浙教版数学九年级下册2.3三角形的内切圆基础检测
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF为（ ）
A．55° B．60° C．75° D．80°
2．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，∠B=45°，∠C=55°，连接OE、OF、OE、OF，则∠EDF等于（ ）
A．45° B．55° C．50° D．70°
3．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（ ）
A．EF＞AE+CF B．EF＜AE+CF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+CF
4．在三角形ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，那么AF、BD、CE的长分别为（ ）
A．AF=4，BD=9，CE=5 B．AF=4，BD=5，CE=9
C．AF=5，BD=4，CE=9 D．AF=9，BD=4，CE=5
5．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其内切圆和外接圆的半径分别是（ ）
A．2，5 B．1，5 C．4，5 D．4，10
6．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切于△ABC，则阴影部分面积为（ ）
A．12﹣π B．12﹣2π C．14﹣4π D．6﹣π
7．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=5，AC=12，则它的内切圆周长是（ ）
A．5π B．4π C．2π D．π
8．△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，则R与r的比值是（ ）
A． B． C．2 D．
9．在△ABC中，点I是内心，∠BIC=114°，则∠A的度数为（ ）
A．57° B．66° C．48° D．78°
10．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=（ ）
A．100° B．75° C．115° D．105°
11．如图，△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm．则△ABC内切圆的半径是（ ）
A． B． C．4 D．5
12．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（ ）
A．130° B．60° C．70° D．80°
13．已知O为△ABC的内心，∠A=68°，则∠BOC的度数是（ ）
A．136° B．34° C．168° D．124°
14．三角形的内心是（ ）
A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点
15．已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，下列说法错误的是（ ）
A．点O在△ABC的三边垂直平分线上
B．点O在△ABC的三个内角平分线上
C．如果△ABC的面积为S，三边长为a，b，c，⊙O的半径为r，那么r=
D．如果△ABC的三边长分别为5，7，8，那么以A、B、C为端点三条切线长分别为5，3，2
二、填空题
16．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，已知∠C=90°，⊙O半径长为3cm，AC=10cm，则AD长度为 cm．
17．（2020九上·富县期末）已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是
18．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O和M分别为Rt△ABC的外心和内心，线段OM的长为
19．（2016·丹阳模拟）若直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则它的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ．
20．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是
三、解答题
21．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P是边AC上的一动点，PH⊥AB，垂足为H．
（1）求⊙O的半径的长及线段AD的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式．
22．已知：如图，在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A（3，0）、B（0，4）．设△BOA的内切圆的直径为d，求d+AB的值．
23．如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，求⊙O的面积．
24．已知△ABC，求作内切圆（保留作图痕迹，不写作法）
25．如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为上任意一点（不与点A和D重合），
PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，过O、I和D三点的圆的半径为r，则当点P在上运动时，求r的值．
26．如图，已知⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F，，C△ABC=10cm且∠C=60°．求：
（1）⊙O的半径r；
（2）扇形OEF的面积（结果保留π）；
（3）扇形OEF的周长（结果保留π）
27．如图，在等腰△ABC中，CA=CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD、BC相切于点F、G，连AE、BE．
（1）求证：AF=BG；
（2）过E点作EH⊥AB于H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由．
28．已知：如图，点N为△ABC的内心，延长AN交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E．
（1）求证：EB=EN=EC；
（2）求证：NE2=AE DE．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OD、OF，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵⊙O是△ACB的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∴∠DOE=360°﹣90°﹣30°﹣90°=150°，
∴∠DEF=∠DOF=75°，
故选C．
【分析】连接OD、OF，根据三角形内角和定理求出∠A，根据切线的性质求出∠ADO=∠AEO=90°，求出∠DOF，根据圆周角定理求出即可．
2．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=45°，∠C=55°，
∴∠A=180°﹣45°﹣55°=80°，
∵⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，
∴∠OFA=∠OEA=90°，
∴∠EOF=360°﹣90°﹣80°﹣90°=100°，
∴∠EDF=∠EOF=50°，
故选C．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据切线性质求出∠OFA=∠OEA=90°，求出∠EOF，根据圆周角定理得出∠EDF=∠EOF，代入求出即可．
3．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵O是△ABC的内心，
∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，
∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，
∵EF∥AB，
∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，
∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，
∴AE=OE，OF=BF，
∴EF=AE+BF．
故选C．
【分析】连接OA，OB，由O是△ABC的内心可知OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，故可得出 ∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，再由EF∥AB可知，∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，故可得出 ∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，故AE=OE，OF=BF，由此即可得出结论．
4．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm．
∵AF、AE是圆的切线，
∴AE=AF=xcm，
同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm．
根据题意得：
，
解得：．
即：AF=4，BD=9，CE=5．
故选A．
【分析】利用切线长定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14，AC=9，AB=13，即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解．
5．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆的半径==2，
△ABC的外接圆的半径==5．
故选A．
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为计算△ABC的内切圆的半径，利用斜边为外接圆的直径计算△ABC的外接圆的半径．
6．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC，∠C=90°，BC=3，AC=4；
根据勾股定理AB==5；
若设Rt△ABC的内切圆的半径为R，则有：
R==1，
∴S阴影=S△ABC﹣S圆
=AC BC﹣πR2
=×3×4﹣π×1=6﹣π．
故选D．
【分析】显然图中阴影部分的面积是△ABC和其内切圆的面积差，解决本题的关键是求出三角形内切圆的半径；在Rt△ABC中，已知了BC、AC的 长，可由勾股定理求得斜边AB的长；进而可根据直角三角形内切圆半径公式求得△ABC的内切圆半径，进而可求出其面积，由此得解．
7．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=13，
∵r=（12+5﹣13）=2，
∴内切圆周长是4π．
故选B．
【分析】根据勾股定理，得其斜边是13．再根据直角三角形的内切圆的半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆的半径是2，所以其周长是4π．
8．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10．
∴Rt△ABC的外接圆的半径为5．
∵三角形ABC的面积=×三角形ABC的周长×内切圆半径，
∴．
解得：r=2．
∴R：r=5：2．
故选：A．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形外心的特点求出外接圆的半径R=5，依据三角形的面积=×三角形的周长×内切圆半径可求得r=2
9．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠BIC=114°，
∴∠IBC+∠ICB=66°．
∵BC、BA为圆的切线，
∴∠ABI=∠CBT．
同理：∠ACI=∠BCI．
∴∠ABC+∠ACB=132°．
∴∠A=180°﹣∠ABC+∠ACB=180°﹣132°=48°．
故选：C．
【分析】在△BCI中求得∠IBC+∠ICB=66°，由切线长定理可知∠ABI=∠CBT、∠ACI=∠BCI，从而可求得∠ABC+∠ACB=132°，然后由三角形的内角和定理可求得∠A的度数．
10．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°．
∴∠BOC=180°﹣25°﹣40°=115°．
故选：C．
【分析】三角形的内切圆的圆心是三角形三条内角平分线的交点，故此∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°，最后依据三角形的内角和定理求解即可．
11．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=5．
在Rt△ABD中，AD= =12．
∴ ．
∴r= ．
∴r= = ．
故选：A．
【分析】如图所示，过点A作AD⊥BC，由等腰三角形的性质可知BD=DC=5，依据勾股定理可求得AD=12，然后可求得△ABC的面积，最后根据三角形的面积= ×三角形的周长×三角形的内切圆半径求解即可．
12．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图所示：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=180°﹣∠BOC=180°﹣130°=50°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=50°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=180°﹣100°=80°．
故选D．
【分析】根据题意画出图形，由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线．利用内角和定理先求得∠OBC+∠OCB=80°，所以可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入此关系式即可求得∠A的值．
13．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣68°=112°，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×112=56°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180﹣56=124°．
故选D．
【分析】首先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，然后根据内心的定义证明∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），然后根据三角形内角和定理求解．
14．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：三角形的内心为三个内角平分线的交点．
故选：B．
【分析】利用三角形的内心的概念即可得出答案．
15．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O到△ABC三边的距离相等，
∴点O在△ABC的三个内角平分线上，故A错误，B正确，
连接OA，OB，OC，
∴S=S△ABO+S△BCO+S△ACO=c r+a rb r=（a+b+c）r，
∴r=，故C正确，
设以A、B、C为端点三条切线长分别为：x，y，z，
则，
解得：，
故D正确，
故选A．
【分析】由⊙O是△ABC的内切圆，于是得到点O到△ABC三边的距离相等，证得点O在△ABC的三边垂直平分线上，故A正确，B错误，连接OA，OB，OC，根据三角形的面积公式即可推出r=，故C正确，设以A、B、C为端点三条切线长分别为：x，y，z，列方程组即可得到结论．
16．【答案】7
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OD、OE、OF，如图，设⊙O的半径为r，
∵⊙O为△ABC内切圆，与三边分别相切于D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF为矩形
而OF=OE，
∴四边形OECF为正方形，
∴CE=OE=3，
∵AC=10，
∴AF=AC﹣CF=7，
∴AD=AF=7（cm）．
故答案为7．
【分析】连接OD、OE、OF，如图，根据内切圆的定义和切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，接着证明四边形OECF为正方形，则CE=OE=3，所以AF=AC﹣CF=7，然后根据切线长定理求AD．
17．【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：
∵a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠ACB=90°，
设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，
∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC，
∴×AC×BC=×AC×0E+×AB×OF+×BC×OD，
∴3×4=4R+5R+3R，
解得：R=1．
故答案为：1．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，根据S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案．
18．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10．
∵点O为△ABC的外心，
∴AO为外接圆半径，AO=AB=5．
设⊙M的半径为r，则MD=ME=r，
又∵∠MDC=∠MEC=∠C=90°，
∴四边形IECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=6﹣r，BD=BN=8﹣r，
∵AB=10，
∴8﹣r+6﹣r=10，
解得r=2，
∴MN=r=2，AN=6﹣r=4．
在Rt△OIN中，∵∠MNO=90°，ON=AO﹣AN=5﹣4=1，
∴OM==．
故答案是：．
【分析】作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．先根据勾股定理求出AB=10，得到△ABC的外接圆 半径AO=5，再证明四边形MECD是正方形，根据内心的性质和切线长定理，求出⊙M的半径r=2，则ON=1，然后在Rt△OMN中，运用勾股定理即可 求解．
19．【答案】5；2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴外接圆半径为5，
设内切圆的半径为r，
∴CE=CF=r，
∴AD=AF=8﹣r，BD=BE=6﹣r，
∴6﹣r+8﹣r=10，
解得r=2．
故答案为：5；2．
【分析】根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，设内切圆的半径为r，由切线长定理得6﹣r+8﹣r=10，求解即可．
20．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：AB==10，
设三角形ABC的内切圆O的半径是r，
∵圆O是直角三角形ABC的内切圆，
∴OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
∴四边形ODCE是正方形，
∴OD=OE=CD=CE=r，
∴AC﹣r+BC﹣r=AB，
8﹣r+6﹣r=10，
∴r=2，
故答案为：2．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据圆O是直角三角形ABC的内切圆，推出OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，证四边形ODCE是正方形，推出CE=CD=r，根据切线长定理得到AC﹣r+BC﹣r=AB，代入求出即可．
21．【答案】解：（1）连接AO、DO．设⊙O的半径为r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==4，
则⊙O的半径r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切线，
∴AF=AD；
∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，
即AD=3；
（2）点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即
∴y=﹣x+4，
即y与x的函数关系式是y=﹣x+4．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）由勾股定理求AC的长度；设⊙O的半径为r，则r=（AC+BC﹣AB）；根据圆的切线定理、正方形的判定定理知四边形CEOF是正方形；然后由正方形的性质证得CF=OF=1，则由图中线段间的和差关系即可求得AD的长度；
（2）点P在线段AC上时，通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知，，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式即可．
22．【答案】解：设△BOA的内切圆与OA、OB、AB分别切于点D、E、F，且半径为x．
∵∠AOB=90°，OA=3，0B=4，
∴AB=5．
∴OD=OE=x，BE=BF=4﹣x，AD=AF=3﹣x．
∴（4﹣x）+（3﹣x）=5．
解得x=1．
∴d+AB=2+5=7．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】根据勾股定理求得斜边AB的长，再根据直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，进一步计算其内切圆的直径，从而求得结果．
23．【答案】解：设⊙O与BC的切点为D，连接OB、OD．
∵⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，
∴O是△ABC的角平分线 中线 高的共同交点，
∴∠OBD=30°∠ODB=90°BD=DC=×2=1，
设OD=r
则OB=2r，由勾股定理得；
∵（2r）2=r2+12
∴r=
∴⊙O的面积，
答：⊙O的面积是π．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】首先知等边三角形具有三线合一的性质，O是△ABC的角平分线 中线 高的共同交点，得出直角三角形，利用勾股定理求出半径，进而求出⊙O的面积．
24．【答案】解：如图所示：⊙O即为所求．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】首先作出三角形的内角平分线，进而得出交点即为圆心位置，再向角的一边作垂线得出半径长，进而画出即可．
25．【答案】解：如图，连OI，PI，DI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OD，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，
在△OPI和△ODI中，
，
∴△OPI≌△ODI（SAS），
∴∠DIO=∠PIO=135°，
所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，
在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，
∵∠DIO=135°，
∴∠DP′O=180°﹣135°=45°，
∴∠DO′O=90°，而OD=6，
∴OO′=DO′=3，
∴r的值为3．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°﹣135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3．
26．【答案】解：（1）连接OA，OB，OC，设⊙O的半径为r，∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴S△ABC=AB r+BC r+AC r=（AB+BC+AC）r=C△ABC r，∵，C△ABC=10cm，∴r=2cm；（2）∵∠C=60°，∴∠EOF=120°，∴S扇形OEF==cm2；（3）∵∠C=60°，∴∠EOF=120°，∴C扇形OEF=l扇形OEF+2r=+2×2=+4（cm）．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，OC，三角形ABC的面积等于△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，从而得出圆的半径；
（2）根据∠C=60°，可得出∠EOF=120°，根据扇形的面积公式即可得出答案；
（3）由弧长公式求得弧EF的长，再加上半径的2倍即可．
27．【答案】解：（1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I，△ACD的内切圆⊙E与边BC相切于点G，所以CI=CG．同理：AI=AF．∵CA=CB，CI=CG，∴AI=BG．又∵AI=AF，∴AF=BG．（2）EH=AB，理由：连接AE、BE、CE，∵E是△ACD的内切圆的圆心，∴CE平分∠ACB．即∠ACE=∠BCE，在△ACE和△BCE中，，∴△ACE≌△BCE（SAS）．∴∠AEC=∠BEC，AE=BE，∵E是△ACD的内切圆的圆心，∠ADC=90°，∵∠AEC=90°+∠ADC=135°，从而∠AEB=90°，又AE=BE，∴△ABE为等腰直角三角形，∵EH⊥AB于H，∴EH=AB．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I，由题意得CI=CG．同理：AI=AF．再由CA=CB，CI=CG，则AI=BG，从而得出AF=BG．
（2）连接AE、BE、CE，由E是△ACD的内切圆的圆心，则∠ACE=∠BCE，可证明△ACE≌△BCE，则∠AEC=∠BEC，AE=BE，根据∠ADC=90°，可证明△ABE为等腰直角三角形，根据EH⊥AB，得出EH=AB．
28．【答案】证明：（1）连接BN，∵点N为△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴∠BCE=∠1，∴EB=EC．∵∠5与∠2都是弧EC所对的圆周角，∴∠5=∠2=∠1．∴∠4+∠5=∠3+∠1．∵∠NBE=∠4+∠5，∠BNE=∠3+∠1，∴∠NBE=∠BNE．∴EB=EN．∴EB=EN=EC．（2）由（1）知∠5=∠2=∠1，∠BED=∠AEB，∴△BED∽△AEB．∴．即BE2=AE DE．∵EB=EN，∴NE2=AE DE．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】点N为△ABC的内心，易证EB=EC，只需证明EB=EN，或EN=EC，可以通过等角对等边得出；欲证NE2=AE DE，即证BE2=AE DE，可以通过证明△BED∽△AEB得出．
1 / 1浙教版数学九年级下册2.3三角形的内切圆基础检测
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF为（ ）
A．55° B．60° C．75° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OD、OF，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵⊙O是△ACB的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∴∠DOE=360°﹣90°﹣30°﹣90°=150°，
∴∠DEF=∠DOF=75°，
故选C．
【分析】连接OD、OF，根据三角形内角和定理求出∠A，根据切线的性质求出∠ADO=∠AEO=90°，求出∠DOF，根据圆周角定理求出即可．
2．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，∠B=45°，∠C=55°，连接OE、OF、OE、OF，则∠EDF等于（ ）
A．45° B．55° C．50° D．70°
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=45°，∠C=55°，
∴∠A=180°﹣45°﹣55°=80°，
∵⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，
∴∠OFA=∠OEA=90°，
∴∠EOF=360°﹣90°﹣80°﹣90°=100°，
∴∠EDF=∠EOF=50°，
故选C．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据切线性质求出∠OFA=∠OEA=90°，求出∠EOF，根据圆周角定理得出∠EDF=∠EOF，代入求出即可．
3．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（ ）
A．EF＞AE+CF B．EF＜AE+CF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+CF
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵O是△ABC的内心，
∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，
∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，
∵EF∥AB，
∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，
∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，
∴AE=OE，OF=BF，
∴EF=AE+BF．
故选C．
【分析】连接OA，OB，由O是△ABC的内心可知OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，故可得出 ∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，再由EF∥AB可知，∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，故可得出 ∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，故AE=OE，OF=BF，由此即可得出结论．
4．在三角形ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，那么AF、BD、CE的长分别为（ ）
A．AF=4，BD=9，CE=5 B．AF=4，BD=5，CE=9
C．AF=5，BD=4，CE=9 D．AF=9，BD=4，CE=5
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm．
∵AF、AE是圆的切线，
∴AE=AF=xcm，
同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm．
根据题意得：
，
解得：．
即：AF=4，BD=9，CE=5．
故选A．
【分析】利用切线长定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14，AC=9，AB=13，即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解．
5．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其内切圆和外接圆的半径分别是（ ）
A．2，5 B．1，5 C．4，5 D．4，10
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆的半径==2，
△ABC的外接圆的半径==5．
故选A．
【分析】先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为计算△ABC的内切圆的半径，利用斜边为外接圆的直径计算△ABC的外接圆的半径．
6．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切于△ABC，则阴影部分面积为（ ）
A．12﹣π B．12﹣2π C．14﹣4π D．6﹣π
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC，∠C=90°，BC=3，AC=4；
根据勾股定理AB==5；
若设Rt△ABC的内切圆的半径为R，则有：
R==1，
∴S阴影=S△ABC﹣S圆
=AC BC﹣πR2
=×3×4﹣π×1=6﹣π．
故选D．
【分析】显然图中阴影部分的面积是△ABC和其内切圆的面积差，解决本题的关键是求出三角形内切圆的半径；在Rt△ABC中，已知了BC、AC的 长，可由勾股定理求得斜边AB的长；进而可根据直角三角形内切圆半径公式求得△ABC的内切圆半径，进而可求出其面积，由此得解．
7．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=5，AC=12，则它的内切圆周长是（ ）
A．5π B．4π C．2π D．π
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=13，
∵r=（12+5﹣13）=2，
∴内切圆周长是4π．
故选B．
【分析】根据勾股定理，得其斜边是13．再根据直角三角形的内切圆的半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆的半径是2，所以其周长是4π．
8．△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，则R与r的比值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10．
∴Rt△ABC的外接圆的半径为5．
∵三角形ABC的面积=×三角形ABC的周长×内切圆半径，
∴．
解得：r=2．
∴R：r=5：2．
故选：A．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形外心的特点求出外接圆的半径R=5，依据三角形的面积=×三角形的周长×内切圆半径可求得r=2
9．在△ABC中，点I是内心，∠BIC=114°，则∠A的度数为（ ）
A．57° B．66° C．48° D．78°
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠BIC=114°，
∴∠IBC+∠ICB=66°．
∵BC、BA为圆的切线，
∴∠ABI=∠CBT．
同理：∠ACI=∠BCI．
∴∠ABC+∠ACB=132°．
∴∠A=180°﹣∠ABC+∠ACB=180°﹣132°=48°．
故选：C．
【分析】在△BCI中求得∠IBC+∠ICB=66°，由切线长定理可知∠ABI=∠CBT、∠ACI=∠BCI，从而可求得∠ABC+∠ACB=132°，然后由三角形的内角和定理可求得∠A的度数．
10．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=（ ）
A．100° B．75° C．115° D．105°
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°．
∴∠BOC=180°﹣25°﹣40°=115°．
故选：C．
【分析】三角形的内切圆的圆心是三角形三条内角平分线的交点，故此∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=40°，最后依据三角形的内角和定理求解即可．
11．如图，△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm．则△ABC内切圆的半径是（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=5．
在Rt△ABD中，AD= =12．
∴ ．
∴r= ．
∴r= = ．
故选：A．
【分析】如图所示，过点A作AD⊥BC，由等腰三角形的性质可知BD=DC=5，依据勾股定理可求得AD=12，然后可求得△ABC的面积，最后根据三角形的面积= ×三角形的周长×三角形的内切圆半径求解即可．
12．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（ ）
A．130° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图所示：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=180°﹣∠BOC=180°﹣130°=50°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=50°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=180°﹣100°=80°．
故选D．
【分析】根据题意画出图形，由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线．利用内角和定理先求得∠OBC+∠OCB=80°，所以可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入此关系式即可求得∠A的值．
13．已知O为△ABC的内心，∠A=68°，则∠BOC的度数是（ ）
A．136° B．34° C．168° D．124°
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣68°=112°，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×112=56°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180﹣56=124°．
故选D．
【分析】首先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，然后根据内心的定义证明∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），然后根据三角形内角和定理求解．
14．三角形的内心是（ ）
A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：三角形的内心为三个内角平分线的交点．
故选：B．
【分析】利用三角形的内心的概念即可得出答案．
15．已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，下列说法错误的是（ ）
A．点O在△ABC的三边垂直平分线上
B．点O在△ABC的三个内角平分线上
C．如果△ABC的面积为S，三边长为a，b，c，⊙O的半径为r，那么r=
D．如果△ABC的三边长分别为5，7，8，那么以A、B、C为端点三条切线长分别为5，3，2
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O到△ABC三边的距离相等，
∴点O在△ABC的三个内角平分线上，故A错误，B正确，
连接OA，OB，OC，
∴S=S△ABO+S△BCO+S△ACO=c r+a rb r=（a+b+c）r，
∴r=，故C正确，
设以A、B、C为端点三条切线长分别为：x，y，z，
则，
解得：，
故D正确，
故选A．
【分析】由⊙O是△ABC的内切圆，于是得到点O到△ABC三边的距离相等，证得点O在△ABC的三边垂直平分线上，故A正确，B错误，连接OA，OB，OC，根据三角形的面积公式即可推出r=，故C正确，设以A、B、C为端点三条切线长分别为：x，y，z，列方程组即可得到结论．
二、填空题
16．如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F分别为切点，已知∠C=90°，⊙O半径长为3cm，AC=10cm，则AD长度为 cm．
【答案】7
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OD、OE、OF，如图，设⊙O的半径为r，
∵⊙O为△ABC内切圆，与三边分别相切于D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF为矩形
而OF=OE，
∴四边形OECF为正方形，
∴CE=OE=3，
∵AC=10，
∴AF=AC﹣CF=7，
∴AD=AF=7（cm）．
故答案为7．
【分析】连接OD、OE、OF，如图，根据内切圆的定义和切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，接着证明四边形OECF为正方形，则CE=OE=3，所以AF=AC﹣CF=7，然后根据切线长定理求AD．
17．（2020九上·富县期末）已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的内切圆半径是
【答案】1
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：
∵a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠ACB=90°，
设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，
∵S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC，
∴×AC×BC=×AC×0E+×AB×OF+×BC×OD，
∴3×4=4R+5R+3R，
解得：R=1．
故答案为：1．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，设△ABC的内切圆切AC于E，切AB于F，切BC于D，连接OE、OF、OD、OA、OC、OB，内切圆的半径为R，则OE=OF=OD=R，根据S△ACB=S△AOC+S△AOB+S△BOC代入即可求出答案．
18．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O和M分别为Rt△ABC的外心和内心，线段OM的长为
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10．
∵点O为△ABC的外心，
∴AO为外接圆半径，AO=AB=5．
设⊙M的半径为r，则MD=ME=r，
又∵∠MDC=∠MEC=∠C=90°，
∴四边形IECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=6﹣r，BD=BN=8﹣r，
∵AB=10，
∴8﹣r+6﹣r=10，
解得r=2，
∴MN=r=2，AN=6﹣r=4．
在Rt△OIN中，∵∠MNO=90°，ON=AO﹣AN=5﹣4=1，
∴OM==．
故答案是：．
【分析】作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．先根据勾股定理求出AB=10，得到△ABC的外接圆 半径AO=5，再证明四边形MECD是正方形，根据内心的性质和切线长定理，求出⊙M的半径r=2，则ON=1，然后在Rt△OMN中，运用勾股定理即可 求解．
19．（2016·丹阳模拟）若直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则它的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ．
【答案】5；2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴外接圆半径为5，
设内切圆的半径为r，
∴CE=CF=r，
∴AD=AF=8﹣r，BD=BE=6﹣r，
∴6﹣r+8﹣r=10，
解得r=2．
故答案为：5；2．
【分析】根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，设内切圆的半径为r，由切线长定理得6﹣r+8﹣r=10，求解即可．
20．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：AB==10，
设三角形ABC的内切圆O的半径是r，
∵圆O是直角三角形ABC的内切圆，
∴OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
∴四边形ODCE是正方形，
∴OD=OE=CD=CE=r，
∴AC﹣r+BC﹣r=AB，
8﹣r+6﹣r=10，
∴r=2，
故答案为：2．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据圆O是直角三角形ABC的内切圆，推出OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，证四边形ODCE是正方形，推出CE=CD=r，根据切线长定理得到AC﹣r+BC﹣r=AB，代入求出即可．
三、解答题
21．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P是边AC上的一动点，PH⊥AB，垂足为H．
（1）求⊙O的半径的长及线段AD的长；
（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式．
【答案】解：（1）连接AO、DO．设⊙O的半径为r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==4，
则⊙O的半径r=（AC+BC﹣AB）=（4+3﹣5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切线，
∴AF=AD；
∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3，
即AD=3；
（2）点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即
∴y=﹣x+4，
即y与x的函数关系式是y=﹣x+4．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）由勾股定理求AC的长度；设⊙O的半径为r，则r=（AC+BC﹣AB）；根据圆的切线定理、正方形的判定定理知四边形CEOF是正方形；然后由正方形的性质证得CF=OF=1，则由图中线段间的和差关系即可求得AD的长度；
（2）点P在线段AC上时，通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知，，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式即可．
22．已知：如图，在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A（3，0）、B（0，4）．设△BOA的内切圆的直径为d，求d+AB的值．
【答案】解：设△BOA的内切圆与OA、OB、AB分别切于点D、E、F，且半径为x．
∵∠AOB=90°，OA=3，0B=4，
∴AB=5．
∴OD=OE=x，BE=BF=4﹣x，AD=AF=3﹣x．
∴（4﹣x）+（3﹣x）=5．
解得x=1．
∴d+AB=2+5=7．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】根据勾股定理求得斜边AB的长，再根据直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，进一步计算其内切圆的直径，从而求得结果．
23．如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，求⊙O的面积．
【答案】解：设⊙O与BC的切点为D，连接OB、OD．
∵⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，
∴O是△ABC的角平分线 中线 高的共同交点，
∴∠OBD=30°∠ODB=90°BD=DC=×2=1，
设OD=r
则OB=2r，由勾股定理得；
∵（2r）2=r2+12
∴r=
∴⊙O的面积，
答：⊙O的面积是π．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】首先知等边三角形具有三线合一的性质，O是△ABC的角平分线 中线 高的共同交点，得出直角三角形，利用勾股定理求出半径，进而求出⊙O的面积．
24．已知△ABC，求作内切圆（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示：⊙O即为所求．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】首先作出三角形的内角平分线，进而得出交点即为圆心位置，再向角的一边作垂线得出半径长，进而画出即可．
25．如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为上任意一点（不与点A和D重合），
PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，过O、I和D三点的圆的半径为r，则当点P在上运动时，求r的值．
【答案】解：如图，连OI，PI，DI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OD，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，
在△OPI和△ODI中，
，
∴△OPI≌△ODI（SAS），
∴∠DIO=∠PIO=135°，
所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，
在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，
∵∠DIO=135°，
∴∠DP′O=180°﹣135°=45°，
∴∠DO′O=90°，而OD=6，
∴OO′=DO′=3，
∴r的值为3．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°﹣135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3．
26．如图，已知⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F，，C△ABC=10cm且∠C=60°．求：
（1）⊙O的半径r；
（2）扇形OEF的面积（结果保留π）；
（3）扇形OEF的周长（结果保留π）
【答案】解：（1）连接OA，OB，OC，设⊙O的半径为r，∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴S△ABC=AB r+BC r+AC r=（AB+BC+AC）r=C△ABC r，∵，C△ABC=10cm，∴r=2cm；（2）∵∠C=60°，∴∠EOF=120°，∴S扇形OEF==cm2；（3）∵∠C=60°，∴∠EOF=120°，∴C扇形OEF=l扇形OEF+2r=+2×2=+4（cm）．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，OC，三角形ABC的面积等于△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，从而得出圆的半径；
（2）根据∠C=60°，可得出∠EOF=120°，根据扇形的面积公式即可得出答案；
（3）由弧长公式求得弧EF的长，再加上半径的2倍即可．
27．如图，在等腰△ABC中，CA=CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD、BC相切于点F、G，连AE、BE．
（1）求证：AF=BG；
（2）过E点作EH⊥AB于H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由．
【答案】解：（1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I，△ACD的内切圆⊙E与边BC相切于点G，所以CI=CG．同理：AI=AF．∵CA=CB，CI=CG，∴AI=BG．又∵AI=AF，∴AF=BG．（2）EH=AB，理由：连接AE、BE、CE，∵E是△ACD的内切圆的圆心，∴CE平分∠ACB．即∠ACE=∠BCE，在△ACE和△BCE中，，∴△ACE≌△BCE（SAS）．∴∠AEC=∠BEC，AE=BE，∵E是△ACD的内切圆的圆心，∠ADC=90°，∵∠AEC=90°+∠ADC=135°，从而∠AEB=90°，又AE=BE，∴△ABE为等腰直角三角形，∵EH⊥AB于H，∴EH=AB．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I，由题意得CI=CG．同理：AI=AF．再由CA=CB，CI=CG，则AI=BG，从而得出AF=BG．
（2）连接AE、BE、CE，由E是△ACD的内切圆的圆心，则∠ACE=∠BCE，可证明△ACE≌△BCE，则∠AEC=∠BEC，AE=BE，根据∠ADC=90°，可证明△ABE为等腰直角三角形，根据EH⊥AB，得出EH=AB．
28．已知：如图，点N为△ABC的内心，延长AN交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E．
（1）求证：EB=EN=EC；
（2）求证：NE2=AE DE．
【答案】证明：（1）连接BN，∵点N为△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴∠BCE=∠1，∴EB=EC．∵∠5与∠2都是弧EC所对的圆周角，∴∠5=∠2=∠1．∴∠4+∠5=∠3+∠1．∵∠NBE=∠4+∠5，∠BNE=∠3+∠1，∴∠NBE=∠BNE．∴EB=EN．∴EB=EN=EC．（2）由（1）知∠5=∠2=∠1，∠BED=∠AEB，∴△BED∽△AEB．∴．即BE2=AE DE．∵EB=EN，∴NE2=AE DE．
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】点N为△ABC的内心，易证EB=EC，只需证明EB=EN，或EN=EC，可以通过等角对等边得出；欲证NE2=AE DE，即证BE2=AE DE，可以通过证明△BED∽△AEB得出．
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