5.7逆命题与逆定理同步测控及答案

5. 7 逆命题与逆定理(1)
【要点预习】
1. 逆命题的概念：
两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 .
2. 逆定理的概念：
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ，这两个定理叫做 .
【课前热身】
1. 命题“两直线平行，同旁内角互补”的条件是 .
答案：两直线平行
2. 命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是______ ____.
答案：同位角相等，两直线平行.
3. 定理“平行四边形的两组对边分别相等” (填“有”或“没有”)逆定理.
答案：有
【讲练互动】
【例1】写出下列命题的逆命题，并判断其真假.
(1)两直线平行，同旁内角互补.
逆命题：_____________________________________ ____________（ ）
(2)在一个三角形中，等边对等角.
逆命题：___________________________________________________ __（ ）
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0.
逆命题：_______________________________________________________（ ）
解：(1)同旁内角互补，两直线平行 真命题
(2)在一个三角形中，等角对等边 真命题
(3) 如果ab=0，那么a=0，b=0 假命题
【黑色陷阱】尽管逆命题与原命题有着互逆的因果关系，但这两个命题的真与假没有必然的联系`.
【变式训练】
1. 写出下列命题的逆命题，并判断两个互逆命题的真假.
(1)等角的余角相等；
(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
(3)若a=b，则a2=b2.
解：(1) 逆命题：相等的角是等角的余角.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
(2)逆命题：平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等.
原命题是假命题，逆命题是真命题.
(3)逆命题：若a2=b2，则a=b.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
【例2】下列定理中，哪些有逆定理？若有，请说出逆定理.
(1)平行四边形的两组对边分别相等.
(2)全等三角形的对应角相等.
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
解：(1)有逆定理. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(2)没有逆定理.
(3)有逆定理. 等边三角形是有一个角等于60°的等腰三角形.
【绿色通道】判定一个定理是否有逆定理的基本环节：一是说出定理的逆命题；二是判断逆命题的真假. 如果逆命题为真，那么这个定理有逆定理；如果逆命题为假，那么这个定理就没有逆定理.
【变式训练】
2. 下列定理中，哪些有逆定理？若有，请说出逆定理.
(1)三角形的外角和为360°；
(2)等腰三角形底边上的中线与高线重合.
(3)平行四边形的对角线互相平分.
解：(1)没有逆定理.
(2)有逆定理.一边上的中线与高线重合的三角形是等腰三角形.
(3)有逆定理.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【例3】请说出“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题. 这个逆命题是真命题吗?请证明你的判断.
解：逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形.
这是一个真命题.
已知：如图，BD，CE是△ABC的两条高，且BD=CE.
求证：AB=AC.
证明：∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠BDA=∠CEA=90°.
又∵∠A=∠A，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，∴AB=AC.
【变式训练】
3. 写出定理“平行四边形的两组对角相等”的逆命题，并证明它是真命题.
已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=∠C+∠D=180°，
∴AB∥CD，AD∥BC，即四边形ABCD是平行四边形.
【同步测控】
基础自测
1. 下列说法中，正确的是……………………………………………………………………（ ）
A. 每个命题不一定都有逆命题 B. 每个定理都有逆定理
C. 真命题的逆命题仍是真命题 D. 假命题的逆命题未必是假命题
答案：D
2. 下列命题的逆命题为真命题的是………………………………………………………（ ）
A. 直角都相等 B. 等边三角形是锐角三角形
C. 若x>y，则x2>y2 D. 能被5整除的数，它的末位数字是5
答案：D
3. 下列定理有逆定理的是…………………………………………………………………（ ）
A.对顶角相等 B.正方形的四个角都是直角
C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D.成轴对称的两个三角形全等
答案：C
4. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是_____ _____.
答案：内错角相等，两直线平行
5. 请写出一个命题 ，使它是假命题，但它的逆命题是真命题.
答案：如有一个角为60°的三角形是等边三角形
6. 定理“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”的逆定理是_______
.
答案：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
7. 写出命题“如果连结一个四边形四边的中点构成的四边形是一个平行四边形，那么原四边形也是平行四边形”的逆命题，判断逆命题的真假，并证明你的结论.
解：逆命题：连结平行四边形四边中点构成的四边形是平行四边形. 是真命题.
已知：如图，E、F、G、H是□ABCD的四边的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：连结AC.
∵E、F、G、H是□ABCD的四边的中点，
∴EFACGH，∴四边形EFGH是平行四边形.
8. 利用“线段垂直平分线定理及其逆定理”证明以下命题：
已知：如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上.
求证：EB=EC.
证明：∵AB=AC，∴A点在线段BC的垂直平分线上.
∵DB=DC，∴D点在线段BC的垂直平分线上.
∴AD是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线），
又∵点E在AD上，∴EB=EC.
能力提升
9. 下列定理中，有逆定理的是………………………………………………………………（ ）
A. 全等三角形的对应角相等 B. 三角形的中位线平行于第三边
C. 四边形的外角和等于360° D. 等腰三角形的两个底角相等
解析：选项A的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，这是一个假命题，反例如两个边长不等的正三角形；选项B的逆命题是：平行于三角形一边的线段的三角形的中位线，这显然是一个假命题，因为平行于三角形一边的线段有无数条，而三角形的中位线只有一条；选项C的逆命题：外角和为360°的多边形一定是四边形，这也是一个假命题，事实上任何多边形的外角和都等于360°；选项D有逆定理：有两个相等的三角形是等腰三角形，这是一个等腰三角形的判定定理.
答案：D
10. 下列命题中，逆命题错误的是…………………………………………………………（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 有两对邻角互补的四边形是平行四边形
C. 平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等
D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解析：选项A的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理3，是真命题；选项B的逆命题：平行四边形的两对邻角互补，这是真命题，事实上邻角互补可推得两组对边平行，进而推得是平行四边形；选项C的逆命题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，这是一个假命题，反例是等腰梯形；选项D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等，这是平行四边形的性质定理1，是真命题.
答案：C
11. (2007泰州中考)请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题
.
答案：如对顶角相等
12. 写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并证明这个逆命题的正确.
解：逆命题：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；是真命题.
已知：如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，CD=AB.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵CD是AB边上的中线，CD=AB，
∴CD=AD=BD，∴∠1=∠A，∠2=∠B，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°，∴∠1+∠2=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形
13. 请说出命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”的逆命题，这个逆命题是真命题吗?请证明你的判断.
解：逆命题：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半. 是真命题.
已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.
求证：BC=AB.
证明：取AB的中点D，连结CD.
∵∠ACB=90°，∴CD=AB=BD.
∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴△BCD是正三角形，
∴CD=BC，∴BC=AB.
创新应用
17. 已知命题：“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合.”证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗?
解：逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.是真命题.
已知：如图，△ABC中，BD=CD，AD平分∠BAC.
求证：AB=AC.
证明：延长AD至E，使DE=AD.
∵BD=CD，∴四边形ABEC是平行四边形.
∴BE=AC，BE∥AC，∴∠BEA=∠CAD.
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，
∴∠BAD=∠BEA，∴AB=BE，∴AB=AC.
5. 7 逆命题与逆定理(2)
【要点预习】
1. 勾股定理的逆定理：
如果三角形两边的平方和等于 ，那么这个三角形是直角三角形.
2. 关于原点对称点的性质：
在直角坐标系中，点(x，y)与点 关于原点对称.
【课前热身】
1. 点P(-1，3)关于原点对称的点的坐标是…………………………………………………（ ）
A.(-1，-3) B.(1，-3) C.(1，3) D.(-3，1)
答案：B
2. 写出命题“同位角相等”的逆命题 .
答案：相等的角是同位角.
3. 定理“直角三角形两锐角互余” (填“有”或“没有”)逆定理.
答案：有
4. 某三角形的两条较短边分别为2与4，则当最长边为 时，此三角形为直角三角形.
答案：
【讲练互动】
【例1】已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且满足a+b=17，ab=60，c=13，△ABC是直角三角形吗？请证明你的结论.
解：是直角三角形.
∵a+b=17，ab=60，∴a2+b2=(a+b)2-2ab=172-2×60=139，
又∵c2=132=169，∴a2+b2=c2，∴该三角形是直角三角形
【变式训练】
1. 已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且满足，则△ABC是直角三角形吗？请证明你的结论.
解：是直角三角形.
由题设，得.
根据非负数的性质，得a-12=0，b-16=0，=0，
∴a=12，b=16，c=20.
∴a2+b2=400=c2，∴△ABC是直角三角形.
【例2】在直角坐标系内，点关于原点对称，求的值.
解：∵A(2a，a+b-1)与B(-b，a-1)关于原点对称，
∴，解得，∴a+b=.
【变式训练】
2. 在直角坐标系中，已知A（-3，4），D（0，5），点B与点A关于x轴成轴对称，点C与点A关于原点O成中心对称，求四边形ABCD的面积.
解：由题意得B(-3，-4)，C(3，-4)，四边形ABCD的面积为48.
【同步测控】
基础自测
1. 在平面直角坐标中，点(－，)关于坐标原点的对称点是…………………………( )
A. (，) B. (－，－) C. (，－) D. (，－)
答案：C
2. 下列各组数能作为直角三角形三边的是………………………………………………（ ）
A. 3，4，6 B. 15，20，25 C. 5，12，15 D. 10，16，25
答案：B
3.如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(-2，3)，则点C的坐标为……………( )
A.(-3，2) B.(-2，-3) C.(3，-2) D.(2，-3)
答案：D
4.点A(-2，1)关于y轴对称的点的坐标为___________，关于原点对称的点的坐标为________.
答案：(2，1) (2，-1)
5.分别以的三边作三个正方形，若其中两个正方形的面积和恰好等于第三个正方形的面积，则此三角形是 三角形.
答案：直角
6. 在下列各点中，分别找出关于坐标原点对称的各对称点.
A(-2，1)，B(1，-2)，C(2，1)，D(-1，2)，E(1，2)，F(2，-1)，G(-2，-1)，H(-1，-2).
解：A与F，B与D，C与G，E与H.
7. 写出命题“平行四边形的一组对边平行，一组对角相等”的逆命题，并判断逆命题的真假. 若是真命题，请给出证明； 若是假命题，请举一个反例说明.
解：逆命题：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形. 是真命题.
已知：如图，∠BAD＝∠DCB，AD∥BC.
求证：四边形ABCD为平行四边形.
证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形.
8. 已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且满足a =7+b，ab=120，c=17，△ABC是直角三角形吗？请证明你的结论.
解：是直角三角形.
∵a =7+b，ab=120，∴a2+b2=(a-b)2+2ab=72+2×120=289.
∵c=17，∴c2=289=a2+b2.
∴△ABC是直角三角形.
能力提升
9. 若的三边满足，则是…………………………（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
解析：由已知得a-b=0或a2+b2-c2=0，即a=b或a2+b2=c2，故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
答案：D
10. 分别以的三边作三个图形，若其中两个图形的面积和恰好等于第三个图形的面积，则此三角形是直角三角形. 则这个图形可以是以下四种图形：①正方形；②正三角形；③圆；④以的边为斜边的等腰直角三角形中的……………………………………（ ）
A. 一种 B. 二种 C. 三种 D. 四种
答案：D
11. (2008常州中考)如图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系. 在这种变换下，如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标是 .
解析：由图形知，点A坐标(4，3)与点P坐标(-4，-3)，点B坐标(3，1)与点Q坐标(-3，-1)，点C坐标(1，2)与点R坐标(-1，-2)，观察对应点的坐标变化规律知△PQR是△ABC经过以原点为对称中心的中心对称变换，故N是M点关于原点的中心对称点.
答案：(-x，-y)
12. 如图，分别以ΔABC的三边AB，AC，BC为直径作半圆，得两个月牙形面积S1，S2，若SΔABC= S1+S2.
求证：ΔABC是直角三角形.
分析：观察图形，两个月牙形的面积和等于以AC和BC为直径的两个半圆的面积和加上△ABC的面积再减去以AB为直径的半圆的面积.
证明：由图形知S1+S2=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC－S半圆AB.
∵SΔABC= S1+S2，∴S半圆AC+S半圆BC=S半圆AB.
∴，
∴AC2+BC2=AB2，即△ABC是直角三角形.
13. 写出命题“如果两个角的两边互相垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假(要求说明理由)
解：原命题是假命题.
反例：如图，∠CAD与∠EBF的两边互相垂直，但它们互补，并不一定相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角的两边互相垂直.
逆命题是假命题.
反例：如两个角是两直线平行后所得的同位角，则它们相等，但它们两边不可能互相垂直（显然有一边是互相平行）.
创新应用
14. 如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心. 此时，M是线段PQ的中点.
如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）. 点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，… 对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环. 已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.
分析：P1(1，1)关于A(1，0)对称点P2(1，-1)，P2(1，-1)关于B(0，1)对称点P3(-1，3)，P3(-1，3)关于O(0，0)对称点P4(1，-3)，P4(1，-3)关于A(1，0)对称点P5(1，3)，P5(1，3)关于B(0，1)对称点P6(-1，-1)，P6(-1，-1)关于O(0，0)对称点P7(1，1)，…，发现的规律是点列P1 (1，1)→P2 (1，-1)→P3 (-1，3)→P4 (1，-3)→P5 (1，3)→P6 (-1，-1)→P7 (1，1)→…，即这组点列以6个点依次循环.
解：P2(1，-1) P7(1，1) P100(1，-3)