2.1 等腰三角形
〖教学目标〗
1．使学生了解等腰三角形的有关概念 。
2．通过探索等腰三角形的性质，使学生掌握等腰三角形的轴对称性。
进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。
〖教学重点与难点〗
重点：等腰三角形轴对称性质。
难点：通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。
〖教学过程〗
一、复习引入
1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形?
△ABC中，如果有两边AB=AC，那么它是等腰三角形。
2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象?
二、新课
1．指出△ABC的腰、顶角、底角。
相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC，叫做顶角，腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角。
2．实验。
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三
角形的大小和形状可以不一样，画出它的顶角平分线AD所在直线把纸片对折，如图(2)所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。
可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论：
(1)等腰三角形是轴对称图形
(2)∠B＝∠C
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线。
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
3．结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
三、例题精讲
如图3，在△ABC中，AB＝AC,D，
E分别是AB，AC上的点，
且AD=AE，AP是△ABC的角平分线，
点D，E关于AP对称吗？
DE与BC平行吗？请说明理由。
本题较难，可先由师生协同分析，
1．将等腰三角形ABC沿顶角平分线折叠时，线段AD与AE能重合吗？为什么？边AB与AC呢？
2．AD与AE重合，AB与AC重合，说明点D与点E，点B与点C分别有怎样的位置关系？
3．轴对称图形有什么性质？由此可推出AP与DE，BC有怎样的位置关系？那么DE与BC呢？
学生口述，教师板书解题过程。
四、练习巩固
课内练习1，2.
补充：
填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，
1．如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______， BD＝_______
2．如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_____，BD＝______
3．如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______
四、小结
本节课，我们学习了等腰三角形的轴对称性质。大家想一想，怎样用此性质来解决点与点，线与线之间的位置关系？说说你的想法。
五、动手探究
在平面内，分别用3根、5根、6根火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形？通过尝试，完成下面表格。7根呢？8根呢？9根呢？你发现了什么规律？
火柴数
3
5
6
7
8
9
…
示意图
形状
六、作业
作业本2.1等腰三角形.
2.1等腰三角形
[教学目标]
了解等腰三角形的概念，能够识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。
探索并掌握等腰三角形的轴对称性，等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
会运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单几何问题
[教学重点和难点]
本节教学的重点是认识等腰三角形，理解它的轴对称性。
根据等腰三角形的轴对称性来解决点与点，直线与直线的位置关系是本章教学的难点。
[课前准备]
学生：若干等腰三角形纸片、火柴棒。
教师：教学活动材料，多媒体课件。
[教学过程]
创设情景，自然引入
图片欣赏
（出示课件：播放建筑物、生活用品、玩具等图片，学生在欣赏过程中，体会等腰三角形在生活中随处可见。仔细观察这些三角形，发现这些三角形有着共同的特征------两边相等，从而归纳出等腰三角形的概念）
等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形
观察、判断、验证。
教学活动材料
1、判断下列三角形是不是等腰三角形。
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
（发给学生活动材料，先观察，排除明显的非等腰三角形，然后通过工具测量或对折等方法来验证三角形是否为等腰三角形，以此来巩固等腰三角形的概念）
启发诱导探索新知
识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。
相等的两边叫做腰，另一边叫底边；
两腰的夹角叫做顶角；
腰和底边上的夹角叫做底角。
（多媒体展示：教师借助媒体的动态效果，介绍等腰三角形各边、各角的名称，学生根据它们各自的特征、所在位置，在理解的基础上识别等腰三角形的腰、底边、顶角、底角）
练习：课本“做一做”第2题。
（在较为复杂的图形中识别出等腰三角形，培养学生的观察力和判断力；表示等腰三角形，并根据边角所在的位置与特征指明腰、底边、顶角、底角。）
3、练习：课本“做一做”第2题。
（运用尺规作等腰三角形，在操作过程中体验两边相等的三角形是等腰三角形。）
4、动手操作
问题：在等腰三角形纸片上画出顶角平分线，然后沿着顶角平分线对折，你发现了什么？由此你能得出什么结论？ （请同学们拿出准备好的不同规格的等腰三角形，与教师一起演示（模型）探究等腰三角形的轴对称性，引导学生观察实验现象，教师应给学生一定的时间和机会来清晰地、充分地讲出自己的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行归纳，最后得出等腰三角形的特征）
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
例题学习
例 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB，AC上的点，且AD=AE。AP是△ABC的角平分线。点D，E关于AP对称吗？DE与BC平行吗？请说明理由。
（本题是典型的用轴对称思想解题的范例，在教师启发的基础上同桌交流，然后师生评述。）
巩固练习，反馈信息
课内练习第1题。
（本题意在巩固等腰三角形的概念，培养学生的观察分析能力）
课内练习第2题。
（借助轴对称思想来解决问题，进一步理解等腰三角形是轴对称图形）
动手操作，探索规律
在平面内，分别用3根、5根、6根火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形？通过尝试，完成下面的表格。7根火柴棒呢？8根呢？9根呢？你发现什么规律？
火柴数
3
5
6
7
8
9
示意图
形状
等边三角形
等腰三角形
归纳小结，强化思想
在本节课的学习中，你有哪些收获？
你对哪一点最感兴趣？
你还有哪些新的发现？
布置作业，引导预习
课本“作业题”
根据等腰三角形的轴对称性，你还能发现有关等腰三角形的哪些结论？与你的同伴交流。
2.2等腰三角形的性质
教学目标
经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识.
掌握轴对称变换的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一.
会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图.
教学重点
等腰三角形的两个性质
教学难点
例2尺规作图的思路分析
教学设计
复习引课
等腰三角形的概念复习.
引入语：这块三角板就是一个等腰三角形.用它，我们就可以检查黑板的上沿是否水平.方法是：（教师实物演示）.完毕，问：你知道这是为什么吗？生活中关于等腰三角形的性质的应用非常广泛，今天我们一起来研究等腰三角形的性质.
性质探索
合作学习：学生拿出上节课画有等腰三角形的透明纸.四个人为一组，合作完成学案第一题.
性质的得出
1）.小组代表口述本小组的发现，其他小组补充，并总结出性质1.
板书课题：2.2等腰三角形的性质，
并板书：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（在同一个三角形中，等边对等角）
2）.引导学生得出“已知AB=AC，∠BAD=∠CAD，结论AD⊥BC，BD=CD.”
教师板书：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD.
设问： 如果已知AB=AC,AD⊥BC.那么有什么结论?
引导学生得出BD=CD,∠BAD=∠CAD.
板书：∵AB=AC， AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
设问：如果已知AB=AC,BD=CD.那么有什么结论?
引导学生得出：“AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.”
教师板书：∵AB=AC， BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
以上三个结论有什么相同之处？有什么不同？有什么联系？
你能把以上三个结论用一句话概括出来吗？试一试.
屏幕显示：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合. 简称为“等腰三角形三线合一”.
板书：等腰三角形三线合一.
性质的应用
现在，谁能用等腰三角形的性质来解释刚才老师的演示呢？（屏幕显示示意图，学生解释）
例1：已知：在△ABC中，AB = AC，∠A = 80°， 求∠B 和 ∠C的度数.
分析：由AB = AC，可得∠B 和 ∠C有什么关系？怎样求出它们的度数？
板书解题过程.
变式练习1：已知：在△ABC中，AB = AC，∠ B = 80°， 求∠A 和 ∠C的度数.
变式练习2：已知：等腰三角形的一个内角为 80 °， 求另两个角的度数.
3．练习：学案第三题.一题多解，实物投影展示，教师点评.
4．例2：已知线段a, h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a, BC边上的高为h.
分析：假设图形已经作出，（如示意图）△ABC的哪些量已知？先作BC=a.还需要再作什么？（点A）.点A应在什么位置？（已知BC边上的高的长度为h，你能作出BC边上的高吗？等腰三角形底边上的高与中线有什么关系？）
学生口述作图过程.教师板演，演示作法.
（四）课堂小结
学生谈收获.
（五）作业布置
1．作业本、课本作业题A组. （B组选做）
2．课外探究题：
等腰三角形的性质在生产、生活中有着广泛应用.以小组为单位，对此进行研究，写成研究报告，于下周一上交评比.
2.2 等腰三角形的性质
教学目标
1、经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识.
2、掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．
3、会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．
教学重点与难点
教学重点：本节教学的重点是理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一.
教学难点：等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换，例如例2，是本节教学的难点.
教学方法:可采用学生在任务驱动下的自主学习与教师辅导相结合
课前准备:学生：准备一些等腰三角形，预习本节内容
教师：教学活动材料，多媒体课件
教学过程
一．创设情境，自然引入
1.温故检测： 叫做等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 。
［两边相等的三角形叫做等腰三角形。特殊情况是正三角形。对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线。］
2.悬念、引子、思考
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
说明：首先这个三角形必须是等腰三角形，要不然
三角形就放不平.对于“为什么”学生可能会回答
“不知道”，那就进入下一环节“合作学习，探究
等腰三角形的性质”；也有可能会回答“等腰三角
形三线合一”，因为不能排除有部分学生“预习过”
什么的.那就可以追问“等腰三角形三线为什么会
合一”，学生会说，就让他说，但不管会说，还是不会说，都要进入下一环节“合作学习，探究等腰三角形的性质”；这是考虑到大多数学生的利益.
二．交流互动，探求新知
1．等腰三角形的性质
合作学习：分三组教学活动材料
教学活动材料1：如图2－5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D，
（1）把这个等腰三角形剪下来，然后沿着顶角平分线对折，仔细观察重合的部分，并写出所发现的结论。
（2）你发现了等腰三角形的哪些性质？
教学活动材料2：如图2－5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D，
（1）根据我们已经获得的等腰三角形是轴对称图形，图2-5中等腰三角形ABC的对称轴是什么？△ABD各个顶点的对称点分别是什么？由此可见，将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像是什么？
（2）根据轴对称变换的性质：轴对称变换不改变图形的形状和大小.找出图中的全等三角形，以及所有相等的线段和相等的角.
（3）你有什么发现？能得出等腰三角形的哪些性质？
教学活动材料3：如图2－5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D，
（1）根据学过的全等三角形判定方法找出图中的全等三角形，根据全等三角形的性质找出所有相等的线段和角
（2）你发现了等腰三角形的哪些性质？
（发给学生活动材料，四人一组先合作学习，再交流讨论，经历等腰三角形性质的发现过程，教师应给学生一定的时间和机会，来清晰地、充分地讲出自己的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行归纳，最后得出等腰三角形的性质.）
结论：等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合.简称等腰三角形三线合一.
2．多媒体演示：教师借助媒体的动态效果，介绍在一个三角形中，等边对等角和三角形一边上中线、高线及角平分线的相对位置，帮助学生在理解的基础上，掌握等腰三角形的性质.
3．解决节前图中的悬念，如果重锤经过三角尺斜边的中点，那么可以判定梁是水平的.你能说明理由吗？
（当重锤线经过三角尺斜边的中点时，重锤线与斜边上的高线叠合（等腰三角形三线合一），即斜边与重锤线垂直，所以斜边与梁是水平的.及时地解决问题，使学生懂得学习的价值.）
4．应用定理时的推理格式：
用几何语言表述为：
在△ABC中，如图，∵AB＝AC ∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）
在△ABC中，如图
（1）∵AB＝AC ，∠1＝∠2
∴AD⊥BC，BD＝DC （等腰三角形三线合一）
（2）∵AB＝AC，BD＝DC
∴AD⊥BC，∠1＝∠2
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC
∴BD＝DC，∠1＝∠2
5．例题学习
例1 如图2-6,在△ABC中，AB＝AC, ∠A＝50°,求∠B，∠C的度数.
解：在△ABC中，
∵AB＝AC ，
∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°,
∴∠B＝∠C＝＝＝65°.
练习1课内练习2
（例1和练习1是巩固“等腰三角形的两个底角相等”这条性质而配置的，比较简单，可以让学生自己去探索，并完成解题过程，然后师生突出评述推理过程.）
例2 已知线段a，h（如图2-7）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.
教学中可作如下启发：
（1）假设图形已经作出，如课本图2－8，BC长已知，可以先作出BC边，要作等腰三角形ABC,关键是要作出哪一个点？
（2）已知BC边上的高线的长度为h，你能作出BC边上的高线吗？等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系？由此能确定顶点A的位置吗？
（例2是运用尺规作等腰三角形，作法思路需要作一些分析转换，是本节教学的难点，在操作过程中要让学生体验等腰三角形三线合一的性质）
练习2填空：
（1）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°则∠C＝ ；若∠B＝72°，则∠A＝ .
（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝ ，∠BAM＝ .
（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角。
∠BAC＝180°－ ∠B，∠B＝（ ）
∠DAC＝ ∠C
（4）如图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠DCA＝100°,则∠B＝ 度.
（以此来巩固等腰三角形的性质，同时培养学生的观察分析的能力）
三．合作探究，强化能力.
探究1：已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由.
猜想：AE⊥BC，BD＝CD
∵AB＝AC(已知)
OB＝OC(已知)
AO＝AO（公共边）
∴△ABO≌△ACO（SSS）
∴∠BAO＝∠CAO
∴AE⊥BC，BD＝CD（等腰三角形底边上中线，底边上高线与顶角平分线互相重合）
探究2：等腰三角形两底角的平分线大小关系。
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是两底角的平分线。
猜想：BD＝CE.
解：∵AB＝AC（已知），
∴∠ABC＝∠ACB （在一个三角形中等边对等角）
∵BD、CE分别是两底角的平分线（已知）
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB （角平分线的定义）
∴∠DBC＝∠DCB，
在△DBC和△ECB中∠DBC＝∠DCB，BC＝CB（公共边），∠ABC＝∠ACB ，
∴△DBC≌△ECB（ASA）
∴BD＝CE（全等三角形对应边相等）
（探究1需要学生根据数学语言画出几何图形，然后进行归纳、猜想、推理；探究2需要学生把文字转化为数学语言和几何图形，再进行归纳、猜想、推理，要求更高些；初衷有一个，那就是培养学生归纳、猜想、推理的自主学习的能力，以上两例都有一定的难度，教师可以根据班级的实际情况选用）
四．归纳小结，强化思想
1．在本节课的学习中，你有哪些收获？和我们共享.
2．你还有什么不理解的地方，需要老师或同学帮助.
（采用谈话式小结，沟通师生之间的情感，给学生一个梳理知识的空间，培养学生的知识整理能力与语言表达能力）
五．作业
1．作业本
2．预习2.3节内容
2.3 等腰三角形的判定
教学目标
1、理解等腰三角形的判定方法的证明过程.
2、通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
3、学生初步了解数学来源于实践，反过来又服务于实践的辨证唯物主义观点．
教学重点与难点
教学重点：等腰三角形的判定方法及其运用.
教学难点：等腰三角形判定方法证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别.
教学过程
（一）提出问题：出示投影片（图形出示，内容教师讲解）
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度就可知河流宽度.
同学们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么呢？这位专家的意思是AB=BC，也就是△ABC是等腰三角形，那么他是怎么知道△ABC是等腰三角形的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定.（板书课题）
（二）复习引入 A
提问：
如图，在△ABC中，AB = AC，图中必有哪些角相等？为什么？
反过来，若∠B= ∠C,一定有AB=AC 吗？
B C
通过“纸制三角形实验”发现“等角对等边”的结论.这个结论是否真实可靠，必须从理论上加以证明.
等腰三角形判定定理的证明.
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
已知：ΔABC中，∠B =∠C.
求证：AB = AC.
(学生思考：定理的证明方法.按实验小组进行分组讨论，探讨证明的思路.然后由一位学生口述，教师板书，学生评论，由此引出多种证法，再由学生归纳作辅助线的方法，教师总结.)
教师可引导学生分析：
联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形．因为已知∠B =∠C.，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引出．再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作ΔABC的平分线AD或作BC边上的高AD等，证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC．
注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
（3）判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.
（三）例题教学
例1某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度就可知河流宽度.这个方法正确吗？请说明理由.
例2 如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E.判断ΔBDE是不是等腰三角形，并说明理由.
（四）小组合作
练习（1）已知：OD平分∠AOB，ED∥OB，求证：EO=ED.
（2）已知：OD平分∠AOB，EO=ED.求证ED∥OB.
（3）已知：ED∥OB，EO=ED.求证：OD平分∠AOB.
归纳总结：该图形是有关等腰三角形的一个很常用的基本图形，上述练习说明在该图中“角平分线、平行线、等腰三角形”这三者中若有两者必有第三，熟练这个结论，对解决含有这个基本图形的教复杂的题目是很有帮助的.
（五） 探究活动
（1）已知：如图a，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作EF∥BC交AB于E,交AC于F,则图中有几个等腰三角形?
（2）如图b, AB=AC,BF 平分∠ABC交AC于F，CE平分∠ACB交AB于E，BF和BE交于点D，且EF∥BC，则图中有几个等腰三角形?
（3）等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过A作EF∥BC交CD延长线于E,交BD延长线于F,则图中有几个等腰三角形?（自己画图）
（4）如图c,若将第(1)题中的AB=AC去掉,其他条件不变,情况会如何?还可证出哪些线段的和差关系?
（六）课堂小结（师生共同小结）
等腰三角形的判定方法
辅助线
3、解决实际问题的关键
（七）布置作业
见作业本2.3等腰三角形的判定.
2.4 等边三角形
教学目标
1、理解等边三角形的性质与判定.
2、体会等边三角形与现实生活的联系．
3、理解等边三角形的轴对称性．
教学重点与难点
教学重点：等边三角形的性质与判定.
教学难点：等边三角形的轴对称变换与旋转变换.
教学过程
复习引入：
1、回顾等腰三角形定义、性质.
2、一般情况下腰与底有何关系？若三边相等又如何？
3、学生举例生活中的等边三角形（交通警告标志、台球桌上用于固定起始球放置的框）
新课教学：
等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形
等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形
合作学习
用直尺和圆规作一个边长是3CM的等边三角形ABC
讨论：(1)在△ABC中，∠A、∠B、∠C存在什么关系？
(2)任选一个角(如∠A),作出它的角平分线,再作出该角所对的边的高线、中线，试问这些线有何特征？
(3)等边三角形有几条对称轴？这些对称轴有何特点?
(4)除了定义以外,什么条件下也可以得到等边三角形?
(学生分组讨论,教师提示从角、边去考虑)
师生一起总结：
1、等边三角形的内角相等，且为60度
2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线
４、等边三角形的判定：
三边相等的三角形是等边三角形
三角相等的三角形是等边三角形
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
例题分析：
例1：如图，等边三角形ABC中，三条内角
平分线AD、BE、CF相交于点O.
(1)△AOB,△BOC,△AOC有何关系？并说明理由
(2)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数，将△ABC
绕点O旋转，问要旋转多少度就能和原来的三角形重合（只要求说出一个旋转度数）？
解：（1）△AOB，△BOC，△AOC互相全等
∵AD、BE、CF是等边三角形的三条角平分线
∴AD、BE、CF所在直线是等边△ABC的对称轴
∴△AOB与△AOC关于直线AD成轴对称
∴△AOB≌△AOC
同理 △AOB≌△COB
∴△AOB≌△AOC≌△COB
思考：能否由全等判定得到这三个全等？
（2）∵△AOB≌△AOC≌△COB
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC （全等三角新的对应角相等）
OA=OB=OC （根据什么？）
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=3600
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=3600=1200
∴△ABC绕点O旋转1200，就能和原来的三角形重合
练习巩固
1、课本课内练习1、2
2、课本作业题A组2、3
师生小结
等边三角形的性质
等边三角形的判定
等边三角形的轴对称性
作业：作业本2.4等边三角形
2.5 直角三角形（1）
教学目标
1、体验直角三角形应用的广泛性，进一步认识直角三角形.
2、学会用符号和字母表示直角三角形．
3、经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质．
4、会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形．
教学重点与难点
教学重点：“直角三角形的两个锐角互余”的性质及其应用在以后的几何学习中将得到广泛的应用，是本节教学的重点.
教学难点：本节例2涉及的知识点较多，推理表述较长，是本节教学的难点.
教学过程
一、复习引入：
三角形内角和.
2. 等腰三角形及相关概念.
3. 小学已学习的直角三角形知识.（直角三角形及相关概念－直角边、斜边等）
学生口答后引入课题.（板书课题：2.5直角三角形）
二、新课教学：
1.由复习得出直角三角形的概念.
板书：有一个角是直角和三角形叫做直角三角形.
直角三角形表示方法：Rt⊿.
由书本图例，让学生体验直角三角形应用的广泛性.（让学生举例说明直角三角形应用）
2.合作学习：
（1）直角三角形的内角有什么特点？
（2）怎样判定一个三角形是直角三角形？
学生讨论后，小结得出：
（板书）直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.
结论解释，与判定、性质相联系.
3.例题教学：
如图，CD是Rt⊿ABC斜边上的高.请找出图中各对互余的角.
解：∵ ⊿ABC是Rt⊿.
∴ ∠A+∠B＝90°
∵ CD⊥AB（已知）
∴ ⊿ACD，⊿BCD是Rt⊿.
∴ ∠A+ACD＝90°，∠B+∠BCD＝90°.
∵ ∠ACB＝Rt∠，
∴ ∠ACD+∠BCD＝90°.
∴图中一共有4对互余的角，分别是∠A与∠B；∠A与∠ACD，
∠B与∠BCD ∠ACD与∠BCD.
例题小结：得到两角互余的途径.
学生操作探索：这个三角形有什么特点？
（给学生相应的提示：探索的内容）
由学生操作探索引入等腰直角三角形的概念，并对概念作出必要的解释.
（板书）一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.
等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°（为什么？）由学生口答完成.
例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则AD＝BD＝CD.请说明理由.
仿书本例题解答.
例题小结.
变式：
（1）已知，如例2图，AD＝BD＝CD，AD是斜边BC上的高，则AB＝AC.请说明理由.
（2）已知，如例2图，AD＝BD＝CD，∠B＝45°，则⊿ABC是等腰直角三角形.请说明理由.
三、练习：见书本第35页.
四、总结回顾：
直角三角形的概念及其应用的广泛性.
直角三角形的两个锐角互余.（直角三角形性质中的一条）
有两个角互余的三角形是直角三角形.（直角三角形判定的一种方法）
等腰直角三角形的概念及其相关性质.
注重知识间的相互联系，学会通过比较理解掌握相应的几何知识.
五、作业：
见书本作业题.
2.5直角三角形（2）
教学目标
经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质的发现过程。
掌握直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
会运用“斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质进行简单的推理和计算。
复习引入
定理回顾：
直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余
直角三角形的判定：两锐角互余的三角形是直角三角形。
巩固练习
练习1：
（1）在直角三角形中，有一个锐角为52.50，那么另一个锐角度数???????
（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，
??? 那么∠A=?????? ，∠B=?????? 。
练习2?： 如图，在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，
（1）与∠B互余的角有???????? 。
（2）与∠A相等的角有???????? 。
（3）与∠B相等的角有????????? 。
二、新授
1、实验操作：请学生在草稿纸上画一个直角三角形
（l）量一量斜边AB的长度
（2）找到斜边的中点，用字母D表示
（3）画出斜边上的中线
（4）量一量斜边上的中线的长度
让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？
2、提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
知识应用
在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若AC=12厘米，BC=5厘米，则CD= 厘米。
已知直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，斜边上的中线为d。则（ ）
A、d=a B、d=b C、2d=c D、d=2c
例题讲解（出示幻灯片）
例、如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为300的斜坡，从A滑行至B。已知AB=200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少m？
教师作如下启发：
作AC⊥BC，构成Rt△ABC，在Rt△ABC中，已知什么，求什么？
∵∠B=300，∴∠A=600。如何运用这个已知条件？尝试添上斜边上的中线，你发现了什么？△ADC是哪一种特殊三角形？
由△ADC是等边三角形，你能找到AC与AB的长度关系吗？
解题过程师生共同完成。
例后小结：直角三角形还有一个很重要的性质：在直角三角形中，如果一个角等于300，则它所对的直角边等于斜边的一半
在有关直角三角形、等边三角形的计算中有较多应用，虽然它不是以黑体字出现，但同学们不妨当做定理记住它，解题时方便。
巩固练习
课内练习：1、作业题1、2 课内练习2
小结：
?这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理？
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果一个角等于300，则它所对的直角边等于斜边的一半
布置作业
见作业本
2.5 直角三角形（2）
教学目标
1、掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.
2、领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．
3、通过动手操作、独立思考、相互交流，提高学生的逻辑思维能力以及协作精神．
教学重点与难点
直角三角形的性质及其应用是初中几何部分比较重要的内容，是实验几何向论证几何过渡之后学生学习几何知识的一个新的起点，有着承上启下的作用，而“直角三角形斜边中线等于斜边一半”这一性质无论在几何计算中还是在相关的推理论证中都起到很重要的作用。
教学重点：“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”这一性质的灵活应用.
教学难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线.
教学过程
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
学生实验：每个学生任意画一个直角三角形，并画出斜边上的中线，然后利用圆规比较中线与斜边的一半的长短。
教师提问：让学生猜测直角三角形斜边上的中线与斜边一半的大小关系。
教师板书性质后可以演示一下教师预先准备好的证明过程给学生看，但不要求学生掌握。
课堂练习ⅰ：
(1)直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为﹍﹍﹍﹍。
（2）已知，在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC=﹍﹍﹍﹍。
直角三角形性质应用举例
例 如图2-18，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜边，中A滑行至B。
已知AB=200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少m？
教师先引导学生理解题意后分析：书上分析。
教师板演解题过程：
解：如图作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则CD=AD=1/2AB=1/2×200=100（ 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
∵∠B=30°（已知）
∴∠A=90°－∠B=90°－30°
（直角三角形两锐角互余）
∴∠DCA=∠A=60°（等边对等角）
∴∠ADC=180°－∠DCA－∠A=180°－60°－60°=60°（三角形内角和等于180°）
∴△ABC是等边三角形（三个角都是60°的三角形是等边三角形）
∴AC=AD=100
答：这名滑雪运动员的高度下降了100m。
讲完后教师归纳一下“在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”让学生注意书写的规范。
课堂练习ⅱ：
课内练习1.2.
师生小结
今天学习的直角三角形性质也是以后在直角三角形中一条常用的辅助线。
布置作业
书上作业题 1、2、3、4、5
2.6探索勾股定理（一）
一、学生起点分析
八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．
二、教学任务分析
本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．
三、教学目标分析
知识与技能目标
用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
数学思考
让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
解决问题
进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．
情感与态度
在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习．
四、教法学法
1.教学方法：引导—探究—发现法．
2.学习方法：自主探究与合作交流相结合．
五、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．
第一环节：创设情境，引入新课
内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”
的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）
意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.
效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.
第二环节：探索发现勾股定理
1．探究活动一：
内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：
（2）引导学生从面积角度观察图形：
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.
效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；
2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.
2．探究活动二：
内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
左图
右图
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）
图1 图2 图3
学生的方法可能有：
方法一：
如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， ．
方法二：
如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，．
方法三：
如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，．
（4）分析填表的数据，你发现了什么？
学生通过分析数据，归纳出：
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.
效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2.
3．议一议：
内容：（1）你能用直角三角形的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理：
如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么
．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的
直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．
（在西方称为毕达哥拉斯定理）
意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.
效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.
2．通过作图培养学生的动手实践能力.
第三环节：勾股定理的简单应用
内容：
例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，
树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？
（教师板演解题过程）
练习：1、基础巩固练习：
（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2、生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．
效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.
第四环节：课堂小结
内容：教师提问：
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流．
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
② 面积法；
③ “割、补、拼、接”法.
3．思想：① 特殊—一般—特殊；
② 数形结合思想．
意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．
效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.
第五环节：布置作业
内容：
作业：1．作业本2.6（1）；
2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足.
意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．
效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．
2.6 探索勾股定理（1）
教学目标
1、体验勾股定理的探索过程.
2、掌握勾股定理．
3、学会用勾股定理解决简单的几何问题．
教学重点与难点
教学重点：本节的重点是勾股定理.
教学难点：勾股定理的证明采用了面积法，这是学生从未体验的，是本节教学的难点.
教学过程
（一）创设情境，导入新课
向学生展示国际数学大会（ICM--2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣.可以首次提出勾股定理.
（二）做一做
通过学生主动合作学习来发现勾股定理.
（1）、让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm，并根据测量结果，完成下列表格：
a
b
c
3
4
6
8
5
12
（三）议一议
1、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在图象交流的基础上，老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的勾股定理.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来.
2、分别以9cm 和12cm为直角边长作一个直角三角形，并测量斜边长度，请同学们两人一组讨论，三边关系符合勾股定理吗？
（四）想一想
已知直角三角形ABC的两条直角边分别为a,b，斜边长为c，画一个边长为c的正方形，将4个这样的直角三角形纸片按下图放置.教师提出3个问题：
（1）、中间小正方形的边长和面积分别为多少？（用 a,b 表示）
（2）、大正方形的面积可以看成哪几个图形面积相加得到？
（3）、据（2）可以写出怎样一个关系式？
化简后便验证了勾股定理.可以启发学生其他的验证方法.
（五）用一用
通过例题的讲练使学生体验勾股定理应用的普遍性和广泛性.
例1、已知△ABC中，∠C=90°，AB=c, BC=a, AC=b,
如果求c；
如果求b；
可以让学生独立完成这个基本训练，但教师应强调解题过程的规范表述.
例2、如图，是一个长方形零件，根据所给尺寸（单位：mm），求两孔中心A、B之间的距离.
首先，教学过程中应启发学生构造出含所求线段的直角三角形，从而应用勾股定理求解.
其次，应强调，构造新图形的过程及主要的推理过程都应书写完整.
（六）练一练
1、已知△ABC中，∠C=90°，AB=c, BC=a, AC=b,
如果求c；
如果求b；
如果求a,b；
2、用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为cm.
3、利用作直角三角形，在数轴上表示.
（七）小结
1、至少了解一种勾股定理的验证方法；
2、除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理.
（八）布置作业 （见作业本2.6(1)）
2．6探索勾股定理（2）
[教学目标]
经历直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理）的探究过程
掌握从边的角度来判定直角三角形的方法：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
培养敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神。增强学好数学、用好数学的信心和勇气。
[教学重点]直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理）：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
[教学难点]例4
[教学过程]
创设问题情境，引导学生思考，激发学习兴趣。
大约在公元前2700年，我们知道，当时的生产工具很落后，测量技术也不是很高明的。可是，古埃及人却建成了世界闻名的七十多座大大小小的金字塔。这些金字塔的塔基都是正方形，其中最大的一座金字塔的塔基是边长为230多米的正方形，然而，那时并没有直角三角板，更没有任何的先进的测量仪器。这的确是个谜！你能猜出金字塔塔基的正方形的每一个直角，古埃及 人究竟是怎样确定的吗？要解开这个谜，还是让我们先从一个小实验开始吧。
教师出示古埃及人的金字塔。让学生观察它的塔基是正方形的。
引出问题：公元前2700年，古埃及人就已经知道在建筑中应用直角的知识，那么你知道古埃及人究竟是怎样确定直角的吗？
学生动手操作，观察分析，实践猜想
画图：画出边长分别是下列各组数的三角形。（单位：厘米）
A、3、4、3 B、3、4、5 C、3、4、6 D、5、12、13
2、测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下：
A： B： C： D：
3、判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状。
A： B： C： D：
找规律：根据上述每个三角形所给的各组边长，请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
A： B： C： D：
猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
你的猜想是 。
幻灯片显示：上述猜想操作提纲。学生根据提纲内容，分组进行探索、讨论、交流。教师巡视诱导，协助“学困生”解决困难。
教师板书：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
请学生思考：上述结论中，哪条边所对的角是直角？如果三角形中较短两边的平方和不等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
新知应用
例 根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。
（1）a=7，b=24，c=25； （2）a=2/3， b=1，c=2/3
学生自行完成，教师只强调解题过程的书写
巩固练习：课内练习1 作业题1
例后小结：现在我们不仅能从角的方面来判定直角三角形，还能从边的角度来判定直角三角形。
例 已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m＞n，m，n是正整数）。△ABC是直角三角形吗？请说明理由。
分析：本例已知所给的全是边的条件，所以要判断三角形是不是直角三角形，应该首先考虑勾股定理的逆定理。选择两条边，计算平方和与另一边的平方比较是否相等来判断。
（先回顾完全平方公式）
师生共同完成解题过程
补充练习
在△ABC中，a=15，b=17，c=8，求此三角形的面积。
四、小结：
通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？
请你总结一下，判断一个三角形是否直角三角形，都有哪些方法？
通过此次实验活动，你学到了什么？你感受最深的是什么？
布置作业 见作业本
2.6 勾股定理的逆定理（2）
教学目标
1、掌握勾股定理的逆定理的内容及应用.
2、会应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形．
3、了解我国古代数学家的伟大成就，激发学生热爱祖国的思想和求知欲．
4、通过研究讨论培养学生的逻辑思维能力．
教学重点与难点
教学重点：勾股定理的逆定理是教学的重点.
教学难点：教学的难点是根据勾股定理的逆定理判断已知三边的三角形是否为直角三角形.
教学方法以学生为主体通过实验的方法，研究性学习.
教学用具三角板，圆规，小黑板等.
教学过程
（一）复习回顾，导入新课
首先回顾上节课内容：勾股定理。
勾股定理体现了直角三角形的三边关系：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。这里老师有一个感兴趣的问题有待于解决，不知大家有没有想过：把这个定理反过来说：如果一个三角形有两边平方和等于第三边的平方，这个三角形一定是直角三角形吗？
大家一起来分组做个实验，第一组的同学在本子上画一个边长为3cm,4cm,5cm的三角形，第二组的同学每人画一个边长为5cm，12cm，13cm的三角形，第三组的同学每人画一个边长为8cm，15cm，17cm的三角形，第四组的同学拿着三角板或量角器分别到一，二，三组来抽查，看看他们画出的三角形大概是什么形状呢？能不能得出一个公认的结论呢？
（二）实验讨论，新课教学
通过实验大家得出结论了吗？（当第四组的同学量时，其他同学也看到了并得出自己的结论）现在大家讨论半分钟，每组派一个代表说出你们的结论，看看结论一致吗？哪一组概括得更准确？
1．归纳结论：
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
结论的应用：
知道这个结论有什么作用吗？（有些同学是知道的）显然如果给出一个三角形的三边长，我们可通过计算两边的平方和，第三边的平方，通过判断他们是否相等来看这个三角形是不是直角三角形。
如 以6，8，10为三边的三角形是直角三角形吗？
解：
以6，8，10为边的三角形是直角三角形。
那么做这种题目时有没有规律，是不是盲目计算呢？
如 三边为5，6，7的三角形是不是直角三角形？
分析：我们先用中的哪一个与第三边的平方比较呢？有的同学已经想好了，总是用较短的两边的平方和，与最长的那个边的平方比较。我们来试几道题
例题
根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形
（1）a=7,b=24,c=25; (2) a=,b=1,c=
解：（1）
以7，24，25为边的三角形是直角三角形。
（2）
以为边的三角形不是直角三角形。
已知的三边分别为a,b,c且a=,b=2mn,c=(m>n,m,n是正整数)，是直角三角形吗？说明理由。
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
解：
是直角三角形
注意事项：
书写时千万别写成是直角三角形。这里你弄错了勾股定理的逆定理的条件和结论。
分清何时利用勾股定理，何时利用其逆定理
巩固练习
教科书课内练习1，作业题1各选做一些，课内练习2等
课内练习2分析：
先求BC2+AC2=Ⅰ+Ⅱ+Ⅳ+Ⅴ+Ⅶ
AB2=Ⅰ+Ⅲ+Ⅳ+Ⅵ+Ⅷ
我们由已知Ⅱ+Ⅴ+Ⅶ=Ⅲ+Ⅵ+Ⅷ
显然BC2+AC2=AB2
（三）课堂小结：
勾股定理逆定理。
勾股定理逆定理的作用：利用三边关系判断三角形形状。
通过以上学习要有意识培养自己的逻辑思维能力。
（四）作业：
作业本2.6（2）
（五）补充练习：
如下图中分别以三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？
2.7 直角三角形全等的判定
教学目标
1、探索两个直角三角形全等的条件.
2、掌握两个直角三角形全等的条件（HL）．
3、了解角平分线的性质：角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上，及其简单应用．
教学重点与难点
教学重点：直角三角形全等的判定的方法“HL”.
教学难点：直角三角形判定方法的说理过程.
教学过程
创设情境，引入新课：
教师演示一等腰三角形，沿底边上高裁剪，让同学们观察两个三角形是否全等？
合作学习：
回顾：判定两个直角三角形全等已经有哪些方法？
有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等吗？如何会全等，教师可启发引导学生一起利用画图，叠合方法探索说明两个直角三角形全等的判定方法，可充分让学生想象。不限定方法。
教师归纳出方法后，要学生注意两点：<1>“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。
<2> 应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件
(3) 教师引导、学生练习
应用新知，巩固概念
例题讲评
例：已知：P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE ⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上，请说明理由。
分析：引导猜想可能存在的Rt△；构造两个全等的Rt△；要说明P在∠AOB的平分线上，只要说明∠DOP=∠EOP
小结：角平分线的又一个性质：（判定一个点是否在一个角的平分线上的方法）
角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
四、学生练习，巩固提高
练一练：课内练习1. 2. 作业题3.
五、小结回顾，反思提高
（1）本节内容学的是什么？你认为学习本节内容应注意些什么？
（2）学习本节内容你有哪些体会？
（3）你认为有没有其他的方法可以证明直角三角形全等（勾股定理）
（4）你现在知道的有关角平分线的知识有哪些？
六、布置作业：
作业本2.7
2.7直角三角形全等的判定
教学目标
探索两个直角三角形全等的条件
掌握两个直角三角形全等的条件（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
了解角平分线的性质：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，在这个角的平分线上，及其简单应用
教学重点：直角三角形的判定方法“HL”
教学重点：直角三角形的判定方法“HL”的说理过程
教学过程
引课
如图3．8－1，AD是△ABC的高，AD把△ABC分成两个直角三角形，这两个直角三角全等吗？
问题1：图3．8－1中的两个直角三角形有可能全等吗？什么情况下这两个直角三角形全等？
由于学生对等腰三角形有初步的了解，因此教学中，学生根据图形的直观，认为这两个直角三角形全等的可能情况有四种:BD＝CD,∠BAD＝∠CAD；∠B＝∠C；AB＝AC。
问题2：你能说出上述四种可能情况的判定依据吗？
说明：1．从问题2的讨论中，可以使学生主动发现判定两个直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件，同时由于有一个直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只要两个条件。
2．当“AB＝AC”时，从图形的直观可以估计这两个直角三角形全等，这时两个直角三角形对应相等的元素是“边边角”，从而有利于学生形成新的认知的冲突──在上学期中我们知道，已知两边及其一边的对角，画出了两个形状、大小都不同的三角形，因此得到“有两边及其一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等”的结论，那么当其中一边的对角是特殊的直角时，这个结论能成立吗？
二、新授
作图：已知线段a，c，请画一个Rt△ABC，使∠C=900，使AC=b，AB=c。
学生作图，教师指导提示
请同桌之间交流，看看你们所画的直角三角形是否全等。
教师拿出两个直角三角形，比画保证了斜边和一直角边相等，然后重叠，发现他们能完全重叠，然后旋转摆放成一个等腰三角形，请学生证明BC=B′C′。
（引导他们用等腰三角形三线合一定理来证明）
引出HL定理并板书
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
强调：这个判定定理中“对应”两个字非常重要，如果说“斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等”就不一定正确了，比如：
变式训练
把两个直角三角形按如图摆放，
已知，在△ABC与△AB′C中，CB⊥AB，CB′⊥AB′，
B C =B′C，请说明∠BAC=∠B′AC。
请学生自行思考解决证明过程。
延长AB′和AB，
归纳出结论：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（板书）
四巩固练习：
课内练习1
作业题：T4 （到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，角平分线上的点到两边的距离相等，等腰三角形的判定的综合应用）
五、变式训练
变式一：请学生根据图形出一道证明题，然后不改变条件，让学生探究还可以证明什么？
变式二：条件不变，可以证明什么？
变式三：条件不变，可以证明什么？
四、巩固练习
课内练习2 、3 作业题1
五小结
l．直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法____“HL”公理。
2．两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件占至少有一个条件是一对边相等）。
3、角的内部，到两边距离相等的点在这个角的平分线上。
六、布置作业
见作业本2.7直角三角形全等的判定
第二章 特殊三角形单元复习测试
一、选择题:
1、等腰三角形的对称轴有（ ）
A.1 条 B.1条或3条 C.3条 D.4条
2.下图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小琴A角走到C角，至少走（ ）
A. 90米 B. 100米
C. 120米 D. 140米
3.使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．斜边相等 B．一直角边和一条斜边对应相等
C．一锐角对应相等 D．两锐角对应相等
4、若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60o，那么这个三角形一定为（ ）
A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形
5、若等腰三角形的顶角为，则它一腰上的高与底边的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
6、如果等腰三角形的一个底角比顶角大15 o，那么顶角为（ ）
A、45 o B40 o C55 o D50 o
7.如图,AB=AC,∠B=50°,D是BC中点,则∠DAC度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
8、已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ）
A、12 B、16 C、20 D、16或20
9.直角三角形两条直角边长分别是5和12,则第三边上的中线长( )
A.5 B.6 C.6.5 D.12
10. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，
交BC于D，若AB=10，AC=6，则△ACD的周长为（ ）
A、16 B、14 C、20 D、18
二、填空题:
11、已知三角形三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为 .
12、等腰三角形有一个角为30°,则它的底角度数是_________.
13、如图，在△ABC中，∠A=40o，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是 ．
14、现有两根木棒的长度分别为40CM和50CM，若要钉成一个直角三角形木架，则所需木棒长度为 ．
15、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则三边长分别为 .
16、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15㎝，D是AB边的中点，则CD= 。
17、我们知道等腰三角形是轴对称图形，你认为它有____条对称轴．对于等腰三角形对称轴的问题，芳芳、丽丽、园园有了不同的看法。
芳芳：“我认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线．”
丽丽：“我认为等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线．”
园园：“我认为等腰三角形的对称轴是底边高线所在的直线．”
你认为她们谁说的对呢？请说明你的理由__________________ 。
18、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm ,则腰长为 。
19、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为9cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2
20、在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，BC=3，AC=4，则斜边上的高线长为 ,中线长 .
三、简答题
21.(2008年永州) 一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为多少米?（答案可保留根号）．
22、如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。
23、如图，等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD,AD=2，求BC的长.
24、晶晶同学想知道学校旗杆的高，他发现从旗杆顶上挂下来的绳子垂直到地面还多1米，当他把绳子拉开离旗杆底部5米后，绳子下端刚好接触地面；请你帮晶晶同学算一算学校旗杆高度．
25、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积。
26.（2008恩施自治州）如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.
2.1 等腰三角形
一、填空题：
1.等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 。
2.如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 。
3.等腰三角形的对称轴最多有 条。
二、填空题：
1.如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（ ）
A、三条边长分别是5，5，11 B、三条边长分别是4，4，8
C、周长为14，其中两边长分别是4，5 D、周长为24，其中两边长分别是6，12
2.等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（ ）
A、3 B、2 C、1.5 D、2或1.5
3．（2008年?南宁市）如图，正三角形的边长为2，
那么阴影部分的面积为（ ）
A、2 B、 C、 D、3
4．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab=c+2bc，则△ABC是（ ）
A、等边三角形; B、等腰三角形; C、直角三角形; D、等腰直角三角形
5.（2008年广东湛江市）如图所示，已知等边三角形ABC的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
三、解答题：
1、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。
2、已知：如图，AD平分∠BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。
3、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解，求这个三角形的各边长。
参考答案：1.22；2.20、22；3.3；
1.C；2.D；3.C；4.B；5.C；
1.各边分别为： 15、15、5；
2.略；
3.各边分别为2、2、1
2.2 等腰三角形的性质
一、填空题：
1.等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。
2.等腰三角形有一个角是120°，那么其他两个角的度数是 和 。
3.△ABC中，∠A=∠B=2∠C，那么∠C= 。
4.在等腰三角形中，设底角为x°，顶角为y°，则用含x的代数式表示y，得y= ；用含y的代数式表示x，得x= 。
二、选择题：
1.等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（ ）
A、40° B、100° C、70° D、40°或70°
2.等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）
A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半
3.在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（ ）
A、100° B、75° C、150° D、75°或100°
4.等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，
③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，正确结论的个数是（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（ ）
A、50° B、130° C、50°或130° D、55°或130°
三、解答题：
1、如图，已知△ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求∠BAD。
2、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE。请说明BD=CE的理由。
3．如图所示，在△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数．
4. (拓展思考)如图，现有顶角度数互不相同的等腰三角形（AB=AC）纸片（a图、b图、c 图、d图）各一块，其中有的能从一个底角的顶点出发，将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片。
（1）能剪成两块等腰三角形的纸片是 ，并用尺规在选中的图上作出你的剪痕（用虚线表示），虚线另一端标上字母T。
（2）将所选图中的相等线段填写在下列对应的横线上（未选中的不要填写，线段相等用等式表示，AB=AC除外）：
a图； ，b图 ，c图 ，d图 ；
（3）计算选中的等腰三角形的顶角度数.（若选中两种以上，只要求计算一种）
参考答案
一、1.底边上的高，底边上的中线;
2.30°，30° 3.36° 4.180-2x，90-y；
二、1.D 2.C 3.D 4.A；
三、1.100°； 2、略； 3. ∠A= 4、略；
2.3等腰三角形检测
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题:(本题共8小题，每小题3分，共24分．下列各题都有代号为A，B，C，D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的)
1．在△ABC中，AB＝AC，∠A=36度，BD平分∠ABC交AC于D，则图中共有等腰三角形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法中，正确的有 ( )
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
3．如果△ABC的∠A，∠B的外角平分线分别平行于BC，AC，则△ABC是 ( )
A．等边三角形 D．等腰三角形 C. 直角三角形 D．等腰直角三角形
4．如图,把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是 ( )
(第4题) (第6题)
A. 等边三角形 B．等腰三角形 C. 直角三角形 D．无法确定
5．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部．P'与P关于OB对称，P"与P关于OA对称，则O，P'P"三点所构成的三角形是 ( )
A. 直角三角形 B．钝角三角形 C. 等腰三角形 D．等边三角形
6．如图2，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB于E，交AC于D，AD＝2BC，则∠A等于( )
A．15° B．25° C． 30° D． 35°
7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，－2)，在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点有 ( )
A．2个 D．3个 C．4个 D．5个
8．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D．(1)(3)(4)
二、填空题：(本题共8小题，每小题3分，共24分．把最后结果填在题中横线上)
9．已知等腰三角形的两边长是1cm和2cm，则这个等腰三角形的周长为_______cm．
10．三角形三内角的度数之比为1∶2∶3，最大边的长是8cm，则最小边的长是_______cm．
11．如图，∠A＝15°，AB＝BC=CD=DE＝EF，则∠GEF=_______．
(第11题) (第13题)
12．等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，那么这个等腰三角形的腰长是_______．
13．如图，已知在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于_______．
14．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)______________；(2)______________；(3)______________.
(第14题) (第15题)
15。正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用不同的分割方法，把下图中的两个正三角形分别分割成四个等腰三角形．(标出必要角度)
16．如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里／时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离_______．
三、解答题:(本题共5小题，17～20题，每小题10分，21题12分，共52分)
17。如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D， E，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数．
18．如图，点D、E在△ADC的边BC上，AD=AE，BD＝EC，求证：AB=AC．
19．如图，AB＝AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点，
(1)求证：AF垂直于CD．
(2)在你连接BE后，还能得出什么新的结论?请写出三个．(不要求证明)
20．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受影响?请说明理由．
21．已知：如图，△ABC为正三角形，D是BC延长线上一点，连结AD，以AD为边作等边三角形ADE，连结CE，用你学过的知识探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关系?试写出探求过程．
答案：
2.3 等腰三角形的判定
一、填空题：
1．在△ABC中，如果∠B=65°，∠A的外角等于130°，那么△ABC_____等腰三角形．（填“是”或“不是”）
2．等腰三角形的一边长是3cm，周长是12cm，则腰长是_______cm．
3．如图1，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A=36°，则图中等腰三角形共有_______个．
(1) (2) (3)
二、选择题：
4．如图2，在△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于（ ）．
A．15° B．18° C．20° D．22.5°
5．如图3，在△ABC中，AQ=PQ，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，PN=PM，则下列结论中正确的有（ ）．
①AM=AN ②PQ∥AB ③∠NAP=∠MAP
A．① B．①② C．②③ D．①②③
6．已知△ABC是等腰三角形，∠A是顶角，分析如下说法：
①如果∠B与∠C的平分线相交于O，则△OBC是等腰三角形．
②如果AB，AC两边上的高线相交于O，则△OBC是等腰三角形．
③如果AB，AC两边上的中线相交于O，则△OBC是等腰三角形．
④在上述任何一种情况下，都有AO⊥BC．
以上说法中，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
三、解答题：
7．如图，AD平分∠BAC，AD∥EG，试证明△AGF是等腰三角形．
8.（2008乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：
①，②，③，④．
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：是等腰三角形．
证明：
9．如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，DE∥BC，AC=10cm，AB=13cm，求△ADE的周长．
10．如图，已知CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC延长线于点E，试说明△ACE是什么样的三角形．
答案:
1．是
2．4.5 点拨：若3为腰长，则底边长为6，则3+3=6，不合题意．
3．12
4．A 点拨：∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，
又∵∠ADB=∠CBD+∠C，
∴∠ABD=∠CBD+∠C，
即2∠CBD=30°，∴∠CBD=15°．
5．D
6．A
7．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠ACD．
又∵AD∥EG，∴∠G=∠CAD，∠AFG=∠BAD，
∴∠G=∠AFG，∴△AGF是等腰三角形．
8．答案：已知：①③（或①④，或②③，或②④）
证明：在和中，
，
，即是等腰三角形
9．解：∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO=∠DBC，∠ECO=∠OCB．
又∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，
∴OD=DB，OE=EC，
∴△ADE周长=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=13+10=23cm．
10．△ACE是等腰三角形．
理由：∵AE∥DC，∴∠ACD=∠CAE，∠BCD=∠E．
又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠CAE=∠E，∴AC=CE，∴△ACE是等腰三角形．
2.4等边三角形
1．等边三角形是轴对称图形，它有_____条对称轴．
2．△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=_____度．
3．三角形三内角度数之比为1：2：3，最大边长是8cm，则最小边的长是______．
4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中是等边三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：（1）BD=DE．
（2）如果把BD改为△ABC的角平分线或高，能否得出同样的结论？
6．等腰三角形的顶角为60°，底边为8cm，则腰长为_____．
7．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积是______．
8．等腰三角形的底角为15°，腰长是2cm，则腰上的高为_______．
9．（ 1）按下列要求画图：画等边三角形ABC和它的两条中线BD，CE，BD，CE相交于点O，连结DE．
（2）说出图中有哪几个三角形是等边三角形？哪几个三角形是等腰三角形？
10．如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB，AE⊥AC．
（1）图中，等于30°的角有：_______；等于60°的角有：_______；
（2）△ADE是等边三角形吗？为什么？
（3）在Rt△ABD中，∠B=_______°，AD=______BD；在Rt△ACE中，有类似的结论吗？
11．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，连结AE，BD．求证：AE=BD．
12．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．
（1）求证：AD=BE． （2）求AD的长．
13．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF是AB的垂直平分线， EF交BC于F，交AB于E，求证：BF=FC．
14．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1， h2，h3，△ABC的高为h．
（1）如图①，点P在△ABC内，h1，h2，h3之间有什么等量关系？
（2）如图②，点P在△ABC外， h1，h2，h3之间有怎样的关系，请写出你的猜想并证明．
[提示：从面积角度思考]
参考答案
1．3 2．60 3．4cm 4．B 5．（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵CE=CD，BD⊥AC，∴∠E=30°，∠DBC=30°，
∴∠E=∠DBC，∴DB=DE．
（2）能得出同样的结论，因为等边三角形的三线合一．
6．8cm 7．4cm2 8．1cm
9．（1）图略
（2）图中△ABC和△ADE是等边三角形，△BOC，△DOE，△BDE，△CDE是等腰三角形．
10．（1）∠B，∠BAE，∠C，∠DAC ∠AED，∠ADE，∠EAD
（2）△ADE是等边三角形，因为△ADE的三个角都等于60°．
（3）30，；在Rt△ACE中，∠C=30°，AE=CE．
11．证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形．
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD．
12．（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，
AB=AC．又AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，BE=AD．
（2）∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°，∴∠PBQ=30°，又BQ⊥PQ，∴PB=2PQ=6，∴BE=PB+PE=7，∴AD=BE=7．
13．证明：连结AF．
∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，
∵EF垂直平分AB，∴FA=FB．
∴∠BAF=∠B=30°，∴∠FAC=90°．
在△ACF中，AF=CF，∴ BF=CF．
14．解：（1）连结PA，PB，PC．
∵S△ABC=S△PAB +S△PBC +S△PCA
=AB·PD+BC·PF+CA·PE
=BC·h1+BC·h2+BC·h3
=BC·（h1+h2+h3）
又S△ABC =BC·h，
∴BC（h1+h2+h3）=BC·h．
∴h1+h2+h3=h．
（2）S△ABC=S△PAB +S△PAC -S△PBC
=BC·h1+BC·h2-BC·h3
=BC（h1+h2-h3）．
∴BC·（h1+h2-h3）=BC·h，
∴h1+h2-h3=h．
2.5 直角三角形（1）
一、填空题：
1.在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是 。
2.在△ABC中，∠C=90°，∠A =2∠B，则∠A= ，∠B= 。
3.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是 三角形。
4.直角三角形两锐角之差是12度，则较大的一个锐角是 度。
二、选择题：
1.如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、以上都错
2.如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7，那么这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形
3.△ABC中，如果两条直角边分别为3，4，则斜边上的高线是（ ）
A、 B、 C、5 D、不能确定
4.如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，在AB上截取AE=AC，BD=BC，
则∠DCE等于（ ）
A、45° B、60° C、50° D、65°
三、解答题：
1．已知:如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于F，求∠AFB的度数．
2、给你一副三角板，你能用它拼出几个度数不同的角？请把它们都写出来。
3、已知等腰三角形一腰上的高与底边成45°角，若腰长为2cm，求它的面积。
4.(拓展思考)阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成长方形，使△ABC的两个顶点为长方形一边的两个端点，第三个顶点落在长方形这一边的对边上，那么符合要求的长方形可以画出两个：长方形ACBD和长方形AEFB（如图2）。
解答问题：
(1)设图2中长方形ACBD和长方形AEFB的面积分别为S1， S2，则S1 S2（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成长方形，那么符合要求的长方形可以画出 个，利用图3把它画出来。
（3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成长方形，那么符合要求的长方形可以画出 个，利用图4把它画出来。
（4）在（3）中所画出的长方形中，哪一个的周长最小？为什么？
5.下面是小明同学在学了等腰三角形后所做的一道题，题目是这样的：“已知△ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，求∠BAC的度数。”
解：如图，∵AD⊥BC，AD=BC=BD=CD，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠CAD=45°，
∴∠BAC=90°
你认为小明的解答正确吗？若不正确，请你将它补充完整。
参考答案
一、1.直角; 2.60°，30°; 3.直角三角形; 4.51°；
二、 1.B 2.B 3.B 4.A；
三、
1、135°；
2、略；3、2cm2。
4．（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边的长方形
5．要分类讨论：1、BC为底边；90°；2、BC为腰，（1）顶角为锐角，75°；（2）顶角为直角，不合题意；（3）顶角为钝角，15°。
2.5直角三角形（2）
一、填空题：
1.等腰三角形的底角为15度，腰长为2a，则三角形的面积为 。
2.已知：如图，∠BAC=90°，∠C=30°， AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC= 。
3.在△ABC中，如果∠A+∠B=∠C，且AC=AB，
则∠B= 。
二、选择题：
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB于D，∠A=30°，则AD等于（ ）
A、4BD B、3BD C、2BD D、BD
2.已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ）
A、15°或75° B、15° C、75° D、150°或30°
3.如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，
有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；
④∠EAF=∠ADE；其中正确结论的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
三、解答题：
1、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，求斜边的长。
2、如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=Rt∠，E是BC边上的中线。请你说明CE=DE的理由。
3、已知：如图，BD，CE交于O，OA平分∠BOC，△ABD的面积和△ACE的面积相等。请你说明BD=CE的理由。
四、(拓展思考)用旋转法解题
同学们已经学过了旋转变换，想必不会陌生。这里讲讲用旋转法解题的思想方法，它的具体步骤是：先把一个图形（或它的一部分）绕着一个定点旋转一个适当的角度；然后把所得的图形与原图形联系，找出解题途径，使问题得到解决。
下面两道题请你试试，看能不能用上述方法加以解决。
1、如图，长方形ABCD中，已知AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足，试说明DE=。
2、如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AG⊥EF于G，请说明AG=AB。
3、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，P是三角形内一点，且∠APB=∠APC，试说明PC＞PB的理由。
五、等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，求底边上的高线长。
以下是小明同学的解题，你认为他的解题正确吗？若不正确，请你帮他改正。
解：如图，底边上的高线长AD=a.
参考答案
一、1、(1+）a2， 2、8， 3、30°；
二、1、B 2、A 3、C；
三、
1、12cm；2、略；3、利用面积相等来证。
四、拓展思考：
1、把△ABM绕点M逆时针旋转180度；
2、把△ADF绕点A顺时针旋转90度；
3、把△ABP绕点A逆时针旋转到AB与AC重合。
五、要讨论：1、顶角为锐角时，对的； 2、顶角为钝角时，是a的一半。
2.6 探索勾股定理（1）
一、填空题：
1．20世纪末，数学家怀尔斯解决了困扰人们300多年的数学难题“费尔马大定理”，而“费尔马大定理”的提出可追溯于对“勾股定理”的探索，如果a、b表示直角三角形的直角边长，c为斜边长，勾股定理可表述为_________________________．
2．（1）在△ABC中，∠C=90°，若a=5， b=6，则c=_______；
（2）在△ABC中，∠C=90°，若a=8，c=17，则b=_______；
（3）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2cm，则AB=_____cm，AC=______cm．
3．写出下图中字母表示的值：a=______，b=______，c=_______，d=_____．
二、选择题：
4．已知直角三角形的两直边分别为3cm，4cm，则正确的组合为（ ）
①斜边边长为25cm ②斜边边长为5cm ③周长为12cm ④面积为6cm2
⑤面积为12cm2
（A）①② （B）②③④ （C）②③⑤ （D）①④
三、解答题：
5．等边三角形的边长为a，求它的高和面积．
6．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直.
7．如图所示，以直角三角形三边作正方形，100，36分别为所在正方形的面积，求A代表的正方形的边长．
8.如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
9. 根据如图所示，利用面积法证明勾股定理.
答案:
1．a2+b2=c2 2．（1） （2）15 （3）4，2
3．12；；；26 4．B 5. a2
6．5秒或10秒.， 7．8
8.11600
9.提示：因为S梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，
又因为S梯形ACDG=（a+b）2，
S△BCE= S△EDA=ab，S△ABE=c2,
（a+b）2=2×ab＋c2.
化简得.
2.6探索勾股定理（2）
一、填空题：
1.如果三角形中 等于 ，那么这个三角形是直角三角形，
所对的角是直角。
2.在△ABC中，已知AB=40，BC=41，AC=9，则∠BAC= 度。
二、选择题：
1.边长分别是下列各组数的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A、5，10，13 B、5，7，8 C、7，24，25 D、8，25，27
2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
b2=a2-c2 B、∠C=∠A-∠B
C、∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D、a∶b∶c=12∶13∶5
三、解答题：
1、根据三角形的三边a，b，c的长，判断三角形是不是直角三角形：
（1）a=11，b=60，c=61； （2）a=，b=1，c=；
2、在△ABC中，三条边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n＞0）。那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由。
3、如图，已知一个四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积。
四、（拓展思考）用对折法解题
用对折法解题的具体步骤是：先把一个图形（或它的一部分）沿某直线对折，得到它的轴对称图形；然后，与原图形联系，找出解题途径，使问题获得解决。
亲爱的同学，你能用对折法完成下面的题目吗？
已知：如图1，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N。（1）请你说明MD=MN的理由。（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其他条件不变（如图2），则结论“MD=MN”还成立吗？不论成立与否，请说明你的理由。
五、问：边长满足关系（a-b）（a2+b2-c2）=0的△ABC是什么三角形？
小明说△ABC是等腰三角形；小刚说△ABC是直角三角形；小亮说△ABC是等腰直角三角形；小慧说△ABC或是等腰三角形或是直角三角形或是等腰直角三角形。
亲爱的同学，你认为谁的说法正确，若都不正确，那么正确的应该怎样说呢？
参考答案
一、填空题：
1.一边的平方，另两边的平方和，斜边
2.90
二、选择题：
1.C 2.C
三、解答题：
1.（1）是直角三角形；（2）不是直角三角形.
2.，，
=，所以这个三角形是直角三角形.
3.略
四、五、略
2.7 直角三角形全等的判定
一、选择：
1.两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（ ）个
①这两个三角形全等； ②相等的角为锐角时全等；
③相等的角为钝角对全等； ④相等的角为直角时全等.
A．0 B．1 C．2 D．3
2.在下列定理中假命题是（ ）
A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形；
B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形；
C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形；
D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形.
3.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC,则AC：BD=（ ）
A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。则∠1与∠2的关系是（ ）
A．∠1<∠2 B．∠1=∠2； C．∠1>∠2 D．不能确定
5.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（ ）
A． 30° B．60° C．120° D．150°
二、解答：
1.已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC 求证：AB=DE.
2.已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.
3.已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F
求证：CE=DF.
参考答案
一、
1.C； 2.D； 3.D
设BC=x则AC=2x，CD=2x ∴BD=3x∴AC：BD=2：3
4.B
∵CE为△ABC中线,∴AE=EC
∴∠3=∠A
∵CF平分∠ACB
∴∠ACF=∠FCB 即∠3+∠1=∠2+∠4
∵CD⊥AB，∠ACB=90°∴∠4=∠A
∴∠3+∠1=∠2+∠A
∴∠1=∠2
5.C
∠ADC=60°∴∠ADB=120°
二、
1.∵FB=CE
∴BC=FE
在Rt△ABC与Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴AB=DE
2.∵AB⊥BD CD⊥BD
∴∠ABD=∠BDC=90°
∴在Rt△ABD与Rt△CDB中
∴△ABD≌△CDB（SAS）
∴∠ADB=∠DBC
∴AD//BC
3.在Rt△ACB与Rt△ABD中
∴Rt△ACB≌Rt△BDF（HL）
∴∠CAB=∠DBA，AC=BD
∴在Rt△CAE与Rt△BDF中
∴△CAE≌△BDF（AAS）
∴CE=DF.
课件11张PPT。2.7 直角三角形全等的判定12解∵ ∠ 1= ∠ 2=90 °
∴ B，C，B'在同一直线上，AC ⊥BB’
∵ AB=A'B'
∴ BC=B'C'（等腰三角形三线合一）
∵ AC=A'C'（公共边）
∴ RTΔABC ≌ RTΔA'B'C'（SSS）
ＢＣ（Ｃ′）Ｂ'Ａ（Ａ‘）
（你还有其他方法吗？）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写：“斜边、直角边”或“HL”∠C=∠C′=90°
A B=A′B′
A C= A′C′（ 或BC= B′C′）∴Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′(H L)直角三角形全等的判定方法∵已知线段a、c(a﹤c)
画一个Rt△ABC,使∠C=90° ，
一直角边CB=a，斜边AB=c.画法：1.画∠MCN=90 °.3.以B为圆心，c为半径画弧，
交射线CN于点A.
4连结AB .△ABC就是所要画的直角三角形.MCNaBcA2.在射线CM上取CB=a.
画一画练习1如图，在Δ ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，则AB=AC。说明理由。
解∵ DE⊥AB，DF⊥AC（已知）
∴ ∠ BED= ∠ CFD=RT ∠ （垂直意义）
∵ DE=DF（已知）
∵ BD=CD（中点意义）
∴ RT Δ BDE ≌ RT Δ CDF（HL）
∴ ∠ B= ∠ C（全等三角形对应角相等）
∴ AB=AC（等角对等边）ABCDEF例3：如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在 ∠AOB的平分线上。请说明理由。练习3已知Δ ABC如图，请找出一点P，使它到三边距离都相等（要求作出图形，并保留作图痕迹）ABCP练习：如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，则AD平分∠BAC，请说明理由。例2：如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC，请说明理由。体会.分享说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？课件13张PPT。2.1 等腰三角形义务教育课程标准实验教科书
浙江版《数学》八年级上册有两边相等的三角形叫做等腰三角形。1、如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。
你能在图中找到几个等腰三角形？
说出每个等腰三角形的腰、底边
和顶角。△ABC△ABDAB和ACBC∠AAD和BDAB∠ADB找一找:2、如图，五角星中有几个等腰三角形？找一找:10个1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它的周长是（ ）
（A）14 （B）15 （C）16 （D）14或16D2、等腰三角形的周长是30，一边长是12，则另两边长是______________12、6或9、9做一做:画一画:已知线段a，b（如图）用直尺和圆规做等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a。折一折:将你所画的等腰三角形ABC折一折,你会发现什么?(1)等腰三角形是轴对称图形.(2)顶角平分线所在的直线是它的对称轴.等腰三角形的轴对称性:例:如图,在△ABC中,AB=AC，D、E分别是AB、AC上的点,且AD=AE,AP是△ABC的角平分线,点D、E关于AP对称吗？DE与BC平行吗？请说明理由。如图,在△ABC中,AB=AC,AP平分∠BAC,D是AB上的一点。请分别作出D关于AP的对称点。试一试:请你在等边△ABC所在的平面上找出一点P，使△PAB,△PAC,△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有多少种可能？
找一找体会.分享说能出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？课件17张PPT。2.2 等腰三角形的性质合作学习在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D.(1)若将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像
是什么?(2)找出图中的全等三角形以及所有相等
的线段和相等的角.你的依据是什么?所得的像是△ACD△ABD≌△ACD相等的线段:AB=AC,BD=CD,AD=AD相等的角:∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC.依据:轴对称变换的性质—轴对称变换不改变图形的形状和大小. 1. ∠ B =∠ C 2. BD = CD, 即AD 为底边上的中线3. AD⊥BC ,即AD为底边上的高问题:由已知AB=AC得结论∠ B =∠ C用
文字如何表述？等腰三角形的两个底角相等.已知:AB=AC可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”结论:,∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线). 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合.简称“等腰三角形三线合一”如果已知AB=AC,AD⊥BC(AD是底边上的高).
那么有什么结论?如果已知AB=AC,BD=CD (AD是底边
上的中线).那么有什么结论?等腰三角形的性质:顶角平分线底边上的中线底边上的高BD=CD(AD是底边上的中线),
∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).AD⊥BC(AD是底边上的高),
∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线)例1、已知：在△ABC中，AB = AC，
∠A = 80°， 求∠B 和 ∠C的度数。ABC变式练习1:已知：在△ABC中，AB = AC，
∠A = 80°， 求∠B 和 ∠C的度数。BA变式练习2:已知：等腰三角形的一个
内角为 80 °， 求另两个角的度数.小试牛刀:如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,则DE=DF。请说明理由。例2 已知线段a, h,用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a, BC边上的高为h.ha作法:1.作线段BC=a.2.作BC的中垂线m,交BC于点D.3.在直线 m上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求的等腰三角形.练习判断下列语句是否正确。（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ）
（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个
内角也为60°. （ ）
（3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）××作业练习：1、等腰三角形的顶角一定是锐角。
2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以。
3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。
4、等腰三角形的角平分线、高线和中线的
总数一共能画出9条。
5、等腰三角形底边上的中线一定垂直于
底边。（X）（X）（√）（X）（√） 75°, 30°70°,40°或55°,55°35°,35°如图，D，E在BC上，AB=AC，AD=AE，则BD与CE相等吗？EABCDH如图，BD，CE是等腰三角形ABC两腰上的中线。问：BD与CE相等吗？请说明理由。EABCD如图，在⊿ABC中，AB=AC,O是⊿ABC内一点，且OB=OC，AO的延长线交BC于点D，试说明AD⊥BC，BD=CD。2ABCDO1谈谈我的收获作业布置1.作业本、课本作业题A组. （B组选做）
2.课外探究题:
等腰三角形的性质在生产、生活中有着广泛应用。以小组为单位， 对此进行研究，写成研究报告，于下周一上交评比。
再见课件15张PPT。等腰三角形的判定复习引入1.等腰三角形的两腰相等；2.等腰三角形的两个底角相等,（简称“等边对等角”）；3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（简称“三线合一”）4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的中垂线。2.3等腰三角形的判定如图所示,量出AC的长,就可知道河的宽度AB,你知道为什么吗?1.如图:ΔABC中,已知AB=AC,
图中有哪些角相等?复习ABC∠ B= ∠ C． 在三角形中等边对等角．２．反过来：
在ΔABC中， ∠ B= ∠ C， AB=AC成立吗？1，作一个三角形，有两个角相等，这两个角所对的边是否相等？ABCD12等腰三角形有以下的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
简单地说；在同一个三角形中，等角对等到边．一个三角形中，有两个角的度数分别为20°和80°，那么这个三角形是等腰三角形（ ）
一个等腰三角形的底角只能小于90°且大于0°。（ ）
两腰相等的三角形是等腰三角形（ ）
两底角相等的三角形是等腰三角形（ ）辨一辨，下列说法是否正确练习2D如图,已知∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°,则∠1= ,∠2= , 图中的等腰三角形有 .例2：上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°， ∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离NBAC80°40°北解：∵∠NBC=∠A+∠C
∴∠C=80°- 40°= 40°
∴ BA=BC（等角对等边）
∵AB=20（12-10）=40
∴BC=40
答：B处到达灯塔C40海里练习3小结有两边相等的三角形是等腰三角形。2.等边对等角,3. 三线合一。4.是轴对称图形.2.等角对等边,1.两边相等。1.两腰相等. 思考1:如图,在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB,请想想看,由以上条件,你能推导出什么结论?并就其中的一个加以说明理由.ABCF与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.下例各说法对吗？为什么？等腰三角形两底角的平分线相等.
等腰三角形两腰上的中线相等.
等腰三角形两腰上的高相等.
思考2:作业:
课本第29页 1,2,3,4.谢 谢 大 家课件16张PPT。2.4等边三角形1、什么是等腰三角形？2、等腰三角形有什么性质？从边看：等腰三角形的两腰相等 从角看：等腰三角形的两底角相等 从重要线段看：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合 回顾AB=AC∠B=∠CD等腰三角形是轴对称图形 你了解它们吗？ 三边都相等的三角形叫等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 探索新知AB=BC=CA提出问题：等边三角形有哪些特殊的性质呢？ 根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：
①从边看；②从角看；③从对称性看；④从重要线段看1.等边三角形的内角都相等吗?为什么?
由已知:AB=AC=BC,
∵AB=AC
∴∠B=∠C (为什么?)
同理 ∠A=∠C
∴∠A=∠B=∠C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °
结论:等边三角形的内角都相等,且等于60 °.
探究新知等边三角形性质探索:ABC2.等边三角形是轴对称图形吗？若是，
有几条对称轴？
结论:等边三角形是轴对称图形，
有三条对称轴.探究新知等边三角形性质探索:3.等边三角形每边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一吗?为什么?
结论:等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一,它们交于一点,这点叫三角形的中心.探究新知等边三角形性质探索:ABCO收获性质：
①、等边三角形的内角相等，且为60度
②、等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的分线互相重合(三线合一)
③、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平
分线所在直线收获等边三角形的判定：
①三边相等的三角形是等边三角形
②三角相等的三角形是等边三角形有下列三角形：
①有两个角等于600；
②有一个角的等于600的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。
其中是等边三角形的有_________① ② ③ ④收获等边三角形的判定：
①三边相等的三角形是等边三角形
②三角相等的三角形是等边三角形③有一个角的等于600的等腰三角形例 1、 如图，等边三角形ABC中三条内角平分线AD、BE，CF相交于点O。
（1）△AOB，△BOC和△AOC有什么关系？请说明理由；
（2）求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数。将△ABC绕O点旋转，问旋转多少度，就能和原来的三角形重合（只要说出一个旋转度数）？ 等边三角形的三条对称轴的交点到各边的距离都相等吗？到各顶点的距离呢？2.D,E是△ABC中BC上的两点,且BD=DE=EC=AD=AE.求∠ B与∠ BAC的度数.练习CFEC1.三边都相等的三角形叫做____三角形.
2.等边三角形的每个内角都等于____度.
3.等边三角形有____条对称轴.
4.等边三角形绕中心至少旋转___度.才能和原来的三角形重合.练习1等边603120(1).等边三角形的性质.
小结:1.等边三角形的内角都相等,且都等于60 °
2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一.(2) 等边三角形的判定:1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.
3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.谢谢观看课件13张PPT。2.5直角三角形(2)2.5直角三角形（2）动动手 试一试∵Rt△ABC中，∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°反之∵ ∠A+∠B=90°
∴ △ABC是直角三角形。等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∵Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC ∴∠A=∠B=45°D∵Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC ，CD⊥AB于D,
∴AD=BD=CDCD= AB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
吗？D直角三角形的性质：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。∵ ∠ACB= 90゜，ＣＤ是ＡＢ上的中线．
∴ＣＤ＝ ＡＢ（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）动动脑 想一想∵ ∠ACB= 90゜，D是ＡＢ上的中点．∵ ∠ACB= 90゜，AD=BD若上图中，△ABC是直角三角形，CD是斜边AB上的中线，①AB=10cm,CD的长为多少cm? ③若∠A =40°，则其他角为多少度？④若∠A=30°，你能得到什么结论？②CD=2cm，则AB的长为多少？例如：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A= ，CD是斜边上的中线，则能得到什么结论？30°30°可得到:△ADC是等腰三角形△BDC是正三角形AD=BD=CD=BC例3 如图，一名滑雪运动员沿倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B。已知AB=200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少m？ D将这个性质归纳概括成结论：△ADC是等腰三角形
△BDC是正三角形
在直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜边的一半。
30°∵△ABC是直角三角形，∠B=30°
∴AC= AB
（在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半）如图是一副三角板拼成的四边形ABCD，E为BD的中点。点E与点A，C的距离相等吗？探索与发现请说明理由。发现一 如图是一副三角板拼成的四边形ABCD，E为AD的中点。点E与点B，C的距离相等吗？请说明理由。连结BC，取BC的中点F,你能知道BC与EF的位置关系吗？F 如图，已知AB⊥BD， AC⊥CD ,E为AD的中点。EB与EC相等吗？请说明理由。发现二发现三F 如图，已知△ABG中，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C ,E为AD的中点，点F是BC的中点,EF垂直BC吗？请说明理由。G如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD= AB，△ABC是直角三角形吗？ 直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。反过来，一个三角形中，若一边上的中线等于这条边的一半，它是直角三角形吗？12 若三角形中一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。解：∵CD是中线，CD = AB，
∴AD=CD，CD=BD
∴∠A=∠1，∠B=∠2
∵∠A+∠1+∠B+∠2=180°
∴∠A+∠B=∠1+∠2=90°
∴ △ABC是直角三角形。动动笔 做一做1、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。
2、直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半。动动口 说一说本节中的知识：本节中的方法和思想：1、特殊到一般、一般到特殊、转化2、观察、归纳、概括课后思考：
“在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°”这句话对吗?
“若三角形中一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”这句话对吗？
谢谢大家的配合！〖教学目标〗
◆1、体验勾股定理的探索过程.
◆2、掌握勾股定理．
◆3、学会用勾股定理解决简单的几何问题．
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：本节的重点是勾股定理.
◆教学难点：勾股定理的证明采用了面积法，这是学生从未体验的，是本节教学的难点.
〖教学过程〗
（一）、创设情境，导入新课
向学生展示国际数学大会（ICM--2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣。可以首次提出勾股定理。
（二）、做一做
通过学生主动合作学习来发现勾股定理。
（1）、让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm，并根据测量结果，完成下列表格：
a
b
c
3
4
6
8
5
12
（三）、议一议
1、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在图象交流的基础上，老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的勾股定理。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 和b ，斜边为 c ，那么。我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
2、分别以9cm 和12cm为直角边长作一个直角三角形，并测量斜边长度，请同学们两人一组讨论，三边关系符合勾股定理吗？
（四）、想一想
已知直角三角形ABC的两条直角边分别为a,b，斜边长为c，画一个边长为c的正方形，将4个这样的直角三角形纸片按下图放置。教师提出3个问题：
（1）、中间小正方形的边长和面积分别为多少？（用 a,b 表示）
（2）、大正方形的面积可以看成哪几个图形面积相加得到？
（3）、据（2）可以写出怎样一个关系式？
化简后便验证了勾股定理。可以启发学生其他的验证方法。
（五）用一用
通过例题的讲练使学生体验勾股定理应用的普遍性和广泛性。
例1、已知△ABC中，∠C=90°，AB=c, BC=a, AC=b,
如果求c；
如果求b；
可以让学生独立完成这个基本训练，但教师应强调解题过程的规范表述。
例2、如图，是一个长方形零件，根据所给尺寸（单位：mm），求两孔中心A、B之间的距离。
首先，教学过程中应启发学生构造出含所求线段的直角三角形，从而应用勾股定理求解。
其次，应强调，构造新图形的过程及主要的推理过程都应书写完整。
（六）、练一练
1、已知△ABC中，∠C=90°，AB=c, BC=a, AC=b,
如果求c；
如果求b；
如果求a,b；
2、用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为cm。
3、利用作直角三角形，在数轴上表示。
（七）、小结
1、至少了解一种勾股定理的验证方法；
2、除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理。
（八）、布置作业 （见作业本2.6）
教学反思
本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流。适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广。
课件15张PPT。 2.6探索勾股定理（1）合作学习（1）作两个直角三角形，使其两直角边分别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米,
(2)分别测量两个直角三角形的斜边的长度。
（3）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？动画 勾股定理（gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股弦读一读 勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。利用拼图来验证勾股定理：1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边的正方形？4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？∵ c2= 4?ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为c24?ab/2+(b- a)2
∵ (a+b)2 = c2 + 4?ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2ab∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为(a+b)2c2 +4?ab/2例1、已知△ABC中, ∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=C
已知: a=1, b=2, 求c;
已知: a=15, c=17, 求b;
已知: a=4/5,b=3/5, 求c;
(4)已知:c=34,a:b=8:15,求a,b.
你能用刻度尺和圆规作一条线段,使它的长度为√5cm?1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.=625=144想一想2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49 以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个等边三角形的面积之间有什么关系？? 议一议 C例2、 如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米)1. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少? ABC算一算 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？∴售货员没搞错∵议一议荧屏对角线大约为74厘米4658谈收获布置作业课件9张PPT。2.6勾股定理(2)古埃及人曾用下面的方法得到直角：
他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。其直角在第4个结处。他们真的能够得到直角三角形吗？1.合作学习(1)画一个三角形,使其三边长分别为: a，b，c.5cm, 12cm, 13cm； （勾股定理的逆定理） 即如果三角形的三边长a，b，c有关系 那么这个三角形是直角三角形.由此你得到怎样的结论?
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.1.想一想:上述哪条边所对的角是直角?2.这个定理可判断三角形是否是直角三角形.3.能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。 如3、4、5；6、8、10；5、12、13。 例3. 根据下列条件,分别判断以a、b、c为边的三角形是不是直角三角形.
(1) a=7, b=24, c=25; (2) ,b=1,例4.已知ΔABC的三条边长分别为a、b、c,且a= - ,b=2mn, c= + (m>n,m,n是正整数).三角形是直角三角形吗?请说明理由.练习: P42 ,课内练习 T1 , T2谈谈你的收获 作 业
1.作业题. 2.作业本
