浙教版数学八年级下册5.2菱形基础检测
一、单选题
1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．8
2．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（ ）
A．60° B．55° C．45° D．30°
3．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．则线段BE的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．两条对角线分别为6cm，8cm的菱形的周长是（ ）cm.
A．10 B．20 C．22 D．24
5．如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4，则点P到BC的距离等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，菱形ABCD的面积为S，对角线交于点O，OE⊥BC于点E．下列结论正确的是（ ）
A．S=AC BD B．S=4BC OE C．S=2AB OE D．S=2BD AO
7．在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
8．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有（ ）
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ADE=AB2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，菱形ABCD，∠B=120°，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的面积为（ ）
A．6 B． C．24 D．
10．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为（ ）
A．4 B．3 C． D．
12．菱形AOCB在平面直角坐标系中的位置如图，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是（ ）
A．（﹣2﹣，） B．（﹣2+，）
C．（2+，） D．（2﹣，）
13．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．30 B．24 C．18 D．6
14．如图，四边形OABC是菱形，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是 （ ）
A．（﹣2，2+） B．（2，2+）
C．（-，2+） D．（，2+）
15．（2018九上·茂名期中）如图，小明在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于C、D，则直线CD即为所求，连接AC、BC、BD，根据他的作图方法可知，四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．梯形
二、填空题
16．如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为
17．如图，AC是菱形ABCD的对角线，若∠BAC=50°，则∠ADB等于 ．
18．已知四边形ABCD是菱形，周长是40，若AC=16，则sin∠ABD=
19．用6个完全相同菱形拼成如图所示的图案，则菱形中较大的内角度数为 ．
20．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a、b满足（a﹣3）2+=0．那么菱形的面积等于 ．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，过A点作BC的平行线，截取AE=BD，连结EB，连结EC交AD于点F．
（1）证明：当点F是AD的中点时，点D是BC的中点；
（2）证明：当点D是AB的中垂线与BC的交点时，四边形AEBD是菱形．
22．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF∥BE，DF=BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAD，求证： ABCD为菱形．
23．如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直分线段AC，垂足为O，直线L分别于线段AD，CB的延长线交于点E，F，证明四边形AFCE是菱形．
24．如图，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F分别是AB，CD的中点，M是BC上一动点，AM，DM分别交EF于点G，H，连接CH．
（1）试判断GH是否为定值，并证明你的结论；
（2）当点M为BC的中点时，求证：四边形GMCH是平行四边形；
（3）试探究：在（2）的条件下，当a，b满足什么数量关系时，四边形GMCH是菱形？（不必证明，直接写出结论）
25．如图，AE∥BF，先按（1）的要求作图，再按（2）的要求证明：
（1）用直尺和圆规作出∠ABF的平分线BD交AE于点D，连接BD，再作出BD的中点O（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接（1）所作图中的AO并延长与BE相交于点C，连接DC，求证：四边形ABCD是菱形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，OA=AC=2，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴OB===2，
∴BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面积=AC BD=×4×4=8；
故选：B．
【分析】由菱形的性质得出AB=BC，OA=AC=2，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，再证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC=4，根据勾股定理求出OB，得出BD，由菱形的面积=AC BD，即可得出结论．
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAE=30°，
同理可得∠CAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．
故选A．
【分析】连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端段的可得AB=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解．
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，∠OBE=60°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=30°，
∵O为对角线BD的中点，
∴OB=BD=2，
∴BE=OB=1．
故选A．
【分析】由在菱形ABCD中，∠A=60°，可证得△ABD是等边三角形，又由O为对角线BD的中点，OE⊥AB，可求得OB的长，∠OBE的度数，继而求得答案．
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
所以根据勾股定理可得菱形的边长为5cm，
则周长是20cm．
故选B．
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理可求得其边长，再根据周长为4条边之和即可求得其周长．
5．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥AB，PE=4，
∴点P到BC的距离等于4，
故选A．
【分析】利用菱形的性质，得BD平分∠ABC，利用角平分线的性质，得结果．
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴S=4S△OBC=4×BC OE=2AB OE，
故选C．
【分析】由ABCD是菱形，推出AB=BC，由于菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，根据三角形的面积公式可求出结论．
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AM=AN=MN=AB，
∴AB=AM，AN=AD，△AMN是等边三角形，
∴∠B=∠AMB，∠D=∠AND，∠MAN=60°，
设∠B=x，则∠AMB=x，∠BAM=∠DAN=180°﹣2x，
∵∠B+∠BAD=180°，
∴x+180°﹣2x+60°+180°﹣2x=180°，
解得：x=80°，
∴∠B=80°，
∴∠C=180°﹣80°=100°；
故选：B．
【分析】由菱形的性质和已知条件得出：AB=AM，AN=AD，△AMN是等边三角形，得出∠B=∠AMB，∠D=∠AND，∠MAN=60°，设∠B=x，则∠AMB=x，∠BAM=∠DAN=180°﹣2x，根据题意列出方程，解方程即可得出结果．
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB，且∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
又∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴DE⊥AB，BF⊥AD，
∴∠GFA=∠GEA=90°，
∴∠BGD=∠FGE=360°﹣∠A﹣∠GFA﹣∠GEA=120°，
∴①正确；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CDG=∠CBG=90°，
在Rt△CDG和Rt△CBG中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），
∴DG=BG，∠DCG=∠BCG=∠DCB=30°，
∴DG=BG=CG，
∴DG+BG=CG，
∴②正确；
在Rt△BDF中，BD为斜边，在Rt△CGB中，CG为斜边，
且BD=BC，在Rt△CGB中，显然CG＞BC，即CG＞BD，
∴△BDF和△CGB不可能全等，
∴③不正确；
∵△ABD为等边三角形，
∴S△ABD=AB2，
∴S△ADE=S△ABD=AB2，
∴④不正确；
综上可知正确的只有两个，
故选B．
【分析】由条件可判定△ABD为等边三角形，可得出DE⊥AB、BF⊥AD，可求得∠FGE，可判断①；由条件可证得△DCG≌△BCG，可判断②；在△BDF和△CGB中可得出BD≠CG，可判断③；由等边三角形的面积可知S△ABD=AB2可判断④．可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，
∵P、Q分别是AD、AC的中点，PQ=3，
∴CD=2PQ=6，
∵菱形ABCD，∠ABC=120°，
∴∠BCD=180°﹣∠ABC=60°，BC=CD=6，
∴BE=BC sin60°=6×=3，
∴S菱形ABCD=CD BE=18．
故选B．
【分析】首先过点B作BE⊥CD于点E，由P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，根据三角形的中位线的性质，可求得CD=6，又由菱形ABCD，∠B=120°，可得∠BCD=60°，BC=CD=6，继而求得高BE的长，则可求得答案．
10．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴B0==4，
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是×AC DB=×6×8=24，
∴BC AE=24，
AE=，
所以sinB=，
故选C．
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC AE=AC BD可得答案．
11．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=30°，
∴OA=AB=2，
∴OB==2，
∵点E、F分别为AO、AB的中点，
∴EF为△AOB的中位线，
∴EF=OB=．
故选：D．
【分析】先根据菱形的性质得出∠ABO=∠ABC=30°，由30°的直角三角形的性质得出OA=AB=2，再根据勾股定理求出OB，然后证明EF为△AOB的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果．
12．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：作AD⊥y轴于D；则∠ADO=90°，如图所示：
∵四边形AOCB是菱形，∠AOC=45°，
∴AB=OA=2，∠AOD=45°，
∴AD=OD=OA sin45°=2×=，
∴BD=2+，
∴点B的坐标为（﹣2﹣，）；
故选：A．
【分析】作AD⊥y轴于D；由菱形性质得出AB=OA=2，求出∠AOD=45°，运用锐角三角函数求出AD、OD，再求出BD=2+，即可得出结果．
13．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】解：由题意可知，PQ是△ADC的中位线，则DC=2PQ=2×3=6，那么菱形ABCD的周长=6×4=24，
故选B．
【分析】根据题意得PQ是△ADC的中位线，利用三角形中位线定理可求得菱形的边长，则菱形的周长就不难求得了．
14．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】解：作BF⊥y轴于F，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=CB=2，BC∥OA，
∴∠BCF=∠AOC=45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BF=CF=BC×=，
∴OF=2+，
∴B点的坐标是：（﹣，2+）；
故选：C．
【分析】作BF⊥y轴于F，则∠BFC=90°，由菱形的性质得出OC=OA=CB=2，BC∥OA，得出∠BCF=∠AOC=45°，△BCF是等腰直角三角形，根据三角函数求出BF=CF，得出OF，即可得出B点坐标．
15．【答案】B
【知识点】菱形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
16．【答案】3
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=BD，CO=AC，
由勾股定理得，AC==3，
BD==，
所以，BO=×=，
CO=×3=，
所以，tan∠DBC===3．
故答案为：3．
【分析】连接AC与BD相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，BO=BD，CO=AC，再利用勾股定理列式求出AC、BD，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．
17．【答案】40°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=50°，
∴AB=AD，∠BAD=2×50°=100°，
∴∠ADB=（180°﹣100°）=40°；
故答案为：40°．
【分析】先根据菱形的性质求出∠BAD，再由等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结果．
18．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，周长是40，AC=16，
∴AO=8，AB=10，
∴sin∠ABD==．
故答案为：．
【分析】利用菱形的对角线互相平分且互相垂直进而利用锐角三角函数关系得出即可．
19．【答案】120°
【知识点】菱形的性质
【解析】解：设菱形较小内角度数为α，
∵6个完全相同菱形能平面密铺，
∴6α=360°，
∴α=60°，
∴较大内角为180°﹣60°=120°．
故答案为120°．
【分析】根据六个相同的菱形能够平面密铺可以求出菱形一个较小的内角，进而求出较大的内角．
20．【答案】6
【知识点】菱形的性质
【解析】解：∵a，b满足（a﹣5）2+=0，
∴a﹣3=0，b﹣4=0，
∴a=3，b=4，
∵菱形的两条对角线的长为a和b，
∴菱形的面积等于：ab=6．
故答案为：6．
【分析】由a，b满足（a﹣3）2+=0，可求得a与b的值，然后由菱形的两条对角线的长为a和b，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
21．【答案】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠EAF=∠CDF，又∵F是AD的中点，∴AF=DF，∴∴△EAF≌△CDF，∴DC=AE，∵AE=BD，∴BD=DC；（2）∵AE=BD且AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形，又∵点D是AB的中垂线与BC的交点，则有BD=AD，∴平行四边形AEBD一组邻边相等，∴四边形AEBD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）证得△EAF≌△CDF后即可得到DC=AE，然后根据AE=BD得到BD=DC；
（2）首先利用一组对边相等且平行的四边形为平行四边形证得平行四边形，然后根据中垂线的性质得到BD=AD，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
22．【答案】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠CEB，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴ ABCD为菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）首先证明△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，进而可得证明AD∥CB，根据一组对边平行且等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，进而可得出AB=BC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．
23．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵直线L垂直分线段AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据题意结合矩形的性质得出∠EAO=∠FCO，进而得出△AOE≌△COF，求出四边形AFCE是平行四边形，进而得出四边形AFCE是菱形．
24．【答案】（1）解：GH=b，是定值，理由：∵E，F分别是AB，CD的中点，∴AE∥DF且AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF∥BC，∴==，∴AG=MG，DH=MH，∴GH=AD=b，是定值；（2）证明：∵点M为BC的中点，∴MC=BC=b，∵GH=b，∴GH=CM，又∵GH∥CM，∴四边形GMCH是平行四边形；（3）解：a=b时，四边形GMCH是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】所有
【分析】（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形AEFD是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得出答案；
（2）利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出即可；
（3）利用当a=b时，由题意得出MC=BM=b，AM=b，则MG=b，进而利用（2）中所求得出答案．
25．【答案】解：（1）如图．
（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADO=∠CBO．
在△ADO与△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
又∵AE∥BF，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD．
又∵点O是BD的中点，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）用作一个角的角平分线和一条线段的中点的作法作图；
（2）欲证明四边形ABCD是菱形，只需推知平行四边形ABCD的对角线互相垂直即可．
1 / 1浙教版数学八年级下册5.2菱形基础检测
一、单选题
1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，OA=AC=2，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴OB===2，
∴BD=2OB=4，
∴菱形ABCD的面积=AC BD=×4×4=8；
故选：B．
【分析】由菱形的性质得出AB=BC，OA=AC=2，OB=BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，再证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC=4，根据勾股定理求出OB，得出BD，由菱形的面积=AC BD，即可得出结论．
2．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（ ）
A．60° B．55° C．45° D．30°
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAE=30°，
同理可得∠CAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．
故选A．
【分析】连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端段的可得AB=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解．
3．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．则线段BE的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=4，∠OBE=60°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=30°，
∵O为对角线BD的中点，
∴OB=BD=2，
∴BE=OB=1．
故选A．
【分析】由在菱形ABCD中，∠A=60°，可证得△ABD是等边三角形，又由O为对角线BD的中点，OE⊥AB，可求得OB的长，∠OBE的度数，继而求得答案．
4．两条对角线分别为6cm，8cm的菱形的周长是（ ）cm.
A．10 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
所以根据勾股定理可得菱形的边长为5cm，
则周长是20cm．
故选B．
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理可求得其边长，再根据周长为4条边之和即可求得其周长．
5．如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4，则点P到BC的距离等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥AB，PE=4，
∴点P到BC的距离等于4，
故选A．
【分析】利用菱形的性质，得BD平分∠ABC，利用角平分线的性质，得结果．
6．如图，菱形ABCD的面积为S，对角线交于点O，OE⊥BC于点E．下列结论正确的是（ ）
A．S=AC BD B．S=4BC OE C．S=2AB OE D．S=2BD AO
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴S=4S△OBC=4×BC OE=2AB OE，
故选C．
【分析】由ABCD是菱形，推出AB=BC，由于菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，根据三角形的面积公式可求出结论．
7．在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（ ）
A．120° B．100° C．80° D．60°
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AM=AN=MN=AB，
∴AB=AM，AN=AD，△AMN是等边三角形，
∴∠B=∠AMB，∠D=∠AND，∠MAN=60°，
设∠B=x，则∠AMB=x，∠BAM=∠DAN=180°﹣2x，
∵∠B+∠BAD=180°，
∴x+180°﹣2x+60°+180°﹣2x=180°，
解得：x=80°，
∴∠B=80°，
∴∠C=180°﹣80°=100°；
故选：B．
【分析】由菱形的性质和已知条件得出：AB=AM，AN=AD，△AMN是等边三角形，得出∠B=∠AMB，∠D=∠AND，∠MAN=60°，设∠B=x，则∠AMB=x，∠BAM=∠DAN=180°﹣2x，根据题意列出方程，解方程即可得出结果．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论，其中正确的有（ ）
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ADE=AB2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB，且∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
又∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴DE⊥AB，BF⊥AD，
∴∠GFA=∠GEA=90°，
∴∠BGD=∠FGE=360°﹣∠A﹣∠GFA﹣∠GEA=120°，
∴①正确；
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CDG=∠CBG=90°，
在Rt△CDG和Rt△CBG中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），
∴DG=BG，∠DCG=∠BCG=∠DCB=30°，
∴DG=BG=CG，
∴DG+BG=CG，
∴②正确；
在Rt△BDF中，BD为斜边，在Rt△CGB中，CG为斜边，
且BD=BC，在Rt△CGB中，显然CG＞BC，即CG＞BD，
∴△BDF和△CGB不可能全等，
∴③不正确；
∵△ABD为等边三角形，
∴S△ABD=AB2，
∴S△ADE=S△ABD=AB2，
∴④不正确；
综上可知正确的只有两个，
故选B．
【分析】由条件可判定△ABD为等边三角形，可得出DE⊥AB、BF⊥AD，可求得∠FGE，可判断①；由条件可证得△DCG≌△BCG，可判断②；在△BDF和△CGB中可得出BD≠CG，可判断③；由等边三角形的面积可知S△ABD=AB2可判断④．可得出答案．
9．如图，菱形ABCD，∠B=120°，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的面积为（ ）
A．6 B． C．24 D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，
∵P、Q分别是AD、AC的中点，PQ=3，
∴CD=2PQ=6，
∵菱形ABCD，∠ABC=120°，
∴∠BCD=180°﹣∠ABC=60°，BC=CD=6，
∴BE=BC sin60°=6×=3，
∴S菱形ABCD=CD BE=18．
故选B．
【分析】首先过点B作BE⊥CD于点E，由P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，根据三角形的中位线的性质，可求得CD=6，又由菱形ABCD，∠B=120°，可得∠BCD=60°，BC=CD=6，继而求得高BE的长，则可求得答案．
10．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴B0==4，
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是×AC DB=×6×8=24，
∴BC AE=24，
AE=，
所以sinB=，
故选C．
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC AE=AC BD可得答案．
11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，点E、F分别为AO、AB的中点，则EF的长度为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=30°，
∴OA=AB=2，
∴OB==2，
∵点E、F分别为AO、AB的中点，
∴EF为△AOB的中位线，
∴EF=OB=．
故选：D．
【分析】先根据菱形的性质得出∠ABO=∠ABC=30°，由30°的直角三角形的性质得出OA=AB=2，再根据勾股定理求出OB，然后证明EF为△AOB的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果．
12．菱形AOCB在平面直角坐标系中的位置如图，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是（ ）
A．（﹣2﹣，） B．（﹣2+，）
C．（2+，） D．（2﹣，）
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：作AD⊥y轴于D；则∠ADO=90°，如图所示：
∵四边形AOCB是菱形，∠AOC=45°，
∴AB=OA=2，∠AOD=45°，
∴AD=OD=OA sin45°=2×=，
∴BD=2+，
∴点B的坐标为（﹣2﹣，）；
故选：A．
【分析】作AD⊥y轴于D；由菱形性质得出AB=OA=2，求出∠AOD=45°，运用锐角三角函数求出AD、OD，再求出BD=2+，即可得出结果．
13．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．30 B．24 C．18 D．6
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】解：由题意可知，PQ是△ADC的中位线，则DC=2PQ=2×3=6，那么菱形ABCD的周长=6×4=24，
故选B．
【分析】根据题意得PQ是△ADC的中位线，利用三角形中位线定理可求得菱形的边长，则菱形的周长就不难求得了．
14．如图，四边形OABC是菱形，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是 （ ）
A．（﹣2，2+） B．（2，2+）
C．（-，2+） D．（，2+）
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】解：作BF⊥y轴于F，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=CB=2，BC∥OA，
∴∠BCF=∠AOC=45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BF=CF=BC×=，
∴OF=2+，
∴B点的坐标是：（﹣，2+）；
故选：C．
【分析】作BF⊥y轴于F，则∠BFC=90°，由菱形的性质得出OC=OA=CB=2，BC∥OA，得出∠BCF=∠AOC=45°，△BCF是等腰直角三角形，根据三角函数求出BF=CF，得出OF，即可得出B点坐标．
15．（2018九上·茂名期中）如图，小明在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于C、D，则直线CD即为所求，连接AC、BC、BD，根据他的作图方法可知，四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．梯形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
二、填空题
16．如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为
【答案】3
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=BD，CO=AC，
由勾股定理得，AC==3，
BD==，
所以，BO=×=，
CO=×3=，
所以，tan∠DBC===3．
故答案为：3．
【分析】连接AC与BD相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，BO=BD，CO=AC，再利用勾股定理列式求出AC、BD，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．
17．如图，AC是菱形ABCD的对角线，若∠BAC=50°，则∠ADB等于 ．
【答案】40°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=50°，
∴AB=AD，∠BAD=2×50°=100°，
∴∠ADB=（180°﹣100°）=40°；
故答案为：40°．
【分析】先根据菱形的性质求出∠BAD，再由等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结果．
18．已知四边形ABCD是菱形，周长是40，若AC=16，则sin∠ABD=
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，周长是40，AC=16，
∴AO=8，AB=10，
∴sin∠ABD==．
故答案为：．
【分析】利用菱形的对角线互相平分且互相垂直进而利用锐角三角函数关系得出即可．
19．用6个完全相同菱形拼成如图所示的图案，则菱形中较大的内角度数为 ．
【答案】120°
【知识点】菱形的性质
【解析】解：设菱形较小内角度数为α，
∵6个完全相同菱形能平面密铺，
∴6α=360°，
∴α=60°，
∴较大内角为180°﹣60°=120°．
故答案为120°．
【分析】根据六个相同的菱形能够平面密铺可以求出菱形一个较小的内角，进而求出较大的内角．
20．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a、b满足（a﹣3）2+=0．那么菱形的面积等于 ．
【答案】6
【知识点】菱形的性质
【解析】解：∵a，b满足（a﹣5）2+=0，
∴a﹣3=0，b﹣4=0，
∴a=3，b=4，
∵菱形的两条对角线的长为a和b，
∴菱形的面积等于：ab=6．
故答案为：6．
【分析】由a，b满足（a﹣3）2+=0，可求得a与b的值，然后由菱形的两条对角线的长为a和b，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，过A点作BC的平行线，截取AE=BD，连结EB，连结EC交AD于点F．
（1）证明：当点F是AD的中点时，点D是BC的中点；
（2）证明：当点D是AB的中垂线与BC的交点时，四边形AEBD是菱形．
【答案】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠EAF=∠CDF，又∵F是AD的中点，∴AF=DF，∴∴△EAF≌△CDF，∴DC=AE，∵AE=BD，∴BD=DC；（2）∵AE=BD且AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形，又∵点D是AB的中垂线与BC的交点，则有BD=AD，∴平行四边形AEBD一组邻边相等，∴四边形AEBD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）证得△EAF≌△CDF后即可得到DC=AE，然后根据AE=BD得到BD=DC；
（2）首先利用一组对边相等且平行的四边形为平行四边形证得平行四边形，然后根据中垂线的性质得到BD=AD，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
22．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF∥BE，DF=BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAD，求证： ABCD为菱形．
【答案】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠CEB，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∴ ABCD为菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）首先证明△ADF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，进而可得证明AD∥CB，根据一组对边平行且等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，进而可得出AB=BC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．
23．如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直分线段AC，垂足为O，直线L分别于线段AD，CB的延长线交于点E，F，证明四边形AFCE是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵直线L垂直分线段AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据题意结合矩形的性质得出∠EAO=∠FCO，进而得出△AOE≌△COF，求出四边形AFCE是平行四边形，进而得出四边形AFCE是菱形．
24．如图，在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F分别是AB，CD的中点，M是BC上一动点，AM，DM分别交EF于点G，H，连接CH．
（1）试判断GH是否为定值，并证明你的结论；
（2）当点M为BC的中点时，求证：四边形GMCH是平行四边形；
（3）试探究：在（2）的条件下，当a，b满足什么数量关系时，四边形GMCH是菱形？（不必证明，直接写出结论）
【答案】（1）解：GH=b，是定值，理由：∵E，F分别是AB，CD的中点，∴AE∥DF且AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF∥BC，∴==，∴AG=MG，DH=MH，∴GH=AD=b，是定值；（2）证明：∵点M为BC的中点，∴MC=BC=b，∵GH=b，∴GH=CM，又∵GH∥CM，∴四边形GMCH是平行四边形；（3）解：a=b时，四边形GMCH是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】所有
【分析】（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形AEFD是平行四边形，进而利用平行四边形的性质得出答案；
（2）利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出即可；
（3）利用当a=b时，由题意得出MC=BM=b，AM=b，则MG=b，进而利用（2）中所求得出答案．
25．如图，AE∥BF，先按（1）的要求作图，再按（2）的要求证明：
（1）用直尺和圆规作出∠ABF的平分线BD交AE于点D，连接BD，再作出BD的中点O（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接（1）所作图中的AO并延长与BE相交于点C，连接DC，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】解：（1）如图．
（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADO=∠CBO．
在△ADO与△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（ASA），
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
又∵AE∥BF，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD．
又∵点O是BD的中点，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）用作一个角的角平分线和一条线段的中点的作法作图；
（2）欲证明四边形ABCD是菱形，只需推知平行四边形ABCD的对角线互相垂直即可．
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