5。5平行四边形的判定2课同步测控及答案

5. 5 平行四边形的判定(1)
【要点预习】
1. 平行四边形的判定定理1：一组对边 的四边形是平行四边形.
2. 平行四边形的判定定理2：两组对边 的四边形是平行四边形.
【课前热身】
1. 如图，已知AD∥BC，AB∥EF∥CD，E，F分别在AD，BC上，那么图中的平行四边形共有………………………………………( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：C
2. 第1题中是平行四边形的理由是 .
答案：两组对边平行的四边形是平行四边形
3. 在四边形ABCD中，已知AB∥CD，请补充条件__________________（写一个即可），使得四边形ABCD为平行四边形.
答案：AB=CD或AD∥BC
4. 四边形ABCD中，已知AB=CD=4，BC=6，则当AD= 时， 四边形ABCD为平行四边形.
答案：6
【讲练互动】
【例1】如图，已知□ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，求证：EF=BC.
分析：要证EF=BC，只需证四边形BCFE是平行四边形即可.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD.
∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴BECF.
∴四边形BCFE是平行四边形，∴EF=BC.
【变式训练】
1. 如图，已知E，F分别是□ABCD的边AD，BC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC.
∵AE=CF，∴DEBF.
∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE=DF.
【例2】 如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF.
求证：四边形DAEF是平行四边形.
证明：∵△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠ABD=∠CBF.
∴∠DBF=∠ABC，∴△DBF≌△ABC(SAS)，∴DF=AC.
∵AC=AE，∴DF=AE.
同理，AD=EF. ∴四边形DAEF是平行四边形.
【变式训练】
2. 如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，CA边上的点，且BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，使点F位于AB的同侧. 求证：∠EFD＝∠EBD.
证明：连结CF.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE.
∵△ADF是等边三角形，∴AD=DF=AF，∠DAF=60°.
∴BE=AD=DF.
∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=60°.
∵CE=BD=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE=BD.
∴四边形BDFE是平行四边形，∴∠EFD=∠EBD.
【同步测控】
基础自测
1..不能判定四边形是平行四边形的题设是…………………（ ）
A. AB∥CD，AB=CD B. AB=CD，AD=BC
C. AD=BC，∠A=∠C D. AB∥CD，∠B=∠D
答案：C
2.如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是……………………………………………………………………（ ）
A. (-3，1) B.(4，1) C. (-2，1) D. (2，-1)
答案：C
3. 如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其它线段有……………………（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案：B
4. 如图，已知AD=BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要添加的条件是_______. （只需填写一个）
答案：AD∥BC或AB=CD
5. 如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形).
答案：BE=DF或BF=DE或AE∥CF或CE∥AF等
6. 将两个全等的三边各不相等的三角形按不同的方式拼接成各种四边形，其中平行四边形有________个.
答案：3
7. 如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
证：∵∠D=∠DCE，∴AD∥BC.
又∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
8. 只用一把刻度尺与圆规，作□ABCD，使AB=3cm，BC=4cm，∠B=45°.（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示：
9.如图，点在一条直线上，AB=DE，. BE=CF.
求证：（1）；
（2）四边形ABED是平行四边形.
证明：(1)∵BE=CF，∴BC=EF.
又∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴△ABC≌△DEF(SAS).
(2)∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE.
又∵∠B=∠DEF，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形.
能力提升
10. 已知四边形ABCD，从下列条件中：(1)AB∥CD，(2)BC∥AD；(3)AB=CD；（4）BC=AD；(5)∠A=∠C；(6)∠B=∠D. 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有……………………………………………………………………………………（ ）
A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种
解析：利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的有条件(1)(2)；利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的条件有(3)(4)；利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的条件有(1)(3)，(2)(4)；利用“两组对角相等的四边形是平行四边形”（可利用四边形的内角和定理证明同旁内角互补，转化为两组对边分别平行）的条件有：(5)(6)，(1)(5)，(1)(6)，(2)(5)，(2)(6).
答案：B
11. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/秒的速度由A向D运动，Q以2cm/秒的速度由C向B运动， 秒后四边形ABQP成为平行四边形.
解析：由于AD∥BC，要使四边形ABQP为平行四边形，只需满足AP=BQ即可，即t=6-2t，解得t=2.
答案：2
12.在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（，0），C（1，0）三点坐标. 若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标 .
解析：当AB为对角线时，D(-2，1)；当BC为对角线时，D(0，-1)；当AC为对角线时，D(2，1).
答案：(-2，1)或(0，-1)或(2，1)
13. 请作出如图的□ABCD关于AB所在直线的轴对称图形□ABC/D/，连结CC/，DD/，请判断四边形CC/DD/是不是平行四边形，并说明理由.
解：如图. 四边形CC/DD/是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD和ABC/D/是平行四边形，
∴CDABC/D/，
∴四边形CC/DD/是平行四边形.
14.如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG.
求证：四边形GEHF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠GBE＝∠HDF.
又∵AG＝CH，∴BG＝DH.
又∵BE＝DF，∴△GBE≌△HDF.
∴GE＝HF，∠GEB＝∠HFD，∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形.
创新应用
15. 如图，四边形ABCD为平行四边形，M、N分别从D到A、从B到C，速度相同，E、F分别从A到B、从C到D，速度相同. 他们之间用橡皮绳连紧.
（1）没有出发时，这两条橡皮绳有何关系？
（2）若同时出发，这两条橡皮绳还有（1）中的结论吗？为什么？
分析：没有出发时，显然两条橡皮绳即为两条对角线，它们之间的关系显然是互相平分；当同时出发后，要判断它们之间是否互相平分，只需转化为判断四边形EMFN是否为平行四边形即可.
解：(1)EF与MN互相平分.
(2) EF与MN互相平分.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠A=∠C，AB=CD，AD=BC.
∵AE=CF=DM=BN，
∴BE=DF，AM=CN.
∴△BEN≌△DFM，△AEM≌△CFN，
∴EN=FM，EM=FN，
∴四边形EMFN是平行四边形，∴EF与MN互相平分.
5. 5 平行四边形的判定(2)
【要点预习】
平行四边形的判定定理3：对角线 的四边形是平行四边形.
【课前热身】
1. 已知：四边形ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、CD中点，则四边形BEDF为 ______________形.
答案：平行四边
2. 如图，AC、BD是相交的两条线段，O分别为它们的中点. 当BD绕点O旋转时，连接AB、BC、CD、DA所得到的四边形ABCD始终为 形.
答案：平行四边
3. 第2题的理由是 .
答案：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【讲练互动】
【例1】四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是……………………………………………………………………………………（ ）
A. AD∥BC且AD=BC B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB=CD D. AD∥BC，AB=CD
解析：选项A是利用了平行四边形的判定定理1，选项B是利用了平行四边形的判定定理3，选项C是利用了平行四边形的判定定理2，选项D不正确，反例是等腰梯形.
答案：D
【绿色通道】证明一个四边形是平行四边形共有4条途径：（定义）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（判定定理1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（判定定理2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（判定定理3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【变式训练】
1. 已知在四边形ABCD中，AD∥BC，请再添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形(写出三种条件). (1) ________ ；(2) _______ _；(3) __ ______.
答案：AD=BC AB∥CD ∠A=∠C
【例2】已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，并且AE＝CF.
求证：四边形DEBF是平行四边形.
证明：连结DB，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO＝CO，DO＝BO.
又∵ AE＝CF，∴ EO＝FO.
∵ EO＝FO，DO＝BO，
∴ 四边形DEBF是平行四边形.
【变式训练】
2. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE＝CF，BM＝DN.
求证：四边形EMFN为平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
又∵AE=CF，BM=DN
∴OE=OF，OM=ON，∴四边形EMFN是平行四边形.
【同步测控】
基础自测
1. 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是…………………………………………………………………………………………（ ）
A. AD∥BC且AD=BC B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB=CD D. AD∥BC，AB=CD
答案：D
2. 如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是……………………( )
A. BE＝DF B. AF⊥BD，CE⊥BD
C. ∠BAE＝∠DCF D. AF＝CE
答案：D
3. 如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，连结AF、CE与对角线BD分别交于点G、H，则图中与∠HED相等的角(不包括∠HED)共有……………………………………………………( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：C
4.如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （任意添加一个符合题意的条件即可）.
答案：如AB=CD等
5. 如图，□ABCD和□AEFD，则四边形BCFE是________.
答案：平行四边形
6. 将一张平行四边形的纸片对折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这条折痕必通过 .
答案：对角线的交点
7. 请用刻度尺与圆规作一个平行四边形，使得两条对角线与一条边各为3cm，5cm，3cm. （不写作法，保留痕迹）
解：如图，□ABCD就是所示的平行四边形.
8.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.
（1）求证：△BDE≌△CDF.
（2）请连结，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由.
证明：(1)∵D是BC的中点，∴BD=CD.
∵CF∥BE，∴∠BED=∠CFD，∠EBD=∠FCD.
∴△BDE≌△CDF.
(2) 四边形BECF是平行四边形.
证明：∵△BDE≌△CDF，∴DE=EF.
又BD=CD，∴四边形BECF是平行四边形.

9. 如图，已知AC∥DE且AC=DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形.
证明：连结AE，CD.
∵AC∥DE，AC=DE，∴四边形ACDE是平行四边形.
∴AB=BD，BC=BE.
又∵ BF=CF，BG=GE，∴BF=BG，∴四边形AGDF是平行四边形.
能力提升
10. 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为……………………( )
A. 2＜AD＜14 B. 1＜AD＜7 C. 6＜AD＜8 D. 12＜AD＜16
解析：如图，延长AD至E，使DE=AD，连结BE、CE. 由于BD=CD，故四边形ABEC是平行四边形，得BE=AC=8，AE=2AD，而AB=6，因此BE-AB=8-6答案：B
11. 在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则能通过旋转达到重合的三角形有……………………………………………………（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
解析：△ABD与△CDB，△ABC与△CDA，△AOB与△COD，△AOD与△COB都可以以O为旋转中心旋转得到.
答案：C
12.对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C 中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 .
解析：将四个关系式两两组合共有6组，其中能推出是平行四边形的组合有：①②；①③；③④共3组，故概率为.
答案：
13. 如图，已知E，F分别为□ABCD边AD，AB上的两点，则图形中与△BEC的面积相等的三角形有 个.
解析：显然△BEC的面积为□ABCD面积的一半，故与它面积相等的三角形有△ABD，△BCD，△CDF共3个.
答案：3
14. 如图，AC是□ABCD的对角线.
（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q；
②连结PQ，PQ分别与交于点.
（2）求证：AE=CF.
解：（1）作图如右.
（2）证明：根据作图知，PQ是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，且．
∵ABCD是平行四边形，∴．
∴．∴AE=CF．
创新应用
15.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA＝OC；②AB＝CD；③∠BAD＝∠DCB；④AD∥BC.
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明.
解：（1）③④为条件时，为真命题.
已知：如图，∠BAD＝∠DCB，AD∥BC.
求证：四边形ABCD为平行四边形.
证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形.
（2）②④为条件时，为假命题. 反例为等腰梯形.