5.2菱形 同步练习（含解析）

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浙教版八年级下 5.2菱形同步练习
一．选择题
1．（2021春 凤山县期中）下列性质中，菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对边平行且相等
2．（2022 南通模拟）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90° D．∠AOB＝90°
3．（2022春 启东市校级月考）如图，若四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．13 B．12 C．26 D．52
4．（2022 河东区一模）如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5）
5．（2021秋 二七区校级期末）下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
6．（2022 香洲区校级一模）如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若BD＝6，则四边形CODE的周长是（　　）
A．10 B．12 C．18 D．24
7．（2022 石阡县模拟）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（　　）
A．16 B．24 C．28 D．32
8．（2022春 长沙期中）如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四边形AEDF周长为（　　）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
9．（2021春 铜梁区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（　　）
A． B．3 C． D．
10．（2021春 镇平县期中）如图，已知菱形ABCD的顶点A的坐标为（﹣，0），顶点B的坐标为（0，﹣1），若动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒2个单位长度的速度移动，则第2021秒时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（，0）
二．填空题
11．（2021秋 章丘区期末）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝5，AC＝6，那么菱形ABCD的面积为 　 　．
12．（2022春 梁溪区期中）已知一个菱形的两条对角线长分别为16cm和30cm，则这个菱形的高为 　 　．
13．（2022 黄陂区模拟）如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，若AE＝AC，∠B＝48°，则∠BAE的大小为 　 　．
14．（2022春 青浦区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE，若∠E＝70°，则∠OBC＝　 　．
15．（2021春 西城区校级期中）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则CD长是 　 　．
16．（2021春 福山区期中）如图，菱形OA1B1C1中，∠A1OC1＝60o，B1坐标为（2，0），再以B1为对称中心作菱形OA2B2C2，再以B2为对称中心作菱形OA3B3C3，按此规律继续作下去，得到菱形OAnBn n，则An的坐标为 　 　．
三．解答题
17．（2022 沈河区校级模拟）如图，E，F两点在菱形ABCD的对角线BD上，且BE＝DF，链接AE，AF，CE，CF．求证：四边形AECF是菱形．
18．（2022 和平区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求四边形AFED的面积．
19．（2021 盘州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D为BC上任意一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求四边形AFDE的周长；
（2）当点D在BC的什么位置时，四边形AFDE是菱形？请说明理由．
20．（2022 温州模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：BE＝DF．
（2）当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
21．（2021春 昆明期中）如图．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点H，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
22．（2021春 平舆县期中）如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）N为AD上一点，连接BN交AC于点M，且AM＝AN，求证：OA＝（AN+AB）．
答案与解析
一．选择题
1．（2021春 凤山县期中）下列性质中，菱形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对边平行且相等
【解析】解：菱形的性质有对角线互相平分，互相垂直，但不相等，
故选：C．
2．（2022 南通模拟）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　）
A．AB＝BD B．AC＝BD C．∠DAB＝90° D．∠AOB＝90°
【解析】解：A、AB＝BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；
C、∠DAB＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项C不符合题意；
D、∠AOB＝90°，则AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
3．（2022春 启东市校级月考）如图，若四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．13 B．12 C．26 D．52
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝24，BD＝10，
∴PA＝12，OB＝5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝，
故选：A．
4．（2022 河东区一模）如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，5） C．（﹣4，4） D．（﹣4，5）
【解析】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝5，
即CD∥x轴，
在Rt△AOD中，
由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故选：A．
5．（2021秋 二七区校级期末）下列关于某个四边形的三个结论：①它对角线互相平分；②它是一个菱形；③它是一个平行四边形．下列推理过程正确的是（　　）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
【解析】解：∵对角线互相平分的四边形推不出是菱形、平行四边形不一定是菱形，
∴由①推出②错误，由③推出②错误，
故选项B，C，D错误，
故选：A．
6．（2022 香洲区校级一模）如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若BD＝6，则四边形CODE的周长是（　　）
A．10 B．12 C．18 D．24
【解析】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD＝6，
∴OC＝OD＝3，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE＝OC＝OD＝CE＝3，
∴四边形CODE的周长＝4×3＝12．
7．（2022 石阡县模拟）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（　　）
A．16 B．24 C．28 D．32
【解析】解：∵点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，
∴BC＝2EF＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长是：4×8＝32．
故选：D．
8．（2022春 长沙期中）如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4cm，那么四边形AEDF周长为（　　）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
【解析】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
∴四边形AEDF周长为4AE＝16．
故选：B．
9．（2021春 铜梁区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（　　）
A． B．3 C． D．
【解析】解：如图，连接AP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BO＝DO，
∵S菱形ABCD＝24＝×AC×BD，
∴BD＝6，
∴BO＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ABD＝S菱形ABCD＝S△ABP+S△ADP，
∴12＝×5×EP+×5×PF，
∴PE+PF＝，
故选D．
10．（2021春 镇平县期中）如图，已知菱形ABCD的顶点A的坐标为（﹣，0），顶点B的坐标为（0，﹣1），若动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒2个单位长度的速度移动，则第2021秒时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（，0）
【解析】解：在Rt△AOB中，
∵∠AOB＝90°，顶点A的坐标为（﹣，0），顶点B的坐标为（0，﹣1），
∴OB＝1，OA＝，
∴AB＝＝＝2，
∵点P的运动速度为2单位长度/秒，
∴从点A到点B所需时间＝＝1（秒），
∴沿A→B→C→D→A所需的时间＝4×1＝4（秒），
∵2021÷4＝505 1，
∴移动到第2021秒和第2秒的位置相同，当P运动到第2秒时点P在点B处，坐标为（0，﹣1），
故选：C．
二．填空题
11．（2021秋 章丘区期末）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝5，AC＝6，那么菱形ABCD的面积为 　24　．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC，
在Rt△AOB中，BO＝＝4，
则BD＝2BO＝8，
故S菱形ABCD＝AC×BD＝24．
故答案为：24．
12．（2022春 梁溪区期中）已知一个菱形的两条对角线长分别为16cm和30cm，则这个菱形的高为 　cm　．
【解析】解：∵两条对角线长分别为16cm和30cm，
∴对角线的一半分别为8cm和15cm，
∴边长＝＝17，
设菱形的高为hcm，
则菱形的面积＝×16×30＝17h，
解得h＝．
故答案为：cm．
13．（2022 黄陂区模拟）如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，若AE＝AC，∠B＝48°，则∠BAE的大小为 　114°　．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣48°＝132°，
∴∠ACE＝∠BCD＝66°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝66°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝114°；
故答案为：114°．
14．（2022春 青浦区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE，若∠E＝70°，则∠OBC＝　20°　．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB∥DC，∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠DCE，
∵CE＝BC，
∴∠E＝∠CDE＝70°，
∴∠ECD＝∠CBA＝180°﹣2×70°＝40°，
∴∠OBC＝×40°＝20°．
故答案为：20°．
15．（2021春 西城区校级期中）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则CD长是 　6　．
【解析】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC＝6，
故答案为：6．
16．（2021春 福山区期中）如图，菱形OA1B1C1中，∠A1OC1＝60o，B1坐标为（2，0），再以B1为对称中心作菱形OA2B2C2，再以B2为对称中心作菱形OA3B3C3，按此规律继续作下去，得到菱形OAnBn n，则An的坐标为 　（2n﹣1，×2n﹣1）　．
【解析】解：∵菱形OA1B1C1中，∠A1OC1＝60o，B1坐标为（2，0），
∴∠A1OB1＝30°，点A1在OB1的中垂线上，
∴A1（1，），
同理A2（2，），A3（4，），A4（8，），
∴An的坐标为（2n﹣1，×2n﹣1），
故答案为：（2n﹣1，×2n﹣1）．
三．解答题
17．（2022 沈河区校级模拟）如图，E，F两点在菱形ABCD的对角线BD上，且BE＝DF，链接AE，AF，CE，CF．求证：四边形AECF是菱形．
【解析】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BO﹣BE＝DO﹣DF，
即EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形AECF是菱形．
18．（2022 和平区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求四边形AFED的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠FAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠FAE，
∴∠DEA＝∠DAE
∴AD＝ED，
∵AD＝AF，
∴DE＝AF，
∴四边形AFED是平行四边形，
又∵AD＝ED，
∴平行四边形AFED是菱形；
（2）解：过D作DG⊥AF于G，如图所示：
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADG＝90°﹣60°＝30°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝＝2，
由（1）得：四边形AFED是菱形，
∵AF＝AD＝4，
∴菱形AFED的面积＝AF×DG＝4×2＝8．
19．（2021 盘州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D为BC上任意一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求四边形AFDE的周长；
（2）当点D在BC的什么位置时，四边形AFDE是菱形？请说明理由．
【解析】解：（1）∵AB＝AC＝5，
∴∠B＝∠C，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C，
∴∠FDB＝∠B，
∴FD＝FB，
同理：DE＝EC，
∴四边形AFDE的周长＝AF+AE+FD+DE＝AF+FB+AE+EC＝AB+AC＝5+5＝10；
（2）当点D在BC的中点位置时，四边形AFDE是菱形，理由如下：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
由（1）可知，∠B＝∠C＝∠FDB＝∠EDC，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（ASA），
∴DF＝DE，
∴平行四边形AFDE是菱形．
20．（2022 温州模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：BE＝DF．
（2）当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数．
【解析】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠BAD＝110°，
∴∠B＝70°
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAF＝20°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝110°﹣20°﹣20°＝70°．
21．（2021春 昆明期中）如图．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点H，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∵AE＝DE，
∴CE＝DE；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝1，
∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，
∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形的边长为．
22．（2021春 平舆县期中）如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）N为AD上一点，连接BN交AC于点M，且AM＝AN，求证：OA＝（AN+AB）．
【解析】（1）证明：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形；
（2）证明：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠ANM＝∠MBC，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN＝∠BMC，
∴∠MBC＝∠BMC，
∴BC＝CM，
∴AC＝AM+CM＝AN+BC＝2OA，
∴OA＝（AN+BC），
∵AB＝BC，
∴OA＝（AN+AB）．
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