5.1多边形三课时同步测控及答案

第5章 平行四边形
【课标点击】
1. 探索并掌握四边形的内角和与外角和.
2. 了解多边形的概念，n边形的内角和与外角和.
3. 了解正多边形的概念，通过探索知道单独能镶嵌的正多边形只有3种，并能进行简单的镶嵌设计.
4. 掌握平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性.
5. 了解中心对称图形的概念；了解平行四边形是中心对称图形.
6. 探索并掌握平行四边形的性质.
7. 探索并掌握三角形中位线的性质.
8. 探索并掌握四边形是平行四边形的条件.
9. 进一步理解图形的平移，会运用平移变换的性质解决一些简单的图形问题；进一步认识平移在现实生活中的应用.
10. 结合具体的例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立.
5. 1 多边形(1)
【要点预习】
1. 四边形的概念：
由不在同一直线上的四条线段 形成的图形叫做四边形.
2. 四边形的内角和定理：
四边形的内角和等于 .
3. 四边形的外角和定理：
四边形的外角和等于 .
【课前热身】
1. 如图，写出四边形ABCD的一个外角 .
答案：∠ABE
2. 在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=75°，∠D=108°，则∠C=__ _度.
答案：87
3. 在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，则∠D的外角为_______度.
答案：60
【讲练互动】
【例1】一个四边形的四个内角的度数之比为1：2：3：4，求此四边形的四个内角的度数.
解：∵四边形的四个内角的度数之比为1：2：3：4，且四边形的内角和为360°
设最小角的度数这x°，则x+2x+3x+4x=360，解得x=36.
∴四边形的四个内角分别为36°，72°，108°，144°.
【绿色通道】在求与四边形的内角、外角有关度数时，常利用方程来解，这体现了一种重要的数学思想——方程思想.
【变式训练】
1. 四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠D，且∠A：∠C=1：2. 求四边形ABCD四个内角的度数.
解：设∠A=x°.
∵∠A：∠C=1：2，∠A=∠B，∠C=∠D，∴∠A=∠B=x°，∠C=∠D=2x°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴x+x+2x+2x=360，解得x=60.
∴∠A=∠B=60°，∠C=∠D=120°.
【例2】已知如图，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，求证：∠A＝∠C.
分析：思路一：连结AC. 由AB=BC得∠BAC=∠BCA，由AD=CD得∠DAC=∠DCA，于是证得∠BAD=∠BCD.思路二：连结BD. 则由“SSS”易证得△ABD≌△CBD，即得∠BAD=∠BCD.
证明一：连结AC.
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA.
又∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA. ∴∠BAD=∠BCD.
证明二：连结BD.
∵AB=BC，AD=CD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠BAD=∠BCD.
【绿色通道】四边形的问题常常转化为三角形的问题来解. 本例即是将四边形分割为两个等腰三角形或两个全等三角形来解.
【变式训练】
2.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4.
求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO=DO.
证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4，AC=AC，∴△ABC≌△ADC.
∴AB=AD，∴BO=DO.
【例3】如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE，BF分别平分∠ADC与∠CBA. 求证：DE∥BF.
分析：欲证DE∥BF，只需证∠DEA=∠FBA，由于∠DEA+∠ADE= 90°，故只需证∠FBA+∠ADE=90°，这就联想到四边形的内角和定理及题设中的角平分线的条件.
证明：∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°.
∵DE，BF分别平分∠ADC与∠CBA，
∴∠FBA+∠ADE=∠ABC+∠ADC=(∠FBA+∠ADE)=90°.
∵∠DEA+∠ADE= 90°，∴∠DEA=∠FBA，∴DE∥BF.
【变式训练】
3. 如图，在四边形ABCD中，∠A-∠C=∠D-∠B，求证：AD∥BC.
证明：∵∠A-∠C=∠D-∠B，∴∠A+∠B=∠C+∠D.
又∵∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A+∠B=∠C+∠D=180°.
∴AD∥BC.
【同步测控】
基础自测
1. 已知四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D=70°，则∠C的度数为…………………（ ）
A. 70° B. 90° C. 110° D. 140°
答案：C
2. 在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B比∠D大60°，则与∠B相邻的外角为……（ ）
A. 60° B. 80° C. 120° D. 130°
答案：A
3. 如图所示，已知在四边形ABCD中，DA⊥AB，BC⊥AB，∠ADC与∠BCD的平分线交于点E，则∠DEC的度数为……………………………………………………………………( )
A. 70° B. 80° C.90° D.100°
答案：C
4. 如图所示，一块钉板上水平方向和垂直方向相邻两钉的距离都是一个单位，用橡皮筋构成如图的一个四边形，那么这个四边形的面积为………………………………………（ ）
A. 2. 5 B. 5 C. 7. 5 D. 9
答案：C
5.四边形的外角和为 .
答案：360°
6. 如图，四边形ABCD中，∠A=95°，∠D=100°，外角∠ABE=70°，则∠ABC=___ _ _°，∠C=____ _°.
答案：110 55
7. 如图，把四张全等的四边形纸片可组成一幅镶嵌图，这样做的理由是 .
答案：四边形的内角和等于360°
8.四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：4：1：5.
(1)求四边形ABCD的四个内角的度数.
(2)四边形ABCD中是否有互相平行的边？若有，请找出来，并说明理由.
解：(1) ∵∠A:∠B:∠C:∠D=2:4:1:5，∴设∠C=x°，则∠A=2x°，∠B=4x°，∠D=5x°.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2x+4x+x+5x=360，解得x=30.
∴∠A=60°，∠B=120°，∠C=30°，∠D=150°.
(2)∵∠A+∠B＝180，∴AD∥BC.
9.已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A＝∠C. 求证：AD=CD.
证明：连结AC.
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA.
∵∠BAD=∠BCD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD.
能力提升
10.如图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是…………（ ）
A. 这两个四边形面积和周长都不相同
B. 这两个四边形面积和周长都相同
C. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长
D. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长
解析：Ⅰ的周长为，面积为；Ⅱ的周长为，面积为.
答案：D
11. 如图所示，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=4，AD=4，则四边形ABCD的面积是…………………………………（ ）
A. 16 B. 16 C. 16 D. 24
解析：延长CD，BA交于E点. 由∠A=135°得∠DAE=45°，而∠D=90°，故△ADE是等腰直角三角形，得DE=AD=4. 同理，可得△BCE是等腰直角三角形，于是BE= BC=4. 因此，S四边形ABCD=S△BCE-S△ADE= =16.
答案：C
12. 如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、、2，且AB⊥BC，则∠BAD的度数等于________.
解析：连结AC. 由已知易得△ABC是等腰直角三角形，且. 由于AC2+AD2=CD2，故∠DAC=90°，于是∠BAD=135°.
答案：135°
13. 在四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC.
(1)求证：AB∥CD.
(2)若∠ADC-∠A=60°，过点D作DE∥BC交AB于点E. 请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由.
解：(1)∵∠A=∠B，∠C=∠ADC，∴∠B+∠C=(∠A+∠B+∠C+∠ADC)=180°，∴AB∥CD.
(2)△ADE是正三角形.
∵AB∥CD，∴∠ADC+∠A=180°.
又∵∠ADC-∠A=60°，∴解得∠A=60°.
∵DE∥BC，∴∠AED=∠B=∠A=60°=∠ADE，∴△ADE是正三角形.
14.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.
如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD相交于点O.
(1)求证：①；②OB=OD，；
（2）如果AC=6，BD=4，求筝形ABCD的面积.
证明：(1)①在和中，
AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴．
②，∴．
，∴OB=OD，．
(2)筝形ABCD的面积的面积＋的面积
=12.
创新应用
15.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，己知四边形ABCD中，AC平分，=60°，与互补，求证：.
小敏反复探索，不得其解. 她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.
(1)特殊情况入手
添加条件：“”，如图2，可证. （请你完成此证明）
(2)解决原来问题
受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F. （请你补全证明）
证明：
(1)∵与互补，且，∴∠B=∠D=90°.
∵AC平分，=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°.
∴CB=CD=，AB=AD=，即.
(2)同(1)可证AF+AE=.
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠D=∠CBE.
又∵∠CFD=∠CEB=90°，CF=CE，∴△CDF≌△CBE(AAS).
∴DF=BE，∴.
5. 1 多边形(2)
【要点预习】
1. 多边形的内角和公式：n边形的内角和为 .
2. 多边形的外角和性质：任何多边形的外角和为 .
【课前热身】
1.五边形的内角和为 .
答案：540°
2. 过n(n＞3)边形其中一个顶点的所有对角线可以把n边形分成 个三角形.
答案：n-2
3. 过五边形的任一顶点可作 条对角线.
答案：2
4. 十五边形的外角和是 度.
答案：360°
【讲练互动】
【例1】一个多边形的每个外角都是18°，求这个多边形的内角和.
解：设这个多边形为n边形，则18n=360，解得n=20.
∴多边形的内角和为(20-2)·180=3240°.
【变式训练】
1.一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是…………………………（ ）
A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形
答案：C
【例2】如图，在六边形ABCDEF中，∠C=∠F，∠A=∠D，BC∥EF.
(1)求证：AF∥CD；(2)求∠A+∠B+∠C的度数.
分析：要证AF∥CD，根据图形位置，可适当添置辅助线，证它们间的内错角相等或同旁内角互补，结合题中的已知条件BC∥EF，我们可连结CF，容易证得∠AFC=∠DCF. 同时结合四边形的内角和等于360°，可求得∠A+∠B+∠C的度数.
(1)证明：连结CF.
∵BC∥EF，∴∠BCF=∠EFC.
又∵∠BCD=∠EFA，∴∠DCF=∠AFC，∴AF∥CD.
(2)解：∵∠A+∠B+∠BCF+∠AFC=360°，∠AFC=∠DCF，
∴∠A+∠B+∠BCD=360°.
【绿色通道】通过添加对角线，将多边形转化为三角形或四边形来解，这体现了转化思想，也是解决多边形问题常用的思路.
【变式训练】
2. 如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=∠B=∠BCD=∠D=∠E，AB=BC=AE=DE. 求证：(1)AC∥DE；(2)CD=DE.
证明：(1)∵∠BAE+∠B+∠BCD+∠D+∠E=540°，∠BAE=∠B=∠BCD=∠D=∠E，
∴∠BAE=∠B=∠BCD=∠D=∠E=108°.
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=36°.
∴∠EAC=∠DCA=72°，∴∠ACD+∠D=180°，∴AC∥DE.
(2)延长AE，CD相交于F点.
∵∠EAC=∠DCA=72°，∴FA=FC.
∵AC∥DE，∴∠FED=∠FDE=72°，
∴FE=FD，
∴CD=AE=DE.
【同步测控】
基础自测
1.六边形的内角和等于……………………………………………………（ ）
A.180° B.360° C.540° D.720°
答案：D
2. 已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这多边形是……………………………（ ）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
答案：B
3. 过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形边数是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
答案：D
4.在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2＝ 度.
答案：230
5.若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是_____.
答案：8
6. 如图所示，画出五边形ABCDE的所有对角线.
解：如图
7. 已知一个多边形的内角和是1440°.
(1)求这个多边形的边数；
(2)从这个多边形的某个顶点出发，最多可以画多少条对角线？
解：(1)设多边形的边数为n，则(n-2)·180=1440，解得n=10.
(2) 从这个多边形的某个顶点出发，最多可以画8条对角线.
8. 证明多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°.
下面已给出已知、求证，请你写出证明多边形内角和定理的一种方法及证明过程.
已知：如图，n边形.
求证：n边形的内角和等于(n-2)·180°.
证明：
证明：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形.
∵n个三角形的内角和等于以O为公共顶点的n个角的和为360°，∴n边形的内角和为.
∴定理得证.
能力提升
9.一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为……………………………………………………………（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
解析：设这个多边形的边数为n. 由多边形的一个外角大于0°且小于180°，故可得不等式：570-180<180(n-2)<570，解得答案：A
10. 将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形的内角和为……………… ( )
A. 180°或360° B. 180°或540° C. 360°或540° D. 180°或360°或540°
解析：长方形木板锯掉一角后，得到的多边形可能是三角形、四边形或五边形.
答案：D
11. n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比(n+1)边形的内角和小__________度.
解析：180(n+1-2)-180(n-2)=180.
答案：180
12.在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程.
解：四边形从一个顶点出发有4-3=1条对角线，这样4个顶点共有(4-3)×4条对角线，而每条对角线由两个顶点确定，故四边形共有＝2条对角线；
五边形从一个顶点出发有5-3=2条对角线，这样5个顶点共有(5-3)×5条对角线，而每条对角线由两个顶点确定，故四边形共有＝5条对角线；
类似地，凸六边形有条对角线，凸七边形有条对角线，凸八边形有条对角线.
13. n(n为整数，且n≥3)边形的内角中最多有多少个锐角？多少个直角？多少个钝角？请你通过尝试进行猜想，并证明你的猜想.
分析：由于多边形的内角随着边数的变化而变化，难以找到其不变性. 注意到任何多边形的外角和为360°，因此我们可外角着手进行分析.
解：n边形的内角中最多有3个锐角，4个直角，n个钝角.
证明：∵n边形的外角和为360°，∴n边形的外角中最多有3个钝角，4个直角，n个锐角.
∵多边形的一个外角与它相邻的内角互补，
∴n边形的内角中最多有3个锐角，4个直角，n个钝角(事实上n≥5时，正n边形的每个内角必为钝角).
创新应用
14. 如图，六边形ABCDEF的每个内角都是120°，且AF=AB=3，BC=CD=2，求DE与EF的长.
解：双向延长AF，BC，DE交于G，H，P.
∵六边形ABCDEF的每个内角都是120°，
∴∠GAB=∠GBA=∠HCD=∠HDC=∠PEF =∠PFE=60°，
∴△ABG，△CDH，△EFP，△GHP都是正三角形.
∴AF=AB=AG=BG=3，BC=CD=CH=DH=2，GH=HP=GP.
∴3+2+2=2+DE+EF=3+3+EF，∴EF=1，DE=4.
5. 1 多边形（3）
【要点预习】
1. 正多边形的概念：
相等，各内角也 的多边形叫做正多边形.
2. 正多边形的镶嵌：
单独能镶嵌平面的正多边形只有 种，即 、 、 .
【课前热身】
1.只用下列图形不能镶嵌的是…………………………………………（ ）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
答案：C
2.若一个正n边形的每个内角都等于120°，则n= .
答案：6
3. 若一个正多边形的每个外角都等于45°，则正多边形的边数是 .
答案：8
【讲练互动】
【例1】如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少m?
解：当小亮第一次回到A点时，他的行程路线正好是一个正多边形. 由该多边形的外角都等于15°可得，该多边形正好是一个边形，因此他一共走了24×10=240m.
【变式训练】
1.科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为…………………………………………………………………（ ）
A.6米 B.8米 C.12米 D.不能确定
答案：C
【例2】用三块正多边形的瓷砖铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合. 现知道其中两块瓷砖的边数分别是4和5，你能求出第三块瓷砖是正几边形吗？
解：第三块正多边形的内角为360°=162°.
设第三块瓷砖是正n边形，则162n=180(n-2)，解得n=20.
【绿色通道】用正多边形镶嵌平面，共顶点的各个角之和必须等于360°.
【变式训练】
2. 用正方形，再选一种正多边形设计一副镶嵌图，有哪几种选法？要求说明数学原理，并画出示意图.
解：选用正八边形与正方形镶嵌. 这是因为正八形的内角是135°，正方形的内角是90°，由于135°×2+90°＝360°，所以两个正八边形和一个正方形能组成一副镶嵌图，如图.
【同步测控】
基础自测
1.分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有………………………（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④都可以
答案：C
2. (2007肇庆中考)如果正n边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么n的值是………（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3.如图，若正六边形ABCDEF绕着中心O旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为……………………（　　）
A. 180° B. 120° C. 90° D. 60°
答案：D
4.根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第个图中平行四边形的个数是…………………………（ ）
A.3n B. 3n(n+1) C.6n D.6n(n+1)
答案：A
5.用正三角形作平面镶嵌，同一顶点周围，正三角形的个数为 个.
答案：6
6. (2008威海市)如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，则∠CAD的度数是 °.
答案：36
7. 已知一个正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数.
解：设这个正多边形为n边形，则156n=180(n-2)，解得n=15.
8. 用边长相等的正方形和正六边形能镶嵌平面吗？若能，请说明理由，并设计一幅美丽的镶嵌示意图；若不能请说明理由.
解：设m个正方形和n个正六形能镶嵌平面，则
90m+120n=360，∴3m+4n=12.
∵该方程无正整数解，∴用边长相等的正方形和正六边形不能镶嵌平面.
能力提升
9.在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形. 将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是…………………………………………………………………………………………（　　）
A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④
解析：∵3×60°+2×90°＝360°，∴①成立；∵2×60°+2×120°＝360°，∴②成立；由第8题可知③不成立；∵2×135°+90°＝360°，∴④成立.
答案：D
10.将边长为3cm的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于…………………………………………………………………………（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
解析：如图，可求得大等边三角形的面积是cm2，每个小等边三角形的面积是cm2，于是大正六边形的面积为cm2. 过C点作CE⊥AB于E，可求得S△ABC=cm2，于是新六边形的面积为.
答案：B
11.如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第n层有 个白色正六边形.
答案：6n
12.点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝ 度.
解析：连结OA，OB，则OA=OB，∠OAB=∠OBC==67.5°，
又AM=BN，故△OAM≌△OBN，得∠AOM=∠BON，而∠AOB=45°，于是得∠MON=45°.
答案：45
13.如图的花环状图案中，ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六边形.
(1)求证：∠1=∠2；(2)找出一对全等的三角形并给予证明.
证明：(1)∵ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六边形，
∴∠BAF=∠B1A1F1=120°，即∠1+∠B1AF=∠B1AF+∠2=120°，
∴∠1=∠2.
(2)△ABB1≌△FAA1.
∵AB=AF，AB1=FA1，∠1=∠2，∴△ABB1≌△FAA1(SAS).
14. 用三种不同的正多边形（边长相等）镶嵌平面，假设在一个顶点处，每一个正多边形只有一个，正多边形的边数分别为n1，n1，n3.
(1)写出n1，n2，n3满足的关系式；
(2)若其中两种正多边形分别为正方形和正六边形，求第三种正多边形的边数.
解：(1)由题意得，
化简，得.
(2)当n1=4，n2=6时，，解得n3=12.
创新应用
15.已知正n边形的周长为60，边长为a
(1)当n=3时，请直接写出a的值；
(2)把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b. 有人分别取n等于3、20、120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等. ”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值.
解：(1)a=20；
(2)此说法不正确.
理由如下：尽管当n=3、20、120时，a>b或a但可令a=b，得，即，解得n=60 .
经检验n =60是原方程的根. ∴ 当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60.