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第五章：特殊平行四边形能力提升测试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3.下列条件中，能判定平行四边形ABCD是菱形的是( )
A. B． C． D．
4.下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5.菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（ ）
A．60cm2 B．120cm2 C．130cm2 D．240cm2
6.如图，已知四边形ABCD是矩形，点M在BC上，，点N在CD上，且,DM 与 BN交于点P，则 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，,, M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（ ）
A．16 B． C．32 D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使它变为矩形，还需要添加一个条件是______
12.长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝5，点B的坐标为（﹣3，3），则点C的坐标为
13.如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果，，则EC的长_________
14.如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为________________
15.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠CEB和∠CFD都是直角且点C，E，F三点共线，
BE＝2，则阴影部分的面积是
16.在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝4，点P是射线BC上一动点，（不与B，C重合），连接PA，PD，当△PAD是等腰三角形时，BP的长为______________
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）．如图，点E是矩形ABCD外一点，连接BE、AE、DE、CE，∠CDE＝∠DCE．
求证：∠BAE＝∠ABE．
18（本题8分）．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．求证：四边形AEBD是菱形．
19（本题8分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且 ，连接AE和BF相交于点M．求证：
20（本题10分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，FH⊥AC于点E，交AD，AB于点F，H.（1）求证：CF＝CH；
（2）若AH＝CH，AB＝4，求AH的长.
21（本题10分）．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝12，MN＝4，求菱形BNDM的周长．
22（本题12分）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，，，垂足分别为 F,G，若正方形ABCD的周长是．
(1)求证：四边形 BFEG是矩形；(2)求四边形EFBG的周长；(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
23.（本题12分）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．
（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；
（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．
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第五章：特殊平行四边形能力提升测试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：C
解析：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，
则与这条对角线组成等边三角形，
则它的锐角等于60°，
故选择：C．
2.答案：A
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选择：A．
3.答案：D
解析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
故选择：D
4.答案：C
解析：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误．
故选C．
5.答案：B
解析：如图，设AC，BD的交点为E
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BE＝DE＝5，AE＝CE
在Rt△ABE中，AE＝
∴AC＝24cm
∴S菱形ABCD＝AC×BD＝120cm2
故答案为：B.
6.答案：B
解析：设BM=CD=a，DN=CM=b，
∴BC=a+b，NC=a-b，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
在Rt△DCM和Rt△BCN中，由勾股定理得，
∴
故答案为：B.
7.答案：A
解析：如图，取OD的中点H，连接HP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，
∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，
∴OH＝3，OE＝3，HP＝OC＝2，HP∥AC，
∴EH＝6，∠DOC＝90°，
∴EP＝，
故选：A．
8.答案：B
解析：延长DH交AG于点E
∵四边形ABCD为正方形
∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°
在△AGB和△CHD中
∴△AGB≌△CHD
∴∠BAG=∠DCH
∵∠BAG＋∠DAE=90°
∴∠DCH＋∠DAE=90°
∴CH2＋DH2=82＋62=100= DC2
∴△CHD为直角三角形，∠CHD=90°
∴∠DCH＋∠CDH=90°
∴∠DAE=∠CDH，
∵∠CDH＋∠ADE=90°
∴∠ADE=∠DCH
在△ADE和△DCH中
∴△ADE≌△DCH
∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°
∴EG=AG－AE=2，HE= DE－DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°
在Rt△GEH中，GH=
故选B．
9.答案：B
解析：如图，连接CM，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD＝BD CM＝BC CD，
∴，
∴PQ的最小值为，
故选：B．
10.答案：D
解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠BCD＝∠BAD＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，CD＝DE，
∵PF⊥CD，
∴△DPF是等腰直角三角形，
∴PF＝DF，PD＝PF，
设PF＝DF＝x，则PD＝x，
∵△PDF的周长为8，
∴x+x+x＝8，解得：x＝8﹣4，
∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，
∴PE＝PF＝x，
∴DE＝x+x＝（1+）×（8﹣4）＝4，
∴BC＝CD＝DE＝8，
∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4＝32，
故选：D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：AC=BD
解析：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD为平行四边形．
若要 ABCD为矩形，只需AC=BD即可．
故答案为AC=BD．
12.答案：（2，3）
解析：在长方形ABCD中，BC∥AD，
∴点B与点C的纵坐标相等，
设点 ，
∵AD＝5，
∴BC＝5，
∴，
∴C（2，3）；
故答案为（2，3）．
13.答案：3
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠C=90°，
由折叠的性质可知：AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF=，
∴CF=BC-BF=4cm，
设EC=x，则DE=EF=8-x，
在Rt△EFC中，∵EF2=EC2+CF2，
∴（8-x）2=x2+42，
∴x=3cm，
故答案为：3cm．
14.答案：20
解析：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BD＝AC＝10，
∵AE＝CF＝3，
∴EF＝4，
∴四边形BFDE的面积为BD EF＝×10×4＝20．
故答案为：20．
15.答案：
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠CEB＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠DCF＝90°，∠BCE+∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝∠DCF，
在△BEC与△CFD中，
，
∴△BEC≌△CFD（AAS），
∴CF＝BE，EC＝DF，
∵BC＝5，BE＝2，
∴EC＝，
∴阴影部分的面积＝，
故答案为：．
16.答案：2+2或4或4+4．
解析：∵四边形ABD是菱形，AB＝4，
∴AB∥CD，BC＝CD＝AD＝AB＝4，
当△PAD是等腰三角形时，分三种情况：
①当PA＝PD时，如图1，过A作AM⊥BP于M，过P作PN⊥AD于N，
则AN＝DN＝AD＝2，四边形AMPN是矩形，∴MP＝AN＝1，
在Rt△ABM中，∠B＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝AB＝2，∴BP＝BM+MP＝2+2；
②当AP＝AD时，如图2，过A作AM⊥BP于M，
∵AP＝AD＝AB，∴MP＝BM＝2，
∴BP＝BM+MP＝4；
③当DP＝DA时，如图3，则DP＝DA＝CD，
∵AB∥CD，∴∠DCP＝∠B＝45°，∴∠DPC＝∠DCP＝45°，
∴△CDP是等腰直角三角形，∴CP＝CD＝4，∴BP＝BC+CP＝4+4；
综上所述，当△PAD是等腰三角形时，BP的长为2+2或4或4+4，
故答案为：2+2或4或4+4．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵∠CDE＝∠DCE．
∴ED＝EC，
∴∠EDA＝∠ECB，
在△ED和△ECB中，
∴△EDA≌△ECB（SAS），
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠ABE．
18.解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝BF，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴△AFD≌△BFE（ASA），
∴AD＝EB，
∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
又∵DB＝DA，
∴平行四边形AEBD是菱形．
19.解析：在正方形ABCD中，
，，
∵，
∴．
在与中，
∴△AEB≌△BFC(SAS)．
∴．
20.解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠FAE=∠HAE=45°
∵FH⊥AC
∴∠AEF=∠AEH=90°
在△FEA和△HEA中
∴△FEA≌△HEA(ASA)
∴EF=EH
∴AC垂直平分线段FH
∴CF=CH
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴BC=AB=4，∠B=90°
设AH=x，则BH=AB-AH=4-x
∵AH＝CH
∴CH=3x
在Rt△CBH中，由勾股定理得：
即
化简得：
解得：， （舍去）
∴AH的长为
21.解析：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）由（1）可知，OB＝,，四边形BNDM是菱形，
∴BN＝DN＝DM＝BM，
∵MN⊥BD，
∴∠BON＝90°，
∴BN＝，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝8
22.解析：(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴．
∵,，
∴．
∴四边形BFEG是矩形．
(2) ∵正方形ABCD的周长是，
∴．
∵四边形ABCD为正方形，
∴．
又，
∴．
∴．
∴四边形EFBG的周长为
(3) 若要四边形陵县是正方形，只需EF=BF ．
∵AF=EF,AB=10，
∴当AF=5时，四边形DFEG是正方形．
23.解析：（1）如图1，过M作MN⊥BC于N，
∴∠MNC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，
∵AD＝CD，∴MN＝AD，
∵ME⊥AF，∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，
∴∠DAF＝∠EMN，
在△DAF与△NME中，，
∴△DAF≌△NME（ASA），∴AF＝EM；
（2）如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，
在△ABG与△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，即∠GAE＝∠DAE，
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠GAE＝∠AEB，∴AG＝GE，∴AF＝GE，
∵GE＝BG+BE＝DF+BE，∴AF＝DF+BE．
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