(共23张PPT)
6.2.2 反比例函数的图像和性质
浙教版 八年级下
回顾思考
1.当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内；
2.当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内.
3.图象的两个分支关于直角坐标系的原点成中心对称.
双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
反比例函数的性质
新知讲解
观察下表中反比例函数的图像，你能根据反比例函数的图像发现反比例函数的有关性质吗？
反比例函数 图像
新知讲解
观察反比例函数(k≠0)的图象,说出y与x之间的变化关系:
O
A
B
C
D
当k>0时，在 内，
随x的增大而 ．
每个象限
减少
新知讲解
(1)、当k＞0，在图象所在的每一个象限内，当x增大时，y随之减小.
x
y
0
(2)、当k＜0，在图象所在的每一个象限内，当x增大时，y随之增大.
x
y
0
温馨提示
“每一个象限内”的另外一种等价描述：x>0 或 x<0.
归纳总结
将下表填写完整。
反比例函数 图像 图象的位置 图象的对称性 增减性
在第一、三象限内
在第二、四象限内
两个分支关于原点成中心对称
两个分支关于原点成中心对称
当k>0时,在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
当k＜0时,在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
总结归纳
一般地，反比例函数还有以下性质：
当k>0时,在图像所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
当k＜0时,在图像所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
做一做
用”>”或”<”填空：
π>0,y随x增
大而减小.
1.已知x1,y1和x2,y2是反比例函数的两对自变量与函数的对应值.若x12.已知x1,y1和x2,y2是反比例函数的两对自变量与函数的对应值.若x1>x2>0，则0 y1 y2.
>
x1-a <0,y随x增
大而增大.
x1>x2>0,在第四象限，y<0.
>
>
>
k=-2<0,图象在第二四
象限，第二象限内y的值都大于第四象限y的值
y3>y1. y3>y2.
k=-2<0, 在每一象限y随x增大而增大. y2>y1. y3>y2>y1
3.已知(1,y1),(3,y2),(-2,y3)是 反比例函数y=-图象x上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系是:_________________.
y3>y2>y1
总结归纳
运用反比例函数的增减性要谨记两点：
一是当k相同时，反比例函数的增减性与正比例函数y＝kx的增减性相反，千万不能受思维定式影响；
二是必须在同一象限，反比例函数的增减性才适用．
典例精析
【例2】从A市到B市列车的行驶里程为120千米。假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过160千米/时。
（1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围；
解:（1）从A市到B市列车的行驶里程为120千米,
所以所求的函数表达式为 。
∵v随t的增大而减小，∴ 由v≤160得
自变量t的取值范围是
典例精析
（2）画出所求函数的图象；
列函数与自变量t的对应值表
典例精析
用描点法画出函数 的图像
典例精析
（3）从A市开出一列火车，在40分内（包括40分）到达B市可能吗？；在50分内（包括50分钟）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？
（3）因为自变量t的取值范围是t≥，即在题设条件下，火车到B市的最短时间为45分，所以火车不可能在40分内到达B市.在50分内到达是有可能的，此时由
，可得144≤ｖ≤160。也就是说，如果火车要在50分钟内到达B市，那么它行驶的速度必须不小于144千米/时。但根据题设，也不能超过160千米/时，因此行驶的速度应在144千米/时到160千米/时之间。
课堂练习
1．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是( )
A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．0＜y2＜y1 D．0＜y1＜y2
2．已知点A(－2，y1)，B(3，y2)是反比例函数y＝(k＜0)图象上的两点，则有( )
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
D
B
课堂练习
3．已知点A(－1，y1)，B(1，y2)和C(2，y3)都在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，则____＜____＜____．(填y1，y2，y3)
4.如图，点P，Q是反比例函数y＝图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连结PB，QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1____S2.(填“＞”、“＜”或“＝”)
y1
y3
y2
＝
拓展提高
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的取值范围．
5. 如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点
拓展提高
解：(1)∵点A(－4，2)和点B(n，－4)都在反比例函数y＝的图象上，
∴ 解得
又∵点A(－4，2)和点B(2，－4)都在一次函数y＝kx＋b的图象上，
∴ 解得
∴反比例函数的解析式为y＝－，一次函数的解析式为y＝－x－2；
(2)x的取值范围是x＞2或－4＜x＜0.
中考链接
6.（中考 绥化）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图象经过点（3，1）
B．其图象分别位于第一、第三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＞1时，y＞3
D
课堂总结
反比例函数的图象与性质：
反比例函数 图像 图象的位置 图象的对称性 增减性
在第一、三象限内
在第二、四象限内
两个分支关于原点成中心对称
两个分支关于原点成中心对称
当k>0时,在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
当k＜0时,在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
板书设计
6.2.2 反比例函数的图像和性质（2）
1.反比例函数的图像
2.反比例函数图像的位置
3.图象的对称性
4.反比例函数的增减性
作业布置
课本 P150 练习题
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浙教版数学八年级下6.2.2反比例函数的图象和性质教案
课题 6.2.2反比例函数的图象和性质 单元 6 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解 反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质. 2.利用反比例函数的性质解决有关问题.
重点 根据反比例函数的图象，探索并掌握反比例函数的主要性质.
难点 探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【思考】 反比例函数的性质 双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交. 学生与老师一起思考、回顾以前所学的知识 课前导入，激发学生的学习兴趣
讲授新课 观察下表中反比例函数的图像，你能根据反比例函数的图像发现反比例函数的有关性质吗？ 反比例函数图象
观察反比例函数(k≠0)的图象,说出y与x之间的变化关系: 当k>0时，在 内，随x的增大而 ． 归纳[] 反比例函数y=kx有下列性质： (1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少； (2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加． 注意：“每一个象限内”的另外一种等价描述：x>0 或 x<0. 做一做 用”>”或”<”填空： 1.已知x1,y1和x2,y2是反比例函数的两对自变量与函数的对应值.若x1x2>0，则0 y1 y2. 3.已知(1,y1),(3,y2),(-2,y3)是 反比例函数y=-图象x上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系是:_________________. 归纳总结： 运用反比例函数的增减性要谨记两点： 一是当k相同时，反比例函数的增减性与正比例函数y＝kx的增减性相反，千万不能受思维定式影响； 二是必须在同一象限，反比例函数的增减性才适用． 【例2】从A市到B市列车的行驶里程为120千米。假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过160千米/时。 （1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围； （2）画出所求函数的图象； （3）从A市开出一列火车，在40分内（包括40分）到达B市可能吗？；在50分内（包括50分钟）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？ 学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题 在教师的组织、引导、点拨下主动地探索反比例函数的性质 学生独立完成，并总结反比例函数的增减判断方法 教师让学生独立完成证明过程， 让一位学生板演，教师是学生完成证明过程后， 进行点评指正。 通过学生自己画图，培养学生动手操作的能力。 合作探究，培养学生的自学能力，合作能力 培养学生的自学能力，合作能力
课堂练习 1．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是( ) A．y2＜y1＜0 B．y1＜y2＜0 C．0＜y2＜y1 D．0＜y1＜y2 2．已知点A(－2，y1)，B(3，y2)是反比例函数y＝(k＜0)图象上的两点，则有( ) A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 3．已知点A(－1，y1)，B(1，y2)和C(2，y3)都在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，则____＜____＜____．(填y1，y2，y3) 4.如图，点P，Q是反比例函数y＝图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连结PB，QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1____S2.(填“＞”、“＜”或“＝”) 5. 如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点 (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的取值范围． 6.（中考 绥化）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A．其图象经过点（3，1） B．其图象分别位于第一、第三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y＞3 学生自主完成习题，老师订正 让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用
课堂小结 1.知识回顾. 2.谈谈这节课你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 6.2.2 反比例函数的图像和性质（2） 1.反比例函数的图像 2.反比例函数图像的位置 3.图象的对称性 4.反比例函数的增减性
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