2021-2022学年浙教版八年级数学下册4.5三角形的中位线 优生辅导练习题（word版含答案）

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《4.5三角形的中位线》优生辅导练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（　　）
A．26° B．28° C．30° D．32°
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
3．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　）
A．2 B．5 C．7 D．9
5．如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定
6．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
7．如图，AB∥CD，AC、BD相交于P，E、F分别为AC、BD的中点，若AB＝10，CD＝6，则EF的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，DF∥CE交BE于点F．若AC＝8，BC＝12，则DF的长为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．2.5
二．填空题
9．如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为　 　．
10．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是 　 　cm2．
11．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是 　 　．
12．如图，△ABC是是以BC为底边的等腰三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点．若等腰△ABC的腰长为10cm，底边长为8cm，则：
（1）四边形ADEF的形状是 　 　；
（2）四边形ADEF的边长是 　 　cm．
13．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 　 　．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，则EF的长是 　 　．
15．如图，△ABC中，若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF的面积为6，则△ABC的面积＝　 　．
三．解答题
16．在△ABC中，点D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AC＝5，BC＝7，求DE的长．
17．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．
18．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
19．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长．
20．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
21．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，AH⊥BC，垂足为H．
求证：（1）HD＝EF．
（2）∠DHF＝∠DEF．
22．观察探究，完成证明和填空．
如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是　 　；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是　 　；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是　 　；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是　 　；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
参考答案
一．选择题
1．解：延长BE交AC于G，如图所示：
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，
∴∠BAE＝∠GAE＝∠BAC＝40°，
∵BE⊥AD，
∴∠BEA＝∠GEA＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AGE（ASA），
∴BE＝GE，
∵F为BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF∥GC，
∴∠EFD＝∠C，
∵∠BEA＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝50°+20°＝70°，
∴∠EFD＝∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
故选：C．
2．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，
∵BD∥CH，
∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，
∵∠A＝90°，
∴∠ECH＝∠A＝90°，
在△DNB和△HNC中，
，
∴△DNB≌△HNC（ASA），
∴CH＝BD＝4，DN＝NH，
在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，
∴EH＝＝＝5，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN＝EH＝2.5，
故选：A．
3．解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝8，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF是△ABH的中位线，
∴DF＝BH＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：C．
4．解：连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝13，
∴EF的最大值为6.5．
∵∠A＝90°，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为5；
故选：B．
5．解：连接AR．
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF＝AR，
∵AR的长为定值，
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
6．解：延长BC 到E 使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝DE＝AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝＝＝5，
∴CM＝，
解法二：延长CM交AD于T．
∵AD∥BC，
∴∠MBC＝∠MDT，
∵MD＝MB，∠BMC＝∠DMT，
∴△BMC≌△DMT（ASA），
∴CM＝MT，DT＝BC＝3，
∵AD＝6，
∴AT＝3，
∵AC＝4，∠CAT＝90°，
∴CT＝＝＝5，
∴CM＝MT＝CT＝．
故选：C．
7．解：连接CF并延长，交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠D＝∠B，
∵F为BD的中点，
∴DF＝BF，
在△DFC和△BFG中，
，
∴△DFC≌△BFG（ASA），
∴BG＝CD＝6，CF＝FG，
∴AG＝AB﹣BG＝4，
∵CF＝FG，CE＝EA，
∴EF＝AG＝×4＝2，
故选：B．
8．解：∵AD为中线，BC＝12，
∴CD＝BC＝×12＝6，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝10，
∵∠ACB＝90°，E为AD的中点，
∴CE＝AD＝5，
∵DF∥CE，D为BC的中点，
∴DF＝CE＝2.5，
故选：D．
二．填空题
9．解：在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理，CD＝CA，AM＝MD，
∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，
∴DE＝2MN＝6，
∵BE+CD﹣BC＝DE，
∴AB+AC＝BC+DE＝22，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，
故答案为：38．
10．解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DF∥BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），
故答案为：4．
11．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，
同理，PF＝BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故答案为：20°．
12．解：（1）∵点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC＝AF，EF∥AB，EF＝AB＝AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴DE＝EF，
∴平行四边形ADEF是菱形，
故答案为：菱形；
（2）∵AB＝10cm，
∴EF＝5cm，即四边形ADEF的边长是5cm，
故答案为：5．
13．解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠EAN，
∵BN⊥AN，
∴∠ANB＝∠ANE＝90°，
在△ABN和△AEN中，
，
∴△ABN≌△AEN（ASA），
∴AE＝AB＝6，BN＝NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25，
故答案为：25．
14．解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝16，
∴DE＝BC＝8．
∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，
∴DF＝AB＝5，
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
15．解：∵点F是CD的中点，
∴S△DEF＝S△CEF，
设S△DEF＝S△CEF＝x，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴S△ADE＝S△CDE＝2x，S△BDC＝S△ADC＝4x，S△BDF＝2x，
∴S 四边形BDEF＝3x．
∵S 四边形BDEF＝6，
∴3x＝6，
∴x＝2，
∴S△ABC＝2S△BDC＝8x＝16，
故答案为：16．
三．解答题
16．解：（1）延长AE交BC于F，
∵CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E，
∴∠ACE＝∠FCE，∠AEC＝∠FEC＝90°，
在△ACE和△FCE中，
，
∴△ACE≌△FCE．
∴AE＝EF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴DE是△ABF的中位线．
∴DE∥BC；
（2）∵△ACE≌△FCE，
∴CF＝AC＝5，
∵DE是△ABF的中位线．
∴DE＝BF＝（BC﹣AC）＝（7﹣5）＝1，
故DE的长为1．
17．证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．
∵点E是AD的中点，
∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝AB，
∴∠MEF＝∠P
同理可证：FM∥CD，FM＝CD．
∴∠MFQ＝∠CQF，
又∵AB＝CD，
∴EM＝FM，
∴∠MEF＝∠MFE，
∴∠P＝∠CQF．
18．解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF＝BD，
同理：ME∥AC，ME＝AC，
∵AC＝BD
∴ME＝MF
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG
∴OG＝OH．
19．解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
∴FG∥DB，GH∥EC．
∴∠DBE＝∠FGE，∠EGH＝∠AEG．
∠FGH＝∠FGE+∠EGH＝∠ABE+∠BEA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°．
（2）如图所示：连接FM、HM．
∵M、H分别是BC和DC的中点，
∴MH∥BD，MH＝．
同理：GF∥BD，GF＝．
∴四边形FGHM为平行四边形．
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
∴GH＝＝3，，
由（1）可知：∠FGH＝90°，
∴四边形FGHM为矩形．
∴∠GHM＝90°．
∴GM＝＝5．
20．解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DH＝DC＝，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝2×＝2．
21．（1）证明：在△ABC中，AH⊥BC，
∴∠AHB＝90°，
∵D为AB中点，
∴DH＝AB，
∵E，F分别为BC，AC边中点，
∴EF＝AB，
∴DH＝EF；
（2）∵D、E分别为AB、BC中点，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵F为AC中点，
∴AF＝AC，
∴DE＝AF，
∴四边形DEFA为平行四边形，
∴∠DEF＝∠BAC，
∵DH＝AB＝AD，
∴∠BAH＝∠DHA，
∵F为AC中点，∠AHC＝90°，
∴FH＝AC＝AF，
∴∠HAC＝∠AHF，
∴∠DHA+∠AHF＝∠DAH+∠FAH，
即∠DHF＝∠BAC，
∴∠DHF＝∠DEF．
22．（1）证明：连接BD．
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH＝BD，EH∥BD．
同理得FG＝BD，FG∥BD．
∴EH＝FG，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
故答案为平行四边形、菱形、矩形、正方形．