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5.2.1 菱形的性质
浙教版 八年级下
回顾旧知
平行四边形有哪些性质？
矩形有哪些性质？
1.平行四边形的对边平行,平行四边形的对边相等
2.平行四边形的对角相等
3.平行四边形的对角线互相平分
1. 矩形的四个角都是直角.
2. 矩形的对角线相等
新知导入
这些图形是什么图形？
议一议
观察以下由火柴棒摆成的图形:
①
②
③
（1）三个图形都是平行四边形吗？
（2）与图①相比，图②与图③有什么共同特点？
都是平行四边形
②③图形中四条边都相等
新知讲解
思考:将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
新知讲解
画出菱形的两条对角线，并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？从以下方面进行讨论：
１、菱形的四边有什么数量关系？
2、菱形的两对角线有什么位置关系？
3、菱形的每一条对角线是否平分一组对角？
4、菱形是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴。
新知讲解
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
你能证明这些猜想的正确性吗？
新知讲解
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB=BC=CD=DA;
(2) AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
新知讲解
(1)证明:∵ 四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AD=BC.
∴ AB=BC=CD=AD.
归纳总结
符号语言：
∴AB=BC=CD=AD.
性质定理1：菱形的四条边都相等。
∵四边形ABCD是菱形,
新知讲解
(2)证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD (菱形的定义)
BO=DO (平行四边形的对角线互相平分)
∴ AC⊥BD ,AC平分∠BAD
同理,AC平分∠BCA, BD平分∠ABC和∠ADC
所以对角线AC和BD平分一组对角
归纳总结
符号语言：
性质定理2：
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
∴AC⊥BD,
AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.
∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线.
根据该性质可以得到菱形面积的另一种计算方法：对角线乘积的一半
想一想
矩形、菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴分别有几条
菱形是轴对称图形，对称轴有两条，它的两条对角线所载的直线都是它的对称轴。
新知讲解
1、四个角是直角；
2、对角线相等。
1、四条边相等；
2、对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
矩形和菱形都是特殊的平行四边形，它们之间有什么关联呢
典例精析
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6.求菱形的边长和对角线AC的长．
练一练
如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
新知讲解
菱形的面积计算有如下方法：
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
课堂练习
C
B
课堂练习
65°
1∶2
16
课堂练习
5.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.
求证：OE＝BC.
解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD，∴OE＝BC
拓展提高
6.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足.且BE=CE，AB=2.求：
（1）∠BAD的度数；
（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长.
5.解：（1）∵AE⊥BC，且BE=CE，∴△ABC为等边三角形 ，∠ B=∠D=60°，
∴∠BAD=∠BCD=120°.
(2)AC=AB=2，菱形ABCD的周长为4×2=8.
中考链接
D
课堂总结
1.菱形是特殊的平行四边形,具有一般平行四边形的所有性质.
2.特殊的性质:
(2) 性质定理2 菱形的对角线互相垂直, 并且每条对角线平分一组对角.
(3) 菱形是轴对称图形,它的对称轴是对角线所在的直线.
(1) 性质定理1 菱形的四条边都相等.
板书设计
5.2.1 菱形的性质
1.性质1
2.性质2
作业布置
课本 P122 练习题
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浙教版数学八年级下5.2.1菱形教案
课题 5.2.1菱形 单元 5 学科 数学 年级 八
学习 目标 1、理解并掌握菱形的性质定理． 2、掌握菱形的面积公式的推导过程，并能应用公式进行简单的计算． 3、会用这些定理进行有关的论证和计算．
重点 菱形的性质
难点 菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【思考】 1.平行四边形有哪些性质？ 2.矩形有哪些性质？ 这些图形是什么图形？ 学生与老师一起思考、回顾以前所学的知识 课前导入，激发学生的学习兴趣
讲授新课 1.观察以下由火柴棒摆成的图形: （1）三个图形都是平行四边形吗？ （2）与图①相比，图②与图③有什么共同特点？ 2.思考:将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢 一组邻边相等 平行四边形 菱形 菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 3.画出菱形的两条折痕,并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？从以下方面进行讨论： １、菱形的四边有什么数量关系？ 2、菱形的两对角线有什么位置关系？ 3、菱形的每一条对角线是否平分一组对角？ 4、菱形是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴。 菱形性质定理的探究： 通过上面的折叠猜想菱形的四条边有什么关系？你的猜想是什么？你能证明这个猜想的正确性吗？ 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB=BC=CD=DA; (2) AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC. 求证：(1)AB=BC=CD=DA. (2) AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC. 证明:∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD，四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD，AD=BC. ∴ AB=BC=CD=AD. 菱形性质定理1:菱形的四条边都相等. 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形, ∴ AB=BC=CD=AD. (2)证明：∵ 四边形ABCD是菱形, ∴AD=CD，AO=CO. ∵DO=DO， ∴△AOD≌△COD(SSS). ∴∠AOD=∠COD=900. ∴AC⊥BD. ∵AD=AB,DA=DC，AC⊥BD; ∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ADC和∠ABC. 菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形是轴对称图形，对称轴有两条． 几何语言： ∵菱形ABCD， ∴ AC⊥BD，BD平分∠ADC和∠ABC，BD平分∠ADC和∠ABC． 想一想：矩形、菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴分别有几条 菱形是轴对称图形，对称轴有两条，它的两条对角线所载的直线都是它的对称轴。 矩形和菱形都是特殊的平行四边形，它们之间有什么关联呢 例1.在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6.求菱形的边长和对角线AC的长. 解：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义) AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角) ∵∠BAC=30° ∴∠BAD=60° ∴△ABD是等边三角形. ∴AB=BD=6 又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分) AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) 由勾股定理,得 AO= AC=2AO= 学生动手摆一摆，得出菱形的概念 在教师的组织、引导、点拨下主动地探索菱形的性质 教师让学生独立完成证明过程， 让一位学生板演，教师是学生完成证明过程后， 进行点评指正。 教师在学生回答后让学生独立完成解题过程，让一位学生板演，教师最后进行点评指正。 让学生主动从事观察、实验、验证与交流等数学活动，使学生通过活动体会感受拼法和学习的乐趣，经历从多角度思考问题的过程. 让学生通过观察、思考的活动，在解决问题的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯. 合作探究，培养学生的自学能力，合作能力 培养学生的自学能力，合作能力
课堂练习 1．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是( ) A. B．2 C．6 D．12 2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为______________． 4.如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD＝1∶2，则AO∶BO＝___________，菱形ABCD的面积S＝_______． 5.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE. 求证：OE＝BC. 6.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足.且BE=CE，AB=2.求： （1）∠BAD的度数； （2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长. 7.（2020 牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD//x轴且AD=4，∠A=60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是( ) A.(0，2) B.(2，-4) C.(2) D.(0，)或(0，) 学生自主完成习题，老师订正 让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结 1.知识回顾. 2.谈谈这节课你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 5.2．1菱形 1.菱形的定义 2.菱形的性质定理1 3.菱形的性质定理2 例1
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