初中数学浙教版八下精彩练习第五章特殊平行四边形章末复习跟踪练习
一、初中数学浙教版八下精彩练习第五章特殊平行四边形章末复习跟踪练习 跟踪练习
1．（2022八下·浙江）矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．邻边相等 D．对角线相等
2．（2022八下·浙江）如果矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成了3cm和5cm的两部分，则矩形的较短边长为（ ）
A．3 cm B．5 cm C．3 cm或5 cm D．2 cm或5 cm
3．（2022八下·浙江）邻边不相等的矩形，各内角的平分线能围成一个（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
4．（2022八下·浙江）若一个菱形的周长是40，则此菱形的两条对角线的长度可以是（ ）
A．6，8 B．10，24 C．5，5 D．10，10
5．（2022八下·浙江）有下列说法：
①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤四个角都相等的四边形是矩形；
⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形.其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2022八下·浙江）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点P从点B出发，沿折线BC-CD方向移动，移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
7．（2022八下·浙江）如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 (只需添加一个即可).
8．（2020八下·岳阳期末）如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，要使矩形 成为正方形，应添加的一个条件是 .
9．（2022八下·浙江）如图所示，在菱形ABCD 中，∠C=108°，AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB= .
10．（2022八下·浙江）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点，过点E作EF⊥BC于点F，作EG⊥CD于点G，若正方形ABCD的周长为a，则四边形EFCG的周长为 .
11．（2022八下·浙江）如图，已知四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
（1）求证：AE=AF.
（2）若∠B=70°，求∠EAF的度数.
12．（2022八下·浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F ，G，H分别是AD，OA，BC，OC的中点.
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形.
（2）当BC= AB时，判断四边形EFGH为何种特殊四边形，并证明.
13．（2022八下·浙江）如图﹐在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=-6，过点C的直线MN //AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE.
（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形 请说明你的理由.
（2）在(1)的条件下，当∠A= 时，四边形BECD是正方形.
14．（2022八下·浙江）正方形ABCD中，E是对角线BD 上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE.
（1）如图，已知点F在线段BC上，①若AB=BE，求∠DAE度数；②求证：CE=EF.
（2）已知正方形的边长为2，且BC=2BF，请直接写出线段 DE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的对角线相等，对边相等，对角线互相平分，邻边不相等，
故答案为：C.
【分析】利用矩形的对角线的性质，可得答案.
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵矩形ABCD，BE平分∠ABC，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠AEB=∠CBE=∠ABC=45°，
∴AB=AE；
当AE=3时，
则较短边长为AB=3cm；
当AE=5时，
则较短边长为AB=5cm；
故答案为：C.
【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义可证得∠A=∠ABC=90°，∠ABE=∠AEB=∠CBE，利用等腰直角三角形的性质可证得AB=AE；再分情况讨论：当AE=3时；当AE=5时；即可求出最短边的长.
3．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，BH，AF，CH，DF分别是矩形的四个角的平分线，
∴∠DAB=∠ABC=∠DCB=90°，∠EAB=∠EBA=∠HBC=∠HCB=∠DCG=∠GDC=45°，
∴∠AEB=∠BHC=90°，AE=BE，HB=HC
同理可证AF=DF=BH=CH，AE=BE=DG=CG，
∴EH=EF=FG=HG，∠H=∠F=∠AEB=∠BHC=90°，
∴四边形EFGH是正方形.
故答案为：D.
【分析】如图，BH，AF，CH，DF分别是矩形的四个角的平分线，可证得∠DAB=∠ABC=∠DCB=90°，∠EAB=∠EBA=∠HBC=∠HCB=∠DCG=∠GDC=45°，利用等腰直角三角形的性质可证得EH=EF=FG=HG，∠H=∠F=∠AEB=∠BHC=90°，利用正方形的判定定理可证得四边形EFGH是正方形.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，
∵菱形的周长为40，
∴菱形的边长为10；
A、当对角线长为6和8时
则菱形的边长为，故A不符合题意；
B、当对角线长为10和24时
则菱形的边长为，故B不符合题意；
C、当对角线长为5和时
则菱形的边长为，故C不符合题意；
当对角线长为6和8时
则菱形的边长为，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用菱形的周长可求出菱形的边长；再利用菱形的互相垂直平分，分别求出各选项中的菱形的边长，可得答案.
5．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故①错误；
②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故②正确；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形，故③错误；
④有三个角是直角的四边形是矩形，故④正确；
⑤四个角都相等的四边形是矩形，故⑤正确；
⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故⑥错误；
∴正确的有3个.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的判定定理，抓住关键词：平行四边形，对角线，四边形依次判断，即可得到正确结论的个数.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD。∠B＝60°，
∴菱形由两个等边三角形组合而成，
当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；
当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；
当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；
当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，
∴依次出现的特殊三角形是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 .
故答案为：C.
【分析】利用菱形的性质及∠B＝60°，可知菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时；当点P到达点C处时；当P为CD中点时；当点P与点D重合时；可得到依次出现的特殊的三角形.
7．【答案】∠ABC=90°(答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
添加∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
故答案为：∠ABC=90°(答案不唯一）.
【分析】利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证得四边形ABCD是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形或对角线相等的菱形是正方形，即可求解.
8．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC.
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形.
故答案为AB＝BC（答案不唯一）.
【分析】利用正方形的判定定理，当四边形为矩形时，只需证明对角线互相垂直或一组邻边相等，可得答案.
9．【答案】72°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴∠C=∠DAB=108°，AD=AB
∴∠ADP=（180°-108°）÷2=36°，
∵AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，
∴AP=DP，
∴∠ADP=∠DAP=36°，
∴∠APB=∠ADP+∠DAP=36°+36°=72°.
故答案为：72°.
【分析】利用菱形的性质可证得∠C=∠DAB=108°，AD=AB，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADP的度数；再利用线段垂直平分线的性质可证得AP=DP，即可求出∠DAP的度数；然后利用三角形的外角的性质求出∠APB的度数.
10．【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠BDC=45°，∠C=90°，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠C=∠CGE=∠CFE=∠DGE=90°，
∴∠EDG=∠DEG=45°，四边形CGEF是矩形，
∴EG=DG，
∴CG+EG=CG+DG=DC
∵正方形ABCD的周长为a，
∴四边形EFCG的周长2DC=a.
故答案为：a.
【分析】利用正方形的性质可证得∠BDC=45°，∠C=90°，利用有三个角是直角的四边形是矩形可证得四边形CGEF是矩形，同时可证得EG=DG，再证明矩形EFCG的周长2DC，结合已知条件可求出结果.
11．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵四边形ABCD是菱形，
∴ .
在 和 中，
∵
∴
∴
（2）解：∵ 于点 ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AEB=∠AFD=90°，利用菱形的性质可证得AB=AD，∠B=∠D；再利用AAS证明△ABE≌△ADF，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用垂直的定义及三角形的内角和定理求出∠BAE的度数，利用全等三角形的对应角相等可求出∠DAF的度数；然后求出∠EAF的度数.
12．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB.
∵E，F分别是AD，OA的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ .
同理得到GH是 的中位线，
则 ，
∴ ，
∴四边形EFGH为平行四边形.
（2）解：平行四边形EFGH为矩形.
理由如下如图，连结EG.
∵点E，G分别是AD，BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴ ，且点 在线段EG上，
∵
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，即
又由(1)知，四边形EFGH为平行四边形，
∴ ，即 ，
∴ 为矩形.
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得OB=OD，易证EF是△AOD的中位线，利用三角形的中位线定理去证明EF=GH，EF∥GH，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）点E，G分别是AD，BC的中点及四边形ABCD是矩形，可证得EG⊥BC，点O在线段EG上，利用勾股定理证AC2=4AB2，由此可得到AB与AC之间的数量关系，从而可求出∠ACB的度数，利用直角三角形的性质可证得OG=OH，EG=FH，然后利用矩形的判定定理可证得结论.
13．【答案】（1）解：当点 是AB的中点时，四边形BECD是菱形.
理由：.∵
∴
∵
∴
∴
∵ ，即 ，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴
∵ 为AB的中点，
∴
∴
∵
∴四边形BECD是平行四边形.
∵
∴四边形BECD是菱形.
（2）45°
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：(2)当 时，四边形BECD是正方形.
理由：∵ ，
∴ .
∵四边形BECD是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形BECD是正方形
故答案为：45°.
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠DFB=90°，可得到∠ACB=∠DFB，利用同位角相等，两直线平行，可证得AC∥DE，由此可推出四边形ADEC是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到CE=AD；再证明四边形BECD是平行四边形，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）当 时，四边形BECD是正方形；利用菱形的性质可证得，即可证得∠DBE=90°，利用有一个角是直角的菱形是正方形，可证得结论.
14．【答案】（1）解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴
②证明：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：DE的长为 或
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】(2)如图1所示，过点E作MNLBC，垂足为N，交AD于M.
∵CE=EF，
∴N是CF的中点
∴BC=2BF，
∴
∴
又∵四边形CDMN是矩形， 为等腰直角三角形，
∴
∴
∴ .
如图2所示，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M.
∵正方形ABCD关于BD对称
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
综上所述，DE的长为 或 .
【分析】（1）①利用正方形的性质可证得∠ABE=45°，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠BAE的度数，然后利用∠DAE=90°-∠BAE，代入计算求出∠DAE的度数；②利用正方形的对称性可证得△ABE≌△CBE，利用全等三角形的对应角相等可证得∠BAE=∠BCE；再证明∠BCE=∠EFC，利用等角对等边可证得结论.
（2）如图1所示，过点E作MNLBC，垂足为N，交AD于M，利用已知易证BC=2BF，从而可求出CN的长；利用矩形的性质及等腰直角三角形的性质可证得CN=DM=ME，即可求出DE的长；如图2所示，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M，利用正方形的对称性可证得∠BAE=∠BCE，再证明∠BCE=∠EFC，可推出CE=EF，FN=CN；再求出BE的长，根据DE=BD-BE，代入计算取出DE的长.
1 / 1初中数学浙教版八下精彩练习第五章特殊平行四边形章末复习跟踪练习
一、初中数学浙教版八下精彩练习第五章特殊平行四边形章末复习跟踪练习 跟踪练习
1．（2022八下·浙江）矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．邻边相等 D．对角线相等
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的对角线相等，对边相等，对角线互相平分，邻边不相等，
故答案为：C.
【分析】利用矩形的对角线的性质，可得答案.
2．（2022八下·浙江）如果矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成了3cm和5cm的两部分，则矩形的较短边长为（ ）
A．3 cm B．5 cm C．3 cm或5 cm D．2 cm或5 cm
【答案】C
【知识点】矩形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，
∵矩形ABCD，BE平分∠ABC，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠AEB=∠CBE=∠ABC=45°，
∴AB=AE；
当AE=3时，
则较短边长为AB=3cm；
当AE=5时，
则较短边长为AB=5cm；
故答案为：C.
【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义可证得∠A=∠ABC=90°，∠ABE=∠AEB=∠CBE，利用等腰直角三角形的性质可证得AB=AE；再分情况讨论：当AE=3时；当AE=5时；即可求出最短边的长.
3．（2022八下·浙江）邻边不相等的矩形，各内角的平分线能围成一个（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，BH，AF，CH，DF分别是矩形的四个角的平分线，
∴∠DAB=∠ABC=∠DCB=90°，∠EAB=∠EBA=∠HBC=∠HCB=∠DCG=∠GDC=45°，
∴∠AEB=∠BHC=90°，AE=BE，HB=HC
同理可证AF=DF=BH=CH，AE=BE=DG=CG，
∴EH=EF=FG=HG，∠H=∠F=∠AEB=∠BHC=90°，
∴四边形EFGH是正方形.
故答案为：D.
【分析】如图，BH，AF，CH，DF分别是矩形的四个角的平分线，可证得∠DAB=∠ABC=∠DCB=90°，∠EAB=∠EBA=∠HBC=∠HCB=∠DCG=∠GDC=45°，利用等腰直角三角形的性质可证得EH=EF=FG=HG，∠H=∠F=∠AEB=∠BHC=90°，利用正方形的判定定理可证得四边形EFGH是正方形.
4．（2022八下·浙江）若一个菱形的周长是40，则此菱形的两条对角线的长度可以是（ ）
A．6，8 B．10，24 C．5，5 D．10，10
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，
∵菱形的周长为40，
∴菱形的边长为10；
A、当对角线长为6和8时
则菱形的边长为，故A不符合题意；
B、当对角线长为10和24时
则菱形的边长为，故B不符合题意；
C、当对角线长为5和时
则菱形的边长为，故C不符合题意；
当对角线长为6和8时
则菱形的边长为，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用菱形的周长可求出菱形的边长；再利用菱形的互相垂直平分，分别求出各选项中的菱形的边长，可得答案.
5．（2022八下·浙江）有下列说法：
①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤四个角都相等的四边形是矩形；
⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形.其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故①错误；
②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故②正确；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形，故③错误；
④有三个角是直角的四边形是矩形，故④正确；
⑤四个角都相等的四边形是矩形，故⑤正确；
⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故⑥错误；
∴正确的有3个.
故答案为：B.
【分析】利用矩形的判定定理，抓住关键词：平行四边形，对角线，四边形依次判断，即可得到正确结论的个数.
6．（2022八下·浙江）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点P从点B出发，沿折线BC-CD方向移动，移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD。∠B＝60°，
∴菱形由两个等边三角形组合而成，
当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；
当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；
当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；
当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，
∴依次出现的特殊三角形是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 .
故答案为：C.
【分析】利用菱形的性质及∠B＝60°，可知菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时；当点P到达点C处时；当P为CD中点时；当点P与点D重合时；可得到依次出现的特殊的三角形.
7．（2022八下·浙江）如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使四边形ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 (只需添加一个即可).
【答案】∠ABC=90°(答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
添加∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
故答案为：∠ABC=90°(答案不唯一）.
【分析】利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证得四边形ABCD是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形或对角线相等的菱形是正方形，即可求解.
8．（2020八下·岳阳期末）如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，要使矩形 成为正方形，应添加的一个条件是 .
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC.
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形.
故答案为AB＝BC（答案不唯一）.
【分析】利用正方形的判定定理，当四边形为矩形时，只需证明对角线互相垂直或一组邻边相等，可得答案.
9．（2022八下·浙江）如图所示，在菱形ABCD 中，∠C=108°，AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB= .
【答案】72°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴∠C=∠DAB=108°，AD=AB
∴∠ADP=（180°-108°）÷2=36°，
∵AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，
∴AP=DP，
∴∠ADP=∠DAP=36°，
∴∠APB=∠ADP+∠DAP=36°+36°=72°.
故答案为：72°.
【分析】利用菱形的性质可证得∠C=∠DAB=108°，AD=AB，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADP的度数；再利用线段垂直平分线的性质可证得AP=DP，即可求出∠DAP的度数；然后利用三角形的外角的性质求出∠APB的度数.
10．（2022八下·浙江）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点，过点E作EF⊥BC于点F，作EG⊥CD于点G，若正方形ABCD的周长为a，则四边形EFCG的周长为 .
【答案】
【知识点】矩形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠BDC=45°，∠C=90°，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠C=∠CGE=∠CFE=∠DGE=90°，
∴∠EDG=∠DEG=45°，四边形CGEF是矩形，
∴EG=DG，
∴CG+EG=CG+DG=DC
∵正方形ABCD的周长为a，
∴四边形EFCG的周长2DC=a.
故答案为：a.
【分析】利用正方形的性质可证得∠BDC=45°，∠C=90°，利用有三个角是直角的四边形是矩形可证得四边形CGEF是矩形，同时可证得EG=DG，再证明矩形EFCG的周长2DC，结合已知条件可求出结果.
11．（2022八下·浙江）如图，已知四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.
（1）求证：AE=AF.
（2）若∠B=70°，求∠EAF的度数.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵四边形ABCD是菱形，
∴ .
在 和 中，
∵
∴
∴
（2）解：∵ 于点 ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠AEB=∠AFD=90°，利用菱形的性质可证得AB=AD，∠B=∠D；再利用AAS证明△ABE≌△ADF，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用垂直的定义及三角形的内角和定理求出∠BAE的度数，利用全等三角形的对应角相等可求出∠DAF的度数；然后求出∠EAF的度数.
12．（2022八下·浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F ，G，H分别是AD，OA，BC，OC的中点.
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形.
（2）当BC= AB时，判断四边形EFGH为何种特殊四边形，并证明.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OB.
∵E，F分别是AD，OA的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ .
同理得到GH是 的中位线，
则 ，
∴ ，
∴四边形EFGH为平行四边形.
（2）解：平行四边形EFGH为矩形.
理由如下如图，连结EG.
∵点E，G分别是AD，BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴ ，且点 在线段EG上，
∵
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，即
又由(1)知，四边形EFGH为平行四边形，
∴ ，即 ，
∴ 为矩形.
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得OB=OD，易证EF是△AOD的中位线，利用三角形的中位线定理去证明EF=GH，EF∥GH，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）点E，G分别是AD，BC的中点及四边形ABCD是矩形，可证得EG⊥BC，点O在线段EG上，利用勾股定理证AC2=4AB2，由此可得到AB与AC之间的数量关系，从而可求出∠ACB的度数，利用直角三角形的性质可证得OG=OH，EG=FH，然后利用矩形的判定定理可证得结论.
13．（2022八下·浙江）如图﹐在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=-6，过点C的直线MN //AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE.
（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形 请说明你的理由.
（2）在(1)的条件下，当∠A= 时，四边形BECD是正方形.
【答案】（1）解：当点 是AB的中点时，四边形BECD是菱形.
理由：.∵
∴
∵
∴
∴
∵ ，即 ，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴
∵ 为AB的中点，
∴
∴
∵
∴四边形BECD是平行四边形.
∵
∴四边形BECD是菱形.
（2）45°
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：(2)当 时，四边形BECD是正方形.
理由：∵ ，
∴ .
∵四边形BECD是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形BECD是正方形
故答案为：45°.
【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠DFB=90°，可得到∠ACB=∠DFB，利用同位角相等，两直线平行，可证得AC∥DE，由此可推出四边形ADEC是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到CE=AD；再证明四边形BECD是平行四边形，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证得结论.
（2）当 时，四边形BECD是正方形；利用菱形的性质可证得，即可证得∠DBE=90°，利用有一个角是直角的菱形是正方形，可证得结论.
14．（2022八下·浙江）正方形ABCD中，E是对角线BD 上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE.
（1）如图，已知点F在线段BC上，①若AB=BE，求∠DAE度数；②求证：CE=EF.
（2）已知正方形的边长为2，且BC=2BF，请直接写出线段 DE的长.
【答案】（1）解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴
②证明：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：DE的长为 或
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】(2)如图1所示，过点E作MNLBC，垂足为N，交AD于M.
∵CE=EF，
∴N是CF的中点
∴BC=2BF，
∴
∴
又∵四边形CDMN是矩形， 为等腰直角三角形，
∴
∴
∴ .
如图2所示，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M.
∵正方形ABCD关于BD对称
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
又∵ ，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
综上所述，DE的长为 或 .
【分析】（1）①利用正方形的性质可证得∠ABE=45°，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠BAE的度数，然后利用∠DAE=90°-∠BAE，代入计算求出∠DAE的度数；②利用正方形的对称性可证得△ABE≌△CBE，利用全等三角形的对应角相等可证得∠BAE=∠BCE；再证明∠BCE=∠EFC，利用等角对等边可证得结论.
（2）如图1所示，过点E作MNLBC，垂足为N，交AD于M，利用已知易证BC=2BF，从而可求出CN的长；利用矩形的性质及等腰直角三角形的性质可证得CN=DM=ME，即可求出DE的长；如图2所示，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M，利用正方形的对称性可证得∠BAE=∠BCE，再证明∠BCE=∠EFC，可推出CE=EF，FN=CN；再求出BE的长，根据DE=BD-BE，代入计算取出DE的长.
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