5.6三角形的中位线同步测控及答案

5. 6 三角形的中位线
【要点预习】
1. 三角形的中位线概念：
连结三角形 的线段叫做三角形的中位线.
2. 三角形的中位线定理：
三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的 .
【课前热身】
1. (2008嘉兴中考)如图，中，已知AB=8，BC=6，CA=4，DE是中位线，则DE=（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
答案：B
2. 任何一个三角形有 条中位线.
答案：3
3. 如图是一个三角形与它的三条中位线，则图中有 个平行四边形.
答案：3

4.如图，在中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=5，则BC的长是 .
答案：10
【讲练互动】
【例1】如图，Rt中，∠B=90°，D，E分别是AB，AC的中点，DE=6，AC=15，求AB的长.
解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴BC=2DE=12.
又∵∠B=90°，AC=15，∴AB=.
【绿色通道】当问题涉及多个中点时，往往可利用三角形的中位线定理来解.
【变式训练】
1. 如图，在□ABCD中，AC，BD交于点O. E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点. 若AB=4，BC=6，求四边形EFGH的周长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，AD=BC=6.
又∵E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点，
∴EF=AB=2，FG=BC=3，GH=CD=2，EH=AD=3，
∴四边形EFGH的周长为10.
【例2】如图，△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC中点. 求证：BD=2EF.
分析：要证BD=2EF，由于F是BC的中点，根据三角形的中位线定理只需证E是CD中点即可，这易从已知证得.
证明：∵AD=AC，AE⊥CD，∴CE=DE.
又∵F是BC中点，∴BD=2EF.
【变式训练】
2. 如图，已知DE为△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE.
求证：四边形BCFD为平行四边形.
证明：∵DE为△ABC的中位线，∴DEBC.
又∵EF=DE，∴DFBC.
∴四边形BCFD是平行四边形.
【例3】如图，AD是∠BAC的外角平分线，CD⊥AD于点D，E是BC的中点.
求证：DE=(AB+AC).
分析：直接证明DE=(AB+AC)比较困难，注意到E是BC的中点，联想到三角形的中位线定理，于是延长CD与BA交于F点，只需证D是CF的中点及AF=AC即可，这容易从题设证得.
证明：延长CD与BA交于F点.
∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD.
∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，∴∠ACD=∠F，
∴AC=AF，∴CD=DF.
∵E是BC的中点，∴DE=BF=(AB+AC).
【绿色通道】三角形的中位线定理是一个倍分定理，在解决倍分问题时，常用它将线段加倍或折半.
【变式训练】
3. 如图，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边△ABM和△CAN. D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE，求证：DE=EF.
证明：连结MC，BN.
∵△ABM和△CAN都是等边三角形，
∴AM=AB，AC=AN，∠MAB=∠CAN，∴∠MAC=∠BAN，
∴△MAC≌△BAN，∴MC=BN.
∵D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
∴DE=MC，EF=BN，∴DE=EF.
【同步测控】
基础自测
1.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=6，则DE等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
答案：C
2. 三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为………………( )
A. 6. 5cm B. 24cm C 26cm D. 52cm
答案：C
3. 如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=…………………………………（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 50°
答案：A
4.如图，若D，E分别是AB，AC中点，现测得DE的长为20米，则池塘的宽BC是 米.
答案：40
5.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是__ ___.
答案：平行四边形
6.在四边形ABCD中，AC=4cm，BD=4.5cm，分别是边的中点，则四边形EFGH的周长为 .
答案：8.5cm
7. 如图，F、G、D、E分别为AD、AE、AB、AC的中点，△AGF的周长是10，则△ABC的周长是_______.
答案：40
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=6，求四边形DEFG的周长.
解：∵AB=BC=3DE=6，∴BC=9，DE=2.
∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG=AB=3.
∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，
∴FG=BC=4.5，EF=AB=3.
∴四边形DEFG的周长为2+3+4.5+3=12.5.
9.如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长.
解：（1）∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝
（2）∵AB＝BC， BD是∠ABC的平分线，∴D为AC的中点.
∵DE∥BC，∴E为AB的中点，∴DE＝cm.
10. 如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点. 求证：四边形DFGE是平行四边形.
证明：∵BE，CD是△ABC的中线，
∴AD=DB，AE=EC，
∴DEBC.
又∵F，G分别是OB，OC的中点，∴FGBC.
∴DEFG，∴四边形DFGE是平行四边形.
能力提升
11. 如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，…依次类推，第2009个三角形的周长为………………………………………( )
A. B. C. D.
解析：由已知易得：第1个三角形的周长为1，第2个三角形的周长为，第3个三角形的周长为，第4个三角形的周长为，…第2009个三角形的周长为.
答案：D
12.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是……………………………………（ ）
A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关
解析：连结AR，由E、F分别是AP、RP的中点，得EF=AR，由于R点不动，故线段EF的长不变.
答案：C
13.如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP于点P. 若AB=12，AC=22，则MP的长为………（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析：延长BP交AC于D. 则根据已知条件易证AD=AB=12且P是线段BD的中点，于是根据三角形的中位线定理可求得MP的长.
答案：C
14. 如图，□ABCD中，AD=8cm点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动(分别运动到点D，C即停止)，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H. 则在此运动过程中，线段GH 的长始终等于 .
解析：连结EF，由题设显然AE与BF平行且相等，即四边形ABFE是平行四边形，得AG=FG，同理FH=DH，于是GH=AD=4cm.
答案：4cm
15. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：EF和GH互相平分.
分析：要证EF和GH互相平分，只需证明四边形EGFH是平行四边形，利用三角形的中位线定理不验证证得.
证明：连结EG，FG，FH，EH.
∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，
∴EGBCFH，即四边形EGFH是平行四边形，
∴EF和GH互相平分.
16. 16. 已知△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，连结CE并延长交AB于点F，请你先用刻度尺量一下线段AF与BF，它们之间有什么数量关系?并说明理由.
解：BF=2AF.
证明：取CE的中点G，连结DG.
∵AD是中线，∴BD=CD.
∴DG=BF，DG∥BF.
∴∠FAE=∠GDE，∠AFE=∠DGE.
又∵点E是AD的中点，∴AE=ED.
∴△AEF≌△DEG，∴AF=DG.
∴BF=2AF.
创新应用
17. 已知：如图l，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M，N.
(1)求证：FG=(AB+BC+AC).
(2)若①BD、CE分别是△ABC的内角平分线(如图2)；②BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想(不用证明).

证明：(1)∵BD平分∠ABM，AF⊥BD，∴∠BAD=∠BMD.
∴BA=BM，∴AF=FM.
同理AC=CH，AG=GH.
∴FG=MH=(AB+BC+AC).
(2)①FG=(AB+AC-BC)；
②FG=(BC+AC- AB).