浙教版数学八年级下册5.1矩形基础检测
一、单选题
1．（2017八下·钦州港期末）下列说法中的错误的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，此说法正确，不符合题目的要求；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，此说法正确，不符合题目的要求；
C、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，此说法错误，符合题目的要求；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此说法正确，不符合题目的要求；
故选C．
【分析】根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的判定方法逐项分析即可．
2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
A． B．8 C． D．6
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=，
∴AC=2BC=4，
∴AB=，
故选D
【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO， 再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列 式计算即可求出AB．
3．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，
∴OM=CD=2.5，AC==13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故选：D．
【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，得出OMCD；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BO，进而求出四边形ABOM的周长．
4．一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21cm2，则该矩形的面积为（ ）
A．60cm2 B．70cm2 C．120cm2 D．140cm2
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】解：∵黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%；
∴矩形的面积=21÷（50%﹣15%）
=21÷35%
=60（cm2）．
故选：A．
【分析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%﹣15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，用除法即可得出矩形的面积．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=2×2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=4．
故选A．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB，再根据矩形的对角线相等解答．
6．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；矩形的性质
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=20，
∴AC=BD=10cm，
∴OA=OB=5cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=5cm，
故选D．
【分析】根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．
7．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设DH的值是x，
∵AB=8，AD=6，且BH=DH，
那么CH=8﹣x，BH=x，
在Rt△BCH中，DH=，
∴x2=（8﹣x）2+36，
∴x=，
即DH=．
故选C．
【分析】设DH的值是x，那么CH=8﹣x，BH=x，在Rt△BCH中根据勾股定理即可列出关于x的方程，解方程就可以求出DH．
8．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）DC=3OG；（2）OG=BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE=SABCD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG=AG=GE=AE，
∵∠AOG=30°，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∠GOE=90°﹣∠AOG=90°﹣30°=60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE=2a，则OE=OG=a，
由勾股定理得，AO===a，
∵O为AC中点，
∴AC=2AO=2a，
∴BC=AC=×2a=a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB==3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3a，
∴DC=3OG，故（1）正确
∵OG=a，BC=a，
∴BC≠BC，故（2）错误；
∵S△AOE=a a=a2，
SABCD=3a a=3a2，
∴S△AOE=SABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个．
故选C．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE， 再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设 AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出 （1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．
9．在如图所示的矩形ABCD中，已知MN丄MC，且M为AD的中点，AN=2，tan∠MCN=，则AB等于（ ）
A．32 B．28 C．36 D．40
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵MN丄MC，tan∠MCN=，
∴=，
∵∠AMN+∠DMC=90°，∠AMN+∠ANM=90°，
∴∠ANM=∠DMC，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AMN∽△DCM，
∴==，
∵AN=2，
∴MD=8，
∵M为AD的中点，
∴AM=8，
∵△AMN∽△DCM，
∴==，
∴=，
∴DC=32，
∴AB=32．
故选A．
【分析】通过证得△AMN∽△DCM，对应边成比例即可求得．
10．在△ABC中，CO为AB边上的中线，且OC=AB，以点O为圆心，OC长为半径画圆，延长CO交⊙O于点D，连结AD，BD，则四边形ADBC是（ ）
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．邻边相等的四边形
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵延长CO交⊙O于点D，
∴DO=CO，
∵CO为AB边上的中线，
∴AO=BO，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵OC=AB，
∴AB=CD，
∴四边形ADBC为矩形，
故选：B．
【分析】根据题意画出图形，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形ACBD是平行四边形，然后证明AB=CD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ADBC为矩形．
11．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形，故错误；
B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故错误；
C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故错误；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确．
故选D．
【分析】利用菱形的判定、矩形的判定定理、平行四边形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
12．在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B．OH=4 C．AD=BC D．Rt△AHB
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】解：∵四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当有一个角是直角时该四边形是矩形，
故选A．
【分析】首先根据题意能得到平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定即可．
13．如图，要使平行四边形ABCD变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AC=BD B．AD=BC C．AB=CD D．AB=BC
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】解：可添加AC=BD，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：A．
【分析】由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
14．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、不能得到一个角是直角，故错误，
故选D．
【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
15．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
二、填空题
16．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 ．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
【答案】 AC=BD．答案不唯一．
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件是AC=BD，
理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD．答案不唯一．
【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
17．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=12，则DE的长度是 （结果用根号表示）．
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=12，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=6，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠EDC=67.5°，
∴∠ODC=∠OCD=67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=45°，
∴OE=DE，
∵OE2+DE2=OD2，
∴2（DE）2=OD2=36，
∴DE=，
故答案为：．
【分析】根据∠EDC：∠EDA=1：3，可得△CDE∽△ADE，再由AC=10，求得DE．
18．如图，矩形OABC在第一象限，OA，OC分别于x轴，y轴重合，面积为6．矩形与双曲线y=（x＞0）交BC于M，交BA于N，连接OB，MN，若2OB=3MN，则k=
【答案】2
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：设点A的横坐标为a，则OA=a，
∵矩形OABC的面积为6，
∴OC=，
∴AN=，
∵点M在BC上，
∴=，
解得x=，
∴CM=，
∴BM=BC﹣CM=a﹣，
BN=AB﹣AN=﹣，
由勾股定理得，OB2=OA2+AB2=a2+（）2=（a4+36），
MN2=BM2+BN2=（a﹣）2+（﹣）2=（6﹣k）2+（6﹣k）2=（6﹣k）2 （a4+36），
∵2OB=3MN，
∴4OB2=9MN2，
∴4×（a4+36）=9×（6﹣k）2 （a4+36），
∴（6﹣k）2=16，
解得k1=2，k2=10，
∵矩形OABC的面积为6，点B在双曲线上方，
∴k＜6，
∴k的值为2．
故答案为：2．
【分析】设点A的横坐标为a，根据矩形的面积表示出OC，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出AN、CM，然后求出BM、BN，再利用勾股定理列式求出OB2、MN2，然后根据2OB=3MN列出关于a、k的方程，求解得到k的值再根据矩形的面积判断出k的取值范围，从而得解．
19．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，连接CP，则sin∠DCP的值是 ．
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠DAB=∠ADC=90°．
∵AP是∠DAB的角平分线，
∴∠DAP=∠DAB=45°．
∵DP⊥AP，
∴∠APD=90°．
∴∠ADP=45°．
∴∠CDP=45°．
在Rt△APD中，DP=AD，
在Rt△DEP中，∠DEP=90°，
∴PE=PD=AD，
∴CE=CD﹣DE，
∵AB=2AD，
∴CE=CD﹣DE=2AD﹣AD=AD
在Rt△DEP中，∠CEP=90°，PC==AD，
∴sin∠DCP===．
故答案为：．
【分析】过点P作PE⊥CD于点E，根据已知得出∠DAP=∠ADP=∠CDP=45°，在Rt△APD中通过正弦函数值求得DP，然后在 Rt△DEP中根据正弦函数值求得PE、DE，进而求得CE，在Rt△DEP中，根据勾股定理求得PC，进而即可求得sin∠DCP的值．
20．如图，在长方形ABCD中，AB：BC=3：5，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交边AD于点E．若AE DE=16，则长方形ABCD的面积为 ．
【答案】60
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BE，则BE=BC．
设AB=3x，BC=5x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3x，AD=BC=BE=5x，∠A=90°，
由勾股定理得：AE=4x，
则DE=5x﹣4x=x，
∵AE DE=16，
∴4x x=16，
解得：x=2（负数舍去），
则AB=3x=6，BC=5x=10，
∴矩形ABCD的面积是AB×BC=6×10=60，
故答案为：60．
【分析】连接BE，设AB=3x，BC=5x，根据勾股定理求出AE=4x，DE=x，求出x的值，求出AB、BC，即可求出答案．
三、解答题
21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】证明：（1）∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，
∴EF==10，
∴OC=EF=5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
22．如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
【答案】证明：（1）在 ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；
（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．
23．如图，矩形ABCD的边AD是菱形AEDF的一条对角线，且点E在矩形ABCD的边BC上．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）直接写出当矩形边长AD与AB之间满足什么关系时，菱形AEDF为正方形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°，AD=BC，∵四边形AEDF是菱形，∴AE=DE，在Rt△ABE和Rt△DCE中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；（2）解：当AD=2AB时，菱形AEDF为正方形；理由如下：∵Rt△ABE≌Rt△DCE，∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，∵AD=2AB，AD=BC，∴AB=BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠AEB=45°，∴∠DEC=45°，∴∠AED=180°﹣45°﹣45°=90°，∴菱形AEDF为正方形．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，∠B=∠C=90°，由菱形的性质得出AE=DE，由HL证明Rt△ABE≌Rt△DCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出BE=CE，∠AEB=∠DEC，由AD=2AB，证出△ABE是等腰直角三角形，得出∠AEB=45°，证出∠AED=90°，即可得出菱形AEDF为正方形．
24．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；
请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．
【答案】解：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN；
△PMF的面积为400．（求解过程如下）．
连接PE，
∵△MEF和△PMN为等边三角形，
∴∠PMN=∠NMF=∠MFE=60°，MN=MP，NE=NF，
∴∠PME=∠NMF，
在△MPE和△MNF中，
，
∴△MPE≌△MNF（SAS），
∴∠MEP=∠MFE=60°，
∴∠PEN=60°，
∴PE∥MF，
∴S△PMF=S△MEF=EF2=400．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】如图，以MN为边容易作出等边三角形，结合等边三角形的性质，连接PE，可证明△MPE≌△MNF，可证明PE∥MF，容易求得S△PMF=S△MEF，可求得答案．
25．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=ED，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB=EC．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ABE≌△DCE（SAS），即可得出答案．
1 / 1浙教版数学八年级下册5.1矩形基础检测
一、单选题
1．（2017八下·钦州港期末）下列说法中的错误的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）
A． B．8 C． D．6
3．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
4．一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21cm2，则该矩形的面积为（ ）
A．60cm2 B．70cm2 C．120cm2 D．140cm2
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
7．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）DC=3OG；（2）OG=BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）S△AOE=SABCD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在如图所示的矩形ABCD中，已知MN丄MC，且M为AD的中点，AN=2，tan∠MCN=，则AB等于（ ）
A．32 B．28 C．36 D．40
10．在△ABC中，CO为AB边上的中线，且OC=AB，以点O为圆心，OC长为半径画圆，延长CO交⊙O于点D，连结AD，BD，则四边形ADBC是（ ）
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．邻边相等的四边形
11．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
12．在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B．OH=4 C．AD=BC D．Rt△AHB
13．如图，要使平行四边形ABCD变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AC=BD B．AD=BC C．AB=CD D．AB=BC
14．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
15．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角
二、填空题
16．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 ．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
17．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=12，则DE的长度是 （结果用根号表示）．
18．如图，矩形OABC在第一象限，OA，OC分别于x轴，y轴重合，面积为6．矩形与双曲线y=（x＞0）交BC于M，交BA于N，连接OB，MN，若2OB=3MN，则k=
19．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，连接CP，则sin∠DCP的值是 ．
20．如图，在长方形ABCD中，AB：BC=3：5，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交边AD于点E．若AE DE=16，则长方形ABCD的面积为 ．
三、解答题
21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
22．如图，在 ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
23．如图，矩形ABCD的边AD是菱形AEDF的一条对角线，且点E在矩形ABCD的边BC上．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）直接写出当矩形边长AD与AB之间满足什么关系时，菱形AEDF为正方形．
24．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；
请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF的面积）．
25．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，此说法正确，不符合题目的要求；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，此说法正确，不符合题目的要求；
C、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，此说法错误，符合题目的要求；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此说法正确，不符合题目的要求；
故选C．
【分析】根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的判定方法逐项分析即可．
2．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=，
∴AC=2BC=4，
∴AB=，
故选D
【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO， 再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列 式计算即可求出AB．
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，
∴OM=CD=2.5，AC==13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故选：D．
【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，得出OMCD；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BO，进而求出四边形ABOM的周长．
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】解：∵黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%；
∴矩形的面积=21÷（50%﹣15%）
=21÷35%
=60（cm2）．
故选：A．
【分析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%﹣15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，用除法即可得出矩形的面积．
5．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=2×2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=4．
故选A．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB，再根据矩形的对角线相等解答．
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；矩形的性质
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=20，
∴AC=BD=10cm，
∴OA=OB=5cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=5cm，
故选D．
【分析】根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．
7．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设DH的值是x，
∵AB=8，AD=6，且BH=DH，
那么CH=8﹣x，BH=x，
在Rt△BCH中，DH=，
∴x2=（8﹣x）2+36，
∴x=，
即DH=．
故选C．
【分析】设DH的值是x，那么CH=8﹣x，BH=x，在Rt△BCH中根据勾股定理即可列出关于x的方程，解方程就可以求出DH．
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG=AG=GE=AE，
∵∠AOG=30°，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∠GOE=90°﹣∠AOG=90°﹣30°=60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE=2a，则OE=OG=a，
由勾股定理得，AO===a，
∵O为AC中点，
∴AC=2AO=2a，
∴BC=AC=×2a=a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB==3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3a，
∴DC=3OG，故（1）正确
∵OG=a，BC=a，
∴BC≠BC，故（2）错误；
∵S△AOE=a a=a2，
SABCD=3a a=3a2，
∴S△AOE=SABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个．
故选C．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE， 再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设 AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出 （1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵MN丄MC，tan∠MCN=，
∴=，
∵∠AMN+∠DMC=90°，∠AMN+∠ANM=90°，
∴∠ANM=∠DMC，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AMN∽△DCM，
∴==，
∵AN=2，
∴MD=8，
∵M为AD的中点，
∴AM=8，
∵△AMN∽△DCM，
∴==，
∴=，
∴DC=32，
∴AB=32．
故选A．
【分析】通过证得△AMN∽△DCM，对应边成比例即可求得．
10．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：如图：
∵延长CO交⊙O于点D，
∴DO=CO，
∵CO为AB边上的中线，
∴AO=BO，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵OC=AB，
∴AB=CD，
∴四边形ADBC为矩形，
故选：B．
【分析】根据题意画出图形，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形ACBD是平行四边形，然后证明AB=CD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ADBC为矩形．
11．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形，故错误；
B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故错误；
C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故错误；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确．
故选D．
【分析】利用菱形的判定、矩形的判定定理、平行四边形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
12．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】解：∵四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当有一个角是直角时该四边形是矩形，
故选A．
【分析】首先根据题意能得到平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定即可．
13．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】解：可添加AC=BD，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：A．
【分析】由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
14．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、不能得到一个角是直角，故错误，
故选D．
【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
15．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
16．【答案】 AC=BD．答案不唯一．
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件是AC=BD，
理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD．答案不唯一．
【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．
17．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=12，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=6，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠EDC=67.5°，
∴∠ODC=∠OCD=67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=45°，
∴OE=DE，
∵OE2+DE2=OD2，
∴2（DE）2=OD2=36，
∴DE=，
故答案为：．
【分析】根据∠EDC：∠EDA=1：3，可得△CDE∽△ADE，再由AC=10，求得DE．
18．【答案】2
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：设点A的横坐标为a，则OA=a，
∵矩形OABC的面积为6，
∴OC=，
∴AN=，
∵点M在BC上，
∴=，
解得x=，
∴CM=，
∴BM=BC﹣CM=a﹣，
BN=AB﹣AN=﹣，
由勾股定理得，OB2=OA2+AB2=a2+（）2=（a4+36），
MN2=BM2+BN2=（a﹣）2+（﹣）2=（6﹣k）2+（6﹣k）2=（6﹣k）2 （a4+36），
∵2OB=3MN，
∴4OB2=9MN2，
∴4×（a4+36）=9×（6﹣k）2 （a4+36），
∴（6﹣k）2=16，
解得k1=2，k2=10，
∵矩形OABC的面积为6，点B在双曲线上方，
∴k＜6，
∴k的值为2．
故答案为：2．
【分析】设点A的横坐标为a，根据矩形的面积表示出OC，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出AN、CM，然后求出BM、BN，再利用勾股定理列式求出OB2、MN2，然后根据2OB=3MN列出关于a、k的方程，求解得到k的值再根据矩形的面积判断出k的取值范围，从而得解．
19．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠DAB=∠ADC=90°．
∵AP是∠DAB的角平分线，
∴∠DAP=∠DAB=45°．
∵DP⊥AP，
∴∠APD=90°．
∴∠ADP=45°．
∴∠CDP=45°．
在Rt△APD中，DP=AD，
在Rt△DEP中，∠DEP=90°，
∴PE=PD=AD，
∴CE=CD﹣DE，
∵AB=2AD，
∴CE=CD﹣DE=2AD﹣AD=AD
在Rt△DEP中，∠CEP=90°，PC==AD，
∴sin∠DCP===．
故答案为：．
【分析】过点P作PE⊥CD于点E，根据已知得出∠DAP=∠ADP=∠CDP=45°，在Rt△APD中通过正弦函数值求得DP，然后在 Rt△DEP中根据正弦函数值求得PE、DE，进而求得CE，在Rt△DEP中，根据勾股定理求得PC，进而即可求得sin∠DCP的值．
20．【答案】60
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BE，则BE=BC．
设AB=3x，BC=5x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3x，AD=BC=BE=5x，∠A=90°，
由勾股定理得：AE=4x，
则DE=5x﹣4x=x，
∵AE DE=16，
∴4x x=16，
解得：x=2（负数舍去），
则AB=3x=6，BC=5x=10，
∴矩形ABCD的面积是AB×BC=6×10=60，
故答案为：60．
【分析】连接BE，设AB=3x，BC=5x，根据勾股定理求出AE=4x，DE=x，求出x的值，求出AB、BC，即可求出答案．
21．【答案】证明：（1）∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，
∴EF==10，
∴OC=EF=5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
22．【答案】证明：（1）在 ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；
（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°，AD=BC，∵四边形AEDF是菱形，∴AE=DE，在Rt△ABE和Rt△DCE中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；（2）解：当AD=2AB时，菱形AEDF为正方形；理由如下：∵Rt△ABE≌Rt△DCE，∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，∵AD=2AB，AD=BC，∴AB=BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠AEB=45°，∴∠DEC=45°，∴∠AED=180°﹣45°﹣45°=90°，∴菱形AEDF为正方形．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，∠B=∠C=90°，由菱形的性质得出AE=DE，由HL证明Rt△ABE≌Rt△DCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出BE=CE，∠AEB=∠DEC，由AD=2AB，证出△ABE是等腰直角三角形，得出∠AEB=45°，证出∠AED=90°，即可得出菱形AEDF为正方形．
24．【答案】解：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN；
△PMF的面积为400．（求解过程如下）．
连接PE，
∵△MEF和△PMN为等边三角形，
∴∠PMN=∠NMF=∠MFE=60°，MN=MP，NE=NF，
∴∠PME=∠NMF，
在△MPE和△MNF中，
，
∴△MPE≌△MNF（SAS），
∴∠MEP=∠MFE=60°，
∴∠PEN=60°，
∴PE∥MF，
∴S△PMF=S△MEF=EF2=400．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】如图，以MN为边容易作出等边三角形，结合等边三角形的性质，连接PE，可证明△MPE≌△MNF，可证明PE∥MF，容易求得S△PMF=S△MEF，可求得答案．
25．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=ED，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB=EC．
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ABE≌△DCE（SAS），即可得出答案．
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