浙教版数学八年级下册6.3反比例函数的应用基础检测
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于点B，点C是线段AB上一点，函数y=（k＞0，x＞0）的图象与线段AC交于点D（不与点A、C重合）．若△AOB和△COB的面积分别为2和1，则k的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，点A运动过程中△AOB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．不变
3．（2020·温州模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=，在第一象限内的图象经过点D，且与AB、BC分别交于E、F两点．若四边形BEDF的面积为6，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．函数y=﹣（x＜0）和y=（x＞0）的图象如图所示，O为坐标原点，M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴，分别与图中的函数图象相交于P、Q两点，连接OP、OQ，则△OPQ的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．-3 C．6 D．-6
6．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2016九上·长春期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数 （k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB=3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
9．已知点A是反比例函数xy=﹣6图象上的一点．若AB垂直于y轴，垂足为B，则△AOB的面积是（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
10．如图，点A（3，m）在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴于点C，线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABO的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图， OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A、B在第一象限内，且点A的横坐标为2，对角线AC与OB交于点D，若反比例函数y=的图象经过点A与点D，则 OABC的面积为（ ）
A．30 B．24 C．20 D．16
12．如图，在平面直角坐标中，Rt△AOB的顶点O是坐标原点，OB边在x轴的正半轴上，∠ABO=90°，且点A在第一象限内，双曲线y=（k＞0）经过AO的中点，若S△AOB=4，则双曲线y=的k值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y=（y＞0）的图象上一个动点，当△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小时，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
14．如图，已知A点是反比例函数y=（k≠0）的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△AOB的面积为2，则k的值为（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
15．反比例函数y=（x＞0）的图象经过△OAB的顶点A，已知AO=AB，S△OAB=4，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
16．如图，反比例函数y=-图象上有一点P，PA⊥x轴于A，点B在y轴的负半轴上，那么△PAB的面积是
17．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平分线，分别于反比例函数y=和y=的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为
18．如图，等腰△ABC中，AB=AC，BC∥x轴，点A．C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△ABC的面积为 ．
19．反比例函数y=的图象如图所示，点M是该图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON=3，则k的值为 ．
20．（2020·吉安模拟）如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是
三、解答题
21．如图，已知正比例函数y=x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求△BOC的面积．
（3）P是x轴上的点，且△PAC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．
23．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
24．如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（1，a）是该直线与双曲线y=的一个交点，过点C作CD垂直y轴，垂足为D，且S△BCD=1．
（1）求双曲线的解析式．
（2）设直线与双曲线的另一个交点为E，求点E的坐标．
25．如图，一次函数y=mx+4的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y=的图象相交于点B（1，6）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设点P是x轴上一点，若S△APB=18，直接写出点P的坐标．
26．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
27．已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为P点，已知△OAP的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标为2，在x轴上求一点M，使MA+MB最小．
28．如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OD，根据反比例函数y=系数k的几何意义可知，S△DOB=k，
∵S△COB＜S△DOB＜S△AOB，
∴1＜k＜2，
∴2＜k＜4，
故选C．
【分析】连接OD，根据反比例函数y=系数k的几何意义可知，S△DOB=k，由图象可知S△COB＜S△DOB＜S△AOB，得出1＜k＜2，解不等式即可求得2＜k＜4．
2．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据反比例函数系数k的几何意义，可得
点A运动过程中△AOB的面积将会不变，
△AOB的面积为： ．
故选：D．
【分析】比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，所以点A运动过程中△AOB的面积将会不变，都是，据此解答即可．
3．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设D点坐标为（a，），
∵点D为对角线OB的中点，
∴B（2a，），
∵四边形ABCO为矩形，
∴E点的横坐标为2a，F点的纵坐标，
∴E（2a，），F（，），
∵四边形BEDF的面积=S△DBF+S△BED，
∴到（2a﹣） （﹣）+（2a﹣a） （﹣）=6，
∴k=4．
故选B．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设D点坐标为（a，），由点D为对角线OB的中点，可得B（2a，），再分别表示出E（2a，），F（，），利用四边形BEDF的面积=S△DBF+S△BED得到（2a﹣） （﹣）+（2a﹣a） （﹣）=6，然后解方程即可得到k的值．
4．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵P在函数y=﹣（x＜0）图象上，Q在y=（x＞0）的图象上，且PM⊥y轴，MQ⊥y轴，
∴S△PMO=，S△QMO=，
∴S△OPQ=S△PMO+S△QMO=+=．
故选B．
【分析】利用反比例函数k的意义求出三角形OPM与三角形OMQ的面积之和，即可求出三角形OPQ的面积．
5．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=|k|，
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=﹣6．
故选D．
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
6．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设D（t，），
∵矩形OGHF的面积为1，DF⊥x轴于点F，
∴HF=，
而EG⊥y轴于点G，
∴E点的纵坐标为，
当y=时，=，解得x=kt，
∴E（kt，），
∵矩形HDBE的面积为2，
∴（kt﹣t） （﹣）=2，
整理得（k﹣1）2=2，
而k＞0，
∴k=+1．
故选B．
【分析】设D（t，），由矩形OGHF的面积为1得到HF=，于是根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出E点坐标为（kt，），接着利用矩形面积公式得到（kt﹣t） （﹣）=2，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．
7．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结OC，如图，
∵AB⊥y轴于点B，AB=3BC，
∴S△AOB=3S△BOC，
∴S△BOC= ×12=4，
∴ |k|=4，
而k＞0，
∴k=8．
故选C．
【分析】连结OC，如图，根据三角形面积公式，由AB=3BC得到S△AOB=3S△BOC，可计算出S△BOC=4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到 |k|=4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥x轴，
∴四边形ADOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，
而S矩形ADOE=|﹣k|，
∴|﹣k|=6，
而k＜0，即k＜0，
∴k=﹣6．
故选B．
【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|﹣k|，利用反比例函数图象得到．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由于点A是反比例函数xy=﹣6图象上的一点，
则△AOB的面积=|k|=3．
故选A．
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点A（3，m）在双曲线y=上，
∴3m=3，解得m=1，
即A（3，1），
∴OC=3，AC=1，
∵线段OA的垂直平分线交OC于点B，
∴AB=OB，
∴AB2=（OC﹣OB）2+AC2，
∴AB2=（3﹣AB）2+12，
∴AB=OB=，
∴S△ABO=BO AC=，
故选A．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m=1，得到OC=3，AC=1，再利用线段垂直平分线的性质得到AB=OB，然后把△ABC的周长化为OC+AC求解．
11．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥OC于E，过点D作DF⊥OC于F，
∵反比例函数y=的图象经过点A，且点A的横坐标为2，
∴y==5，
∴A（2，5），
∴AE=5，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD=CD，
∴DF=AE=，OF=4，
∵反比例函数y=的图象经过点A与点D，
∴S△AOD=S四边形AEFD=（+5）×2=，
∴ OABC的面积=4×S△AOD=4×=30．
故选A．
【分析】根据平行四边形的性质的性质及反比例函数k的几何意义，判断出OE=EF，再由△AOD的面积，即可求出结果．
12．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设OA与双曲线相交于C，如图，过C作CD⊥OB于D，
∵∠ABO=90°，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴=，
∵OC=AC，
∴==，
∴S△OCD=1，
∴k=2，
故选A．
【分析】设OA与双曲线相交于C，如图，过C作CD⊥OB于D，得到CD∥AB，证得△OCD∽△OAB，根据相似三角形的性质即可得到结果．
13．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图∵点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∵△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小，
∴图象在第一、四象限，
∵y＞0，
∴图象在第一象限，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3，
故选C．
【分析】由点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，且△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小，得到图象在第一、四象限，根据y＞0，得到图象在第一象限，所以求得结果．
14．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意可知：|k|=2，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k=4．
故选：A．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
15．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，如图，
∵AO=AB，
∴OD=BD，
∴S△ADO=S△ABD=×4=2，
∴k=2，
∴k=4．
故选B．
【分析】作AD⊥x轴于D，根据等腰三角形的性质得到OD=BD，则S△AOD=S△ABD=×4=2，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义求解．
16．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结OP，如图，
∵PA⊥x轴，
∴PA∥OB，
∴S△BAP=S△OPA=|k|=×|﹣6|=3．
故答案为3．
【分析】连结OP，根据三角形面积公式得到S△BAP=S△OPA，然后根据反比例函数y=（k≠0）中比例系数k的几何意义进行计算即可．
17．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设P（0，b），
∵直线AB∥x轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=﹣的图象上，
∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b），
又∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b），
∴AB=﹣（﹣）=，
∴S△ABC= AB OP= b=3．
故答案为：3．
【分析】先设P（0，b），由直线AB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数y=﹣和y=的图象上，可得到A点坐标为（﹣，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
18．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，如图，设B（t，），
∵AB=AC，BC∥x轴，
∴BD=CD，AD∥y轴，
∴C点的纵坐标为，
当y=时，=，解得x=4t，则C点坐标为（4t，），
∴D点坐标为（t，），
∴A点的横坐标为t，
当x=t时，y==，则A点坐标为（t，），
∴S△ABC= （4t﹣t） （﹣）=．
故答案为．
【分析】作AD⊥BC于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可设B（t，），根据等腰三角形的性质得BD=CD，则C点的纵坐标为，于是可表示出C点坐标为（4t，），利用线段中点坐标公式表示出D点坐标为（t，），接着表示出A点坐标为（t，），然后根据三角形面积公式求解．
19．【答案】-3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意可知：S△MOP=|k|=3，又反比例函数的图象位于一、三象限，k＜0，则k=﹣3．故答案是：﹣3．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，即S=|k|，即可求解．
20．【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=|k|，
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
21．【答案】（1）∵点A在正比例函数y=x上，
∴把x=4代入正比例函数y=x，
解得y=2，∴点A（4，2），
∵点A与B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣4，﹣2），
把点A（4，2）代入反比例函数y=，得k=8，
（2）由交点坐标，根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围，x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S△POA=S平行四边形APBQ×=×24=6，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），
得P（m，），
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S△POE=S△AOF=4，
若0＜m＜4，如图，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴（2+） （4﹣m）=6．
∴m1=2，m2=﹣8（舍去），
∴P（2，4）；
若m＞4，如图，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴（2+） （m﹣4）=6，
解得m1=8，m2=﹣2（舍去），
∴P（8，1）．
∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先将x=4代入正比例函数y=x，可得出y=2，求得点A（4，2），再根据点A与B关于原点对称，得出B点坐标，即可得出k的值；
（2）正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，根据图形可知在交点的右边正比例函数的值小于反比例函数的值．
（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．
22．【答案】解：（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，
∵B的坐标为（n，﹣2），
∴BD=2，
∵tan∠BOC=，
∴OD=4，
∴B的坐标为（﹣4，﹣2）
把B（﹣4，﹣2）代入y=得：k=8，
∴反比例函数为y=，
把A（2，m）代入y=得：m=4，
∴A（2，4），
把A（2，4）和B（﹣4，﹣2）代入y=ax+b得：
解得：a=1，b=2，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；
（2）在y=x+2中，令y=0，得x=﹣2，
∴CO=2，
∴S△BOC=CO BD=×2×2=2；
（3）设P点的坐标为P（a，0）
则由S△PAC=S△BOC得：PC×4=2，
∴PC=1，
即||a+2|=1，
解得：a=﹣3或a=﹣1，
即P的坐标为（﹣3，0）或（﹣1，0）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，求出BD=2，根据tan∠BOC=求出OD=4，得出B的坐标，把B的坐标代入y=即可求出反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出解析式；
（2）求出CO=2，根据三角形面积公式求出即可；
（3）设P点的坐标为P（a，0）根据S△PAC=S△BOC得出PC×4=2，求出PC即可．
23．【答案】解：（1）把A（0，﹣2），B（1，0）代入y=k1x+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y=2x﹣2；
把M（m，4）代入y=2x﹣2得2m﹣2=4，
解得m=3，
则M点坐标为（3，4），
把M（3，4）代入y=得k2=3×4=12，
所以反比例函数解析式为y=；
（2）存在．
∵A（0，﹣2），B（1，0），M（3，4），
∴AB=，BM==2，
∵PM⊥AM，
∴∠BMP=90°，
∵∠OBA=∠MBP，
∴Rt△OBA∽Rt△MBP，
∴=，即=，
∴PB=10，
∴OP=11，
∴P点坐标为（11，0）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）先利用两点间的距离公式计算出AB=，BM=2，再证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出PB=10，则OP=11，于是可得到P点坐标．
24．【答案】解：（1）∵△BCD的面积为1，∴即BD=2，又∵点B是直线y=kx+2与y轴的交点，∴点B的坐标为（0，2）．∴点D的坐标为（0，4），∵CD⊥y轴；∴点C的纵坐标为4，即a=4，∵点C在双曲线上，∴将x=1，y=4，代入y=，得m=4，∴双曲线的解析式为y=；（2）∵点C（1，4）在直线y=kx+2上，∴4=k+2，k=2，∴直线AB的解析式为y=2x+2．联立方程组：，解得经检验，是方程组的解，故E（﹣2，﹣2）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据△BCD的面积是1求出BD的值，进而得出B、D两点的坐标求出a的值，再把点C的坐标代入双曲线y=的即可求出双曲线的解析式；
（2）把C点坐标代入直线y=kx+2即可得出k的值，进而得出直线AB的解析式，在解直线与双曲线解析式组成的方程组即可求出点E的坐标．
25．【答案】解：（1）把B（1，6）代入y=mx+4得：6=m+4，m=2，即一次函数的解析式是y=2x+4，把B（1，6）代入y=得：6=，k=6，即反比例函数的解析式是y=；（2）把y=0代入y=2x+4得：2x+4=0，x=﹣2，即A的坐标是（﹣2，0），分为两种情况：①当P在A的右边时，∵S△APB=18，∴×AP×6=18，AP=6，∵A（﹣2，0），∴P（4，0）；②当P在A的左边时，P的坐标是（﹣8，0）．即P的坐标是（4，0）或（﹣8，0）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把B的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式求出即可；
（2）求出A的坐标，根据三角形的面积求出AP的值，根据A的坐标即可得出答案．
26．【答案】解：（1）把点（m，6），B（3，n）分别代入y=（x＞0）得m=1，n=2，
∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
把A（1，6），B（3，2）分别代入y=kx+b得，解得，
∴一次函数解析式为y=﹣2x+8；
（2）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE=6，BC=2，
∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先把点A（m，6），B（3，n）分别代入y=（x＞0）可求出m、n的值，确定A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB=S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．
27．【答案】解：（1）设A点的坐标为（x，y），则OP=x，PA=y，
∵△OAP的面积为1，∴xy=1，xy=2，即k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=．
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，MA+MB最小，
点B的横坐标为2，点B的纵坐标为y==1，
两个函数图象在第一象限的图象交于A点，
2x=，x±1，y=±2，
A点的坐标（1，2），
A关于x轴的对称点A′（1，﹣2），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
，
解得，
直线y=3x﹣5与x轴的交点为（，0），
则M点的坐标为（，0）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设出A点的坐标，根据△OAP的面积为1，求出xy的值，得到反比例函数的解析式；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，得到MA+MB最小时，点M的位置，求出直线A′B的解析式，得到它与x轴的交点，即点M的坐标．
28．【答案】解：（1）解方程组得或．
所以A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2）；
（2）直线AB交y轴于点D，如图，
把x=0代入y=﹣x+2得y=2，
则D点坐标为（0，2），
所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=×2×2+×2×4=6．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）解方程组可得到A点坐标和B点坐标；
（2）先确定一次函数与y轴的交点D的坐标，然后根据S△AOB=S△AOD+S△BOD进行计算．
1 / 1浙教版数学八年级下册6.3反比例函数的应用基础检测
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于点B，点C是线段AB上一点，函数y=（k＞0，x＞0）的图象与线段AC交于点D（不与点A、C重合）．若△AOB和△COB的面积分别为2和1，则k的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OD，根据反比例函数y=系数k的几何意义可知，S△DOB=k，
∵S△COB＜S△DOB＜S△AOB，
∴1＜k＜2，
∴2＜k＜4，
故选C．
【分析】连接OD，根据反比例函数y=系数k的几何意义可知，S△DOB=k，由图象可知S△COB＜S△DOB＜S△AOB，得出1＜k＜2，解不等式即可求得2＜k＜4．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，点A运动过程中△AOB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．不变
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据反比例函数系数k的几何意义，可得
点A运动过程中△AOB的面积将会不变，
△AOB的面积为： ．
故选：D．
【分析】比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，所以点A运动过程中△AOB的面积将会不变，都是，据此解答即可．
3．（2020·温州模拟）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=，在第一象限内的图象经过点D，且与AB、BC分别交于E、F两点．若四边形BEDF的面积为6，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设D点坐标为（a，），
∵点D为对角线OB的中点，
∴B（2a，），
∵四边形ABCO为矩形，
∴E点的横坐标为2a，F点的纵坐标，
∴E（2a，），F（，），
∵四边形BEDF的面积=S△DBF+S△BED，
∴到（2a﹣） （﹣）+（2a﹣a） （﹣）=6，
∴k=4．
故选B．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设D点坐标为（a，），由点D为对角线OB的中点，可得B（2a，），再分别表示出E（2a，），F（，），利用四边形BEDF的面积=S△DBF+S△BED得到（2a﹣） （﹣）+（2a﹣a） （﹣）=6，然后解方程即可得到k的值．
4．函数y=﹣（x＜0）和y=（x＞0）的图象如图所示，O为坐标原点，M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴，分别与图中的函数图象相交于P、Q两点，连接OP、OQ，则△OPQ的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵P在函数y=﹣（x＜0）图象上，Q在y=（x＞0）的图象上，且PM⊥y轴，MQ⊥y轴，
∴S△PMO=，S△QMO=，
∴S△OPQ=S△PMO+S△QMO=+=．
故选B．
【分析】利用反比例函数k的意义求出三角形OPM与三角形OMQ的面积之和，即可求出三角形OPQ的面积．
5．如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3 B．-3 C．6 D．-6
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=|k|，
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=﹣6．
故选D．
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
6．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设D（t，），
∵矩形OGHF的面积为1，DF⊥x轴于点F，
∴HF=，
而EG⊥y轴于点G，
∴E点的纵坐标为，
当y=时，=，解得x=kt，
∴E（kt，），
∵矩形HDBE的面积为2，
∴（kt﹣t） （﹣）=2，
整理得（k﹣1）2=2，
而k＞0，
∴k=+1．
故选B．
【分析】设D（t，），由矩形OGHF的面积为1得到HF=，于是根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出E点坐标为（kt，），接着利用矩形面积公式得到（kt﹣t） （﹣）=2，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．
7．（2016九上·长春期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数 （k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB=3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结OC，如图，
∵AB⊥y轴于点B，AB=3BC，
∴S△AOB=3S△BOC，
∴S△BOC= ×12=4，
∴ |k|=4，
而k＞0，
∴k=8．
故选C．
【分析】连结OC，如图，根据三角形面积公式，由AB=3BC得到S△AOB=3S△BOC，可计算出S△BOC=4，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到 |k|=4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
8．如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：作AE⊥BC于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥x轴，
∴四边形ADOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，
而S矩形ADOE=|﹣k|，
∴|﹣k|=6，
而k＜0，即k＜0，
∴k=﹣6．
故选B．
【分析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|﹣k|，利用反比例函数图象得到．
9．已知点A是反比例函数xy=﹣6图象上的一点．若AB垂直于y轴，垂足为B，则△AOB的面积是（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由于点A是反比例函数xy=﹣6图象上的一点，
则△AOB的面积=|k|=3．
故选A．
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
10．如图，点A（3，m）在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴于点C，线段OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABO的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点A（3，m）在双曲线y=上，
∴3m=3，解得m=1，
即A（3，1），
∴OC=3，AC=1，
∵线段OA的垂直平分线交OC于点B，
∴AB=OB，
∴AB2=（OC﹣OB）2+AC2，
∴AB2=（3﹣AB）2+12，
∴AB=OB=，
∴S△ABO=BO AC=，
故选A．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m=1，得到OC=3，AC=1，再利用线段垂直平分线的性质得到AB=OB，然后把△ABC的周长化为OC+AC求解．
11．如图， OABC的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A、B在第一象限内，且点A的横坐标为2，对角线AC与OB交于点D，若反比例函数y=的图象经过点A与点D，则 OABC的面积为（ ）
A．30 B．24 C．20 D．16
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥OC于E，过点D作DF⊥OC于F，
∵反比例函数y=的图象经过点A，且点A的横坐标为2，
∴y==5，
∴A（2，5），
∴AE=5，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AD=CD，
∴DF=AE=，OF=4，
∵反比例函数y=的图象经过点A与点D，
∴S△AOD=S四边形AEFD=（+5）×2=，
∴ OABC的面积=4×S△AOD=4×=30．
故选A．
【分析】根据平行四边形的性质的性质及反比例函数k的几何意义，判断出OE=EF，再由△AOD的面积，即可求出结果．
12．如图，在平面直角坐标中，Rt△AOB的顶点O是坐标原点，OB边在x轴的正半轴上，∠ABO=90°，且点A在第一象限内，双曲线y=（k＞0）经过AO的中点，若S△AOB=4，则双曲线y=的k值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设OA与双曲线相交于C，如图，过C作CD⊥OB于D，
∵∠ABO=90°，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴=，
∵OC=AC，
∴==，
∴S△OCD=1，
∴k=2，
故选A．
【分析】设OA与双曲线相交于C，如图，过C作CD⊥OB于D，得到CD∥AB，证得△OCD∽△OAB，根据相似三角形的性质即可得到结果．
13．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是反比例函数y=（y＞0）的图象上一个动点，当△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小时，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图∵点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∵△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小，
∴图象在第一、四象限，
∵y＞0，
∴图象在第一象限，
∴k﹣3＞0，
∴k＞3，
故选C．
【分析】由点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，且△ABO的面积随点B的横坐标增大而减小，得到图象在第一、四象限，根据y＞0，得到图象在第一象限，所以求得结果．
14．如图，已知A点是反比例函数y=（k≠0）的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△AOB的面积为2，则k的值为（ ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意可知：|k|=2，
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则k=4．
故选：A．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
15．反比例函数y=（x＞0）的图象经过△OAB的顶点A，已知AO=AB，S△OAB=4，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，如图，
∵AO=AB，
∴OD=BD，
∴S△ADO=S△ABD=×4=2，
∴k=2，
∴k=4．
故选B．
【分析】作AD⊥x轴于D，根据等腰三角形的性质得到OD=BD，则S△AOD=S△ABD=×4=2，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义求解．
二、填空题
16．如图，反比例函数y=-图象上有一点P，PA⊥x轴于A，点B在y轴的负半轴上，那么△PAB的面积是
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结OP，如图，
∵PA⊥x轴，
∴PA∥OB，
∴S△BAP=S△OPA=|k|=×|﹣6|=3．
故答案为3．
【分析】连结OP，根据三角形面积公式得到S△BAP=S△OPA，然后根据反比例函数y=（k≠0）中比例系数k的几何意义进行计算即可．
17．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平分线，分别于反比例函数y=和y=的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设P（0，b），
∵直线AB∥x轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=﹣的图象上，
∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b），
又∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b），
∴AB=﹣（﹣）=，
∴S△ABC= AB OP= b=3．
故答案为：3．
【分析】先设P（0，b），由直线AB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数y=﹣和y=的图象上，可得到A点坐标为（﹣，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
18．如图，等腰△ABC中，AB=AC，BC∥x轴，点A．C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△ABC的面积为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，如图，设B（t，），
∵AB=AC，BC∥x轴，
∴BD=CD，AD∥y轴，
∴C点的纵坐标为，
当y=时，=，解得x=4t，则C点坐标为（4t，），
∴D点坐标为（t，），
∴A点的横坐标为t，
当x=t时，y==，则A点坐标为（t，），
∴S△ABC= （4t﹣t） （﹣）=．
故答案为．
【分析】作AD⊥BC于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可设B（t，），根据等腰三角形的性质得BD=CD，则C点的纵坐标为，于是可表示出C点坐标为（4t，），利用线段中点坐标公式表示出D点坐标为（t，），接着表示出A点坐标为（t，），然后根据三角形面积公式求解．
19．反比例函数y=的图象如图所示，点M是该图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON=3，则k的值为 ．
【答案】-3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意可知：S△MOP=|k|=3，又反比例函数的图象位于一、三象限，k＜0，则k=﹣3．故答案是：﹣3．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，即S=|k|，即可求解．
20．（2020·吉安模拟）如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为3，则k的值是
【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB=3，
而S△OAB=|k|，
∴|k|=3，
∵k＜0，
∴k=﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
三、解答题
21．如图，已知正比例函数y=x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
【答案】（1）∵点A在正比例函数y=x上，
∴把x=4代入正比例函数y=x，
解得y=2，∴点A（4，2），
∵点A与B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣4，﹣2），
把点A（4，2）代入反比例函数y=，得k=8，
（2）由交点坐标，根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围，x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S△POA=S平行四边形APBQ×=×24=6，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），
得P（m，），
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S△POE=S△AOF=4，
若0＜m＜4，如图，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴（2+） （4﹣m）=6．
∴m1=2，m2=﹣8（舍去），
∴P（2，4）；
若m＞4，如图，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴（2+） （m﹣4）=6，
解得m1=8，m2=﹣2（舍去），
∴P（8，1）．
∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先将x=4代入正比例函数y=x，可得出y=2，求得点A（4，2），再根据点A与B关于原点对称，得出B点坐标，即可得出k的值；
（2）正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，根据图形可知在交点的右边正比例函数的值小于反比例函数的值．
（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求△BOC的面积．
（3）P是x轴上的点，且△PAC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．
【答案】解：（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，
∵B的坐标为（n，﹣2），
∴BD=2，
∵tan∠BOC=，
∴OD=4，
∴B的坐标为（﹣4，﹣2）
把B（﹣4，﹣2）代入y=得：k=8，
∴反比例函数为y=，
把A（2，m）代入y=得：m=4，
∴A（2，4），
把A（2，4）和B（﹣4，﹣2）代入y=ax+b得：
解得：a=1，b=2，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；
（2）在y=x+2中，令y=0，得x=﹣2，
∴CO=2，
∴S△BOC=CO BD=×2×2=2；
（3）设P点的坐标为P（a，0）
则由S△PAC=S△BOC得：PC×4=2，
∴PC=1，
即||a+2|=1，
解得：a=﹣3或a=﹣1，
即P的坐标为（﹣3，0）或（﹣1，0）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，求出BD=2，根据tan∠BOC=求出OD=4，得出B的坐标，把B的坐标代入y=即可求出反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出解析式；
（2）求出CO=2，根据三角形面积公式求出即可；
（3）设P点的坐标为P（a，0）根据S△PAC=S△BOC得出PC×4=2，求出PC即可．
23．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M（m，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）把A（0，﹣2），B（1，0）代入y=k1x+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y=2x﹣2；
把M（m，4）代入y=2x﹣2得2m﹣2=4，
解得m=3，
则M点坐标为（3，4），
把M（3，4）代入y=得k2=3×4=12，
所以反比例函数解析式为y=；
（2）存在．
∵A（0，﹣2），B（1，0），M（3，4），
∴AB=，BM==2，
∵PM⊥AM，
∴∠BMP=90°，
∵∠OBA=∠MBP，
∴Rt△OBA∽Rt△MBP，
∴=，即=，
∴PB=10，
∴OP=11，
∴P点坐标为（11，0）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）先利用两点间的距离公式计算出AB=，BM=2，再证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出PB=10，则OP=11，于是可得到P点坐标．
24．如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（1，a）是该直线与双曲线y=的一个交点，过点C作CD垂直y轴，垂足为D，且S△BCD=1．
（1）求双曲线的解析式．
（2）设直线与双曲线的另一个交点为E，求点E的坐标．
【答案】解：（1）∵△BCD的面积为1，∴即BD=2，又∵点B是直线y=kx+2与y轴的交点，∴点B的坐标为（0，2）．∴点D的坐标为（0，4），∵CD⊥y轴；∴点C的纵坐标为4，即a=4，∵点C在双曲线上，∴将x=1，y=4，代入y=，得m=4，∴双曲线的解析式为y=；（2）∵点C（1，4）在直线y=kx+2上，∴4=k+2，k=2，∴直线AB的解析式为y=2x+2．联立方程组：，解得经检验，是方程组的解，故E（﹣2，﹣2）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据△BCD的面积是1求出BD的值，进而得出B、D两点的坐标求出a的值，再把点C的坐标代入双曲线y=的即可求出双曲线的解析式；
（2）把C点坐标代入直线y=kx+2即可得出k的值，进而得出直线AB的解析式，在解直线与双曲线解析式组成的方程组即可求出点E的坐标．
25．如图，一次函数y=mx+4的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y=的图象相交于点B（1，6）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）设点P是x轴上一点，若S△APB=18，直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）把B（1，6）代入y=mx+4得：6=m+4，m=2，即一次函数的解析式是y=2x+4，把B（1，6）代入y=得：6=，k=6，即反比例函数的解析式是y=；（2）把y=0代入y=2x+4得：2x+4=0，x=﹣2，即A的坐标是（﹣2，0），分为两种情况：①当P在A的右边时，∵S△APB=18，∴×AP×6=18，AP=6，∵A（﹣2，0），∴P（4，0）；②当P在A的左边时，P的坐标是（﹣8，0）．即P的坐标是（4，0）或（﹣8，0）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把B的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式求出即可；
（2）求出A的坐标，根据三角形的面积求出AP的值，根据A的坐标即可得出答案．
26．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】解：（1）把点（m，6），B（3，n）分别代入y=（x＞0）得m=1，n=2，
∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
把A（1，6），B（3，2）分别代入y=kx+b得，解得，
∴一次函数解析式为y=﹣2x+8；
（2）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE=6，BC=2，
∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先把点A（m，6），B（3，n）分别代入y=（x＞0）可求出m、n的值，确定A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB=S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．
27．已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为P点，已知△OAP的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标为2，在x轴上求一点M，使MA+MB最小．
【答案】解：（1）设A点的坐标为（x，y），则OP=x，PA=y，
∵△OAP的面积为1，∴xy=1，xy=2，即k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=．
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，MA+MB最小，
点B的横坐标为2，点B的纵坐标为y==1，
两个函数图象在第一象限的图象交于A点，
2x=，x±1，y=±2，
A点的坐标（1，2），
A关于x轴的对称点A′（1，﹣2），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
，
解得，
直线y=3x﹣5与x轴的交点为（，0），
则M点的坐标为（，0）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）设出A点的坐标，根据△OAP的面积为1，求出xy的值，得到反比例函数的解析式；
（2）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，得到MA+MB最小时，点M的位置，求出直线A′B的解析式，得到它与x轴的交点，即点M的坐标．
28．如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积．
【答案】解：（1）解方程组得或．
所以A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2）；
（2）直线AB交y轴于点D，如图，
把x=0代入y=﹣x+2得y=2，
则D点坐标为（0，2），
所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=×2×2+×2×4=6．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）解方程组可得到A点坐标和B点坐标；
（2）先确定一次函数与y轴的交点D的坐标，然后根据S△AOB=S△AOD+S△BOD进行计算．
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