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第五章：特殊平行四边形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH＝（ ）
A．6 B． C． D．5
2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若
BF＝12，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
3.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的处．若，则( )
A． B． C． D．
4.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
5．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（ ）
A．16cm2 B．cm2 C． D．32cm2
6.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
7．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG＝（BC﹣AD），其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
9.如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
10.如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.菱形的周长是8，高为1，则菱形两邻角的度数比是
12．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ ，平行四边形CDEB为菱形．
13.如图，以 的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDEE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为
14．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是 cm．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于
16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）如图，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．
18（本题8分）如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD，BF的中点，AB＝AC.求证：四边形ADCF是矩形.
19（本题8分）如图，已知点E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．（1）求证：四边形ABFC为矩形；（2）若△AFD是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC的面积．
20（本题10分）．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．
21(本题10分）．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD为矩形；（2）若AB＝3，DE＝4，BF＝5，求DF的长．
22(本题12分）如图，点F，H是菱形ABCD的对角线BD上的两点，以FH为对角线作矩形EFGH，使点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上．
（1）求证：∠AEF＝∠CGH；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
23（本题12分）如图，在长方形ABCD中，AB=4,BC=9，动点Q沿着的方向运动，到点B运动停止，设点Q运动的路程为，的面积为， （1）点Q在CD边上，求关于的函数表达式.; （2）点Q在AD边上，的面积是否发生变化？请说明理由.
（3）点Q在AB边上，的面积是否发生变化？如果发生变化求出面积的变化范围，并写出关于的函数表达式；如果没有发生变化，求出此时的面积.
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第五章：特殊平行四边形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝，
则AD＝5，
∵S菱形ABCD＝ AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 5＝×6×8，
∴DH＝．
故选择：B．
2.答案：C
解析：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，
∴OA＝，
∴AE＝2OA＝16；
故选择：C．
3.答案：C
解析：∵矩形ABCD，
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故选择：C
4.答案：B
解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
5.答案：C
解析：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，
∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，
∵∠ECD＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
过点E作EG⊥CF于G，
则EG＝EF＝×4＝2cm，
∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．
故选择：C．
6.答案：B
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180° 150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°；
故选：B．
7.答案：C
解析：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，
∵AB＝CD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是菱形，正确；
③HF平分∠EHG，正确；
④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，
∴连接CD，延长EG到CD上一点N，
∴EN＝BC，GN＝AD，
∴EG＝（BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误．
综上所述，①②③共3个正确．
故选择：C．
8.答案：B
解析：如图作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，
最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，
故选B．
9.答案：C
解析：在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，
所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，
又因为PE⊥AB，PF⊥AC，
故四边形AEPF为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP中点，即AM=AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由，可得AP=，
AM=AP=
故本题正确答案为C.
10.答案：D
解析：①由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
故①正确；
②∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12 x，
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：（x＋6）2＝62＋（12 x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，
故②正确；
③∵EF＝EC＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB＋∠EBF，
∴∠DEC＝∠EBF，
∴BF//DE，
故③正确；
④∵S△GBE＝BE BG＝×6×8＝24，
∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6，
∴，
∴S△BEF＝S△GBE＝×24＝，
故④正确．
综上可知正确的结论的是4个．
故选：D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°，
∵AE＝1，AE⊥BC，∴AE＝AB，∴∠B＝30°，
∴∠DAB＝150°，∴∠DAB：∠B＝5：1；
故答案为5：1．
12.答案：
解析：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．
∵AB OC＝AC BC，
∴OC＝．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝．
故答案是：．
13.答案：139
解析：如图，∵正方形 、正方形 的面积分别为25、144，
∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12
∴阴影部分的面积为169- ×5×12=169-30=139.
故答案为：139.
14.答案：2
解析：连接BP，
∴AB＝BC＝
∴，
∴,
∴，
故答案为：2．
15.答案：
解析：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC AC＝AB CD，
∴×8×6＝×10×CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故答案为：4.8．
16.答案：
解析：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2．
故答案是：2．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，AD＝BD．
∵在 DBCE中，EC∥BD，EC＝BD，
∴EC∥AD，EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
18.解析：∵D是BC中点，AB＝AC，
∴∠ADC＝90°.
又∵E是BF的中点，
∴DE∥FC，DE＝ FC.
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE.
∴AD＝FC，AD∥FC.
∴四边形ADCF是平行四边形.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是矩形.
19.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，
∵点E是 ABCD中BC边的中点，∴BE＝CE，
∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝FC，
∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形，
又∵AF＝BC，∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）由（1）得：四边形ABFC为矩形，∴∠ACF＝90°，
∵△AFD是等边三角形，∴AF＝DF＝6，CF＝DF＝3，
∴AC＝，
∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝3×3＝9．
20.解析：（1）四边形AEBO是矩形．
∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形．
（2）∵菱形ABCD，
∴OA＝8，
∵OE＝10，
∴AE＝6，
∴OB＝6，
∴△ABC的面积＝，
∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝96．
21.解析：（1）：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）由（1）知，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，AF＝DE＝4，
∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴，
∴AB×AF＝BF×AE，
即3×4＝5AE，
∴，
∴．
22.解析：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠DHE+∠EHF＝180°，∠BFG+∠GFH＝180°，∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF和△DEH中，，
∴△BGF≌△DEH（AAS），∴∠AEF＝∠CGH；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，
∵△BGF≌△DEH，∴BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，
∵四边形EFGH是矩形，FH＝2，∴EG＝FH＝2，∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长为AD+AB+DC+BC＝4AB＝4×2＝8．
23.解析：（1）由题意知，，
∴；
（2）面积没有发生变化.理由如下：
如图，过点Q作交BC于M；
则，
∴是一个定值，
所以的面积没有改变，
（3）发生变化，
如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
由运动知，
∴，
∵点Q在AB上， ∴
.
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