初中数学浙教版九年级上册3.2 图形的旋转 强化提升训练

初中数学浙教版九年级上册3.2 图形的旋转 强化提升训练
一、综合提升
1．如图所示，可以看作是正方形ABCD绕点O分别旋转多少度前后的图形共同组成的（　　）
A．30°，45° B．60°，45°
C．45°，90° D．22.5°，67.5°
2．（2019八下·江阴期中）如图， ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到 AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=（　　）
A．105° B．170° C．155° D．145°
3．（2019八下·泰兴期中）如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝50°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A’B’ C，点A的对应点A'落在AB边上，则∠BCA'的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
4．（2019九上·汕头期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'，若∠B＝78°，则∠CC'B'的大小是（　　）
A．23° B．30° C．33° D．39°
5．（2019八下·盐湖期中）如图在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…若点A（ ，0），B（0，2），则点B2018的坐标为（　　）
A．（6048，0） B．（6054，0） C．（6048，2） D．（6054，2）
6．（2019七下·卫辉期末）如图，把一副三角板如图甲放置，其中 ，斜边 ，把三角板 绕点 顺时针旋转 得到 （如图乙）.这时 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，则 的度数为　 　.
7．（2019八下·灯塔期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴、 轴上， . 先将线段 沿 轴翻折得到线段 ，再将线段 绕点 顺时针旋转30°得到线段 ，连接 . 若点 的坐标为 ，则线段 的长为　 　.
8．（2019七下·江苏期中）如图，在△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t秒时，边CD恰好与边AB平行，则t的值为　 　.
9．（2019八下·太原期中）将两块全等的直角三角板按如图方式放置， ，固定三角板 ，然后将三角板 绕点 顺时针旋转到如图的位置，此时 与 ， 分别交于点 ， ， 与 交于点 ，且 ，则旋转角的度数为　 　 ．
10．（2018·牡丹江模拟）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，点 的坐标为 ．
①把 向上平移5个单位后得到对应的 ，画出 ，并写出 的坐标；
②以原点. .为对称中心，画出 与关于原点. .对称的 ，并写出点 的坐标．
③以原点O为旋转中心，画出把 顺时针旋转90°的图形△A3B3C3，并写出C3的坐标．
11．如图，点A′在Rt△ABC的边AB上，∠ABC=30°，AC=2，∠ACB=90°，△ACB绕顶点C按逆时针方向旋转与△A′CB′重合，A'B'与BC交于点D，连接BB′，求线段BB′的长度．
12．一副三角板OAC、OBD如图（1）放置，（∠BDO=30°、∠CAO=45°）
（1）若OM、ON分别平分∠BOA、∠DOC，求∠MON的度数；
（2）将三角板OBD从图（1）绕O点顺时针旋转如图（2），若OM、ON分别平分∠BOA、∠DOC，则在旋转过程中∠MON如何变化？
（3）若三角板OBD从图（1）绕O点逆时针旋转如图（3），若其它条件不变，则（2）的结论是否成立？
（4）若三角板OBD从图（1）绕O点逆时针旋转，其它条件不变，在旋转过程中，∠MON是否一直不变，在备用图中画图说明．
二、中考演练
13．（2019·南京）如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
14．（2019·宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
15．（2019·海南）如图，将 的斜边AB绕点A顺时针旋转 得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转 得到AF，连结EF.若 ， ，且 ，则 　 　.
16．（2019·巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若 ， ， ．则 ＝　 　．
17．（2019·广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转 ，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则 的度数为　 　.
18．（2019·宁夏）已知：在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， .
①画出 关于原点成中心对称的 ，并写出点 的坐标；
②画出将 绕点 按顺时针旋转 所得的 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：观察图形可知把正方形ABCD绕点O旋转： =22.5°即可得到E点位置，
把正方形ABCD绕点O旋转：22.5°×3=67.5°即可得到F点位置．
故答案为：D．
【分析】旋转的性质：旋转前、后的图形全等。由旋转的性质和正方形的性质可知：图形被分成16个小角，则每一个小角的度数=360÷16，则由图可知图形分别旋转了一个小角和3个小角的度数即22.5度和67.5度。
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵ ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到 AB′C′D′′，
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B= （180°-30°）=75°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-75°=105°.
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠B的度数，最后根据平行四边形的邻角互补即可算出∠C的度数。
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：在 △ABC中，∠A＝75°，∠B＝50°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=55°，
由旋转的性质可得：AC=A'C，
∴∠CA'A=∠A=75°，
∴∠ACA'=180°-∠A-∠CA'A=30°，
∴∠BCA' = ∠ACB-∠ACA'=25°.
故答案为：B.
【分析】在△ABC中，根据三角形内角和等于180°，可得∠ACB=55°，利用旋转的性质可得AC=A'C，由等边对等角，可得∠CA'A=∠A=75°，根据三角形内角和等于180°，可得∠ACA'=180°-∠A-∠CA'A=30°，由∠BCA' =∠ACB-∠ACA'，即可求出∠BCA'的度数.
4．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝78°，
∴∠ACB＝90°﹣78°＝12°，
∵△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，
∴AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝12°，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴∠AC′C＝45°，
∴∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′＝45°﹣12°＝33°．
故答案为：C
【分析】因为∠B=78°，可又三角形内角和定理得∠BCA=12°，再由旋转的性质可得∠AC B =∠ACB，AC=AC ，继而可得∠AC C=45°，再利用∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′即可求得。
5．【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】∵A（ ，0），B（0，2），
∴OA＝ ，OB＝2，
∴Rt△AOB中，AB＝ ，
∴OA+AB1+B1C2＝ +2+ ＝6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，
即B2018的坐标是（6054，2）．
故答案为：D．
【分析】利用AB的坐标，可得OA、OB的长，利用勾股定理求出AB=，从而求出OA+AB1+B1C2＝6，通过旋转发现，可得B、B1、B2……每偶数之间的B相差6个单位，据此规律可求出B2018的坐标.
6．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质
【解析】【解答】如图,
由题意可知∠3=15°,∠E′=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠1=75°
又因为∠B=45°，
所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°.
【分析】由旋转的性质可得∠D CE =60°，∠E =∠DEC=90°，∠BCE =15°，再根据四边形的内角和等于360可求解。
7．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵A（-1，0），∴OA=1，
∵∠APO=30°，∠AOP=90°，
∴PA=2OA=2，
∵线段 沿 轴翻折得到线段 ，
∴PB=PA=2，∠BPO=∠APO=30°，∴∠APB=60°，
∵线段 绕点 顺时针旋转30°得到线段 ，
∴PC=PA=2，∠CPA=30°，
∴∠CPB=90°，PC=PB=2，
∴BC= =2 ，
故答案为：2 .
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得PA=2OA=2，利用折叠的性质及旋转的性质，可得PB=PA=2，∠BPO=∠APO=30°，∴∠APB=60°，PC=PA=2，∠CPA=30°，从而可求出∠CPB=90°，利用勾股定理即可求出BC的长.
8．【答案】5.5或 14.5
【知识点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】【解答】如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，则∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=60°，
当∠OEC′=∠B=50°时，C′D′∥AB，
∴∠C′OC=∠OEC′+∠OC′E=50°+60°=110°，
∴△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间为 =5.5（秒）；
如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=60°，
当∠OFC″=∠B=50°时，C″D″∥AB，
∴∠C″OC=180°-∠OFC″-∠OC″F=180°-50°-60°=70°，
而360°-70°=290°，
∴△COD绕点O顺时针旋290°得到△C″OD″所需时间为 =14.5（秒）；
综上所述，在旋转的过程中，在第5.5秒或14.5秒时，边CD恰好与边AB平行.
【分析】分两种情况讨论①如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，可得∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=60°，当∠OFC″=∠B=50°时可得C′D′∥AB，然后利用三角形外角的性质即可求出旋转角∠C″OC的度数，利用旋转角除以旋转速度即得旋转时间.②如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=60°，同①先求出旋转角，然后求出旋转时间即可.
9．【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：因为两块全等的直角三角板， ，
所以 =60°，
因为
所以 =90°
所以 60°
所以 =60°
所以 90°-60°=30°
即旋转角是30°
故答案为：30
【分析】根据全等三角形的性质，利用角度换算，可得到旋转角。
10．【答案】解：①如图所示：C1的坐标为：（4，4）；
②如图所示：C2的坐标为：（-4，1）；
③如图所示：C3的坐标为：（-1，-4）．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】①根据平面直角坐标系及C点的坐标，分别写出A，B两点的坐标，根据图形的平移的性质，由把△ABC向上平移5个单位后得到对应的 △A1B1C1可知，三角形ABC中的每一个点都向相同的方向移动相同的距离，再根据点的平移过程中坐标的变化规律“纵坐标上，上加下减；横坐标上，左减右加”即可得出A，B，C三点的对应点A1，B1，C1的坐标，利用方格纸的特点描出A1，B1，C1，再顺次连接即可；
②根据平面直角坐标系及C点的坐标，分别写出A，B两点的坐标，根据中心对称的性质，三角形ABC中的每一个点与△A2B2C2中的每一个对应点其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数从而得出A，B，C三点的对应点A2，B2，C2的坐标，利用方格纸的特点描出A2，B2，C2，再顺次连接即可；
③根据旋转的性质，以原点O为旋转中心，把 △ABC 顺时针旋转90°的图形△A3B3C3，由此可得A，B，C三点的纵坐标分别成为对应点A3，B3，C3的横坐标，A，B，C三点的横坐标的相反数分别成为对应点A3，B3，C3的纵坐标，从而得出点A3，B3，C3的坐标，利用方格纸的特点描出A3，B3，C3，再顺次连接即可。
11．【答案】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴AB=2AC=4，∴BC= =2 ，∵∠A=60°，∴△AA′C是等边三角形，∴AA′= AB=2，∴A′C=A′B，∴∠A′CB=∠A′BC=30°，∵△A′B′C是△ABC旋转而成，∴∠A′CB′=90°，BC=B′C，∴∠B′CB=90°﹣30°=60°，∴△BCB′是等边三角形，∴BB′=BC=2
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AB=2AC=4，再根据勾股定理算出BC的长，根据旋转的性质得出∠A=60°，根据旋转的性质得出AC=A'C，根据含一个60°角的等腰三角形是等边三角形得出△AA′C是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AA'=A'C=2，进而得出A′C=A′B，根据等边对等角得出∠A′CB=∠A′BC=30°，根据旋转的性质得出∠A′CB′=90°，BC=B′C，根据角的和差得出∠B′CB=90°﹣30°=60°，从而判断出△BCB′是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案。
12．【答案】（1）解：∵OM、ON分别平分∠BOA、∠DOC
∴∠AOM=∠BOA，∠AON=∠AOC
∵∠MON=∠AOM+∠AON=（∠BOA+∠AOC）
∵∠BDO=30°、∠CAO=45°
∴∠AOB=90°，∠AOC=45°
∴∠MON= （90°+45°）=67.5°
答：∠MON的度数为67.5°.
（2）解：设∠AOM=∠BOM=x，∠CON=∠DON=y，∠AOD=α
则：2x+α=90°，2y+α=45°，
∴2x+2y+2α=135°，
∴∠MON=x+y+α=67.5°
（3）解：（2）的结论成立理由：设∠AOM=∠BOM=x，∠CON=∠DON=y，∠AOD=α
则：2x-α=90°，2y-α=45°，∴2x+2y-2α=135°，
∴∠MON=x+y-α=67.5°∠MON=x+y-α=67.5°
（4）解：在变化，有时∠MON=112.5°。
如图，将三角板OBD从图（1）绕O点逆时针旋转如图所示，
设∠AOD=x
∵∠BOD=90°，∠AOC=45°
∴∠AOB=90°+x，∠DOC=360°-45°-x=315°-x
∵OM、ON分别平分∠BOA、∠DOC，
∴∠BOM=∠AOB=，∠DON=∠DOC=
∴∠MON=∠BOM+∠DON-∠DOB=+-90°
=202.5°-90°
=112.5°
答：在变化，有时∠MON=112.5°.
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义，可得出∠AOM=∠BOA，∠AON=∠AOC，再根据∠MON=∠AOM+∠AON，代入计算可解答。
（2）设∠AOM=∠BOM=x，∠CON=∠DON=y，∠AOD=α，根据已知角的度数，可建立方程2x+α=90°，2y+α=45°，解方程即可得出∠MON的度数。
（3）设∠AOM=∠BOM=x，∠CON=∠DON=y，∠AOD=α，结合已知，可得出2x-α=90°，2y-α=45°，就可求出x+y-α的值即∠MON的度数。
（4）根据题意画出图形，∠AOD=x，分别用含x的代数式表示出∠AOB、∠DOC，再根据角平分线的定义，可用含x的代数式表示出∠BOM，∠DON，然后利用∠MON=∠BOM+∠DON-∠DOB，可解答。
13．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°，即可得到△A'B'C'；
先将△ABC沿着C'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着C''C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'；
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质找出旋转中心的位置记旋转角度、轴对称的性质找出对称轴的位置即可一一判断得出答案。
14．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】B'由B旋转90°得到，如图：作B'M⊥y轴于点M，作B'N⊥X轴于点N，
OA=OA'=A'B'=2， ， , ∴ ， 则B'点坐标为： .
故答案为：B
【分析】由旋转体的特点得到线段相等和角的关系，再根据勾股定理和三角函数求出B'点的坐标。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得 ， ，
，且 ，
。
故答案为： 。
【分析】根据旋转的性质得出 ， ，根据直角三角形的两锐角互余及等量代换得出即∠EAF=90°，从而根据勾股定理即可算出EF的长得出答案。
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角 ， ，
∴△BPP′为等边三角形，
∴ ；
由旋转的性质可知， ，
在△BPP′中， ， ，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴
故答案为：
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，，根据等边三角形的判定可知△BPP′为等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再由旋转的性质可知， ，根据勾股定理的逆定理判定△APP′是直角三角形，所以得到，从而可计算出答案。
17．【答案】15°或60°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：①如下图，当DE⊥BC时，
如下图，∠CFD＝60°，
旋转角为： ＝∠CAD＝60°-45°＝15°；
②当AD⊥BC时，如下图，
旋转角为： ＝∠CAD＝90°-30°＝60°；
【分析】分类讨论，利用旋转角，可依次求出 的度数。
18．【答案】解：如图所示， 、 即为所求，其中点 的坐标为 .
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据关于坐标原点对称的点，其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数即可得出点A1,B1,C1的坐标，在坐标平面内描出这些点，再顺次连接即可得出所求的 ；
（2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出A1,B1绕点 按顺时针旋转 所得所得的对应点A2,B2，再顺次连接即可得出所求的 。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.2 图形的旋转 强化提升训练
一、综合提升
1．如图所示，可以看作是正方形ABCD绕点O分别旋转多少度前后的图形共同组成的（　　）
A．30°，45° B．60°，45°
C．45°，90° D．22.5°，67.5°
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：观察图形可知把正方形ABCD绕点O旋转： =22.5°即可得到E点位置，
把正方形ABCD绕点O旋转：22.5°×3=67.5°即可得到F点位置．
故答案为：D．
【分析】旋转的性质：旋转前、后的图形全等。由旋转的性质和正方形的性质可知：图形被分成16个小角，则每一个小角的度数=360÷16，则由图可知图形分别旋转了一个小角和3个小角的度数即22.5度和67.5度。
2．（2019八下·江阴期中）如图， ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到 AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=（　　）
A．105° B．170° C．155° D．145°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵ ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到 AB′C′D′′，
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B= （180°-30°）=75°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-75°=105°.
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠B的度数，最后根据平行四边形的邻角互补即可算出∠C的度数。
3．（2019八下·泰兴期中）如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝50°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A’B’ C，点A的对应点A'落在AB边上，则∠BCA'的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：在 △ABC中，∠A＝75°，∠B＝50°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=55°，
由旋转的性质可得：AC=A'C，
∴∠CA'A=∠A=75°，
∴∠ACA'=180°-∠A-∠CA'A=30°，
∴∠BCA' = ∠ACB-∠ACA'=25°.
故答案为：B.
【分析】在△ABC中，根据三角形内角和等于180°，可得∠ACB=55°，利用旋转的性质可得AC=A'C，由等边对等角，可得∠CA'A=∠A=75°，根据三角形内角和等于180°，可得∠ACA'=180°-∠A-∠CA'A=30°，由∠BCA' =∠ACB-∠ACA'，即可求出∠BCA'的度数.
4．（2019九上·汕头期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'，若∠B＝78°，则∠CC'B'的大小是（　　）
A．23° B．30° C．33° D．39°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝78°，
∴∠ACB＝90°﹣78°＝12°，
∵△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，
∴AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝12°，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴∠AC′C＝45°，
∴∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′＝45°﹣12°＝33°．
故答案为：C
【分析】因为∠B=78°，可又三角形内角和定理得∠BCA=12°，再由旋转的性质可得∠AC B =∠ACB，AC=AC ，继而可得∠AC C=45°，再利用∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′即可求得。
5．（2019八下·盐湖期中）如图在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…若点A（ ，0），B（0，2），则点B2018的坐标为（　　）
A．（6048，0） B．（6054，0） C．（6048，2） D．（6054，2）
【答案】D
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】∵A（ ，0），B（0，2），
∴OA＝ ，OB＝2，
∴Rt△AOB中，AB＝ ，
∴OA+AB1+B1C2＝ +2+ ＝6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，
即B2018的坐标是（6054，2）．
故答案为：D．
【分析】利用AB的坐标，可得OA、OB的长，利用勾股定理求出AB=，从而求出OA+AB1+B1C2＝6，通过旋转发现，可得B、B1、B2……每偶数之间的B相差6个单位，据此规律可求出B2018的坐标.
6．（2019七下·卫辉期末）如图，把一副三角板如图甲放置，其中 ，斜边 ，把三角板 绕点 顺时针旋转 得到 （如图乙）.这时 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，则 的度数为　 　.
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质
【解析】【解答】如图,
由题意可知∠3=15°,∠E′=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠1=75°
又因为∠B=45°，
所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°.
【分析】由旋转的性质可得∠D CE =60°，∠E =∠DEC=90°，∠BCE =15°，再根据四边形的内角和等于360可求解。
7．（2019八下·灯塔期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴、 轴上， . 先将线段 沿 轴翻折得到线段 ，再将线段 绕点 顺时针旋转30°得到线段 ，连接 . 若点 的坐标为 ，则线段 的长为　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵A（-1，0），∴OA=1，
∵∠APO=30°，∠AOP=90°，
∴PA=2OA=2，
∵线段 沿 轴翻折得到线段 ，
∴PB=PA=2，∠BPO=∠APO=30°，∴∠APB=60°，
∵线段 绕点 顺时针旋转30°得到线段 ，
∴PC=PA=2，∠CPA=30°，
∴∠CPB=90°，PC=PB=2，
∴BC= =2 ，
故答案为：2 .
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得PA=2OA=2，利用折叠的性质及旋转的性质，可得PB=PA=2，∠BPO=∠APO=30°，∴∠APB=60°，PC=PA=2，∠CPA=30°，从而可求出∠CPB=90°，利用勾股定理即可求出BC的长.
8．（2019七下·江苏期中）如图，在△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=50°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t秒时，边CD恰好与边AB平行，则t的值为　 　.
【答案】5.5或 14.5
【知识点】平行线的判定；旋转的性质
【解析】【解答】如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，则∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=60°，
当∠OEC′=∠B=50°时，C′D′∥AB，
∴∠C′OC=∠OEC′+∠OC′E=50°+60°=110°，
∴△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间为 =5.5（秒）；
如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=60°，
当∠OFC″=∠B=50°时，C″D″∥AB，
∴∠C″OC=180°-∠OFC″-∠OC″F=180°-50°-60°=70°，
而360°-70°=290°，
∴△COD绕点O顺时针旋290°得到△C″OD″所需时间为 =14.5（秒）；
综上所述，在旋转的过程中，在第5.5秒或14.5秒时，边CD恰好与边AB平行.
【分析】分两种情况讨论①如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，可得∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=60°，当∠OFC″=∠B=50°时可得C′D′∥AB，然后利用三角形外角的性质即可求出旋转角∠C″OC的度数，利用旋转角除以旋转速度即得旋转时间.②如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=60°，同①先求出旋转角，然后求出旋转时间即可.
9．（2019八下·太原期中）将两块全等的直角三角板按如图方式放置， ，固定三角板 ，然后将三角板 绕点 顺时针旋转到如图的位置，此时 与 ， 分别交于点 ， ， 与 交于点 ，且 ，则旋转角的度数为　 　 ．
【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：因为两块全等的直角三角板， ，
所以 =60°，
因为
所以 =90°
所以 60°
所以 =60°
所以 90°-60°=30°
即旋转角是30°
故答案为：30
【分析】根据全等三角形的性质，利用角度换算，可得到旋转角。
10．（2018·牡丹江模拟）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，点 的坐标为 ．
①把 向上平移5个单位后得到对应的 ，画出 ，并写出 的坐标；
②以原点. .为对称中心，画出 与关于原点. .对称的 ，并写出点 的坐标．
③以原点O为旋转中心，画出把 顺时针旋转90°的图形△A3B3C3，并写出C3的坐标．
【答案】解：①如图所示：C1的坐标为：（4，4）；
②如图所示：C2的坐标为：（-4，1）；
③如图所示：C3的坐标为：（-1，-4）．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】①根据平面直角坐标系及C点的坐标，分别写出A，B两点的坐标，根据图形的平移的性质，由把△ABC向上平移5个单位后得到对应的 △A1B1C1可知，三角形ABC中的每一个点都向相同的方向移动相同的距离，再根据点的平移过程中坐标的变化规律“纵坐标上，上加下减；横坐标上，左减右加”即可得出A，B，C三点的对应点A1，B1，C1的坐标，利用方格纸的特点描出A1，B1，C1，再顺次连接即可；
②根据平面直角坐标系及C点的坐标，分别写出A，B两点的坐标，根据中心对称的性质，三角形ABC中的每一个点与△A2B2C2中的每一个对应点其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数从而得出A，B，C三点的对应点A2，B2，C2的坐标，利用方格纸的特点描出A2，B2，C2，再顺次连接即可；
③根据旋转的性质，以原点O为旋转中心，把 △ABC 顺时针旋转90°的图形△A3B3C3，由此可得A，B，C三点的纵坐标分别成为对应点A3，B3，C3的横坐标，A，B，C三点的横坐标的相反数分别成为对应点A3，B3，C3的纵坐标，从而得出点A3，B3，C3的坐标，利用方格纸的特点描出A3，B3，C3，再顺次连接即可。
11．如图，点A′在Rt△ABC的边AB上，∠ABC=30°，AC=2，∠ACB=90°，△ACB绕顶点C按逆时针方向旋转与△A′CB′重合，A'B'与BC交于点D，连接BB′，求线段BB′的长度．
【答案】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴AB=2AC=4，∴BC= =2 ，∵∠A=60°，∴△AA′C是等边三角形，∴AA′= AB=2，∴A′C=A′B，∴∠A′CB=∠A′BC=30°，∵△A′B′C是△ABC旋转而成，∴∠A′CB′=90°，BC=B′C，∴∠B′CB=90°﹣30°=60°，∴△BCB′是等边三角形，∴BB′=BC=2
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AB=2AC=4，再根据勾股定理算出BC的长，根据旋转的性质得出∠A=60°，根据旋转的性质得出AC=A'C，根据含一个60°角的等腰三角形是等边三角形得出△AA′C是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AA'=A'C=2，进而得出A′C=A′B，根据等边对等角得出∠A′CB=∠A′BC=30°，根据旋转的性质得出∠A′CB′=90°，BC=B′C，根据角的和差得出∠B′CB=90°﹣30°=60°，从而判断出△BCB′是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案。
12．一副三角板OAC、OBD如图（1）放置，（∠BDO=30°、∠CAO=45°）
（1）若OM、ON分别平分∠BOA、∠DOC，求∠MON的度数；
（2）将三角板OBD从图（1）绕O点顺时针旋转如图（2），若OM、ON分别平分∠BOA、∠DOC，则在旋转过程中∠MON如何变化？
（3）若三角板OBD从图（1）绕O点逆时针旋转如图（3），若其它条件不变，则（2）的结论是否成立？
（4）若三角板OBD从图（1）绕O点逆时针旋转，其它条件不变，在旋转过程中，∠MON是否一直不变，在备用图中画图说明．
【答案】（1）解：∵OM、ON分别平分∠BOA、∠DOC
∴∠AOM=∠BOA，∠AON=∠AOC
∵∠MON=∠AOM+∠AON=（∠BOA+∠AOC）
∵∠BDO=30°、∠CAO=45°
∴∠AOB=90°，∠AOC=45°
∴∠MON= （90°+45°）=67.5°
答：∠MON的度数为67.5°.
（2）解：设∠AOM=∠BOM=x，∠CON=∠DON=y，∠AOD=α
则：2x+α=90°，2y+α=45°，
∴2x+2y+2α=135°，
∴∠MON=x+y+α=67.5°
（3）解：（2）的结论成立理由：设∠AOM=∠BOM=x，∠CON=∠DON=y，∠AOD=α
则：2x-α=90°，2y-α=45°，∴2x+2y-2α=135°，
∴∠MON=x+y-α=67.5°∠MON=x+y-α=67.5°
（4）解：在变化，有时∠MON=112.5°。
如图，将三角板OBD从图（1）绕O点逆时针旋转如图所示，
设∠AOD=x
∵∠BOD=90°，∠AOC=45°
∴∠AOB=90°+x，∠DOC=360°-45°-x=315°-x
∵OM、ON分别平分∠BOA、∠DOC，
∴∠BOM=∠AOB=，∠DON=∠DOC=
∴∠MON=∠BOM+∠DON-∠DOB=+-90°
=202.5°-90°
=112.5°
答：在变化，有时∠MON=112.5°.
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义，可得出∠AOM=∠BOA，∠AON=∠AOC，再根据∠MON=∠AOM+∠AON，代入计算可解答。
（2）设∠AOM=∠BOM=x，∠CON=∠DON=y，∠AOD=α，根据已知角的度数，可建立方程2x+α=90°，2y+α=45°，解方程即可得出∠MON的度数。
（3）设∠AOM=∠BOM=x，∠CON=∠DON=y，∠AOD=α，结合已知，可得出2x-α=90°，2y-α=45°，就可求出x+y-α的值即∠MON的度数。
（4）根据题意画出图形，∠AOD=x，分别用含x的代数式表示出∠AOB、∠DOC，再根据角平分线的定义，可用含x的代数式表示出∠BOM，∠DON，然后利用∠MON=∠BOM+∠DON-∠DOB，可解答。
二、中考演练
13．（2019·南京）如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°，即可得到△A'B'C'；
先将△ABC沿着C'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着C''C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'；
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质找出旋转中心的位置记旋转角度、轴对称的性质找出对称轴的位置即可一一判断得出答案。
14．（2019·宜昌）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点 的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】B'由B旋转90°得到，如图：作B'M⊥y轴于点M，作B'N⊥X轴于点N，
OA=OA'=A'B'=2， ， , ∴ ， 则B'点坐标为： .
故答案为：B
【分析】由旋转体的特点得到线段相等和角的关系，再根据勾股定理和三角函数求出B'点的坐标。
15．（2019·海南）如图，将 的斜边AB绕点A顺时针旋转 得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转 得到AF，连结EF.若 ， ，且 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得 ， ，
，且 ，
。
故答案为： 。
【分析】根据旋转的性质得出 ， ，根据直角三角形的两锐角互余及等量代换得出即∠EAF=90°，从而根据勾股定理即可算出EF的长得出答案。
16．（2019·巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若 ， ， ．则 ＝　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角 ， ，
∴△BPP′为等边三角形，
∴ ；
由旋转的性质可知， ，
在△BPP′中， ， ，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴
故答案为：
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，，根据等边三角形的判定可知△BPP′为等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再由旋转的性质可知， ，根据勾股定理的逆定理判定△APP′是直角三角形，所以得到，从而可计算出答案。
17．（2019·广州）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转 ，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则 的度数为　 　.
【答案】15°或60°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：①如下图，当DE⊥BC时，
如下图，∠CFD＝60°，
旋转角为： ＝∠CAD＝60°-45°＝15°；
②当AD⊥BC时，如下图，
旋转角为： ＝∠CAD＝90°-30°＝60°；
【分析】分类讨论，利用旋转角，可依次求出 的度数。
18．（2019·宁夏）已知：在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， .
①画出 关于原点成中心对称的 ，并写出点 的坐标；
②画出将 绕点 按顺时针旋转 所得的 .
【答案】解：如图所示， 、 即为所求，其中点 的坐标为 .
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据关于坐标原点对称的点，其横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数即可得出点A1,B1,C1的坐标，在坐标平面内描出这些点，再顺次连接即可得出所求的 ；
（2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出A1,B1绕点 按顺时针旋转 所得所得的对应点A2,B2，再顺次连接即可得出所求的 。
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