浙教版八年级下册第4章 4.5三角形的中位线 同步练习
一、单选题
1．（2016八下·高安期中）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
2．（2016八下·费县期中）如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
3．（2016八下·云梦期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．17
4．（2017八上·湛江期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（2015八下·福清期中）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出它们的中点M，N．若测得MN=15m，则A，B两点间的距离为（ ）m．
A．20 B．25 C．30 D．35
6．（2015八下·福清期中）顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
7．（2015八下·武冈期中）如图，已知矩形ABCD中，R，P分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
8．（2015八下·沛县期中）如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
9．（2015八下·沛县期中）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
11．（2015八下·大同期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
12．（2017·威海模拟）如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A． B．1 C． D．7
二、填空题
13．（2015八下·淮安期中）如图，在 ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=
14．（2015八下·苏州期中）矩形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AB，AO中点，则线段EF=
15．（2015八下·绍兴期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 ．
16．（2015八下·六合期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 度．
17．（2017八上·阿荣旗期末）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE= m．
三、解答题
18．已知直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6，BM为中线，△BMN为等腰三角形（点N在三角形AB或AC边上，且不与顶点重合），求S△BMN．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
20．（2016八下·广饶开学考）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．
证明：四边形DECF是平行四边形．
四、综合题
21．（2015八下·泰兴期中）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB=12，AC=20．
（1）求证：BD=DE；
（2）求DM的长．
22．（2015八下·萧山期中）已知：如图， ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD=AE=2，∠A=60°，求四边形EBFD的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH= AC，EH∥AC，FG= AC，FG∥AC，EF= BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH= AC，EF= BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF= BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA，
∵点E是BC边的中点，
即BE=CE，
∴OE= AB，
∵OE=1，
∴AB=2．
故选B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OC=OA，又由点E是BC边的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得AB的长．
3．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BD=AD，BE=EC，
∴DE= AC=6，DE∥AC，
∵CF=FA，CE=BE，
∴EF= AB=2.5，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=17．
故选D．
【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠C=∠AED=70°．
故选C．
【分析】在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C．
5．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN= AB，
∴AB=2MN=2×15=30（m）．
故选C．
【分析】由三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可求出A，B两点间的距离．
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，
已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．
在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
所以EH∥BD，EH= BD．
在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
所以GF∥BD，GF= BD，
所以EH=GF，EH∥DF，
所以四边形EFGH为平行四边形．
故选D．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．
7．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR．
因为E、F分别是AP、RP的中点，
则EF为△APR的中位线，
所以EF= AR，为定值．
所以线段EF的长不改变．
故选：C．
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
8．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．
故选C．
【分析】因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．
9．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∴△DCE≌△HAE（AAS），
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF= BH，
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，
∴EF=1．
故选：D．
【分析】连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE=HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．
10．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=24．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．
11．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=30°，
∴∠PEF=∠PFE=30
故选D．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，由此可得出结论．
12．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，GF=CF，
∵AB=4，AC=3，
∴BG=1，
∵AE是中线，
∴BE=CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF= BG= ，
故选：A．
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．
13．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF= BC= ×6=3．
故答案为：3．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OB= BD，AD=BC=12，
∴BD= = =13，
∴OB= ，
∵点E、F分别是AB、AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF= OB= ；
故答案为： ．
【分析】先由勾股定理求出BD，再得出OB，证明EF是△AOB的中位线，即可得出结果．
15．【答案】10+2
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD= =2 ，
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4 ，
在△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得AB= =2 ，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2 ，
故答案为：10+2 ．
【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
16．【答案】18
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF= BC，PE= AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=18°，
∴∠PEF=∠PFE=18°．
故答案为：18．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．
17．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如右图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∴AE：CE=AD：BD，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，
在Rt△ABC中，BC= AB=4，
∴DE=2．
故答案是2．
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，而D是AB中点，可知AB=BD，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE=AD：BD，从而有AE=CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE= BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
18．【答案】解：在直角△ABC中，AC===10，
∵BM为中线，
∴BM=CM=AM=AC=5．
则N一定在AB上，且BM=BN=5，作MG⊥AB于点G．
∵M是AC的中点，且MG∥BC，
∴MG是△ABC的中位线，
∴MG=BC=×6=3，
∴S△BMN=BN MG=×5×3=．
当N在AC上时，作BD⊥AC于点D．
则BD= ==4.8，
在直角△BMD中，DM===1.6，
则S△BMD=DM BD=×4.8×1.6=3.84，
则S△BMN=2S△BMD=7.68．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据勾股定理求得AC的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定N一定在AB上，作MG⊥AB，则MG是△ABC的中位线，然后利用三角形的面积公式求解．
19．【答案】证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC，
∴AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形．
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形，然后证得AE=AF，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可．
20．【答案】证明：∵D、F分别为边AB、CA的中点．
∴DF∥BC，DF= BC=EC，
∴四边形DECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用三角形的中位线定理，可证得一组对边平行且相等.
21．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAE
∵AD⊥BD
∴∠ADB=∠ADE=90°
在△ADB与△ADE中
∴△ADB≌△ADE
∴BD=DE
（2）∵△ADB≌△ADE
∴AE=AB=12
∴EC=AC﹣AE=8
∵M是BC的中点，BD=DE
DM= EC=4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据条件可证明△ADB≌△ADE，从而可得BD=DE；（2）由（1）可知：EC=AC﹣AB=8，然后根据中位线即可求出DM
22．【答案】（1）证明：在 ABCD中，
AB=CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴ ．
∴BE=DF．
∴四边形EBFD是平行四边形
（2）解：∵AD=AE，∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=2，
又∵BE=AE=2，
由（1）知四边形EBFD是平行四边形，
∴四边形EBFD的周长=2（BE+DE）=8
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）、在 ABCD中，AB=CD，AB∥CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，所以BE=CF，因此四边形EBFD是平行四边形；（2）、由AD=AE=2，∠A=60°知△ADE是等边三角形，又E、F分别是边AB、CD的中点，四边形EBFD是平行四边形，所以EB=BF=FD=DE=2，四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2=8
1 / 1浙教版八年级下册第4章 4.5三角形的中位线 同步练习
一、单选题
1．（2016八下·高安期中）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，
∴EH= AC，EH∥AC，FG= AC，FG∥AC，EF= BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH= AC，EF= BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF= BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
2．（2016八下·费县期中）如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA，
∵点E是BC边的中点，
即BE=CE，
∴OE= AB，
∵OE=1，
∴AB=2．
故选B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OC=OA，又由点E是BC边的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得AB的长．
3．（2016八下·云梦期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．17
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BD=AD，BE=EC，
∴DE= AC=6，DE∥AC，
∵CF=FA，CE=BE，
∴EF= AB=2.5，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=17．
故选D．
【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
4．（2017八上·湛江期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠C=∠AED=70°．
故选C．
【分析】在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C．
5．（2015八下·福清期中）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出它们的中点M，N．若测得MN=15m，则A，B两点间的距离为（ ）m．
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN= AB，
∴AB=2MN=2×15=30（m）．
故选C．
【分析】由三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍即可求出A，B两点间的距离．
6．（2015八下·福清期中）顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，
已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．
在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
所以EH∥BD，EH= BD．
在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
所以GF∥BD，GF= BD，
所以EH=GF，EH∥DF，
所以四边形EFGH为平行四边形．
故选D．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．
7．（2015八下·武冈期中）如图，已知矩形ABCD中，R，P分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR．
因为E、F分别是AP、RP的中点，
则EF为△APR的中位线，
所以EF= AR，为定值．
所以线段EF的长不改变．
故选：C．
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
8．（2015八下·沛县期中）如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长与点P的位置有关
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．
故选C．
【分析】因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．
9．（2015八下·沛县期中）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∴△DCE≌△HAE（AAS），
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF= BH，
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，
∴EF=1．
故选：D．
【分析】连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE=HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．
10．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=24．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．
11．（2015八下·大同期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=BC，PE=AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=30°，
∴∠PEF=∠PFE=30
故选D．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，由此可得出结论．
12．（2017·威海模拟）如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A． B．1 C． D．7
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，GF=CF，
∵AB=4，AC=3，
∴BG=1，
∵AE是中线，
∴BE=CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF= BG= ，
故选：A．
【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．
二、填空题
13．（2015八下·淮安期中）如图，在 ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF= BC= ×6=3．
故答案为：3．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
14．（2015八下·苏州期中）矩形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AB，AO中点，则线段EF=
【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OB= BD，AD=BC=12，
∴BD= = =13，
∴OB= ，
∵点E、F分别是AB、AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF= OB= ；
故答案为： ．
【分析】先由勾股定理求出BD，再得出OB，证明EF是△AOB的中位线，即可得出结果．
15．（2015八下·绍兴期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 ．
【答案】10+2
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD= =2 ，
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4 ，
在△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得AB= =2 ，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2 ，
故答案为：10+2 ．
【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
16．（2015八下·六合期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 度．
【答案】18
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF= BC，PE= AD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF=18°，
∴∠PEF=∠PFE=18°．
故答案为：18．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．
17．（2017八上·阿荣旗期末）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE= m．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如右图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∴AE：CE=AD：BD，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，
在Rt△ABC中，BC= AB=4，
∴DE=2．
故答案是2．
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，而D是AB中点，可知AB=BD，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE=AD：BD，从而有AE=CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE= BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
三、解答题
18．已知直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6，BM为中线，△BMN为等腰三角形（点N在三角形AB或AC边上，且不与顶点重合），求S△BMN．
【答案】解：在直角△ABC中，AC===10，
∵BM为中线，
∴BM=CM=AM=AC=5．
则N一定在AB上，且BM=BN=5，作MG⊥AB于点G．
∵M是AC的中点，且MG∥BC，
∴MG是△ABC的中位线，
∴MG=BC=×6=3，
∴S△BMN=BN MG=×5×3=．
当N在AC上时，作BD⊥AC于点D．
则BD= ==4.8，
在直角△BMD中，DM===1.6，
则S△BMD=DM BD=×4.8×1.6=3.84，
则S△BMN=2S△BMD=7.68．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据勾股定理求得AC的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定N一定在AB上，作MG⊥AB，则MG是△ABC的中位线，然后利用三角形的面积公式求解．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
【答案】证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC，
∴AE=AF，
∴平行四边形AEDF是菱形．
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形，然后证得AE=AF，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可．
20．（2016八下·广饶开学考）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．
证明：四边形DECF是平行四边形．
【答案】证明：∵D、F分别为边AB、CA的中点．
∴DF∥BC，DF= BC=EC，
∴四边形DECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用三角形的中位线定理，可证得一组对边平行且相等.
四、综合题
21．（2015八下·泰兴期中）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB=12，AC=20．
（1）求证：BD=DE；
（2）求DM的长．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAE
∵AD⊥BD
∴∠ADB=∠ADE=90°
在△ADB与△ADE中
∴△ADB≌△ADE
∴BD=DE
（2）∵△ADB≌△ADE
∴AE=AB=12
∴EC=AC﹣AE=8
∵M是BC的中点，BD=DE
DM= EC=4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据条件可证明△ADB≌△ADE，从而可得BD=DE；（2）由（1）可知：EC=AC﹣AB=8，然后根据中位线即可求出DM
22．（2015八下·萧山期中）已知：如图， ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若AD=AE=2，∠A=60°，求四边形EBFD的周长．
【答案】（1）证明：在 ABCD中，
AB=CD，AB∥CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴ ．
∴BE=DF．
∴四边形EBFD是平行四边形
（2）解：∵AD=AE，∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=2，
又∵BE=AE=2，
由（1）知四边形EBFD是平行四边形，
∴四边形EBFD的周长=2（BE+DE）=8
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）、在 ABCD中，AB=CD，AB∥CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，所以BE=CF，因此四边形EBFD是平行四边形；（2）、由AD=AE=2，∠A=60°知△ADE是等边三角形，又E、F分别是边AB、CD的中点，四边形EBFD是平行四边形，所以EB=BF=FD=DE=2，四边形EBFD是平行四边形的周长是2+2+2+2=8
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