浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定基础检测
一、单选题
1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠A=∠C
C．AO=BO，CO=DO D．∠A=∠C，∠B=∠D
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、由AB∥DC，∠A=∠C可证明∠B=∠D，然后可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、AO=BO，CO=DO不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∠A=∠C，∠B=∠D然后可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【分析】利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
2．下列不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、两条对角线相等的四边形不是平行四边形，故此选项符合题意；
D、两条对角线互相平分是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案．
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=DC，AD=BC B．AB∥DC，AO=BO
C．AB=DC，∠B=∠D D．AB∥DC，∠B=∠D
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形为平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠B=∠D，
∴AD∥BC，
∴根据两组对边分别平行四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断即可．
4．下列说法中，不正确是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D不正确．
故选：D．
【分析】由平行四边形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．
5．如图所示，以不在同一直线上的三点作为平行四边形的三个顶点，可以作出平行四边形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：根据平行四边形的定义可知，分别以三角形的一边作为平行四边形的一边，作出的平行四边形有3个．
故选C．
【分析】根据平行四边形的定义，结合图形知可作3个平行四边形．
6．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选D．
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合．
7．关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴①能判定；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴②能判定；
∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形，
∴③不一定能；
∵两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，
∴④不一定能；
以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有①②；
故选：C．
【分析】由平行四边形的判定定理得出①和②能判定四边形ABCD是平行四边形；③和④不一定能判定四边形ABCD是平行四边形；即可得出结论．
8．在下列四个选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD∥BC B．AB∥DC，∠A=∠B
C．AB∥DC，AD=BC D．AB∥DC，AB=DC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、AB=CD，AD∥BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
B、AB∥DC，∠A=∠B不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
C、AB∥DC，AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、AB∥DC，AB=DC能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得答案．
9．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD；②OA=OC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）组．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①与⑤根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与④，⑤与④根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与②，②与⑤根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形．
所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有6组．
故选C．
【分析】根据平行四边形的判定进行选择即可．
10．（2016八下·云梦期中）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边分别相等
D．一组对边平行且相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴B不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴D正确；
故选：B．
【分析】由平行四边形的判定方法得出A、C、D正确，B不正确；即可得出结论．
11．下列说法中属于平行四边形判别方法的有（ ）
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②平行四边形的对角线互相平分 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④平行四边形的每组对边平行且相等 ⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故①正确；
②平行四边形的对角线互相平分，故②错误；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故③正确；
④平行四边形的每组对边平行且相等，故④错误；
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤正确；
⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故⑥正确；
故选C．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以
3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的
速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，
根据题意得到12﹣3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
13．（2020八下·江阴月考）根据下列条件，能判断出一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等 B．两条对角线互相垂直
C．一组对边平行 D．两条对角线互相平分
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边相等，不能判断，故此选项错误；
B、两条对角线互相垂直，不能判断，故此选项错误；
C、一组对边平行，不能判断，故此选项错误；
D、两条对角线互相平分，能判断，故此选项正确．
故选：D．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
14．（2015八下·六合期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠C=∠A D．AB=AD，CB=CD
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD=BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、可判定是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选C．
【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．
15．如图，下面不能判断是平行四边形的是（ ）
A．∠B=∠D，∠A=∠C
B．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AB=CD
D．∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∠A，∠C的表示方法错误，故A选项正确；
B、根据对边平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故B选项不合题意；
C、有一组对边平行且相等的四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项不合题意；
D、根据∠B+∠DAB=180°可以证明AD∥BC，根据∠B=∠BCD=180°可以证明AB∥CD，根据对边平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故D选项不合题意．
故选 A．
【分析】根据平行四边形各种判定方法判定四边形ABCD为平行四边形，即可判断A、B、C、D选项是否可以证明四边形为平行四边形．
二、填空题
16．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：BC+DE的值为
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知 ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数
【答案】；60°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD=3，CF=DE，
∵CD⊥BE，
∴EF⊥BE，
∴BC+DE=BC+CF=BF===；
故答案为：；
解决问题：连接AE，CE，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，BF=AE．
∴DC∥FE．
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴CE∥DF．
∵AC=BF=DF，
∴AC=AE=CE．
∴△ACE是等边三角形．
∴∠ACE=60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF=∠ACE=60°．
故答案为：60°
【分析】由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；
首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，则可求得答案．
17．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 （将命题的序号填上即可）．
【答案】②
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．故①错误；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形．故②正确；
③在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形ABCD不一定是平行四边形，筝形也满足该条件．故③错误；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行．故④错误；
故填：②．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断．定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组邻角分别相等的四边形可能为梯形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，请添加一个条件 ，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
【答案】AF=CE
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加的条件是AF=CE．理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF∥CE，
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：AF=CE．
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形推出即可．
19．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为
【答案】6
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S AEFD=AD （DF sin30°）=3×（4×）=6．
即四边形AEFD的面积是6．
故答案为：6．
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四边形的面积公式即可解答．
20．（2020八下·南县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC上有E、F两点，要使四边形BEDF是平行四边形，还需要增加一个条件是 ．（填上一个即可）．
【答案】AE=CF
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
若AE=CF，则有AO﹣AE=CO﹣CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．
【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质可得到OB=OD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要OE=OF即可，故添加的条件只要能证明OE=OF即可．
21．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2015=
【答案】
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=，AD=AC=，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C1=4×；
同理求得：C2=4×；
…
Cn=4×，
∴C2015=4×=．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理可求出C1的值，进而可得出C2的值，找出规律即可得出C2015的值．
三、解答题
22．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
【答案】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，∴∠BAC=180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDC=∠ABC=α，由（1）知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，∴∠C=∠B=α．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAC=∠C=α，由（1）知，∠DAE=2α，∴∠DAC=α，∴∠DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；
（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；
②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．
23．如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠BAC=90°，∴∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=BC=5．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，进而得出AF=EC，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出∠1=∠2，进而求出∠3=∠4，再利用直角三角形的性质得出答案．
24．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E，求证：CD=DE．
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AB=CD，AB∥CD，
∴AB∥DE，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CD=DE．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】平行四边形的对边平行且相等，两组对边平行的四边形是平行四边形．
25．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的长．
【答案】证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG=BC，EF∥BC，EF=BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：过点O作OM⊥BC于M，
Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4
∴OM=OC=2，
∴CM=2，
Rt△OBM中，∠BMO=∠OMB=45°，
∴BM=OM=2，
∴BC=2+2，
∴EF=1+．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DG∥BC，DG=BC，EF∥BC，EF=BC，从而得到DG∥EF，DG=EF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点O作OM⊥BC于M，由含30°的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质求得结果．
26．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB于点E、F．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点D在直线BC上，其它条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）；
（3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB和直线BC于E、F和G．试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）．
【答案】解：（1）DE+DF=AB．理由如下：
如图1．∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF．
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，
∵AB=AC，∴∠C=∠B，
∴∠FDB=∠B，
∴DF=FB，
∴DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，AB=DE﹣DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，AB=DF﹣DE；
（3）如图3，AB=DE+DG+DF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图1，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF．再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B，
由等角对等边得到DF=FB，从而证明DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF，再证明∠FDB=∠FBD，由等角对等边得到DF=FB，从而证明AB=AF﹣BF=DE﹣DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠CDE=∠DCE，由等角对等边得到CE=DE，再证明从而证明AB=AC=AE﹣CE=DF﹣DE；
（3）如图3，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠EGC=∠C，由等角对等边得到DE+DG=CE，从而证明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
27．如图，在 ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，AF与EH交于点M，FG与CH交于点N．
（1）求证：四边形MFNH为平行四边形；
（2）求证：△AMH≌△CNF．
【答案】证明：（1）连接BD，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD．
同理FG∥BD．
∴EH∥FG，
在 ABCD中，
∴ADBC，
∵H为AD的中点AH=AD，
∵F为BC的中点FC=BC，
∴AHFC，
∴四边形AFCH为平行四边形，
∴AF∥CH，
又∵EH∥FG
∴四边形MFNH为平行四边形；
（2）∵四边形AFCH为平行四边形
∴∠FAD=∠HCB，
∵EH∥FG，
∴∠AMH=∠AFN，
∵AF∥CH，
∴∠AFN=∠CNF，
∴∠AMH=∠CNF，
在△AMH和△CNF中
∵
∴△AMH≌△CNF（AAS）．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质得出EH∥FG，进而得出AHFC，再求出EH∥FG，即可得出答案；
（2）利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠AMH=∠CNF，进而利用AAS得出即可．
28．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE的长及四边形ADEF的面积．
【答案】（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×12=6，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=6，
∴BE==．
∴DE=BE=，
∴四边形ADEF的面积为：DE DG=．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
1 / 1浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定基础检测
一、单选题
1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠A=∠C
C．AO=BO，CO=DO D．∠A=∠C，∠B=∠D
2．下列不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=DC，AD=BC B．AB∥DC，AO=BO
C．AB=DC，∠B=∠D D．AB∥DC，∠B=∠D
4．下列说法中，不正确是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．如图所示，以不在同一直线上的三点作为平行四边形的三个顶点，可以作出平行四边形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A：∠B：∠C：∠D的值为（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
7．关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
8．在下列四个选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD∥BC B．AB∥DC，∠A=∠B
C．AB∥DC，AD=BC D．AB∥DC，AB=DC
9．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD；②OA=OC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC，从以上5个条件中任选2个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）组．
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2016八下·云梦期中）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边分别相等
D．一组对边平行且相等
11．下列说法中属于平行四边形判别方法的有（ ）
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②平行四边形的对角线互相平分 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④平行四边形的每组对边平行且相等 ⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以
3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的
速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
13．（2020八下·江阴月考）根据下列条件，能判断出一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等 B．两条对角线互相垂直
C．一组对边平行 D．两条对角线互相平分
14．（2015八下·六合期中）能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠C=∠A D．AB=AD，CB=CD
15．如图，下面不能判断是平行四边形的是（ ）
A．∠B=∠D，∠A=∠C
B．AB∥CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AB=CD
D．∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°
二、填空题
16．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：BC+DE的值为
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知 ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数
17．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是 （将命题的序号填上即可）．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，请添加一个条件 ，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
19．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为
20．（2020八下·南县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC上有E、F两点，要使四边形BEDF是平行四边形，还需要增加一个条件是 ．（填上一个即可）．
21．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2015=
三、解答题
22．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
23．如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．
24．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E，求证：CD=DE．
25．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的长．
26．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB于点E、F．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点D在直线BC上，其它条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）；
（3）如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB和直线BC于E、F和G．试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系（请直接写出等式，不需证明）．
27．如图，在 ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，AF与EH交于点M，FG与CH交于点N．
（1）求证：四边形MFNH为平行四边形；
（2）求证：△AMH≌△CNF．
28．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE的长及四边形ADEF的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、由AB∥DC，∠A=∠C可证明∠B=∠D，然后可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、AO=BO，CO=DO不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、∠A=∠C，∠B=∠D然后可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【分析】利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、两条对角线相等的四边形不是平行四边形，故此选项符合题意；
D、两条对角线互相平分是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形为平行四边形，故此选项符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠B=∠D，
∴AD∥BC，
∴根据两组对边分别平行四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断即可．
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D不正确．
故选：D．
【分析】由平行四边形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：根据平行四边形的定义可知，分别以三角形的一边作为平行四边形的一边，作出的平行四边形有3个．
故选C．
【分析】根据平行四边形的定义，结合图形知可作3个平行四边形．
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选D．
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．只有选项D符合．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴①能判定；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴②能判定；
∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形，
∴③不一定能；
∵两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，
∴④不一定能；
以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有①②；
故选：C．
【分析】由平行四边形的判定定理得出①和②能判定四边形ABCD是平行四边形；③和④不一定能判定四边形ABCD是平行四边形；即可得出结论．
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、AB=CD，AD∥BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
B、AB∥DC，∠A=∠B不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
C、AB∥DC，AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、AB∥DC，AB=DC能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
故选：D．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得答案．
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①与⑤根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与④，⑤与④根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①与②，②与⑤根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形．
所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有6组．
故选C．
【分析】根据平行四边形的判定进行选择即可．
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴B不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴D正确；
故选：B．
【分析】由平行四边形的判定方法得出A、C、D正确，B不正确；即可得出结论．
11．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故①正确；
②平行四边形的对角线互相平分，故②错误；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故③正确；
④平行四边形的每组对边平行且相等，故④错误；
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤正确；
⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故⑥正确；
故选C．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
12．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，
根据题意得到12﹣3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
13．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边相等，不能判断，故此选项错误；
B、两条对角线互相垂直，不能判断，故此选项错误；
C、一组对边平行，不能判断，故此选项错误；
D、两条对角线互相平分，能判断，故此选项正确．
故选：D．
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
14．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定可知：
A、若AB∥CD，AD=BC，则可以判定四边形是梯形，故A错误，
B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形，故B错误．
C、可判定是平行四边形的条件，故C正确．
D、此条件下无法判定四边形的形状，还可能是等腰梯形，故D错误．
故选C．
【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可．
15．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∠A，∠C的表示方法错误，故A选项正确；
B、根据对边平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故B选项不合题意；
C、有一组对边平行且相等的四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项不合题意；
D、根据∠B+∠DAB=180°可以证明AD∥BC，根据∠B=∠BCD=180°可以证明AB∥CD，根据对边平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故D选项不合题意．
故选 A．
【分析】根据平行四边形各种判定方法判定四边形ABCD为平行四边形，即可判断A、B、C、D选项是否可以证明四边形为平行四边形．
16．【答案】；60°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，EF∥DC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD=3，CF=DE，
∵CD⊥BE，
∴EF⊥BE，
∴BC+DE=BC+CF=BF===；
故答案为：；
解决问题：连接AE，CE，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB∥FE，BF=AE．
∴DC∥FE．
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴CE∥DF．
∵AC=BF=DF，
∴AC=AE=CE．
∴△ACE是等边三角形．
∴∠ACE=60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF=∠ACE=60°．
故答案为：60°
【分析】由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；
首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，则可求得答案．
17．【答案】②
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．故①错误；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形．故②正确；
③在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形ABCD不一定是平行四边形，筝形也满足该条件．故③错误；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行．故④错误；
故填：②．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断．定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组邻角分别相等的四边形可能为梯形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
18．【答案】AF=CE
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：添加的条件是AF=CE．理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF∥CE，
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：AF=CE．
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形推出即可．
19．【答案】6
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S AEFD=AD （DF sin30°）=3×（4×）=6．
即四边形AEFD的面积是6．
故答案为：6．
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四边形的面积公式即可解答．
20．【答案】AE=CF
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
若AE=CF，则有AO﹣AE=CO﹣CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．
【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质可得到OB=OD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要OE=OF即可，故添加的条件只要能证明OE=OF即可．
21．【答案】
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB=，AD=AC=，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C1=4×；
同理求得：C2=4×；
…
Cn=4×，
∴C2015=4×=．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理可求出C1的值，进而可得出C2的值，找出规律即可得出C2015的值．
22．【答案】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，∴∠BAC=180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDC=∠ABC=α，由（1）知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，∴∠C=∠B=α．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAC=∠C=α，由（1）知，∠DAE=2α，∴∠DAC=α，∴∠DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；
（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；
②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠BAC=90°，∴∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=BC=5．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AF∥EC，进而得出AF=EC，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出∠1=∠2，进而求出∠3=∠4，再利用直角三角形的性质得出答案．
24．【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AB=CD，AB∥CD，
∴AB∥DE，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CD=DE．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】平行四边形的对边平行且相等，两组对边平行的四边形是平行四边形．
25．【答案】证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG=BC，EF∥BC，EF=BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：过点O作OM⊥BC于M，
Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4
∴OM=OC=2，
∴CM=2，
Rt△OBM中，∠BMO=∠OMB=45°，
∴BM=OM=2，
∴BC=2+2，
∴EF=1+．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DG∥BC，DG=BC，EF∥BC，EF=BC，从而得到DG∥EF，DG=EF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点O作OM⊥BC于M，由含30°的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质求得结果．
26．【答案】解：（1）DE+DF=AB．理由如下：
如图1．∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF．
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C，
∵AB=AC，∴∠C=∠B，
∴∠FDB=∠B，
∴DF=FB，
∴DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，AB=DE﹣DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，AB=DF﹣DE；
（3）如图3，AB=DE+DG+DF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图1，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF．再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B，
由等角对等边得到DF=FB，从而证明DE+DF=AF+FB=AB；
（2）当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在CB延长线上时，如图2①，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF，再证明∠FDB=∠FBD，由等角对等边得到DF=FB，从而证明AB=AF﹣BF=DE﹣DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图2②，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠CDE=∠DCE，由等角对等边得到CE=DE，再证明从而证明AB=AC=AE﹣CE=DF﹣DE；
（3）如图3，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠EGC=∠C，由等角对等边得到DE+DG=CE，从而证明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
27．【答案】证明：（1）连接BD，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD．
同理FG∥BD．
∴EH∥FG，
在 ABCD中，
∴ADBC，
∵H为AD的中点AH=AD，
∵F为BC的中点FC=BC，
∴AHFC，
∴四边形AFCH为平行四边形，
∴AF∥CH，
又∵EH∥FG
∴四边形MFNH为平行四边形；
（2）∵四边形AFCH为平行四边形
∴∠FAD=∠HCB，
∵EH∥FG，
∴∠AMH=∠AFN，
∵AF∥CH，
∴∠AFN=∠CNF，
∴∠AMH=∠CNF，
在△AMH和△CNF中
∵
∴△AMH≌△CNF（AAS）．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质得出EH∥FG，进而得出AHFC，再求出EH∥FG，即可得出答案；
（2）利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠AMH=∠CNF，进而利用AAS得出即可．
28．【答案】（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×12=6，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=6，
∴BE==．
∴DE=BE=，
∴四边形ADEF的面积为：DE DG=．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
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