2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册1.1锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.2 30°、45°、60°角的三角函数值）下列计算正确的是（ ）
A．sin60°﹣sin30°=sin30° B．sin245°+cos245°=1
C．cos60 D．cos30
2．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.2 30°、45°、60°角的三角函数值）在△ABC中，若tanA=1，sinB= ，你认为最确切的判断是（ ）
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
3．（2018九上·金山期末）在Rt△ABC中， ， ， ， ，下列各式中正确的是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
4．（2018九上·惠山期中）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于 （ ）
A． B． C． D．
5．（2017九上·拱墅期中）如图，正方形 中， 为 的中点， 为 上一点， ，设 ，则 的值等于（ ）．
A． B． C． D．
6．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3 锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算 同步练习）点M(-sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2 锐角三角函数—余弦、正切函数 同步练习）在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.1 锐角三角函数—正弦函数 同步练习）如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则∠α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（初中数学北师大版九年级下册1.2 30°、45°、60°角的三角函数值练习题）因为cos60°= ，cos240°=﹣ ，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
10．（2016九下·萧山开学考）如图，在△ABC中，BC=10，∠B=60°，∠C=45°，则点A到BC的距离是（ ）
A．10﹣5 B．5+5 C．15﹣5 D．15﹣10
二、填空题
11．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷B ）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，如果∠A=α，AC=4，那么BD= ．（用锐角α的三角比表示）
12．（2018九下·江阴期中）如图，∠A＝120°，在边AN上取B，C，使AB＝BC．点P为边AM上一点，将△APB沿PB折叠，使点A落在角内点E处，连接CE，则sin(∠BPE＋∠BCE)＝
13．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）若α为锐角,且tan (90°-α)= ,则tan α= .
14．（2016九下·邵阳开学考）一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为 ．
15．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）阅读理解：已知∠A、∠B是Rt△ABC的两个锐角，锐角∠A的邻边与对边的比值叫做锐角∠A的余切，记作cotA，记cotA= ，已知tanB= ，则cotB的值等于 ．
16．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.2 30°、45°、60°角的三角函数值）已知α为锐角，当 无意义时，tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）的值是 ．
三、解答题
17．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3 锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算 同步练习）计算下面各题：
（1）cos 60°-tan 45°+sin 30°;
（2） -tan245°.
18．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）已知α为锐角，且 =2，求tan α的值.
19．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3 锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算 同步练习）先化简,再求值:
÷ ,其中x=2(tan45°-cos30°).
20．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）计算:sin2 1°+sin2 2°+sin2 3°+…+sin2 87°+sin2 88°+sin2 89°
21．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α=2sinα．
22．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3 锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算 同步练习）根据已知条件，判断△ABC的形状：
（1）在△ABC中,若 + =0,判断△ABC的形状;
（2）已知a=3,且(4tan45°-b)2+ =0,判断以a,b,c为边组成的三角形的形状.
23．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2 锐角三角函数—余弦、正切函数 同步练习）如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
24．（2018九上·扬州期末）【问题学习】小芸在小组学习时间小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα= ，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：
构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα= ，可设BC=x，则AB=3x，…．
（1）【问题解决】
请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ= ，求sin2β的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、原式= ﹣ ≠ ，故A错误；
B、（ ）2+（ ）2=1，故B正确；
C、cos60°= ， = ，故C错误；
D、cos30°= ， = ，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值可进行判断。
2．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tanA=1，sinB= ，
∴∠A=45°，∠B=45°．
又∵三角形内角和为180°，
∴∠C=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值再结合已知条件可求出∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状。
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，
∴cosA= ，sinA= ，tanA= ，cotA= ，
∴c·cosA=b，c·sinA=a，b·tanA=a，a·cotA=b，
∴只有选项C正确，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的定义进行判断即可。
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】连接AB，
由图可知：OA=0B，AO=AB
∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°= ．
故答案为：B．
【分析】由作图可知，OA=AB=OB，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，用特殊角的三角函数值即可求解。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设 ，有 ，正方形边长为 ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴ ．
在 中， ，
∴ 为直角三角形，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】利用已知BN=3NC，根据正方形的性质，设NC=x，利用勾股定理分别求出AN2，AM2，MN2，再利用勾股定理的逆定理可证得△ANM 为直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义，可解答。
6．【答案】B
【知识点】点的坐标；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为点M的横坐标：-sin 60°=-<0，
点M的纵坐标：cos 60°=>0，
所以点M（-，）在第二象限。
故答案为：B。
【分析】根据特殊角的三角函数值，写出点M的坐标，再依据每个象限的横坐标和纵坐标的特点，判断点M在哪个象限即可。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵BC∶CA∶AB=5∶12∶13，
设BC=5，则CA=12，AB=13，
∴BC2+CA2=52+122=169=132=AB2.
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，
在Rt△ABC中，cosB=，
故答案为：C。
【分析】已知BC∶CA∶AB=5∶12∶13，根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，再由余弦函数的定义得出cosB的值。
8．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点P作PB⊥x轴，垂足为B，
因为点P（12，5），
所以OB=12，PB=5，
在Rt△OPB中，由勾股定理得：OP=
则sin α=
故答案为：A。
【分析】根据正弦函数的定义，需要构造含α的直角三角形，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，由点P坐标，可得OB，PB的长度，由勾股定理可得OP，在Rt△OPB中，而α所对的边是PB，斜边是OP，代入求值即可。
9．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos（180°+α）=﹣cosα，
∴cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣ ．
故选：C．
【分析】当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα．把210°代入计算即可．
10．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；勾股定理的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．
在Rt△ABD中，∠B=60°，
∴BD=cot∠B×AD= AD．
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴CD=AD，
∴BC=（1+ ）AD=10．
解得：AD=15﹣5 ．
故答案为：C．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D．在Rt△ABD中，∠B=60°，根据cot∠B的比值就可以求出BD与AD的关系，在Rt△ADC中，∠C=45°，从而得出CD=AD，根据勾股定理得出BC与AD的关系，再根据BD+DC=BC，列出关于AD的方程，从而得出AD的值。
11．【答案】4sinαtanα
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，
∴∠BCD=∠A=α，
∴CD=AC sinα=4sinα，
∴BD=CDtanα=4sinαtanα．
故答案为：4sinαtanα．
【分析】根据同角的余角相等得出∠BCD=∠A=α，根据正弦函数的定义，由CD=AC sinα算出CD，根据正切函数的定义，由BD=CDtanα算出BD。
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解 ：∵△APB沿PB折叠，得到△PEB，
∴∠APB=∠BPE，AB=BE，∠BEP=∠A=120 ，
∵AB=BC，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC，
∵∠BPE+∠BCE+∠APB+∠BEC=360 ∠A ∠BEP=120 ，
∴∠BPE+∠BCE=60 ，
∴sin(∠BPE＋∠BCE)＝sin60°=
【分析】根据翻折的性质得出∠APB=∠BPE，AB=BE，∠BEP=∠A=120 ，根据等量代换得出BC=BE，根据等边对等角得出∠BEC=∠BCE，从而根据等式的性质得出∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC，由四边形的内角和得出∠BPE+∠BCE=60 ，根据特殊锐角值得出答案。
13．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由tan (90°-α)= ，
可得tan (90°-α)= tan60°,
则90°-α=60°,
则α=30°,
即tan α=
故答案为：。
【分析】根据60度的正切值为，可求得α=30°,从而求出tanα。
14．【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D．可得BD=CD=3cm，所以cosB= ；
②4cm为底边时，同理可得BD=CD=2cm，因此cosB= = .
【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况，①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D，根据勾股定理及等腰三角形的三线合一得出BD=CD=3cm求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即可；②4cm为底边时，同理可得cosB 。
15．【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
∵tanB= = ，
∴cotB= = ．
故答案是： ．
【分析】根据正切和余切之间的关系可求解。
16．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：当 无意义时，tanα=1，
∠α=45°，
则tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）=tan60°﹣tan30°= ﹣
= ．
故答案为： ．
【分析】根据分式无意义的条件可得α的度数，将α的度数代入代数式可求解。
17．【答案】（1）解:原式= -1+ =0
（2）解:原式= -12=1-1=0.
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值代入即可解答。
18．【答案】解：将 =2左边的分子和分母同时除以cos α，得 =2，即3tan α+3=4tanα+2，解得tanα=1.
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】由tanα=，可将等式左边的分子和分母同时除以cosα，则化得tanα的方程，解出即可。
19．【答案】解:∵x=2(tan45°-cos30°)=2 =2- ,
∴原式= · =- =- = = .
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据45°的正切值和30°的余弦值，求得x的值；由分式的运算化简分式，并将x的代入即可出得答案。
20．【答案】解:原式=sin21°+sin22°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21°
=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°
=1+1+…+1+
=44+0.5
=44.5 .
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】互余的两个角的正弦（或余弦）值的平方和为1，即sin2α+sin2(90°-α)=1.
21．【答案】（1）解：该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=α．
则sinα+cosα= + = ＞1，故sinα+cosα≤1不成立
（2）解：该等式不成立，理由如下：
假设α=30°，则sin2α=sin60°= ，2sinα=2sin30°=2× =1，
∵ ≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α=2sinα不成立．
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证．
22．【答案】（1）解:∵ + =0,∴sinA= ,cosB= .∴∠A=30°,∠B=60°.∴∠C=180°-30°-60°=90°,∴△ABC是直角三角形.
（2）解：∵(4tan45°-b)2+ =0,∴4tan45°-b=0,3+ b-c=0.∴b=4,c=5.又∵a2+b2=9+16=25=c2,∴以a,b,c为边组成的三角形是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；求特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性，可得sinA和cosB的值，从而求得∠A与∠B的度数，可由∠C=180°-∠A-∠B，求得∠C，再判断△ABC的形状。
（2）根据平方数和算术平方根的非负性，可得b，c的值，由边的长度，根据勾股定理的逆定理，判断△ABC是否是直角三角形。
23．【答案】（1）解：把已知式子两边同时平方，得(sin α+cos α)2= ，
sin 2α+2sin αcos α+cos 2α= ，∴2sin αcos α= -1= ，sin αcos α= .
（2）解： = =7.
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据sin 2α+cos 2α=1，可考虑将sinα+cosα= 两边平方，再将sin 2α+cos 2α=1代入即可求得sinαcosα.
（2）中不含tanα，由tanα=，可将分式中的分子分母同时除以cosα，可转化为tanα的代数式，代入值即可求得。
24．【答案】（1）解：如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα= ，可设BC=x，则AB=3x．
∴AC= = =2 x，
∵ AC BC= AB CD，
∴CD= x，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=α，
∴∠COB=2α，
∴sin2α= =
（2）解：如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．
在⊙O中，∠NMQ=90°，
∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，∵sinβ= ，
∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM= NQ= ，
∴MQ= =4k，
∵ ，
∴3k 4k=5k MR
∴MR= ，
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON= ．
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）通过圆周角定理构造2倍关系角和直角三角形，利用正弦定义可求出sin2α的值；（2）借鉴（1）的方法，通过圆周角定理把圆周角∠P转化为一条边过圆心的圆周角，进而构造出2倍角，利用定义求出正弦.
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版九年级下册1.1锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.2 30°、45°、60°角的三角函数值）下列计算正确的是（ ）
A．sin60°﹣sin30°=sin30° B．sin245°+cos245°=1
C．cos60 D．cos30
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、原式= ﹣ ≠ ，故A错误；
B、（ ）2+（ ）2=1，故B正确；
C、cos60°= ， = ，故C错误；
D、cos30°= ， = ，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值可进行判断。
2．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.2 30°、45°、60°角的三角函数值）在△ABC中，若tanA=1，sinB= ，你认为最确切的判断是（ ）
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形
C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tanA=1，sinB= ，
∴∠A=45°，∠B=45°．
又∵三角形内角和为180°，
∴∠C=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值再结合已知条件可求出∠A、∠B的度数，即可判断△ABC的形状。
3．（2018九上·金山期末）在Rt△ABC中， ， ， ， ，下列各式中正确的是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，
∴cosA= ，sinA= ，tanA= ，cotA= ，
∴c·cosA=b，c·sinA=a，b·tanA=a，a·cotA=b，
∴只有选项C正确，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的定义进行判断即可。
4．（2018九上·惠山期中）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】连接AB，
由图可知：OA=0B，AO=AB
∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°= ．
故答案为：B．
【分析】由作图可知，OA=AB=OB，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，用特殊角的三角函数值即可求解。
5．（2017九上·拱墅期中）如图，正方形 中， 为 的中点， 为 上一点， ，设 ，则 的值等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】设 ，有 ，正方形边长为 ，
在 中，
，
∴ ，
在 中，
，
∴ ．
在 中， ，
∴ 为直角三角形，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】利用已知BN=3NC，根据正方形的性质，设NC=x，利用勾股定理分别求出AN2，AM2，MN2，再利用勾股定理的逆定理可证得△ANM 为直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义，可解答。
6．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3 锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算 同步练习）点M(-sin 60°，cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：因为点M的横坐标：-sin 60°=-<0，
点M的纵坐标：cos 60°=>0，
所以点M（-，）在第二象限。
故答案为：B。
【分析】根据特殊角的三角函数值，写出点M的坐标，再依据每个象限的横坐标和纵坐标的特点，判断点M在哪个象限即可。
7．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2 锐角三角函数—余弦、正切函数 同步练习）在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵BC∶CA∶AB=5∶12∶13，
设BC=5，则CA=12，AB=13，
∴BC2+CA2=52+122=169=132=AB2.
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，
在Rt△ABC中，cosB=，
故答案为：C。
【分析】已知BC∶CA∶AB=5∶12∶13，根据勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，再由余弦函数的定义得出cosB的值。
8．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.1 锐角三角函数—正弦函数 同步练习）如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则∠α的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点P作PB⊥x轴，垂足为B，
因为点P（12，5），
所以OB=12，PB=5，
在Rt△OPB中，由勾股定理得：OP=
则sin α=
故答案为：A。
【分析】根据正弦函数的定义，需要构造含α的直角三角形，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，由点P坐标，可得OB，PB的长度，由勾股定理可得OP，在Rt△OPB中，而α所对的边是PB，斜边是OP，代入求值即可。
9．（初中数学北师大版九年级下册1.2 30°、45°、60°角的三角函数值练习题）因为cos60°= ，cos240°=﹣ ，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos（180°+α）=﹣cosα，
∴cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣ ．
故选：C．
【分析】当α为锐角时有cos（180°+α）=﹣cosα．把210°代入计算即可．
10．（2016九下·萧山开学考）如图，在△ABC中，BC=10，∠B=60°，∠C=45°，则点A到BC的距离是（ ）
A．10﹣5 B．5+5 C．15﹣5 D．15﹣10
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；勾股定理的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．
在Rt△ABD中，∠B=60°，
∴BD=cot∠B×AD= AD．
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴CD=AD，
∴BC=（1+ ）AD=10．
解得：AD=15﹣5 ．
故答案为：C．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D．在Rt△ABD中，∠B=60°，根据cot∠B的比值就可以求出BD与AD的关系，在Rt△ADC中，∠C=45°，从而得出CD=AD，根据勾股定理得出BC与AD的关系，再根据BD+DC=BC，列出关于AD的方程，从而得出AD的值。
二、填空题
11．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第一章 解直角三角形 单元测试卷B ）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，如果∠A=α，AC=4，那么BD= ．（用锐角α的三角比表示）
【答案】4sinαtanα
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，
∴∠BCD=∠A=α，
∴CD=AC sinα=4sinα，
∴BD=CDtanα=4sinαtanα．
故答案为：4sinαtanα．
【分析】根据同角的余角相等得出∠BCD=∠A=α，根据正弦函数的定义，由CD=AC sinα算出CD，根据正切函数的定义，由BD=CDtanα算出BD。
12．（2018九下·江阴期中）如图，∠A＝120°，在边AN上取B，C，使AB＝BC．点P为边AM上一点，将△APB沿PB折叠，使点A落在角内点E处，连接CE，则sin(∠BPE＋∠BCE)＝
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解 ：∵△APB沿PB折叠，得到△PEB，
∴∠APB=∠BPE，AB=BE，∠BEP=∠A=120 ，
∵AB=BC，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC，
∵∠BPE+∠BCE+∠APB+∠BEC=360 ∠A ∠BEP=120 ，
∴∠BPE+∠BCE=60 ，
∴sin(∠BPE＋∠BCE)＝sin60°=
【分析】根据翻折的性质得出∠APB=∠BPE，AB=BE，∠BEP=∠A=120 ，根据等量代换得出BC=BE，根据等边对等角得出∠BEC=∠BCE，从而根据等式的性质得出∠BPE+∠BCE=∠APB+∠BEC，由四边形的内角和得出∠BPE+∠BCE=60 ，根据特殊锐角值得出答案。
13．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）若α为锐角,且tan (90°-α)= ,则tan α= .
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由tan (90°-α)= ，
可得tan (90°-α)= tan60°,
则90°-α=60°,
则α=30°,
即tan α=
故答案为：。
【分析】根据60度的正切值为，可求得α=30°,从而求出tanα。
14．（2016九下·邵阳开学考）一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为 ．
【答案】 或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D．可得BD=CD=3cm，所以cosB= ；
②4cm为底边时，同理可得BD=CD=2cm，因此cosB= = .
【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况，①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D，根据勾股定理及等腰三角形的三线合一得出BD=CD=3cm求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即可；②4cm为底边时，同理可得cosB 。
15．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.1.2 锐角三角函数）阅读理解：已知∠A、∠B是Rt△ABC的两个锐角，锐角∠A的邻边与对边的比值叫做锐角∠A的余切，记作cotA，记cotA= ，已知tanB= ，则cotB的值等于 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
∵tanB= = ，
∴cotB= = ．
故答案是： ．
【分析】根据正切和余切之间的关系可求解。
16．（2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.2 30°、45°、60°角的三角函数值）已知α为锐角，当 无意义时，tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）的值是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：当 无意义时，tanα=1，
∠α=45°，
则tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）=tan60°﹣tan30°= ﹣
= ．
故答案为： ．
【分析】根据分式无意义的条件可得α的度数，将α的度数代入代数式可求解。
三、解答题
17．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3 锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算 同步练习）计算下面各题：
（1）cos 60°-tan 45°+sin 30°;
（2） -tan245°.
【答案】（1）解:原式= -1+ =0
（2）解:原式= -12=1-1=0.
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值代入即可解答。
18．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）已知α为锐角，且 =2，求tan α的值.
【答案】解：将 =2左边的分子和分母同时除以cos α，得 =2，即3tan α+3=4tanα+2，解得tanα=1.
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】由tanα=，可将等式左边的分子和分母同时除以cosα，则化得tanα的方程，解出即可。
19．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3 锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算 同步练习）先化简,再求值:
÷ ,其中x=2(tan45°-cos30°).
【答案】解:∵x=2(tan45°-cos30°)=2 =2- ,
∴原式= · =- =- = = .
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据45°的正切值和30°的余弦值，求得x的值；由分式的运算化简分式，并将x的代入即可出得答案。
20．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.2.1 锐角三角函数的计算—利用计算器求三角函数值 同步练习）计算:sin2 1°+sin2 2°+sin2 3°+…+sin2 87°+sin2 88°+sin2 89°
【答案】解:原式=sin21°+sin22°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21°
=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°
=1+1+…+1+
=44+0.5
=44.5 .
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】互余的两个角的正弦（或余弦）值的平方和为1，即sin2α+sin2(90°-α)=1.
21．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α=2sinα．
【答案】（1）解：该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=α．
则sinα+cosα= + = ＞1，故sinα+cosα≤1不成立
（2）解：该等式不成立，理由如下：
假设α=30°，则sin2α=sin60°= ，2sinα=2sin30°=2× =1，
∵ ≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α=2sinα不成立．
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证．
22．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.3 锐角三角函数—特殊角的三角函数值的计算 同步练习）根据已知条件，判断△ABC的形状：
（1）在△ABC中,若 + =0,判断△ABC的形状;
（2）已知a=3,且(4tan45°-b)2+ =0,判断以a,b,c为边组成的三角形的形状.
【答案】（1）解:∵ + =0,∴sinA= ,cosB= .∴∠A=30°,∠B=60°.∴∠C=180°-30°-60°=90°,∴△ABC是直角三角形.
（2）解：∵(4tan45°-b)2+ =0,∴4tan45°-b=0,3+ b-c=0.∴b=4,c=5.又∵a2+b2=9+16=25=c2,∴以a,b,c为边组成的三角形是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；求特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性，可得sinA和cosB的值，从而求得∠A与∠B的度数，可由∠C=180°-∠A-∠B，求得∠C，再判断△ABC的形状。
（2）根据平方数和算术平方根的非负性，可得b，c的值，由边的长度，根据勾股定理的逆定理，判断△ABC是否是直角三角形。
23．（2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.1.2 锐角三角函数—余弦、正切函数 同步练习）如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
【答案】（1）解：把已知式子两边同时平方，得(sin α+cos α)2= ，
sin 2α+2sin αcos α+cos 2α= ，∴2sin αcos α= -1= ，sin αcos α= .
（2）解： = =7.
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据sin 2α+cos 2α=1，可考虑将sinα+cosα= 两边平方，再将sin 2α+cos 2α=1代入即可求得sinαcosα.
（2）中不含tanα，由tanα=，可将分式中的分子分母同时除以cosα，可转化为tanα的代数式，代入值即可求得。
24．（2018九上·扬州期末）【问题学习】小芸在小组学习时间小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα= ，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：
构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα= ，可设BC=x，则AB=3x，…．
（1）【问题解决】
请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）
（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ= ，求sin2β的值．
【答案】（1）解：如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα= ，可设BC=x，则AB=3x．
∴AC= = =2 x，
∵ AC BC= AB CD，
∴CD= x，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=α，
∴∠COB=2α，
∴sin2α= =
（2）解：如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．
在⊙O中，∠NMQ=90°，
∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，
在Rt△QMN中，∵sinβ= ，
∴设MN=3k，则NQ=5k，易得OM= NQ= ，
∴MQ= =4k，
∵ ，
∴3k 4k=5k MR
∴MR= ，
在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON= ．
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）通过圆周角定理构造2倍关系角和直角三角形，利用正弦定义可求出sin2α的值；（2）借鉴（1）的方法，通过圆周角定理把圆周角∠P转化为一条边过圆心的圆周角，进而构造出2倍角，利用定义求出正弦.
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