初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形 同步训练
一、直角三角形两个锐角互余
1．（2019七上·惠城期末）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOC＝20°，则∠BOD＝（ ）
A．10° B．20° C．70° D．80°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由图可得，∠AOC、∠BOD都是∠BOC的余角，则∠BOD＝∠AOC＝20°．
故答案为：B
【分析】在直角三角形AOB中，∠AOC+∠COB=90°；在直角三角形COD中，∠COD+∠BOD=90°。根据同角的余角相等，即可得到∠AOC=∠BOD。
2．（2019八下·天台期中）如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，则∠DAE等于（ ）
A．15° B．25° C．35° D．65°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=65°
∴∠D=∠B=65°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE=90°-65°=25°，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角相等得出∠D=∠B=65°，然后根据直角三角形的两锐角互余即可算出 ∠DAE 的度数。
3．（2019七下·宜兴期中）如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F.
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠FEC=25°，求∠A的度数.
【答案】（1）证明：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
（2）解：
∵CD∥EF，∠FEC=25°
∴∠FEC=∠DCE=25°
∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACD=45°-25°=20°，
∵CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ACD=70°
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 CD∥EF；
（2）根据二直线平行，内错角相等得出 ∠FEC=∠DCE=25° ，根据角平分线的定义得出 ∠ACE=45°， 进而根据角的和差得出∠ACD的度数，最后根据直角三角形的两锐角互补即可算出∠A的度数。
二、直角三角形斜边上的中线
4．（2019九上·黑龙江期末）如图，O为线段AB的中点，AB=4cm，P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm，下列四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵OA=OB=，OP2=2，
∴OA=OB=OP2，
∴∠AP2B=90°。
故答案为：B
【分析】如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，据此即可判断。
5．（2019八下·大石桥期中）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE.若BD＝13，则AC＝ .
【答案】6.5
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵AD⊥AB，点E是BD的中点，
∴AE=BE=ED= DB=6.5，
∴∠B=∠BAE，
∴∠AED=2∠B，
∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C，
∴AC=AE=6.5.
故答案为：6.5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AE=BE=ED= DB=6.5，由等边对等角，可得∠B=∠BAE.根据三角形的外角的性质，可得∠AED=2∠B，结合已知可得∠AEC=∠C，利用等角对等边，求出AC=AE=6.5.
6．（2019八下·灌云月考）如图，在△ABC中，BC=9，AD是BC边上的高，M、N分别是AB、AC边的中点，DM=5，DN=3，则△ABC的周长是 ．
【答案】25
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD是BC边上的高，M、N分别是AB、AC边的中点，
∴AB=2DM=10，AC=2DN=6，
又BC=9，
∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=10+6+9=25．
故答案是：25．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB=2DM=10，AC=2DN=6，从而根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
7．（2019八下·武昌期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E为AC中点，点F为BD中点.求证：EF⊥BD
【答案】证明：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴BE=DE= AC，
∵点F是BD的中点，
∴EF⊥BD
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
连接BE、DE， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
BE=DE=
AC，由等腰三角形的三线合一可得EF⊥BD 。
8．（2019八下·兰州期中）小明在学完北师大数学八年级(下)第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD”.小明思考片刻，找到了解决方法，他做了辅助线。聪明的你知道他做的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB=PD，请你写出证明过程。
【答案】解：连接BM、CM，
，M是AC的中点，
，
又N是BD的中点
所以
作线段BD的垂直平分线交AD与点P
根据线段的垂直平分线的性质可得PB=PD
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】连接BM、CM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AC，DM=AC，进而求出BM=DM，再根据等腰三角形的三线合一即可求解.
9．（2019八下·蔡甸月考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90 ，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连BF.
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120 ，DE=2，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
∵CF∥AB，
∴∠DAE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵ ，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
（2）解：由（1）得，CD=2DE，
∵DE=2，
∴CD=4。
∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，
∴AB=2CD=8，AD=CD=AB。
∵AB∥CF，
∴∠BDC=180°-∠DCF=180°-120°=60°，
∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°，
∴BC=AB=×8=4.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据线段的中点，可得DE=CE，根据两直线平行内错角相等可得∠DAE=∠F，利用“AAS”可证△ADE≌△CFE.
（2）由（1）知CD=2DE=4，根据两直线平行同旁内角互补，可得出∠BDC=60°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=CD，从而可得△BDC是等边三角形， 利用等边三角形的三边相等，可得BC=DC=4.
三、含30度角的直角三角形
10．（2019七下·盐田期末）若等腰三角形的底角为15°，则一腰上的高是腰长的（ ）
A． B． C．1倍 D．2倍
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
过点C作BA延长线的垂线，根据题意可知，∠DAC=∠B+∠ACB=30°
∴在直角三角形ADC中，CD=AC
故答案为：B。
【分析】根据题意作出等腰三角形的一个腰上的高，由三角形的外角定理得到∠DAC的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到答案。
11．（2019八下·织金期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面 处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是 （ ）
A． B． C． D． .
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=3米，
∴AB=6米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=9米.
故答案为：C.
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB=2CB=6，进而根据这棵大树在折断前的高度=AB+BC即可算出答案。
12．（2019八下·灯塔期中）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2，则AB的长是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，可以得到∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°，由此可以推出∠DCA=∠B=30°，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半分别求出AC，AB.
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高
∴∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°
∴∠DCA=∠B=30°（同角的余角相等），
∵AD=2cm，
在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm，
在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm.
∴AB的长度是8cm
故答案为：C.
【分析】根据同角的余角相等，可得∠DCA=∠B=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，先求出AC=2AD=4cm，从而求出AB=2AC=8cm.
13．（2019八下·兰州期中）如图所示， 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 .求证： .
【答案】解：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C= =30°，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），
∴∠BAF=∠BAC﹣∠FAC=120°﹣30°=90°，
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴BF=2CF（等量代换）.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 连接AF， 根据等边对等角及三角形的内角和定理可得 ∠B=∠C=30°， 由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CF=AF ，根据等边对等角求出∠FAC=∠C=30° ，进而可得 ∠BAF =90°， 在Rt△ABF中 ，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半 及等量代换即可证出 .
14．（2019八上·昭通期末）已知：在一个直角三角形中30°角所对的直角边为3cm，则斜边长为 ．
【答案】6cm
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为3cm，
∴斜边长为6cm．
故答案为：6cm
【分析】根据含30°直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可算出答案。
15．（2019八下·水城期末）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝3cm，则PC的长为 cm.
【答案】6
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作PH⊥OB于H.
∵∠POA＝∠POB，PH⊥OB，PD⊥OA，
∴PH＝PD＝3cm，
∵PC∥OA，
∴∠POA＝∠CPO＝15°，
∴∠PCH＝∠COP+∠CPO＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴PC＝2PH＝6cm。
故答案为：6。
【分析】如图，作PH⊥OB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PH＝PD＝3cm，根据二直线平行，内错角相等及三角形的外角定理得出∠PCH＝∠COP+∠CPO＝30°，从而根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出PC的长。
四、直角三角形的判定
16．（2019八上·潮安期末）已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°-20°-70°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理可知，第三个角的度数为90°，即可判断三角形为直角三角形。
17．（2019八上·潮安期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．
（1）求∠DFG的度数；
（2）设∠BAD＝θ，
①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；
②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B＝∠AFD＝40°，AB＝AF∠BAD＝∠FAD＝θ，
∴AF＝AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG＝∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG＝∠C．
∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG＝∠B+∠C＝40°+40°＝80°．
（2）解：①当GD＝GF时，
∴∠GDF＝∠GFD＝80°．
∵∠ADG＝40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ＝180°，
∴θ＝10°．
当DF＝GF时，
∴∠FDG＝∠FGD．
∵∠DFG＝80°，
∴∠FDG＝∠FGD＝50°．
∴40°+50°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝25°．
当DF＝DG时，
∴∠DFG＝∠DGF＝80°，
∴∠GDF＝20°，
∴40°+20°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝40°．
∴当θ＝10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；
②当∠GDF＝90°时，
∵∠DFG＝80°，
∴40°+90°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝5°．
当∠DGF＝90°时，
∵∠DFG＝80°，
∴∠GDF＝10°，
∴40°+10°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝45°，
综上所述，当θ＝5°或45°时，△DFG为直角三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据题目条件，证明△ABD≌AFD，根据三角形全等的性质即可判断△AFG≌△ACG，得出∠DFG的度数即可。
（2）①根据题意可知，利用等腰三角形的性质即可得到以下几种情况，GD=GF，DF=GF，DF=DG进行求解即可。
②若三角形为直角三角形，根据题意则∠GDF或者∠DGF等于90°，根据所设的角的情况，求出角的数值即可。
五、中考演练
18．（2018·淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义平行线的性质得出∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，根据等量代换及等角对等边得出∠ACB=2∠B，NM=NC，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B=30°，根据含30 角的直角三角形的边之间的关系得出MN=2，进而得出BC=6，
19．（2019·吉林）如图，在四边形 中， ．若将 沿 折叠，点 与边 的中点 恰好重合，则四边形 的周长为 ．
【答案】20
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，
∴DE=BE= AB=5，
由折叠可得，CB=BE，CD=ED，
∴四边形BCDE的周长为5×4=20，
故答案为：20．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到DE和BE的长度，即可得到四边形BCDE的周长。
20．（2018·玉林）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
【答案】2＜AD＜8
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF= AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为2＜AD＜8．
【分析】延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．构造直角三角形，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出AE的长及AF的长，从而可求出AD的取值范围。
21．（2018·鄂州）著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为 cm．
【答案】10
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接OP，
∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴OP= AB，
∵AB=20cm，
∴OP=10cm，
【分析】将实际问题转化为数学问题，利用直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可求出OP的长。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形 同步训练
一、直角三角形两个锐角互余
1．（2019七上·惠城期末）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOC＝20°，则∠BOD＝（ ）
A．10° B．20° C．70° D．80°
2．（2019八下·天台期中）如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，则∠DAE等于（ ）
A．15° B．25° C．35° D．65°
3．（2019七下·宜兴期中）如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F.
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠FEC=25°，求∠A的度数.
二、直角三角形斜边上的中线
4．（2019九上·黑龙江期末）如图，O为线段AB的中点，AB=4cm，P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm，下列四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
5．（2019八下·大石桥期中）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE.若BD＝13，则AC＝ .
6．（2019八下·灌云月考）如图，在△ABC中，BC=9，AD是BC边上的高，M、N分别是AB、AC边的中点，DM=5，DN=3，则△ABC的周长是 ．
7．（2019八下·武昌期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E为AC中点，点F为BD中点.求证：EF⊥BD
8．（2019八下·兰州期中）小明在学完北师大数学八年级(下)第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD”.小明思考片刻，找到了解决方法，他做了辅助线。聪明的你知道他做的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB=PD，请你写出证明过程。
9．（2019八下·蔡甸月考）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90 ，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连BF.
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120 ，DE=2，求BC的长.
三、含30度角的直角三角形
10．（2019七下·盐田期末）若等腰三角形的底角为15°，则一腰上的高是腰长的（ ）
A． B． C．1倍 D．2倍
11．（2019八下·织金期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面 处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是 （ ）
A． B． C． D． .
12．（2019八下·灯塔期中）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2，则AB的长是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
13．（2019八下·兰州期中）如图所示， 中， ， ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 .求证： .
14．（2019八上·昭通期末）已知：在一个直角三角形中30°角所对的直角边为3cm，则斜边长为 ．
15．（2019八下·水城期末）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝3cm，则PC的长为 cm.
四、直角三角形的判定
16．（2019八上·潮安期末）已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
17．（2019八上·潮安期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．
（1）求∠DFG的度数；
（2）设∠BAD＝θ，
①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；
②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．
五、中考演练
18．（2018·淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
19．（2019·吉林）如图，在四边形 中， ．若将 沿 折叠，点 与边 的中点 恰好重合，则四边形 的周长为 ．
20．（2018·玉林）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
21．（2018·鄂州）著名画家达·芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为 cm．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由图可得，∠AOC、∠BOD都是∠BOC的余角，则∠BOD＝∠AOC＝20°．
故答案为：B
【分析】在直角三角形AOB中，∠AOC+∠COB=90°；在直角三角形COD中，∠COD+∠BOD=90°。根据同角的余角相等，即可得到∠AOC=∠BOD。
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=65°
∴∠D=∠B=65°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE=90°-65°=25°，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角相等得出∠D=∠B=65°，然后根据直角三角形的两锐角互余即可算出 ∠DAE 的度数。
3．【答案】（1）证明：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
（2）解：
∵CD∥EF，∠FEC=25°
∴∠FEC=∠DCE=25°
∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACD=45°-25°=20°，
∵CD⊥AB，
∴∠A=90°-∠ACD=70°
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 CD∥EF；
（2）根据二直线平行，内错角相等得出 ∠FEC=∠DCE=25° ，根据角平分线的定义得出 ∠ACE=45°， 进而根据角的和差得出∠ACD的度数，最后根据直角三角形的两锐角互补即可算出∠A的度数。
4．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵OA=OB=，OP2=2，
∴OA=OB=OP2，
∴∠AP2B=90°。
故答案为：B
【分析】如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，据此即可判断。
5．【答案】6.5
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵AD⊥AB，点E是BD的中点，
∴AE=BE=ED= DB=6.5，
∴∠B=∠BAE，
∴∠AED=2∠B，
∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C，
∴AC=AE=6.5.
故答案为：6.5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AE=BE=ED= DB=6.5，由等边对等角，可得∠B=∠BAE.根据三角形的外角的性质，可得∠AED=2∠B，结合已知可得∠AEC=∠C，利用等角对等边，求出AC=AE=6.5.
6．【答案】25
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD是BC边上的高，M、N分别是AB、AC边的中点，
∴AB=2DM=10，AC=2DN=6，
又BC=9，
∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=10+6+9=25．
故答案是：25．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB=2DM=10，AC=2DN=6，从而根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
7．【答案】证明：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴BE=DE= AC，
∵点F是BD的中点，
∴EF⊥BD
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
连接BE、DE， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
BE=DE=
AC，由等腰三角形的三线合一可得EF⊥BD 。
8．【答案】解：连接BM、CM，
，M是AC的中点，
，
又N是BD的中点
所以
作线段BD的垂直平分线交AD与点P
根据线段的垂直平分线的性质可得PB=PD
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】连接BM、CM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AC，DM=AC，进而求出BM=DM，再根据等腰三角形的三线合一即可求解.
9．【答案】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴DE=CE，
∵CF∥AB，
∴∠DAE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵ ，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
（2）解：由（1）得，CD=2DE，
∵DE=2，
∴CD=4。
∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，
∴AB=2CD=8，AD=CD=AB。
∵AB∥CF，
∴∠BDC=180°-∠DCF=180°-120°=60°，
∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°，
∴BC=AB=×8=4.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据线段的中点，可得DE=CE，根据两直线平行内错角相等可得∠DAE=∠F，利用“AAS”可证△ADE≌△CFE.
（2）由（1）知CD=2DE=4，根据两直线平行同旁内角互补，可得出∠BDC=60°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=CD，从而可得△BDC是等边三角形， 利用等边三角形的三边相等，可得BC=DC=4.
10．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：
过点C作BA延长线的垂线，根据题意可知，∠DAC=∠B+∠ACB=30°
∴在直角三角形ADC中，CD=AC
故答案为：B。
【分析】根据题意作出等腰三角形的一个腰上的高，由三角形的外角定理得到∠DAC的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到答案。
11．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=3米，
∴AB=6米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=9米.
故答案为：C.
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB=2CB=6，进而根据这棵大树在折断前的高度=AB+BC即可算出答案。
12．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，可以得到∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°，由此可以推出∠DCA=∠B=30°，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半分别求出AC，AB.
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高
∴∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°
∴∠DCA=∠B=30°（同角的余角相等），
∵AD=2cm，
在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm，
在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm.
∴AB的长度是8cm
故答案为：C.
【分析】根据同角的余角相等，可得∠DCA=∠B=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，先求出AC=2AD=4cm，从而求出AB=2AC=8cm.
13．【答案】解：连接AF，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C= =30°，
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），
∴∠BAF=∠BAC﹣∠FAC=120°﹣30°=90°，
在Rt△ABF中，∠B=30°，
∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴BF=2CF（等量代换）.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 连接AF， 根据等边对等角及三角形的内角和定理可得 ∠B=∠C=30°， 由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CF=AF ，根据等边对等角求出∠FAC=∠C=30° ，进而可得 ∠BAF =90°， 在Rt△ABF中 ，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半 及等量代换即可证出 .
14．【答案】6cm
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为3cm，
∴斜边长为6cm．
故答案为：6cm
【分析】根据含30°直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可算出答案。
15．【答案】6
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作PH⊥OB于H.
∵∠POA＝∠POB，PH⊥OB，PD⊥OA，
∴PH＝PD＝3cm，
∵PC∥OA，
∴∠POA＝∠CPO＝15°，
∴∠PCH＝∠COP+∠CPO＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴PC＝2PH＝6cm。
故答案为：6。
【分析】如图，作PH⊥OB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PH＝PD＝3cm，根据二直线平行，内错角相等及三角形的外角定理得出∠PCH＝∠COP+∠CPO＝30°，从而根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出PC的长。
16．【答案】A
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°-20°-70°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理可知，第三个角的度数为90°，即可判断三角形为直角三角形。
17．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B＝∠AFD＝40°，AB＝AF∠BAD＝∠FAD＝θ，
∴AF＝AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG＝∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG＝∠C．
∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG＝∠B+∠C＝40°+40°＝80°．
（2）解：①当GD＝GF时，
∴∠GDF＝∠GFD＝80°．
∵∠ADG＝40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ＝180°，
∴θ＝10°．
当DF＝GF时，
∴∠FDG＝∠FGD．
∵∠DFG＝80°，
∴∠FDG＝∠FGD＝50°．
∴40°+50°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝25°．
当DF＝DG时，
∴∠DFG＝∠DGF＝80°，
∴∠GDF＝20°，
∴40°+20°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝40°．
∴当θ＝10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；
②当∠GDF＝90°时，
∵∠DFG＝80°，
∴40°+90°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝5°．
当∠DGF＝90°时，
∵∠DFG＝80°，
∴∠GDF＝10°，
∴40°+10°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝45°，
综上所述，当θ＝5°或45°时，△DFG为直角三角形
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据题目条件，证明△ABD≌AFD，根据三角形全等的性质即可判断△AFG≌△ACG，得出∠DFG的度数即可。
（2）①根据题意可知，利用等腰三角形的性质即可得到以下几种情况，GD=GF，DF=GF，DF=DG进行求解即可。
②若三角形为直角三角形，根据题意则∠GDF或者∠DGF等于90°，根据所设的角的情况，求出角的数值即可。
18．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义平行线的性质得出∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，根据等量代换及等角对等边得出∠ACB=2∠B，NM=NC，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B=30°，根据含30 角的直角三角形的边之间的关系得出MN=2，进而得出BC=6，
19．【答案】20
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BD⊥AD，点E是AB的中点，
∴DE=BE= AB=5，
由折叠可得，CB=BE，CD=ED，
∴四边形BCDE的周长为5×4=20，
故答案为：20．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到DE和BE的长度，即可得到四边形BCDE的周长。
20．【答案】2＜AD＜8
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF= AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为2＜AD＜8．
【分析】延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．构造直角三角形，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出AE的长及AF的长，从而可求出AD的取值范围。
21．【答案】10
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接OP，
∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴OP= AB，
∵AB=20cm，
∴OP=10cm，
【分析】将实际问题转化为数学问题，利用直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可求出OP的长。
1 / 1
