5.3平行四边形的性质2课时同步测控及答案

5. 3 平行四边形的性质(1)
【要点预习】
平行四边形的性质：
(1)平行四边形的两组对边 .
(2)夹在两条平行线间的 相等.
(3)夹在 间的垂线段相等.
【课前热身】
1. 在□ABCD中，若∠A：∠B=3：2，则∠D=________.
答案：72°
2. 在□ABCD中，若AB=3cm，AD=4cm，则它的周长为________cm.
答案：14
3. 已知□ABCD的周长为26，若AB=5，则BC=________.
答案：8
4. 已知□ABCD的周长是20，△ABC的周长为17，则对角线AC的长是_______.
答案：7
【讲练互动】
【例1】已知平行四边形的周长是68cm，相邻两边上的高分别为8cm和9cm，求这个平行四边形的面积.
解：设平行四边形的一边长为xcm.
∵平行四边形的周长是68cm，∴它的邻边长为(34-x)cm.
则8x=9(34-x)，解得x=18cm. 此时，34-x=16cm.
∴平行四边形的四边长为18cm，16cm，18cm，16cm.
【绿色通道】平行四边形的周长等于相邻两边和的2倍；平行四边形的面积等于一边与该边上高的积.
【变式训练】
1. 已知平行四边形的面积是144cm2，相邻两边上的高分别为8cm和9cm，求这个平行四边形的周长.
解：平行四边形两条高所在的边长分别为=18cm，=16cm.
∴平行四边形的周长为2(18+16)=68cm.
【例2】如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F. 试判断AF与CE是否相等，并说明理由.
分析：猜想AF=CE.要证AF=CE，可证它们所在的△AFD≌△CEB，显然已具备∠A=∠C，AD=BC两个条件，第三个条件可结合平行四边形的对角相等和题设中的角平分线的条件证得.
AF=CE. 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC，∠ADC=∠ABC.
∵DF平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠ADF=∠ADC=∠ABC=∠CBE.
∴△AFD≌△CEB，∴AF=CE.
【绿色通道】本例也可证四边形BEDF是平行四边形，得DE=BF，再得AF=CE. 除利用我们已学过的全等三角形或等腰三角形的性质能证明线段相等外，利用平行四边形的性质也能证明两条线段相等.
【变式训练】
2.如图，已知E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF. 求证：DF∥BE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，∴∠BEC=∠DFA，∴DF∥BE.
【同步测控】
基础自测
1如图，□ABCD的为16cm，AD＝5cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于………………………………………（ ）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
答案：B
2. 如图所示，在□ABCD中，若∠A=45°，AD=，则AB与CD之间的距离为……………………………………………………（ ）
A. B. C. D. 3
答案：B
3.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，□ABCD的周长为40. 则□ABCD的面积为……………………（ ）
A.24 B.36 C.40 D.48
答案：D
4.已知直线a∥b，夹在a，b之间的一条线段AB的长为6，AB与直线a的夹角为150°，则夹在a，b之间的距离为_____ _.
答案：3
5. 如图，在□ABCD中，BD是对角线，E、F是对角线上的两点，要使△BCF≌△DAE，还需添加一个条件（只需添加一个条件）是 .
答案：如BF=DE，CF∥AE，∠BCF=∠DAE等
6.已知，如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E. 求证：BE=CD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，∴.
∵AE平分，∴，∴，
∴AB=BE，∴BE=CD．
7.将图甲中的□ABCD沿对角线AC剪开，再将△ADC沿着AC方向平移，得到图乙中的△A1D1C1. 连结AD1，BC1. 除△ABC与△C1D1A1外，你还可以在图中找出哪几对全等的三角形（不能另外添加辅助线和字母）?请选择其中的一对加以证明.
解：△AA1D≌△C1CB，△AD1C1≌△C1BA.
证明：由题意，得AA1=C1C，A1D1=CB，∠ACB=∠C1A1D1，
∴∠AA1D1=∠C1CB，∴△AA1D≌△C1CB.
8.如图，E，F是□ABCD的对角线AC上的点，CE=AF. 请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：
猜想：
证明：
猜想：BE∥DF，BE=DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠BCA=∠DAC. 又∵CE=AF，∴.
∴BE=DF，∠BEC=∠CFA，∴BE∥DF.
能力提升
9.在□ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为………………………………………（ ）
A.2 B. C. D.15
解析：如图，设每个小平行四边形的面积为S. ，，，，∴，∴，∴.
答案：B
10.国家级历史文化名城——金华，风光秀 丽，花木葱茏. 某广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花. 如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是………………………………………………………（ ）
A.红花、绿花种植面积一定相等 B.橙花、紫花种植面积一定相等
C.红花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等
解析：
11. 如图，P是面积为的正△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF= .
解析：延长EP交AB于H. 则可得□BDPH和正△AEH，正△FPH，于是可得PD=BH，AH=HE，HP=PF=HF. 因此，PD+PE+PF=BH+PE+ HP=BH+HE=BH+AH=AB. 根据已知可求得正三角形边长AB为4.
答案：4
12. 已知，如图，在□ABCD中，AE＝CF，EF与BD交于点H，由图中可以得到许多结论，例如：AB=DC；∠A＝∠C；△ADB≌△CBD；S梯形ADFE＝S梯形BCFE；……等等，你一定还能从图中得出许多有趣的结论，请你写出一个你认为有价值的正确结论，并证明之.
结论：BH=DH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB，∠BEF=∠DFE.
∵AE=CF，∴BE=DF，
∴△BEH≌△DFH，∴BH=DH.
13. 如图，在□ABCD中，EF∥BC，MN∥AB，且四边形AEPN，BEPM，CFPM的面积分别为6，4，8. 求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，MN∥AB，
∴EF∥BC∥AD，MN∥AB∥CD，
∴，∴，∴S4=12，∴S=6+4+8+12=30.
创新应用
14.在中，，点P为所在平面内一点，过点P分别作交AB于点E，交BC于点D，交AC于点F.
若点P在BC边上（如图1），此时，可得结论：.
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在内（如图2），外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.
解：图2结论：PD+PE+PF=AB.
证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点.
由题意得PE+PF=AM.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴MB=PD.
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB.
图3结论：PE+PF-PD=AB.
5. 3 平行四边形的性质(2)
【要点预习】
平行四边形的性质：平行四边形的 互相平分.
【课前热身】
1. 在□ABCD中，AB=2cm，BC=5cm，则ABCD的周长为______cm.
答案：14
2. 如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO=4，BO=3，则CO=______，BD=________.
答案：4 6
3. 如图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB ≌△_______，△AOD≌△_______.
答案：COD COB
4. 如图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，若□ABCD的面积为12，则△AOB的面积为 .
答案：3
【讲练互动】
【例1】已知：如图，□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且BE//DF. 求证：BE=DF.
分析：要证BE=DF，只需证△ABE≌△CDF或△BOE≌△DOF，结合已知条件容易证得.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO.
∵BE∥DF，∴∠BEO=∠DFO. 又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，∴BE=DF.
【绿色通道】当平行四边形中出现与对角线相关的问题时，往往利用“平行四边形的对角线互相平分”这一性质来解.
【变式训练】
1. 如图，□ABCD中，AC⊥AB，∠ABD=30°，AC与BD交于点O，AO＝1，求BC的长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO=2.
又∵AC⊥AB，∠ABD=30°，∴BO=2AO=2，AB=.
∴在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=7，∵BC>0，∴BC=.
【例2】在一次数学探究活动中，小王用两条直线把□ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等.
(1)根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组.
(2)请你下图的平行四边形中画出满足小王分割方法的直线.
(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
解：(1)无数；
(2)如图
（AC、BD为对角线） （E、F、G、H为各边中点） （E、F、G、H为各边三等分点）
(3) 这两条直线都经过平行四边形的相同的等分点，且都经过对角线的交点.
【变式训练】
2. 如图是一块蛋糕的形状. 表面是平行四边形，且内有一个平行四边形的孔. 你能切一刀将它分成大小相等的两块吗？请说出你的刀法，并画出示意图.
解：这两个平行四边形的对角线交点的连线.如上图.
【同步测控】
基础自测
1. 平行四边形不一定具有的性质是………………………………………………………（ ）
A. 对角线互相平分 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对边相等
答案：C
2. 如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有………………………………………………（ ）
A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对
答案：B
3. 如第2题图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=6，BD=8，AB=4，则△COD的周长为……………………………………………………………………………（ ）
A. 18 B. 9 C. 11 D. 无法确定
答案：C
4. 如第2题图，□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=6，BD=8，则边AB长的取值范围是……………………………………………………………………………………（ ）
A. 1＜AB＜7 B. 2＜AB＜14 C. 6＜AB＜8 D. 3＜AB＜4
答案：A
5. 如第2题图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，若AO=2cm，△ABC的周长为13cm，则□ABCD的周长为_____ _cm.
答案：22
6. 已知□ABCD的周长为40，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长小6，则AB=________，BC=_______.
答案：7 13
7. 如图，O为□ABCD的对角线交点，E为AB的中点，DE交AC于点F，若S□ABCD＝12，则S△DOE的值为 .
答案：1.5
8. 如图，已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O任作一直线分别交AD、CB的延长线于E、F，求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DO=OB.
∴∠E=∠F，∠EDO=∠FBO.
∴△DOE≌△BOF(AAS)，∴OE=OF.
9. 如图，已知∠AOB，OA=OB. 点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形. 请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留画图痕迹，不写画法)，并说明理由.
解：连结AB，EF相交于C点，则射线OC就是所求的角平分线.（图略）
证明：∵四边形AEBF是平行四边形，∴AC=BC.
∵OA=OB，∴OC平分∠AOB.
能力提升
10. (2007日照中考)如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
分析：由四边形ABCD是平行四边形得BO=OD，又OE⊥BD，故得BE=DE，于是△ABE的周长即为AB+AD，这可根据平行四边形的周长求得.
答案：D
11.在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处. 如果AE过BC的中点，则□ABCD的面积等于……………………………（ ）
A.48 B. C. D.
解析：如图，由题意可知AB=CD=CE，BC=AD=AE，AC=CA，于是△ABC≌△CEA，得∠ACB=∠CAE，即FA=FC，又BF=FC，故∠BAC=90°，由勾股定理可求得AC=，因此可求得△ABC的面积，进而求得□ABCD的面积.
答案：C
12. (2007眉山中考)如图，ΔACD和ΔAEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°. 四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是………………………………………………………………( )
A.ΔACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与ΔADB重合
B.ΔACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与ΔDAC重合
C.沿AE所在直线折叠后，ΔACE与ΔADE重合
D.沿AD所在直线折叠后，ΔADB与ΔADE重台
解析：由已知易证△DAB≌△CAE≌△DAE，△ACB≌△DAC. △ACE的顶点绕A点逆时针旋转90°后与△ADB的顶点对应重合，故A正确；选项B中线段AB绕A点顺时针旋转90°不可能与DC重合，故不正确；选项C、D，进行相应的轴对称变换都成立.
答案：B
13. □ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，那么图中有全等三角形 对.
解析：由已知可证以下全等三角形：△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△AOB≌△COD，△BOC≌△DOA，△BOE≌△DOF，△AOE≌△COF.
答案：6
14. 如图，在□ABCD中，E在AD上，以BE为折痕把△ABE向上翻折，使点A落在CD上的点F. 若△DEF的周长为8，△FCB的周长为22，则FC= .
解析：由题设可知DE+EF+DF=DE+AE+DF=AD+DF=AD+CD-FC =8，BF+BC+FC=AB+BC+FC=CD+AD+FC=22，于是可得FC=7.
答案：7
15. 如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=45°，且AE+AF=，求□ABCD的周长.
分析：结合已知条件求得AB=AE，AD=AF间的关系，进而可得AB+AD=4，于是可求得□ABCD的周长.
解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，且∠EAF=45°，∴∠C=135°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，∴∠B=∠D=45°.
∴AB=AE，AD=AF.
又∵AE+AF=，∴AB+AD=4，即□ABCD的周长为8.
创新应用
16. 已知点A(3，0)，B(-1，0)，C(0，2)，以A，B，C为顶点画平行四边形，求第四个顶点D的坐标.
分析：本题分三种情况讨论，即AB、AC、BC分别是对角线时的三种情况.
解：(1)当AB是对角线时，D(2，-2)；
(2) 当AC是对角线时，D(4，2)；
(3) 当BC是对角线时，D(-4，2).