3.1平方根
教学目标
知识与技能目标：1. 了解平方根、算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系．
2. 学会平方根和算术平方根的表示法和求非负数的平方根．
过程与方法目标：通过实例经历平方根概念的产生过程
情感与态度目标：通过上述知识的教学，培养学生从实践到理论、从具体到抽象的辨证唯物主义观点．
教学重点与难点
教学重点：平方根的概念和求法．
教学难点：平方根的概念和表示．
教学过程：
一、创设情景，引人新课
例 已知正方形边长为2cm，求正方形面积．
解：S＝22=4（cm）
已知一个数求这个数的平方，用乘方运算．但已知一个数的平方，要求这个数，又该如何求得？符合这样条件的数有几个？该如何表示？这些问题都是这节课要学习的内容，提出课题——第二章 实数3．l平方根．
二、交流对话，探究新知
实际生活中也有与上述例题相反的问题．
例 已知一个正方形的面积等于4 cm2，求它的边长．
解：设正方形边长为X，依题意有X2＝4．
∵22＝4，（－2）2＝4，∴满足 x2＝4的 x值可以是 2，也可以是一2，但正方形的边长不能是负数∴X＝2．
答：它的边长为2cm．
已知某数的平方要求这个数，用式子来表示就应是：如果X2＝a，求x的值．这和我们一开始提出的问题，求一个已知数的平方正好是相反．要解决这样一个问题，就须在数学上引进一个新的概念——平方根．
如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根（也叫做二次方根）
如：22＝4，2是4的平方根；（一2）2=4，（一2）也是4的平方根．即 4的平方根是±2．
练习：1、请分别说出49， ，0的平方根．
2、-4有没有平方根，为什么？
通过以上练习，得出下列法则：
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．
一个正数a的正平方根，用“”表示，读作“根号a”，“”是“2”的简写．根指数“2”省略不写；它的负平方根，用“一”表示，读作“负根号a”.合起来，一个正数a的平方根就用“±”表示，读作正、负根号a，其中a叫做被开方数.如4的平方根记做±
求一个数的平方根的运算叫做开平方．
问题：开平方和乘方运算是什么关系？
由此引出例1中平方根的求法，恰恰是利用了乘方运算是开平方的逆运算得出的.
例1 求下列各数的平方根：
（l）9 （2）0.36 （3）（4）
分析：如何求9的平方根？就是要求一个数X，使X的平方等于9，即求满足x2＝9的x的数值．因为（±3）2＝9，故满足x2＝9的x的数值是3或一3，所以9的平方根是±3．
（2）（3）（4）仿照上面的方法，解题的格式与步骤教师板演.
强调：（l）9的平方根表示方法是±，而不是即不要写成=±3.
（2）带分数开平方时，要先把带分数化成假分数.
（3）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数，而不是一个．
做一做：P69 T1 、T2
T3判断正误，并且改错：
（l）100的平方根是10；
（2）非负数（正数和零统称非负数）一定有2个平方根；
（4）2的平方根是±.
学习了平方根以后，我们知道一个正数的平方根有两个，0的平方根是0.那么我们把其中正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根．如3的算术平方根是 ，0的算术平方根是0，在数学上规定非负数a的算术平方根用符号表示，读作根号a．
提问：是否只有正数才有算术平方根.
由算术平方根的定义，可知（a≥0），即非负数的算术平方根一定是非负数；负数没有平方根，当然负数没有算术平方根.
例2 求下列各数的算术平方根：
（1）25 （2） （3）0.36 （4）0 （5）3
分析：（1）25的平方根是±5，则25的算术平方根是5，即=5
解题过程可让学生口述，从而进一步巩固平方根和算术平方根的概念和表示法.
例3求下列各式的值：
（l）（2）—（3）（4）一 （5）土；（6）土 分析：练习时要注意符号的正确使用，特别强调最后计算结果的符号与题目的符号要相对应．
三、梳理概括，形成结构（师生一起讨论得出）
（1）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；
（2）正数a的平方根的表示方法为±；它的算术平方根的表示方法为；
（3）求平方根时，应把被开方数中的带分数化为假分数．
四、变式练习，扩展新知
1、什么数的平方根是它本身？
2、课本P70 探究活动
五、反馈评价，提示作业
教师引导学生小结本节所学的知识．（投影片显示）
（1）如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根；
（2）正数a的平方根有两个，它们的绝对值相等，符号相反，即它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根；
（3）正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根；
（4）求一个数的平方根的运算叫做开平方，平方和开平方互为逆运算．
作业：作业本3.1
《3.1平方根》教学设计
一、教学目标
1.1知识目标: 理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系。
1.2能力目标: 学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题。
1.3 情感目标: 学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。
二、教学重点和难点
2.1 重点： 平方根的概念。
2.2难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，是本节课的难点。
三、教学方法
3.1 本着以人为本的教育理念，主动地发展学生的个性特长，让学生学会学习，培养学生可持续发展学习的能力，本节课主要采用探究式和启发式的教学方法。
3.2使用现代教育技术和引导学生动手实践，使学生能充实地学习数学，把注意力集中在决策、反思、归纳、推理和问题解决上。
四、教学过程
4.1创设情境，设疑引新
（媒体展示）做一做 ：同学们，你能将手中两个相同的小正方形，剪一剪，拼一拼，拼成一个大正方形吗？
如果小正方形的边长是1，那大正方形的边长是多少呢？
（设疑之后，引导学生解决这个问题的本质，即求平方等于2的数是什么？）
随后，设计以下练习
一张正方形桌面的边长为1.2m，面积是多少？
一张正方形桌面的面积为1.44m2，边长是多少m？
第二小题即求一个数的平方等于1.44，这个数是多少？有了以上的铺垫，解决这一问题对于学生来说已是轻而易举，即轻松地引入课题）
（数学是人们对客观世界的定性把握和刻画，逐渐抽象、概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。）
4.2 师生互动，探究新知
4.2.1 概念引入
由具体问题开始讲解：∵（±1.2）2=1.44
∴平方得1.44的数有两个是+1.2，
又边长不为负，因此为1.2m
于是说：∵（±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根
∵ （±2）2=4 ∴±2叫做4的平方根
∵ x2 = a ∴ x叫做a的平方根
由学生在总结讨论中下定义，教师板书定义 （略）
（这样由具体到抽象，学生易于接受）
4.2.2 概念巩固
比一比，看谁最聪明
如图，在左图和右图中的“？”表示的数
x x2
在求？的过程中，引导学生明确，左边的数是右边对应的数的平方根，并及时提问“有没有平方得负数的数？为什么？
4.2.3 平方根的性质和表示
学生通过讨论、交流得出平方根的性质：（展示）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
4.2.4 练习巩固，理解性质
下列各数是否有平方根，请说明理由
① （—3）2 ② 0 2 ③ —0.01
下列说法对不对？为什么？
①4有一个平方根②只有正数有平方根③任何数都有平方根
④若 a≥0，a有两个平方根，它们互为相反数
4.2.5平方根的表示法和求一个非负数的平方根
通过引导、交流、提出平方根的表示法、读法以及开平方的概念，然后设计以下练习巩固
例1 求下列各数的平方根
（1）9 （2） （3）0.36 （4）（5）
（注明：（1）带分数作被开方数应化成假分数 （2）不能出现
4.3运用新知，体验成功
4.3.1 课本练习 p69 1 2
4.3.2算术平方根的概念与表示、读法
4.3.3课本练习 p69 3
4.4 探究模型，领会思想
再次探究开头提出的模型，估计的值在哪两个整数之间（充分应用直观模型，感觉数形结合思想）
4.5反馈小结，布置作业
4.5.1引导小结如下：
本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了哪些方法？对你今后的学习有什么帮助？
①知识方面：这节课我们学习了平方根、算术平方根的概念、表示方法、求法及平方根性质
②思维方法：平方运算和开平方运算互为逆运算，可以互相检验
③探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是发现问题和解决问题的基本方法和途径。
④用定义解决问题也是常用方法和有力工具。
4.5.2 布置作业（ A组必做， B组分层要求）
五、设计后感
本课时设计拟通过学生的探究、发现、释疑、解疑完成教学任务，充分体现“做数学”理念；学生用动手观察、分析、合作、交流等手段“做数学”，获得“做数学”的体验，并通过分析、归纳、抽象，帮助学生逐渐形成自己的数学知识
本课最大的特点是，数学教学过程不是简单讲解和传授知识，也不是学生的简单模仿和机械记忆，而是让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，在活动中逐步认识、建构知识，从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善。这样做激发了学生的参与程度，培养了学生的探索意识，使学生尝试到了由自主学习而获得新知的喜悦。
《3.2实数》教学设计
一、教学目标
1让学生亲自动手做折纸活动，感受无理数存在的必要性和合理性；并通过探索说出无理数的特征，理解无理数、实数的概念，理解实数与数轴上的点的一一对应关系。
2让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法
3培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及类比的思想。
二、教学重难点：
重点：无理数、实数的概念，实数与数轴上的点的一一对应关系。
难点：无理数的概念较抽象，等无理数在数轴上的表示。
三、教学过程：
（一）创设情境，引入新课：
动手做做：折纸游戏
如右图，有一边长为2的正方形
1）你能用它折一个面积为1的正方形吗？说说你是怎么折的。
2）你能用它折一个面积为2的正方形吗？若能，说说你是怎么折的。
3)你知道这个面积为2的正方形的边长是多少吗？
它介于哪两个相邻整数之间？
彩色图形面积的大小关系：
其对应的边长关系有,也就是说介于1与2之间。
探索：
（二）合作交流，探索新知：
1.探索特征，得到无理数概念
让学生进行合作学习。
操作过程：
（1）1＜＜2，确定=1.…
（2）确定小数点后第一位数：
计算1.12 1.22 1.32 1.42 1.52
1.42 =1.96 ＜2 ＜ 1.52 =2.25 就不必再算下去了,很明显1.4＜＜1.5
根据以上得：=1.4…
（3） 再求下一位： 计算1.412 1.422 等 ， 得 =1.41…
激发学生沿着以上思路继续合作学习，结合书本p65的表格，探索特征。
用这种方法可以得出一系列越来越接近的近似值。事实上，
=1.1414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6………
总结的特征：无限、不循环，得到无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
（以上学生合作探索特征的过程，让学生体验无理数是怎样一个数，同时掌握求无理数近似值的方法。）
你能再举出一个无理数吗？
2.无理数存在的常见形式：
（1）如，，2π+1，……
（2）开方开不尽的数，如，……
（3）有一定规律但不循环的无限小数：
1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
12345678910111213 …〔小数部分有相继的正整数组成〕
和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。
3、有理数和无理数统称为实数。
实数的分类
实数
（三）、反馈调整，巩固概念
1、例1：判断下列数哪些是无理数？哪些是有理数？
、、、、1.232232223…（2个3之间依次多一个2），，，3.1415926
无理数有：
有理数有：
2、把数从有理数扩充到实数以后，有理数中所有的法则和运算律同样适用于实数。
例如：和是互为相反数，
，
例2填空：
（1） （2） 的相反数是
（3）= （4）绝对值等于的数是
（四）数形结合，突破难点，深化概念
例3 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号、连接＝
-2， ， 3.3 ，π， ， 1.5
着重讲解在数轴上如何表示无理数，利用数轴进行大小比较。
根据引入 画表示的点的方法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
如； —— 尺规可作的无理数
π ——只能近似地表示
由上例概括得出：
（1）在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
（2）（实数与数轴上的点一一对应。）
理清关系 ，概括方法，课堂小结：
（1）知识方面：
正有理数 （ 有限小数、无限循环小数 ）
有理数 { 零 } 可化为分数
实数{ 负有理数
正无理数 （无限不循环小数）
无理数 { }
负无理数 不能化为分数
实数与数轴上的点一一对应
（2）思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值；数形结合的数学思想，类比思想
7 布置作业
作业本（1）、方法指导丛书
浙教版七年级上册3.2实数教学设计
教材分析
1.教材的地位与作用
《实数》是浙教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级上册第三章的一节概念课。本节课在学生学习了平方根以后，通过学生合作探究，揭示出中像 、π等无限不循环小数的存在，从而引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩展到实数，对今后的数学学习有着非常重要的意义，并且是同学们进一步学习方程、函数等知识的基础。
另外，无理数的引入，数集的扩充的教学中充满着对立与统一的辨证关系，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过这节课的学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯。
2、教学目标
依据本节教材的特点，并结合学生的年龄特点和认知水平，确定本节课的教学目标：
知识目标——让学生了解无理数，实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应，初步学会实数的大小比较，能对实数的分类进行初步的辩认。
能力目标 ——了解实数的分类，培养学生初步分类意识；用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的数学思想方法。
情感目标——通过合作探究，让学生经历无理数的产生过程；并向学生渗透“数形结合”及分类的数学思想，感受人类（特别是我国古代）在数的发展研究中的伟大成就，从中得到启发和教育。
3、教学重点和难点
本节教学的重点是无理数、实数的概念以及实数与数轴上的点一一对应。
无理数的概念比较抽象,如 等无理数在数轴上的表示，需要比较复杂的几何作图，是本节教学中的难点。
二、教学方法和手段
本节课通过创设问题情境，引导学生回顾认识数的过程，通过合作探索，经历无理数的产生过程，精心设问，适时、适度采用激励性语言，提高学生学习积极性，从而较好地完成实数概念的建构，达到教学目标。
并结合计算器、多媒体、实物投影仪等现代教学手段实施教学，体现直观性。
三、学法指导
学生通过动手、动口、动脑等活动，主动探索、发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力。恰如其分的问题设计，真正的让学生进行探究，突出学生教学主体的地位。
四、教学过程
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
创 设
情 境
提 出
问 题
今天，这堂课老师要跟大家一起再次探 究一下数这个王国。
首先请同学们回顾一下我们认识数的过 程？
生活中是否只有有理数呢？
思考，回顾、讨论并回答，
归纳出
通过回顾认识数的过程，让学生体会到数的概念产生于实际需要并在实践中得到发展，也尊重了学生已有的知识与经验，为新知识引入作好辅垫，这就体现了新课标所倡导的学生学习过程是一种自我建构，自我生成的过程。
尝 试
探 索
讲述古希腊数学家希伯索斯，因提出无理数的发现而被抛进大海的曲折离奇的经历。
合作学习：
1.利用这个面积为4的正方形,你能否折出面积为1的正方形呢?
2.在第1小题的基础上，你能否折出一个面积为2的正方形呢?
此时这个正方形的边长为多少？
问： 到底是多少？
介绍估算的方法。
利用EXCEL来估计 的值。
感慨、质疑
2
1
学生思考、
动手、讨论。
学生代表
展示成果，
发言。 1
1
思考、讨论、探索解决问题的方法。
小组合作、讨论、猜想
激发学生学习的欲望，并感受数学家的献身精神。
通过学生动手，发现 ，让学生体验 是切切实实存在的，并为后面在数轴上表示 作好铺垫，分解难点。
在教学中用亲切的语言鼓励学生猜想 的值，有利于提高学生的学习兴趣。通过计算机计算辅助功能，让学生亲身体验到无理数是怎样的一个数，还让学生学会了求无理数的近似值的方法。
解 析问 题
用上述方法得出一系列越来越接近 的近似值，
=1.414213562373095…
问：同学们，在这个探究活动中，你体验到了什么？
问： 是有理数吗？引导学生用小数的观点来看每一个有理数。引导学生发现 是有理数以外的数，从而引出无理数的概念。
思考、讨论
体验到 既不是有限小数，也不是无限循环小数
像 这种无限不循环小数叫做无理数。
此环节旨在让学生经历无理数的概念的产生过程，感受无理数的无限不循环的特征，体验有理数与无理数的本质区别。
剖 析
概 念
扩 展数 集
这样的无理数大有存在。（1）提出大家接触过圆周率π。简介有关π的数学材料。
（2）提出像 这样开方开不尽的数。
（3）指出有规律但不循环的数。
请同学每人例举四个无理数，同桌交换判断正误。
指出这些数的共同特点是无限的不循环小数。
从学生的例举，引导学生发现无理数也有正负之分。
无理数的产生，又一次扩大数的范围。
有理数和无理数统称实数。
师生共同完成实数分类表
观察、了解
思考、讨论并例举
如－=－1.7320508…，
1.010010001…（两个1之间依次多一个0）,-等等
。
同桌合作，交流
明确：分类可以有不同的方法，但每一种方法都要有根据同一标准，做到既不重复也不遗漏。
让学生感受人类（特别是我国古代）在数的发展研究中的伟大成就，从中得到启发与教育。
这里利用已有的知识与经验同化和引出当前要学习的知识，使学生始终处于积极的思维，这是符合建构主义理念，也有利于本节课重点的突出，难点的突破。
课 堂
练 习
反 馈
调 控
出示练习：
在,π,0,3.14,-,
3,-,8.131,,中,
属于有理数的有：
属于无理数的有：
属于实数的有：
学生口答，讨论纠正错误
遵循教材安排，根据实际情况设计练习题以随时反馈教学效果。
探 究
归 纳
出示练习：
1）-的相反数是 ；的相反数是 。
2）= = 。
4）一个数的绝对值是π，则这个数是 。
学生回答给予积极性评价
自主学习并口答：
与- ，π与-π的关系
则= =
归纳出：
在实数范围内，相反数和绝对值的概念，同样适用。
通过学生的自主学习完善知识系统。
发 展
能力
出示例题
例：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号 连接
-1.4， ，3.3，π，- ，1.5。
巡视、个别辅导
引导学生要注意，
1、数轴的单位长度要取适当的长度
2、引导学生 在数轴上的几何作图
3、π在数轴上表示取它的近似值
最后通过上例，借助计算机的辅助功能，问：同学们在实数与数轴上的点之间存在怎样的一种关系？
合作学习与自主学习相结合
解（略）
思考、讨论师生共同归纳
在实数范围内、每一个数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，我们就说实数和数轴上的点一一对应。
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
通过例题及计算机的辅助功能，比较容易的让学习了解了实数与数轴上的点一一对应，这样的设计是突破难点的较佳途径。
想一想：判断下列说法是否正确，并举例说明理由。
①两个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的积一定是无理数；
③两个无理数的商可能是有理数。
试一试：你能在数轴上表示出-吗？
巡视，个别辅导、展示学生的练习并给予积极性评价。
阅读题目、思考。
合作学习与自主学习相结合，探索解决问题的方法。
这里设计是为了拓展一些有特殊数学需求的学生的数学思维，增强他们的自主探究、实践能力。
回顾
小结
布置作 业
谈一谈本节课你有何收获？
出示作业：
1、必做题：课本第78页A组、B组题
2、选做题，课本第78页C组题。
讨论、整理、口答
相互补充。
思考、自我评价、记录
以问题的形式出现引导学习思考、交流、梳理所学知识，建立起符合自身认识特点的知识结构
为满足不同学生的发展需求，设计了两类作业，其中“必做题”属于基本要求，面向全体学生，巩固新知识，新方法，加深理解，“选做题”面向有特殊数学学习需求的学生，给他们一定的时间和空间，相互合作，自主探究、拓展学生数学思维，增强实践能力。
3.2实数教学设计
（一）教学目标
1从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。
2让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法
3培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点
（二）教材分析
“实数”是在对算术平方根的研究的基础上，实现数的范围到有理数后的进一步扩展。由 、π激起学生思维的火花，揭示现实空间无限不循环小数的存在，并从本质上理解无理数与有理数的区别。
重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数。
难点：无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系。
（三）学生分析
学生对有理数和平方根已有初步的了解，也已经了解近似数，掌握计算器的简单运用。但对七年级学生来讲，思维仍较直观，无理数显得比较抽象，难以理解。对 的探索是本课的关键，不仅得到无理数的概念，还有利于培养学生的分析、探索的能力。
（四）设计理念
让学生主动参与合作交流， 探索、发现，注重知识形成的过程
（五）教学方法
启发式、探索式教学
（六）教学过程
1 复习旧知，揭示矛盾，引入概念
回顾书本 3 .1探究活动（图3.2），复习前面所学的有理数的分类， 既然在1与2之间就不是整数，也不是分数，因为如果是分数的话它的平方也应是分数，也就是说 不是有理数，但由此题可知 确实是存在的，同时π也是如此。
出现矛盾以后，本课以 为例，从 开始，来探索无理数的特征，学习实数。
1.2 联系实际创设问题情境：
如果你是布料销售店的售货员，假设我要买剪 米布，你将会给我剪多少比较合适？
学生能从上节的图3-2中估计 在1与2之间
引导学生借助计算器进行合作学习：
（1） 根据上节课 1＜ ＜2，确定√2=1.…
（2） 确定小数点后第一位数
计算1.12 1.22 1.32 1.42 1.52
1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2 就不必再算下去了 很明显1.4＜ ＜1.5 。
也有学生可根据以往经验马上由1.42 =1.96 ＜2 1.52 =2.25＞2得到1.4＜ ＜1.5。
根据以上得： =1.4…
（3） 再求下一位 计算1.412 1.422 等
=1.41…
到此为止，能解决上面问题， 大约剪1.4 米 或1.41米就可以了。
1.3 继续探索 特征，得到无理数概念
以上得到的1.4，1.41仅是 的近似值， 究竟是多少？在解决此问题后， 又出现了新疑点。这样激发学生沿着以上思路继续合作学习，结合书本p71的表格，探索 特征。再问：通过以上的探索同学们有什么感受？体验到了什么？学生能在对有理数的已有认知的基础上，知道 确实不同于前面所学的有理数，总结 的特征：无限、不循环，得到无理数的概念。
（以上学生合作探索 特征的过程，让学生体验无理数是怎样一个数，同时掌握求无理数近似的方法。）
1.4举例说出无理数，巩固对无理数的理解
1.5 课本p73 课内练习2 掌握用有理数逐步逼近无理数，从而求出无理数近似值的方法
2 叙述数史，剖析概念，扩展数集
2.1 讲述故事，介绍无理数的来历
师问：当你们看到“有理数”与“无理数”这两个词时，你们的第一感觉是怎么理解的？ 有生会答：“有道理的数”与“无道理的数”。
师：确实会有我们这种想法，这不，为此，它们还发动了战争呢？（屏幕显示故事，学生讲述）
《有理数和无理数之战》
在一个早晨，同学小毅一觉醒来，发现窗户外的山坡上在打仗。仔细一看，一边打着“有理数”的大旗子，一边打着“无理数”的大旗子。
有理数和无理数为什么要打仗？哦，原来是为了名字。
听听无理数司令π怎么说：“我们无理数和有理数同样是数，为什么他们‘有理’，我们‘无理’？我们究竟哪点儿无理？”
对呀！无理怎么会存在嘛！小毅心里也在琢磨。
“因为人们最开始发现的是有理数，见到我们无理数时还不理解，所以取了‘无理数’这么难听的名字。可是现在，人们已经充分认识我们了，就该给我们摘掉‘无理’的帽子才对！”
（教师简单说明无理数的来历，培养学生勇于发现真理的科学精神）
问：听了故事后你们有什么看法，你认为他们根本的区别在哪里？（学生讨论）
教师小结：“无理数”和“有理数”仅是名称而已，据说是清朝末年从日本引进时，翻译的讹误，因此不能从词义上理解，它们根本的区别，就是凡是有理数，都可以化成两个整数之比（可看成一个分数），而无理数，无论如何也不能化成两个整数之比（不能化为分数），从而突破本课第一个难点。
2.2实数的概念： 有理数和无理数统称为实数
（通过故事不仅增加趣味性，更重要的在于强化无理数与有理数的本质区别，得实数的意义。而且介绍数学史，对揭示数学知识的来源和应用，创造一种探索与研究的气氛，激发学生对数学的兴趣等都起到重要作用）
5.1 3练习讨论，反馈调整，巩固概念
（1）无理数的相反数、绝对值
由前面有理数的相反数、绝对值的意义，类似得到无理数的相反数、绝对值的意义。
（2） 练习：在 1/7; －π； ；0；0.3 ； ；－ ；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中
①属于有理数的有：
属于无理数的有：
属于实数的有：
②说出以上各数的相反数、绝对值；
练习：（抢答）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数；
②无理数都是无限小数；
③带根号的数都是无理数；
④有理数都是实数，实数不都是有理数；
⑤实数都是无理数，无理数都是实数；
⑥实数的绝对值都是非负实数；
⑦有理数都可以表示成分数的形式。
（通过练习巩固实数概念，分析实数的分类，弄清带根号的数并不都是无理数，无理数指的是无限不循环小数，不能化为分数的数，这才是它的本质特征，明白数的范围扩大后相反数、绝对值的意义仍不变。）
3 数形结合，突破难点，深化概念
（前面我们从数本身的特征上探讨了数除了有理数外还有无理数，接下来我们再利用数轴来进行说明。）
我们已经知道每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，那么数轴上的每一个点都表示有理数吗？（思考）
由书本图3.2可知，在数轴正方向上取OA的长等于图3.2中阴影正方形的边长，则点A表示 ，即无理数 可以在数轴上找到对应点。可见，数轴上的点对应的数，不都是有理数。（显示数轴）
像每个有理数都可以在数轴上找到一个对应点一样，每个无理数也都可以在数轴上找到一个对应点，因此，可以说，每个实数都可以在数轴上找到一个对应点。（想一想：为什么？）反过来，数轴上的每一点也都对应一个有理数或无理数，也就是说，数轴上的每一点都对应一个实数。把这两件事合在一起，我们就说全体实数和数轴上的点一一对应。
利用课件显示帮助理解以上内容，数形结合，突破本课的难点：在数轴上用绿色闪烁圆点表示有理数，但这些并不能布满直线，说明数轴上的每一个点并不都表示有理数。再用红色闪烁圆点表示无理数，讲到有理数时绿色圆点闪烁，讲到无理数时绿色圆点闪烁，讲到实数时红、绿圆点同时闪烁，这才成为一整条直线，由此形象、直观展示实数除了有理数外还包括无理数，深化了实数的概念。
5类比迁移，大小比较，例题分析
例 把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）：
--1.4， ， 3.3， π，-- ，1.5
（1）让学生阅读题目，讨论比较大小的方法，培养学生的自学能力和探索精神，学会类比迁移。比较学生的解题思路，利用数轴比较或利用法则比较的（一般无理数需取近似值），都予以鼓励，抓住一题多解，培养学生思维的发散性和流畅性，有利于学生整体素质提高。
（2） 着重讲解在数轴上如何表示无理数，利用数轴进行大小比较
根据书本图3.2 画表示 的点的方法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
如； 尺规可作的无理数
π 尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示
6 理清关系 ，概括方法，课堂小结
6.1 是人们最早认识的无理数之一，这节课我们 从 谈起，谈到了什么？
（1）知识方面：
正有理数 （ 有限小数、无限循环小数 ）
有理数 { 零 } 可化为分数
实数{ 负有理数
正无理数 （无限不循环小数）
无理数 { }
负无理数 不能化为分数
实数与数轴上的点一一对应
（2）思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值；数形结合的数学思想
6.2启发学生提出新的疑问，培养学生创造性思维
从 谈起，我们还可以谈些什么？
例如： 其他无理数？
圆周率π的近似值？
由 出发，可以造出哪些无理数？
无理数与有理数的和、差、积等一定是无理数吗？
无理数与无理数的和、差、积等一定是无理数吗？
等等一系列问题，有待于我们进一步探索、研究
7 布置作业
A组必做， B、C组选做
附： 课后阅读
化循环小数为分数
（七）课后反思
本课精心设计问题情景，积极引导，启发学生进行概念剖析，从 谈起，让学生合作探究其特征 ，进而得到实数的概念，实现了数的范围的进一步扩展 ，尽量让学生亲身体验知识的形成过程，同时掌握分析、解决问题的思想和方法。
第二章 实数
３．3立方根
一、学情分析
在学习了平方根概念的基础上学习立方根的概念，学生比较容易接受，因此教学重点放在立方根具有唯一性（实数范围内）的讨论上．在学生对数的立方根概念及个数的唯一性有了一定理解的基础上，再提出数的立方根与数的平方根有什么区别，学生就容易解决问题．
二、目标分析
教学目标
知识与技能目标
1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．
2．会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算．
3．了解立方根的性质．
4．区分立方根与平方根的不同．
过程与方法目标
1．经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略．
2．在学习了平方根的基础上，学生经历用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想．
3．通过对立方根性质的探究，在探究中培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识．
情感与态度目标：
1．在立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．
2． 学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．
教学重点
立方根的概念及计算．
教学难点
立方根的求法，立方根与平方根的联系及区别．
三、教法学法
1．教学方法：类比法．
2．课前准备：
教具：教材，软件Microsoft PowerPoint 2002，电脑．
学具：教材，练习本．
四、教学过程
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：复习引入、类比学习；第三环节：初步探究；第四环节：尝试反馈，巩固练习；第五环节：深入探究；第六环节：课时小结；探究与思考；第七环节：作业布置及课外探究．
第一环节：创设问题情境：
内容：
某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？
（球的体积公式为，R为球的半径）
提问：怎样求出半径R ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 ．
意图：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望．
效果：在思考问题的同时，学生既感受了数学的应用价值，激发了学生的学习热情，有很快将问题归结为如何确定一个数，它的立方等于4，从而顺利引入新课．
第二环节：复习引入、类比学习
内容：
提问：（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0）的平方根?
（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根 是什么？
（3）平方和开平方运算有何关系？
（4）算术平方根和平方根有何区别和联系？
强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0.
（5）为了前面场景的问题中，需要引出一个新的运算，你将如何定义这个新运算？
1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次 方根）.
2．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（cube root, 也 叫做三次方根）．如：2是8的立方根，，0是0的立方根．
意图：学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，同时 突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．
效果：复习引入既复习了平方根的知识，又利于学生类比学习法学习立方根知识.
第三环节：初步探究
内容：
1做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？
（1） ； （2） ； （3）.
意图：通过计算练习,使学生进一步了解求一个数的立方，与求一个数的立方根是互为逆运算,感受一个数的立方根的唯一性，计算中对a的取值分别选为正数、负数、0，这样设计，在此过程中渗透分类讨论的思想方法．
2议一议：
（1）正数有几个立方根？
（2）0有几个立方根
（3）负数呢？
意图：提问，是为了指出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．
3在上面的基础上明晰下列内容，对知识进行梳理
（1）每个数a都只有一个立方根，记为“”，读作“三次根号a”．例如x3=7时，x是7的立方根，即=x；与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±”符号，但根指数3不能省略．
（2）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root) , 其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．
效果：通过亲自运算、探究学习立方运算的逆运算，培养了学生的探究能力，初步掌握立方根的概念．
第四环节：尝试反馈，巩固练习
内容：
例1求下列各数的立方根：
（1）； （2） ； （3） ； （4） ； （5）.
解：（1）因为，所以的立方根是，即；
（2）因为，所以的立方根是，即；
（3）因为，所以的立方根是，即；
（4）因为，所以的立方根是，即；
（5）的立方根是.
例2 求下列各式的值：
（1） （2） （3）； （4）．
解：（1）=； （2）=；
（3）=； （4）=9．
随堂练习
1．求下列各数的立方根：
2．通过上面的计算结果，你发现了什么规律？
意图：例1着眼于弄清立方根的概念，因此这里不仅用立方的方法求立方根，而且书写上采用了语言叙述和符号表示互相补充的做法，学生在熟练以后可以简化写法．例2则巩固立方根的计算，引导学生思考立方根的性质．
效果：学生通过练习掌握立方根的概念和计算，通过对计算结果的分析得出立方根的性质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，如：引导学生观察被开方数、根指数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律；若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论．
第五环节：深入探究
想一想：
（1）表示a的立方根，那么等于什么？呢？
（2）与有何关系？
意图：明晰 =a，=a。
说明：若学生通过上面的计算得出了立方根的性质，可以直接展示学生的成果；若没有得出结果，可以引导学生分析，如果=a,那么x就是a的立方根，即x=,所以==a, 同样，根据定义，是的a三次方，所以的立方根就是a, 即，=．
第六环节 课时小结：
内容1：提问通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的回答，得出下列内容：
1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根．
2．在学习中应注意以下5点：
（1）符号中根指数“3”不能省略；
（2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；
（3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；
负数没有平方根，但却有一个立方根；
（4）灵活运用公式：()3=a, ，=；
（5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．
意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．
效果：通过小结，学生进一步加深了对类比学习方法的感受，对所学的知识进行了梳理，学习更有条理性．
内容2：回顾引例
某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？
如有时间，学生学力许可，还可以安排学生探究下列问题：
1．回顾上节课的内容：已知，求x的值．
2．求下列各式中的x．
(1)8x3+27=0；(2)(x－1)3－0.343=0；(3)81(x+1)4=16；(4)32x5－1=0．
意图：回顾引例，使得教学环节更完整，同时体现了数学的实用价值．安排有层次的探究问题，可更好地调动不同学生的学习热情，让学生通过练习解决有关问题，培养学生综合解决问题的能力．
第七环节 教学反思
主要注意学生的计算，以及对立方根的理解
3.4 实数的运算
一、教学目标：
了解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用。
会进行简单的实数四则运算，进一步认识近似数与有效数学的概念。
能用计算器进行近似计算，并按问题要求对结果取近似值。
二、教学重点
本节的教学重点是实数的运算。
三、教学难点
本节的教学难点是用计算器将实数按要求对结果取近似值。
四、教学准备：科学计算器
五、教学流程：
导入新课：
同学们，你们想飞出地球，遨游太空吗？这是长期以来人类的一种理想，可是地球的吸引力毕竟是太大了，飞机飞得再快也得回到地面，只有当物体速度达到一定值时，才能克服地球引力，围绕地球旋转，这个速度叫第一宇宙速度，计算公式是：（千米/秒），其中千米/秒2是重力加速度。R=6370千米。是地球半径。请你用计算器求出第一宇宙速度，看看有多大？
生：（千米/秒）。
师：可见计算器对实数的运算既快又准，那么本节课我们就学习实数的运算。
练一练：
电脑显示：
由学生写出用字母表示有理数的五条运算律。
师：数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。
计算：＿＿ ； ＿＿ ； ＿＿
利用计算器计算：＿＿＿ （精确到0.01）
＿＿＿ （保留3个有效数字）
＿＿＿ （精确到万分位）
＿＿＿ （精确到0.01）
＿＿＿ （保留2个有效数字）
生：（1） ；；
（2）；；；；
（4）计算：①；
②
（由学生板演）：① 原式=
② 原式=
通过以上的练一练，由学生归纳实数的运算法则：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果遇到有括号，则先进行括号里的运算。
议一议
例1．计算：① （精确到0.001）
② （结果保留4个有效数字）
生：先练习，再同桌交流计算结果。
师：写出解题的规范化：
① 按键顺序： 8 － 9 =
0.748343301
②
例2．计算： （精确到0.01）
解：原式=
=
==18.94427197
做一做
1． 计算：① （精确到0.01）
② （结果保留3个有效数字）
③ （精确到0.01）
生：板演上面的3个小问题。
师：及时纠正。
2． （结果保留3个有效数字）
生：两种解法：
解法Ⅰ： 解法 Ⅱ：
=13.22875656 =
=13.22875656
师：应给予表扬。
生：（小结）实数的运算用计算器简便、准确，最后结果必须按问题的要求取近似值，这一点要引起足够重视。
（五）轻松时刻
①的绝对值是＿＿＿
＿＿＿＿的倒数是
（）的值是 ＿＿＿＿
＿＿＿＿
实数a、b满足 则a = ＿＿＿ ，b= ＿＿＿
挑战时刻
借用计算器可以求出：①＿＿＿ ②＿＿＿
③＿＿＿ ④＿＿＿
仔细观察上面几小题的结果，试猜想：
＿＿＿＿＿＿。 （答案：）
请阅读下面解题过程：
已知：实数a、b满足，，且，试求的值。
解：
故
师：请仿照上面的解题过程，解答下面问题：
已知实数x 满足，且 ，试求的值？
（答案：2）
归纳小结
本节课同学们学到了哪些新知识？
布置作业
课本作业题1，2，3。
3．4 实数的运算
教学目标：
知识与技能目标：理解并掌握实数运算的法则和运算顺序，会用计算器进行简单的混合运算，并解决一些简单的实际问题。
过程与方法目标：回顾有理数的运算法则和运算律，了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。
情感与态度目标：通过计算器的使用，提高学生的应用意识；通过对实际问题的解决，体验数学的应用性特点。
教学重点：掌握实数运算的法则和顺序。
教学难点：例2的算式比较复杂，是本节课的难点。
教学过程：
一、练习引入新课
1、请同学们拿出本子，看哪位同学算得又对又快。
设计意图：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的只是经验基础之上。设计3个简单的有理数的运算，给学生提供从事数学活动的机会，学生回顾有理数的运算顺序和运算律，也为之后实数的运算的教学做铺垫。
2、我们现在所学的数从有理数扩展到实数范围后，数的运算也在扩展。有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。——揭题：实数的运算。
3、课件出示：
有理数的运算 实数的运算
观察右边的算式，和左边的算式有什么不同？数的开方怎们运算？
二、例题讲解
1、例1.计算：
请同学们四人小组合作完成这四个题目。
快速汇报答案。
思考在运算中所碰到的问题。
设计意图：学生对计算器的使用已有所掌握，设计小组合作，让学生体验共同合作解决问题。这里的重点是有效数字怎么取？精确度怎么取？巩固近似值的取法。
2、例2.计算
（1）能不能直接用计算器算？请同学们得出结果。
（2）不直接用计算器可以怎么算？
①让学生观察题目，分析这个算式中包含了哪些运算， 运算时应该按照怎样的运算顺序？
得出实数的运算顺序：实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。 如果遇到括号，则先进行括号里的运算。
板书解题过程。
②还有没有不同的方法呢？——利用运算律
③比较这两种解法，你认为那种解法比较简便？
小结：在实数运算中，计算器只是辅助工具，我们依据运算顺序，利用运算律来使运算简便，最后再用计算器。
设计意图：数学教学中创设有助于学生自主学习的情境，使学生通过观察、操作、归纳、反思等活动，获得基本的数学知识和技能，发展思维能力，激发学生的学习兴趣，增强学好数学的信心。学生通过类比有理数的运算顺序得出实数的运算顺序，通过尝试从不同角度解决问题，从而比较选择，优化算法。
3、挑战题 计算：
先观察算式，这个算式中包含了哪些运算？你准备怎么算？
学生讨论尝试解决
请学生板演，全班交流
回顾观察运算的每一步所运用的运算律
设计意图：设计挑战题，激发学生的兴趣。此题是本节课的难点，让学生板演可以充分暴露出学生运算是可能出现的问题。同时根据学生的解题过程又可以重新加强对本节课的重点知识内容的掌握。
三、实际应用
分析：1、立方体有几个面？每个面怎样？所以要求表面积要先求什么？
2、已知条件是立方体的体积，如何来求棱长呢？
设计意图：数学活动的内容是现实的，数学在现实生活中有着广泛的应用，面对现实问题，能从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
四、小结
这节课你学到了哪些内容？
五、作业：
1、解决引课中的三个实数运算问题
设计意图：前后呼应，学生通过一节课的学习，运用新的知识进行自我检测。
2、课后作业：作业本
