浙教版数学八年级下册5.3正方形基础检测
一、单选题
1．如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，
已知：四边形ABCD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
求证：四边形ABCD为正方形，
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD为正方形．
故选C．
【分析】如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，理由为：利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABCD为平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形，再利用对角线相等的菱形为正方形即可得证．
2．（2019九上·成都月考）四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD
C．AD∥BC，∠A=∠C D．OA=OC，OB=OD，AB=BC
【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】
解：A、∵OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，故本选项正确；
B、根据AB∥CD和AC=BD不能推出四边形ABCD是正方形，故本选项错误；
C、∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠ADC+∠DCB=180°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠ABC=∠ADC，
∴只能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
D、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴只能推出四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
故选A．
【分析】先想一下平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，再根据选项中的条件进行推理，看看能否推出四边形是正方形即可．
3．如图，点E在正方形ABCD对角线AC上，且EC=2.5AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，CD于M，N．若正方形边长是a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵△FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN=S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC==a，
∵EC=2.5AE，
∴EC=a，
∴正方形PCQE的面积=×（a）2=a2，
∴四边形EMCN的面积=a2．
故选：A．
【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．
4．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1 B1 C1 C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，若正方形ABCD算第一个正方形，则第2010个正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD==，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=（）2=5，
∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，
∴∠ODA=∠BAA1，
∴△ABA1∽△DOA，
∴，
即 =，
∴BA1=，
∴CA1=，
∴正方形A1B1C1C的面积=（）2=5×，…，第n个正方形的面积为5×（）n，
∴第2010个正方形的面积为5×（）2010；
故选：B．
【分析】先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出第一个正方形A1B1C1C的面积，得出规律，根据规律即可求出第2010个正方形的面积．
5．下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：C．
【分析】根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．
6．若一个正方形的面积为8，则这个正方形的边长为（ ）
A．4 B．2 C． D．8
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x，
根据题意得x2=8，
所以x=2．
故选B．
【分析】根据正方形的面积公式求解．
7．（2018八下·江海期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，
则S△BCE=S△BCP+S△BEP，
即BE h=BC PQ+BE PR，
∵BE=BC，
∴h=PQ+PR，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴h=4×=2．
故答案为：2．
【分析】连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可．
8．（2019八下·东台月考）如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD=45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=BE，
∴PE+PF=BE+OE=OA，
∵AB=BC=4，
∴OA=AC=x4=2，
∴PE+PF=2，
故选A．
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE=BE，从而得到PE+PF=OA，然后根据正方形的性质解答即可．
9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接CE，与对角线BD交于F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
又∵△ADE是正三角形，
∴CD=DE，∠ADE=60°，
∴△CDE是等腰三角形，∠CDE=90°+60°=150°，
∴∠ECD=∠DEC=15°，
∵∠BDC=45°，
∴∠CFD=180°﹣15°﹣45°=120°，
∴∠BFC=60°，
故选D
【分析】由于四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形，由此可以得到CD=DE，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解．
10．若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO=AC=1cm，∠AOB=90°，
由勾股定理得，AB=cm，
S正=（）2=2cm2．
故选A．
【分析】根据正方形的性质，对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角求解即可．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C的坐标为（，1），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，+1） B．（﹣1，1）
C．（1，+1） D．（﹣1，2）
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：作BG⊥y轴于G，作CE⊥x轴于E，BG与CE交于H；如图所示：
则∠BHC=∠CEO=90°，
∴∠HBC+∠BCH=90°，
∵C点坐标为（，1），
∴OE=，CE=1，
∵四边形ABCO是正方形，
∴BC=OC，∠BCO=90°，
∴∠BCH+∠OCE=90°，
∴∠HBC=∠OCE，
在△BCH和△COE中，，
∴△BCH≌△COE（AAS），
∴BH=CE=1，CH=OE=，
∴BG=﹣1，HE=+1，
∴点B的坐标为：（﹣1，+1）；
故选：A．
【分析】作BG⊥y轴于G，作CE⊥x轴于E，BG与CE交于H；由AAS证明△BCH≌△COE，得出对应边相等BH=CE=1，CH=OE=，求出BG、HE即可．
12．如图，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，给出下列结论：
①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF．
其中结论正确的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得
EF=x，CG=x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，
∴AC=，
∴AB=，
∴BE=﹣x=，
∴BE+DF=x﹣x≠x．（故④错误）．
正确的有3个．
故选：C．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，再通过比较可以得出结论．
13．如图：A，D，E在同一条直线上，AD=3，DE=1，BD，DF分别为正方形ABCD，正方形DEFG的对角线，则三角形△BDF的面积为（ ）
A．4.5 B．3 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，
∴BD=AD=3，DF=DE=，∠BDC=45°，∠GDF=45°，
∴∠BDF=90°，
∴S△BDF=DFBD=×x3=3，
故选B．
【分析】首先利用正方形的性质易得BD，DF，∠BDF=90°，利用直角三角形的面积公式得结果．
14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB=（ ）
A．10° B．15° C．30° D．150°
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
又∵△ADE是正三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴△ABE是等腰三角形，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°．
故选：B．
【分析】由于四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形，由此可以得到AB=AE，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解．
15．如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2．
A．8 B．16 C．4 D．无法确定
【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：S阴影=S正方形ABCD=×16=8cm2．
故选A．
【分析】把对角线AC下边的部分移到上面，补为直角三角形ADC，求出即可．
二、填空题
16．已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC、BD交于点O，点E在线段AC上，且OE=，则∠ABE的度数 度．
【答案】15或75
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长是4，对角线AC、BD交于点O，点E在线段AC上，且OE=，
∴AC=BD==4，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=45°，
∴AO=CO=BO=DO=2，
∴tan∠BE′O===，tan∠BEO===，
∴∠BE′O=30°，∠BEO=30°，
∴∠ABE的度数为：30°+45°=75°，或45°﹣30°=15°．
故答案为：15或75．
【分析】根据正方形的性质首先得出AC=BD==4，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=45°，再利用锐角三角函数得出∠BE′O=30°，∠BEO=30°，即可得出∠ABE的度数．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），作第一个正方形OA1C1B1且点A1在OA上，点B1在OB上，点C1在AB上；作第二个正方形A1A2C2B2且点A2在A1A上，点B2在A1C2上，点C2在AB上…，如此下去，则点Cn的纵坐标为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：把点A（，0），点B（0，1）代入直线AB的解析式y=kx+b中，
可得：，
解得：，
所以直线AB的解析式是：，
设C1的横坐标为x，则纵坐标为y=，
因为正方形OA1C1B1可得，x=y，
即：，
解得：x==，
可得点C1的纵坐标为，
同理可得：点C2的纵坐标为，
由以上分析可得：点Cn的纵坐标为．
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质及坐标作答。
18．（2017九上·巫山期中）如图，正方形ABCD的边长为4+2，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长是 ．
【答案】2
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设EF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
∴BD=AB=4+4，EF=BF=x，
∴BE=x，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=ED，
∴BD=BE+ED=x+4+2=4+4，
解得：x=2，
即EF=2；
故答案为：2．
【分析】设EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．
19．如图，边长分别为3和5的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则ET的长为
【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为3，5，
∴GE=，DG=5﹣3=2，
∴GT=×2=，
∴FT=4，
故答案为：4．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
20．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…，按如图所示的方式放置．点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y=x+1和x轴上，则第2015个正方形A2015B2015C2015C2014的边长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，
∴OA1=1，OD=1，
∴∠ODA1=45°，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=2=21，
同理得：A3C2=4=22，…，
∴第2015个正方形A2015B2015C2015C2014的边长为：22014．
故答案为：22014．
【分析】根据直线解析式先求出OA1=1，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第2015个正方形的边长．
三、解答题
21．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．
（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．
【答案】解：（1）是定值，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD．
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，
∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD．
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，
∴PF=BF．
∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
（2）因为四边形ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
22．（1）如图1，4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是2cm，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D分别在l1、l3、l4、l2上，求该正方形的面积；
（2）如图2，把一张矩形卡片ABCD放在每格宽度为18mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠1=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
【答案】解：（1）如图1，作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，在△ADE和△DCF，，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF=DE=2．∵DF=4，∴CD2=22+42=20，即正方形ABCD的面积为20cm2；（2）如图2，作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵∠1+∠DAF=180°﹣∠BAD=180°﹣90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF=∠1=36°，根据题意，得BE=36mm，DF=72mm．在Rt△ABE中，sin∠1=，∴AB==60mm，在Rt△ADF中，cos∠ADF=，∴AD=mm=90mm．∴矩形ABCD的周长=2（60+90）=300mm．
【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=2，DF=4．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积；
（2）作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，求∠ADF的度数，在Rt△ABE中，可以求得AB的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长，即可解题．
23．已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连结EG、CG．
（1）请添加一条辅助线，构造一个和△FEG全等的三角形，并证明它们全等．
（2）探索EG、CG的数量关系和位置关系，并证明．
【答案】解：（1）延长EG交CD于点H，如图，则△DHG≌△FEG．证明如下：
∵∠BEF=90°，
∴EF⊥BC，
而CD⊥BC，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠2，
∵点G为DF的中点，
∴DG=FG，
在△DHG和△FEG中，
，
∴△DHG≌△FEG（ASA）；
（2）EG=CG，EG⊥CG．证明如下：
∵△DHG≌△FEG，
∴EF=DH，EG=HG，
∵BE=EF，
∴BE=DH，
∵CB=CD，
∴CD﹣DH=CB﹣BE，即CH=CE，
∴△CHE为等腰直角三角形，
∵EG=GH，
∴CG⊥EH，CG=EG=GH，
即EG=CG，EG⊥CG．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）延长EG交CD于点H，如图，先证明EF∥CD，则∠1=∠2，再由点G为DF的中点得到DG=FG，然后利用“ASA”判断△DHG≌△FEG；
（2）由△DHG≌△FEG得到EF=DH，EG=HG，而BE=EF，所以BE=DH，根据正方形的性质得CB=CD，则CH=CE，于是可判断△CHE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到CG⊥EH，CG=EG=GH，即EG=CG，EG⊥CG．
24．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG；
（1）求证：AE=CG；
（2）求证：BE∥DF．
【答案】证明：（1）∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG；
（2）在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE （SAS），
∴∠BEC=∠DEG，
∴∠BEC=∠DGE，
∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEG，得出∠BEC=∠DGE，即可证出平行线．
25．如图，P为正方形ABCD对角线AC上一动点，EF⊥AC且交AD于E，交CD的延长线于点G，连接CE和AG．
（1）求证：△ADG≌△CDE；
（2）当CE平分∠ACD时，求tan∠AGD．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠ADG=180°﹣∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADG，
又∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°﹣∠CAD=45°，
∴∠DEG=∠AEF=45°，
在Rt△EDG中，∠DGE=90°﹣∠DEG=45°，
∴∠DGE=∠DEG，
∴ED=GD
在△ADG与△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS）；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，AD⊥CD，
∴ED=EF，
∴EF=AF=DE=DG，
设DG为k，则ED=k，AE=k，AD=AE+ED=（+1）k，
tan∠AGD==+1
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形证明△ADG与△CDE全等即可；
（2）设DG为k，利用三角函数的正切值解答即可．
26．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线于点P，且DE=DP．
（1）求证：AE=CP；
（2）求证：BE∥DF．
【答案】证明：（1）∵DE=DP，∴∠DEP=∠DPE，∴∠AED=∠CPD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，在△ADE和△CDP中，，∴△ADE≌△CDP（AAS），∴AE=CP；（2）在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE （SAS），∴∠BEC=∠DEP，∴∠BEC=∠DPE，∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CPD，再证明△ADE≌△CDP，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEP，得出∠BEC=∠DPE，即可证出平行线．
27．（1）如图1，直线a∥b∥c∥d，且a与b，c与d之间的距离均为1，b与c之间的距离为2，现将正方形ABCD如图放置，使其四个顶点分别在四条直线上，求正方形的边长；
（2）在（1）的条件下，探究：将正方形ABCD改为菱形ABCD，如图2，当∠DCB=120°时，求菱形的边长．
【答案】解：（1）如图1，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为P，Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BCD=90°，
∴∠PCB+∠QCD=90°，
∵∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠PBC=∠QCD，
在△CBP和△CDQ中
∴△CBP≌△CDQ（AAS），
∴CP=DQ=1，
∵BP=3，
∴；
（2）如图2，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直线d上，
∵∠DCB=120°，
∴∠PCB+∠DCQ=60°，
∵∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠PBC=∠DCQ，
在△BPC和△CQD中
∴△BPC≌△DQC，
∴PC=DQ，PB=CQ，
∵∠BPC=∠DQC=120°，
∴∠BPM=∠DQN=60°，
∴sin∠BPM=，sin∠DQN=，
∵BM=3，DN=1，
∴PB=2，DQ=，
∴PC=DQ=，
∵∠BPM=60°，
∴∠PBM=30°，
∵在Rt△PBM中，PM=PB=，
∴MC=PC+PM=，
∴在Rt△PBM中，BC===．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）如图1，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为P，Q，通过证得△CBP≌△CDQ，得出CP=DQ=1，然后根据勾股定理即可求得；
（2）如图2，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直线d上，通过证得△BPC≌△DQC证得PC=DQ，通过解直角三角形求得PM，DQ，进而求得MC，然后根据勾股定理即可求得．
28．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．
（1）求证：AE=CG；
（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，
∵AD=CD，
∴∠DAE=∠DCG，
∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD．
在△AED和△CGD中，
∴△AED≌△CGD（AAS），
∴AE=CG．
（2）解法一：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCG．
在△AEB和△CGD中，
∴△AEB≌△CGD（SAS），
∴∠AEB=∠CGD．
∵∠CGD=∠EGF，
∴∠AEB=∠EGF，
∴BE∥DF．
解法二：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，
∵AD∥FC，
∴=．
∵CG=AE，
∴AG=CE．
又∵在正方形ABCD中，AD=CB，
∴=．
又∵∠GCF=∠ECB，
∴△CGF∽△CEB，
∴∠CGF=∠CEB，
∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△AEB≌△CGD，得出对应角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可证出平行线．
1 / 1浙教版数学八年级下册5.3正方形基础检测
一、单选题
1．如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形
2．（2019九上·成都月考）四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD
C．AD∥BC，∠A=∠C D．OA=OC，OB=OD，AB=BC
3．如图，点E在正方形ABCD对角线AC上，且EC=2.5AE，直角三角形FEG的两直角边EF，EG分别交BC，CD于M，N．若正方形边长是a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1 B1 C1 C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，若正方形ABCD算第一个正方形，则第2010个正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
6．若一个正方形的面积为8，则这个正方形的边长为（ ）
A．4 B．2 C． D．8
7．（2018八下·江海期末）如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．
8．（2019八下·东台月考）如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接CE，与对角线BD交于F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
10．若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．2
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C的坐标为（，1），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，+1） B．（﹣1，1）
C．（1，+1） D．（﹣1，2）
12．如图，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，给出下列结论：
①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF．
其中结论正确的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图：A，D，E在同一条直线上，AD=3，DE=1，BD，DF分别为正方形ABCD，正方形DEFG的对角线，则三角形△BDF的面积为（ ）
A．4.5 B．3 C．4 D．2
14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB=（ ）
A．10° B．15° C．30° D．150°
15．如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2．
A．8 B．16 C．4 D．无法确定
二、填空题
16．已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC、BD交于点O，点E在线段AC上，且OE=，则∠ABE的度数 度．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），作第一个正方形OA1C1B1且点A1在OA上，点B1在OB上，点C1在AB上；作第二个正方形A1A2C2B2且点A2在A1A上，点B2在A1C2上，点C2在AB上…，如此下去，则点Cn的纵坐标为 ．
18．（2017九上·巫山期中）如图，正方形ABCD的边长为4+2，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长是 ．
19．如图，边长分别为3和5的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则ET的长为
20．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…，按如图所示的方式放置．点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y=x+1和x轴上，则第2015个正方形A2015B2015C2015C2014的边长为 ．
三、解答题
21．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．
（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．
22．（1）如图1，4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是2cm，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D分别在l1、l3、l4、l2上，求该正方形的面积；
（2）如图2，把一张矩形卡片ABCD放在每格宽度为18mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠1=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
23．已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连结EG、CG．
（1）请添加一条辅助线，构造一个和△FEG全等的三角形，并证明它们全等．
（2）探索EG、CG的数量关系和位置关系，并证明．
24．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG；
（1）求证：AE=CG；
（2）求证：BE∥DF．
25．如图，P为正方形ABCD对角线AC上一动点，EF⊥AC且交AD于E，交CD的延长线于点G，连接CE和AG．
（1）求证：△ADG≌△CDE；
（2）当CE平分∠ACD时，求tan∠AGD．
26．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线于点P，且DE=DP．
（1）求证：AE=CP；
（2）求证：BE∥DF．
27．（1）如图1，直线a∥b∥c∥d，且a与b，c与d之间的距离均为1，b与c之间的距离为2，现将正方形ABCD如图放置，使其四个顶点分别在四条直线上，求正方形的边长；
（2）在（1）的条件下，探究：将正方形ABCD改为菱形ABCD，如图2，当∠DCB=120°时，求菱形的边长．
28．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．
（1）求证：AE=CG；
（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，
已知：四边形ABCD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
求证：四边形ABCD为正方形，
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∵AC=BD，
∴四边形ABCD为正方形．
故选C．
【分析】如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，理由为：利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABCD为平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形，再利用对角线相等的菱形为正方形即可得证．
2．【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】
解：A、∵OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，故本选项正确；
B、根据AB∥CD和AC=BD不能推出四边形ABCD是正方形，故本选项错误；
C、∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠ADC+∠DCB=180°，
∵∠DAB=∠DCB，
∴∠ABC=∠ADC，
∴只能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
D、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴只能推出四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
故选A．
【分析】先想一下平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，再根据选项中的条件进行推理，看看能否推出四边形是正方形即可．
3．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵△FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN=S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC==a，
∵EC=2.5AE，
∴EC=a，
∴正方形PCQE的面积=×（a）2=a2，
∴四边形EMCN的面积=a2．
故选：A．
【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．
4．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∵∠AOD=90°，
∴AB=AD==，∠ODA+∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，S正方形ABCD=（）2=5，
∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°，
∴∠ODA=∠BAA1，
∴△ABA1∽△DOA，
∴，
即 =，
∴BA1=，
∴CA1=，
∴正方形A1B1C1C的面积=（）2=5×，…，第n个正方形的面积为5×（）n，
∴第2010个正方形的面积为5×（）2010；
故选：B．
【分析】先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出第一个正方形A1B1C1C的面积，得出规律，根据规律即可求出第2010个正方形的面积．
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：C．
【分析】根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．
6．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x，
根据题意得x2=8，
所以x=2．
故选B．
【分析】根据正方形的面积公式求解．
7．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，
则S△BCE=S△BCP+S△BEP，
即BE h=BC PQ+BE PR，
∵BE=BC，
∴h=PQ+PR，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴h=4×=2．
故答案为：2．
【分析】连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可．
8．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD=45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，
∴PF=OE，PE=BE，
∴PE+PF=BE+OE=OA，
∵AB=BC=4，
∴OA=AC=x4=2，
∴PE+PF=2，
故选A．
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE=BE，从而得到PE+PF=OA，然后根据正方形的性质解答即可．
9．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
又∵△ADE是正三角形，
∴CD=DE，∠ADE=60°，
∴△CDE是等腰三角形，∠CDE=90°+60°=150°，
∴∠ECD=∠DEC=15°，
∵∠BDC=45°，
∴∠CFD=180°﹣15°﹣45°=120°，
∴∠BFC=60°，
故选D
【分析】由于四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形，由此可以得到CD=DE，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解．
10．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO=AC=1cm，∠AOB=90°，
由勾股定理得，AB=cm，
S正=（）2=2cm2．
故选A．
【分析】根据正方形的性质，对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角求解即可．
11．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：作BG⊥y轴于G，作CE⊥x轴于E，BG与CE交于H；如图所示：
则∠BHC=∠CEO=90°，
∴∠HBC+∠BCH=90°，
∵C点坐标为（，1），
∴OE=，CE=1，
∵四边形ABCO是正方形，
∴BC=OC，∠BCO=90°，
∴∠BCH+∠OCE=90°，
∴∠HBC=∠OCE，
在△BCH和△COE中，，
∴△BCH≌△COE（AAS），
∴BH=CE=1，CH=OE=，
∴BG=﹣1，HE=+1，
∴点B的坐标为：（﹣1，+1）；
故选：A．
【分析】作BG⊥y轴于G，作CE⊥x轴于E，BG与CE交于H；由AAS证明△BCH≌△COE，得出对应边相等BH=CE=1，CH=OE=，求出BG、HE即可．
12．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得
EF=x，CG=x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，
∴AC=，
∴AB=，
∴BE=﹣x=，
∴BE+DF=x﹣x≠x．（故④错误）．
正确的有3个．
故选：C．
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，再通过比较可以得出结论．
13．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，
∴BD=AD=3，DF=DE=，∠BDC=45°，∠GDF=45°，
∴∠BDF=90°，
∴S△BDF=DFBD=×x3=3，
故选B．
【分析】首先利用正方形的性质易得BD，DF，∠BDF=90°，利用直角三角形的面积公式得结果．
14．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
又∵△ADE是正三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴△ABE是等腰三角形，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°．
故选：B．
【分析】由于四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形，由此可以得到AB=AE，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解．
15．【答案】A
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：S阴影=S正方形ABCD=×16=8cm2．
故选A．
【分析】把对角线AC下边的部分移到上面，补为直角三角形ADC，求出即可．
16．【答案】15或75
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长是4，对角线AC、BD交于点O，点E在线段AC上，且OE=，
∴AC=BD==4，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=45°，
∴AO=CO=BO=DO=2，
∴tan∠BE′O===，tan∠BEO===，
∴∠BE′O=30°，∠BEO=30°，
∴∠ABE的度数为：30°+45°=75°，或45°﹣30°=15°．
故答案为：15或75．
【分析】根据正方形的性质首先得出AC=BD==4，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=45°，再利用锐角三角函数得出∠BE′O=30°，∠BEO=30°，即可得出∠ABE的度数．
17．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：把点A（，0），点B（0，1）代入直线AB的解析式y=kx+b中，
可得：，
解得：，
所以直线AB的解析式是：，
设C1的横坐标为x，则纵坐标为y=，
因为正方形OA1C1B1可得，x=y，
即：，
解得：x==，
可得点C1的纵坐标为，
同理可得：点C2的纵坐标为，
由以上分析可得：点Cn的纵坐标为．
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质及坐标作答。
18．【答案】2
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设EF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
∴BD=AB=4+4，EF=BF=x，
∴BE=x，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠DAE，
∴AD=ED，
∴BD=BE+ED=x+4+2=4+4，
解得：x=2，
即EF=2；
故答案为：2．
【分析】设EF=x，先由勾股定理求出BD，再求出AE=ED，得出方程，解方程即可．
19．【答案】4
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为3，5，
∴GE=，DG=5﹣3=2，
∴GT=×2=，
∴FT=4，
故答案为：4．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．
20．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，
∴OA1=1，OD=1，
∴∠ODA1=45°，
∴∠A2A1B1=45°，
∴A2B1=A1B1=1，
∴A2C1=2=21，
同理得：A3C2=4=22，…，
∴第2015个正方形A2015B2015C2015C2014的边长为：22014．
故答案为：22014．
【分析】根据直线解析式先求出OA1=1，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第2015个正方形的边长．
21．【答案】解：（1）是定值，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD．
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，
∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD．
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，
∴PF=BF．
∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
（2）因为四边形ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
22．【答案】解：（1）如图1，作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，在△ADE和△DCF，，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF=DE=2．∵DF=4，∴CD2=22+42=20，即正方形ABCD的面积为20cm2；（2）如图2，作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵∠1+∠DAF=180°﹣∠BAD=180°﹣90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF=∠1=36°，根据题意，得BE=36mm，DF=72mm．在Rt△ABE中，sin∠1=，∴AB==60mm，在Rt△ADF中，cos∠ADF=，∴AD=mm=90mm．∴矩形ABCD的周长=2（60+90）=300mm．
【知识点】正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=2，DF=4．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积；
（2）作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，求∠ADF的度数，在Rt△ABE中，可以求得AB的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长，即可解题．
23．【答案】解：（1）延长EG交CD于点H，如图，则△DHG≌△FEG．证明如下：
∵∠BEF=90°，
∴EF⊥BC，
而CD⊥BC，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠2，
∵点G为DF的中点，
∴DG=FG，
在△DHG和△FEG中，
，
∴△DHG≌△FEG（ASA）；
（2）EG=CG，EG⊥CG．证明如下：
∵△DHG≌△FEG，
∴EF=DH，EG=HG，
∵BE=EF，
∴BE=DH，
∵CB=CD，
∴CD﹣DH=CB﹣BE，即CH=CE，
∴△CHE为等腰直角三角形，
∵EG=GH，
∴CG⊥EH，CG=EG=GH，
即EG=CG，EG⊥CG．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）延长EG交CD于点H，如图，先证明EF∥CD，则∠1=∠2，再由点G为DF的中点得到DG=FG，然后利用“ASA”判断△DHG≌△FEG；
（2）由△DHG≌△FEG得到EF=DH，EG=HG，而BE=EF，所以BE=DH，根据正方形的性质得CB=CD，则CH=CE，于是可判断△CHE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到CG⊥EH，CG=EG=GH，即EG=CG，EG⊥CG．
24．【答案】证明：（1）∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG；
（2）在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE （SAS），
∴∠BEC=∠DEG，
∴∠BEC=∠DGE，
∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEG，得出∠BEC=∠DGE，即可证出平行线．
25．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠ADG=180°﹣∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADG，
又∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°﹣∠CAD=45°，
∴∠DEG=∠AEF=45°，
在Rt△EDG中，∠DGE=90°﹣∠DEG=45°，
∴∠DGE=∠DEG，
∴ED=GD
在△ADG与△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS）；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，AD⊥CD，
∴ED=EF，
∴EF=AF=DE=DG，
设DG为k，则ED=k，AE=k，AD=AE+ED=（+1）k，
tan∠AGD==+1
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形证明△ADG与△CDE全等即可；
（2）设DG为k，利用三角函数的正切值解答即可．
26．【答案】证明：（1）∵DE=DP，∴∠DEP=∠DPE，∴∠AED=∠CPD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，在△ADE和△CDP中，，∴△ADE≌△CDP（AAS），∴AE=CP；（2）在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE （SAS），∴∠BEC=∠DEP，∴∠BEC=∠DPE，∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CPD，再证明△ADE≌△CDP，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEP，得出∠BEC=∠DPE，即可证出平行线．
27．【答案】解：（1）如图1，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为P，Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BCD=90°，
∴∠PCB+∠QCD=90°，
∵∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠PBC=∠QCD，
在△CBP和△CDQ中
∴△CBP≌△CDQ（AAS），
∴CP=DQ=1，
∵BP=3，
∴；
（2）如图2，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直线d上，
∵∠DCB=120°，
∴∠PCB+∠DCQ=60°，
∵∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠PBC=∠DCQ，
在△BPC和△CQD中
∴△BPC≌△DQC，
∴PC=DQ，PB=CQ，
∵∠BPC=∠DQC=120°，
∴∠BPM=∠DQN=60°，
∴sin∠BPM=，sin∠DQN=，
∵BM=3，DN=1，
∴PB=2，DQ=，
∴PC=DQ=，
∵∠BPM=60°，
∴∠PBM=30°，
∵在Rt△PBM中，PM=PB=，
∴MC=PC+PM=，
∴在Rt△PBM中，BC===．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）如图1，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为P，Q，通过证得△CBP≌△CDQ，得出CP=DQ=1，然后根据勾股定理即可求得；
（2）如图2，过B，D分别作直线d的垂线，垂足分别为M，N，作∠BPC=∠DQC=120°，P，Q在直线d上，通过证得△BPC≌△DQC证得PC=DQ，通过解直角三角形求得PM，DQ，进而求得MC，然后根据勾股定理即可求得．
28．【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，
∵AD=CD，
∴∠DAE=∠DCG，
∵DE=DG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴∠AED=∠CGD．
在△AED和△CGD中，
∴△AED≌△CGD（AAS），
∴AE=CG．
（2）解法一：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCG．
在△AEB和△CGD中，
∴△AEB≌△CGD（SAS），
∴∠AEB=∠CGD．
∵∠CGD=∠EGF，
∴∠AEB=∠EGF，
∴BE∥DF．
解法二：BE∥DF，理由如下：
在正方形ABCD中，
∵AD∥FC，
∴=．
∵CG=AE，
∴AG=CE．
又∵在正方形ABCD中，AD=CB，
∴=．
又∵∠GCF=∠ECB，
∴△CGF∽△CEB，
∴∠CGF=∠CEB，
∴BE∥DF．
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）先证明△AEB≌△CGD，得出对应角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可证出平行线．
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