF D．4cos∠AGB=
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，
由轴对称性得，AB=AE，设为1，
则BE==，
∵点E与点F关于BD对称，
∴DE=BF=BE=，
∴AD=1+，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四边形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，∠AEB+22°=45°+22°=67°，
∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，
∴∠BFE==67.5°，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故A错误；
1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=，故B正确；
∵CF=BF﹣BC=﹣1，
∴5CF=5（﹣1），
又∵2BC=2×1=2，
∴2BC≠5CF，故C错误；
由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（）2﹣（）2=，
∴OE=，
∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EBG+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF，
∴cos∠AGB===，4cos∠AGB=2，故D错误．
故选：B．
【分析】连接CE，设EF与BD相交于点O，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利用勾股定理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠a=α，则CD长为（ ）
A．c sin2α B．c cos2α
C．c sinα tanα D．c sinα cosα
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=α，
siα=，BC=c sinα，
∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A=α，
在Rt△DCB中，∠CDB=90°，
cos∠DCB=，
CD=BC cosα=c sinα cosα，
故选：D．
【分析】根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC：AC=3：4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，
根据勾股定理，AB=5x，
设CD为a，
BD平分∠ABC，则DE=CD=a，
AD=4x﹣a，AE=5x﹣3x=2x，
在Rt△ADE中，
AD2=DE2+AE2，
即（4x﹣a）2=a2+（2x）2，
解得，a=x，
tan∠DBC=
故选：B．
【分析】作DE⊥AB于E，设BC为3x，则AC为4x，求出AB=5x，设CD为a，根据勾股定理，用x表示a，根据三角函数的概念求出tan∠DBC的值．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinB=，则AC等于（ ）
A．3 B．9 C．4 D．12
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵sinB==，
∴AC=×15=9．
故选B．
【分析】直接根据正弦的定义求解．
14．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，AC=40，则△ABC的面积是（ ）
A．800 B．800 C．400 D．400
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过C作CD⊥AB，
∵在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，
∴∠A=∠B=30°，
∴BC=AC，
∴D为AB中点，
在Rt△ACD中，AC=40，
∴CD=AC=20，
根据勾股定理得：AD==20，
∴AB=2AD=40，
则△ABC的面积是AB CD=400，
故选D
【分析】如图所示，过C作CD⊥AB，根据题意，利用锐角三角函数定义求出∠A与∠B的度数，利用等角对等边得到AC=BC，利用三线合一得到D为AB中点，在直角三角形ACD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AB的长，求出三角形ABC面积即可．
15．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（ ）
A．45 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵sinA=，
∴BC=AB sinA
=15×
=5，
故选：B．
【分析】根据锐角三角函数的概念sinA=，代入已知数据计算即可．
二、填空题
16．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 m．
【答案】135
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，
∴∠ADB=30°，
在Rt△ABD中，
tan30°=，
解得，=，
∴AD=45，
∵在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，
∴在Rt△ACD中，
CD=AD tan60°=45×=135米．
故答案为135米．
【分析】根据“爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长，然后根据“在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°”可以求出CD的长．
17．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）
【答案】137
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，
设AD=xm，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，
∴CD=AD=x，
∴BD=BC+CD=x+100，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，
∴x=（x+100），
∴x=50（+1）≈137，
即山高AD为137米．
故答案为137．
【分析】根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再进行近似计算即可．
18．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为 °（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．
【答案】27.8
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵tan∠A==≈0.5283，
∴∠A=27.8°，
故答案为：27.8°．
【分析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．
19．如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了 米．
【答案】1000
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥水平面于点C，
在Rt△ABC中，
∵AB=2000米，∠A=30°，
∴BC=ABsin30°=2000×=1000．
故答案为：1000．
【分析】过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=200米，∠A=30°，求出BC的长度即可．
20．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．
【答案】14.1
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cos∠CBE=，
∴BE=BC cos∠CBE
=15×0.940
=14.1cm．
故答案为：14.1．
【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质和∠CBD=40°，求出∠CBE的度数，根据余弦的定义求出BE的长．
三、解答题
21．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm．
（1）求∠CAO′的度数．
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
【答案】解：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，
∴sin∠CAO′=，
∴∠CAO′=30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D
∵sin∠BOD=，
∴BD=OB sin∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOD=60°，
∴BD=OB sin∠BOD=24×=12，
∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，
∴∠AO′C=60°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，
理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠EO′F=120°，
∴∠FO′A=∠CAO′=30°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OB sin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
22．如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD=42°
（1）求∠CEF的度数；
（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长（结果保留两位小数）．
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【答案】解：（1）∵∠CGD=42°，∠C=90°，
∴∠CDG=90°﹣42°=48°，
∵DG∥EF，
∴∠CEF=∠CDG=48°；
（2）∵点H，B的读数分别为4，13.4，
∴HB=13.4﹣4=9.4（m），
∴BC=HBcos42°≈9.4×0.74≈6.96（m）．
答：BC的长为6.96m．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互为求出∠CDG的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出∠DEF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠EFA；
（2）根据度数求出HB的长度，再根据∠CBH=∠CGD=42°，利用42°的余弦值进求解．
23．如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
【答案】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=，求出BE的长即可；
（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．
24．钓鱼岛是我国的神圣领土，中国人民维护国家领土完整的决心是坚定的，多年来，我国的海监、渔政等执法船定期开赴钓鱼岛巡视．某日，我海监船（A处）测得钓鱼岛（B处）距离为20海里，海监船继续向东航行，在C处测得钓鱼岛在北偏东45°的方向上，距离为10海里，求AC的距离．（结果保留根号）
【答案】解：作BD⊥AC交AC的延长线于D，
由题意得，∠BCD=45°，BC=10海里，
∴CD=BD=10海里，
∵AB=20海里，BD=10海里，
∴AD= =10，
∴AC=AD﹣CD=10﹣10海里．
答：AC的距离为（10﹣10）海里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作BD⊥AC交AC的延长线于D，根据正弦的定义求出BD、CD的长，根据勾股定理求出AD的长，计算即可．
25．（2017·芜湖模拟）如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B两处，同时测得事发地点C在A的南偏东60°且C在B的南偏东30°上．已知B在A的正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点C的距离．（注：里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）
【答案】解：作BG⊥AC于G，
∵点C在A的南偏东60°，
∴∠A=90°﹣60°=30°，
∵C在B的南偏东30°，
∴∠ABC=120°，
∴∠C=30°，
∴BC=AB=100里，
∴BG=BC sin30°=50里，
CG=BC cos30°=50里，
∴AC=2CG=100里．
答：A船到达事发地点C的距离是100里，B船到达事发地点C的距离是100里．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作BG⊥AC于G，在图中标注方向角，根据等腰三角形的性质和正弦、余弦的概念求出AC、BC即可．
26．如图，一条高速公路在城市A的东偏北30°方向直线延伸，县城M在城市A东偏北60°方向上，测验员从A沿高速公路前行4000米到达C，测得县城M位于C的北偏西60°方向上，现要设计一条从县城M进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点N，使修建到县城M的道路最短，试确定N点的位置并求出最短路线长．（结果取整数，≈1.732）
【答案】解：如图，过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，∵∠EAD=60°，∠CAD=30°，∴∠CAM=30°，∴∠AMN=60°，又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM=60°，∴∠MCB=30°，∵∠EAC=60°，∴∠CAD=30°，∴∠BCA=30°，∴∠MCA=∠MCB+∠BCA=60°，∴在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，∴MC=AC=2000，∠CMN=30°，∴NC=MC=1000，∵AC=4000米，∴AN=AC﹣NC=4000﹣1000=3000（米）．答：点N到A市最短路线3000米．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据方向角可以证得∠AMC=90°，根据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长．
27．在一山顶有铁塔AB，从点P到铁塔底部B点有一条索道PB，索道长为300米，与水平线成角为α=30°，在P处测得A点的仰角为β=45°，试求铁塔的高AB．（精确到0.1米，其中≈1.41，≈1.73）
【答案】解：由题意得，PB=300米，∠BPC=30°，
∴BC=PB sin∠BPC=150米，PC=PB cos∠BPC=150≈259.5米，
∵∠APC=45°，
∴AC=PC=259.5米，
∴AB=AC﹣BC=109.5米．
答：铁塔的高AB约为109.5米．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据正弦、余弦的定义分别求出BC、PC的长，根据AB=AC﹣BC计算即可．
28．在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离．（单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）
【答案】解：设绳子AC的长为x米；
在△ABC中，AB=AC sin60°，
过D作DF⊥AB于F，如图所示：
∵∠ADF=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF=x sin45°，
∵AB﹣AF=BF=1.6，
则x sin60°﹣x sin45°=1.6，
解得：x=10，
∴AB=10×sin60°≈8.7（m），EC=EB﹣CB=x cos45°﹣x×cos60°=10×﹣10×≈2.1（m）；
答：旗杆AB的高度为8.7m，小铭后退的距离为2.1m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB=AC sin60°，过D作DF⊥AB于F，则△ADF是等腰直角三角形，得出AF=DF=x sin45°，由AB﹣AF=BF=1.6得出方程，解方程求出x，得出AB，再由三角函数即可得出小铭后退的距离．
1 / 1
