初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理 强化提升训练

初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理 强化提升训练
一、综合提升
1．（2018·黄浦模拟）下列命题中，假命题是（　　）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
2．（2019·丽水模拟）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm则两弦AB、CD的距离是（　　）
A．7 cm B．17 cm C．12cm D．7 cm或17cm
3．（北师大版2019年中考数学最新仿真猜押卷（二））如图，⊙O过点B，C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（　　）
A． B．2 C．3 D．
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（2）同步练习）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）
A． cm B． cm
C． cm或 cm D． cm或 cm
6．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（　　）
A．10 cm B．10cm C．10 cm D．8 cm
7．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，⊙ 的直径 ， 是圆上任一点（A、B除外）， 的平分线交⊙ 于C，弦 过 ， 的中点 、 ，则 的长是（　　）
A． B． C． D．
8．（2019·海珠模拟）已知⊙O的半径为26cm，弦AB∥CD，AB＝48cm，CD＝20cm，则AB、CD之间的距离为　 　.
9．（2019·葫芦岛模拟）一个学生荡秋千，秋千链子的长度为 ，当秋千向两边摆动时，摆角（指摆到最高位置时的秋千与铅垂线的夹角）恰好是 ，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差为 　 　m.（结果可以保留根号）
10．（2018·龙湖模拟）如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN=　 　cm．
11．（浙教版2019中考数学模拟试卷2）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，AB﹣BC＝1，圆心在线段BD上的⊙O交AB于点E、F，交BC于点G，H，其EF＝GH，则CD的长为　 　．
12．（2018·黑龙江模拟）如图（右上），在△ABC中，∠ABC＝24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA 的延长线于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为　 　．
13．（2019九上·海淀期中）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）
14．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.2圆的基本性质 第2课时 垂径定理 同步训练）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
（2）设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
（3）若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
15．（2019九上·舟山期中）如图，某地有一座圆弧形拱桥，
（1）如图1，请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O；
（2）如图2，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m．桥下水面宽度AB为7.2m，现有一艘宽3m、船舱顶部为方形并高出水面2m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.
二、中考演练
16．（2019·北部湾）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第—部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有—问题“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长—尺，问径几何 ”小辉同学根据原文题意.画出圆材截面图如图所示.已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为　 　寸.
17．（2019·德州）如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， ， ， ，则弦 的长度为　 　．
18．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．25m B．24m C．30m D．60m
19．（2019·北京）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G， 的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DE BA，垂足为E，作DF BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．
故答案为：C．
【分析】垂径定理知二推三可知 ：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧，⑤过圆心；知道其中的任意两个条件都可以退出剩下的三个结论；但在使用②平分弦，⑤过圆心这两个条件的时候需要加上限制条件，被平分的弦不是直径，才能退出剩下的三个条件。
2．【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：①两弦在圆心同一侧，如图：OE⊥CD，OF⊥AB，
∵CD=10cm，OE⊥CD，OD=13cm，
∴DE=5cm，∠DEO=90°，
在Rt△DEO中，
∴OE==12cm，
又∵AB=24cm，OF⊥AB，OB=13cm，
∴BF=12cm，∠BFO=90°，
在Rt△BFO中，
∴OF==5cm，
∴EF=OE-OF=12-5=7cm，
即两弦AB、CD的距离为7cm；
②两弦在圆心两侧，如图：OE⊥CD，OF⊥AB，
由①知OE=12cm，OF=5cm，
∴EF=OE+OF=12+5=17cm，
即两弦AB、CD的距离为17cm；
综上所述：两弦AB、CD的距离为7cm或17cm.
故答案为：D.
【分析】根据题意分情况讨论：①当两弦在圆心两侧，②当两弦在圆心同侧，然后根据垂径定理分别求得OE、OF长，再结合图形及求得两弦AB、CD的距离。
3．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D
∴AD⊥BC
∴BD=BC=×6=3，
∵等腰直角△ABC，OD垂直平分BC
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴点A、O、D三点共线
∴∠ABD=45°
△ADB是等腰直角三角形，
∴BD=AD=3
∴OD=AD-AO=3-1=2
∴OB=
∴圆的半径为
故答案为：D
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质及圆的对称性，可证得点A、O、D三点共线，利用垂径定理求出BD的长，再证明△ADB是等腰直角三角形，就可求出OD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
4．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： ∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
又∵点P的坐标为（0，﹣7），
∴BP=3，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，
在Rt△BCP中，CP=
=4；
故CD=2CP=8，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=直径AE=10；
所以，8≤CD≤10，
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故答案为：C．
【分析】 当CD为直径时，此时CD最长，为10；当CD⊥y轴P点时，CD为P点的最短弦，由点A（0，1），BA=5，得到B点坐标为（0，-4），再由P点坐标为（0，-7），得到BP=3，由BP⊥CD，根据垂径定理得PC=PD，然后在Rt△PBC中，根据勾股定理得到PC=4，所以CD=8，即过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，所以弦CD长的所有可能的整数值有8，9，10．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=
AB=
×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=
=
=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=
=
=
cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=
=
=
cm．
故答案为：C．
【分析】 连接OA，AC，先根据垂径定理求出AM的长，再由勾股定理求出OM的长，进而可得出CM的长，根据勾股定理即可得出AC的长．（要注意分两种情况）
6．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥EF交EF于M.
设OF=xcm，
由题意知，⊙O和BC相切，则H，O，G三点在一条直线上.
∵EF＝CD＝16
根据垂定定理得MF=8，
在RtΔOMF中，
OF2=+，
x2=82+(16-x)2解得x=10
故答案为：B．
【分析】过点O作OM⊥EF交EF于M .由垂径定理可求得MF=EF，在RtΔOMF中，用勾股定理即可求解。
7．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴弧 弧 ，
∴ ，
又∵ 是直径，
∴ ，即 为等腰直角三角形．
连接 ，交 于点 ，则 ，
∵ ， 是 ， 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
连接 根据勾股定理，得
， ．
故答案为： ．
故答案为：
【分析】连接OC，交EF点D，连接 O E ，则OC⊥AB，用圆周角定理及推论易证△ABC为等腰直角三角形，根据三角形中位线定理可得MN∥AB，则OC⊥EF，OD=OC，由垂径定理可得EF=2ED即可求解。
8．【答案】34或14cm
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】解：有两种情况.如图.过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E.
∴EF就是AB、CD间的距离.
∵AB＝48cm，CD＝20cm，根据垂径定理，得 CE＝DE＝10cm，AF＝BF＝24cm，
∵OD＝OB＝26cm，
∴在直角三角形OED和直角三角形OBF中，
∴OE＝24cm，OF＝10cm（勾股定理），
∴①EF＝24+10＝34cm②EF＝24﹣10＝14cm.
故答案是：34或14cm.
【分析】因为圆中的两条弦可以在圆心的同侧，也可在圆心的两旁，所以可分两种情况讨论求解：
①当AB、CD在圆心的同旁，过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E，EF就是AB、CD间的距离，由垂径定理可得 CE＝DE＝CD，AF＝BF=AB，在直角三角形OED和直角三角形OBF中，用勾股定理可求得OE和OF的值，则EF=OE-OF可求解；
②当AB、CD在圆心的两旁，过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E，EF就是AB、CD间的距离，同理可求得OE和OF的值，则EF=OE+OF可求解。
9．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】如图，设秋千摆至最低点时的位置为C，连结AB，交OC于D．
∵点C为弧AB的中点，O为圆心，
∴AB⊥OC，AD=BD，弧AC=弧BC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOC=30°．
∵OA=OB=OC=3，
∴AD= OA= ，OD= ，
∴DC=OC-OD= ，
即它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为（ ）m．
故答案为（ ）m．
【分析】根据题意画出图形，利用垂径定理可证AD=BD，易证△AOB是等边三角形，就可得到OC的长，再求出OD的长，然后根据DC=OC-OD，即可解答此题。
10．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CM=CD=2cm，
连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴ = ，
∴∠AOC=∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA
∴CM=CN=2cm，
故答案为：2.
【分析】根据垂径定理得出CM=CD=2cm，根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC=∠BOC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出CM=CN=2cm。
11．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图在BA上截取BT＝BC，连接DT．作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N．
∵EF＝GH，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM＝ON，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBT，
∵BD＝BD，BC＝BT，
∴△DBC≌△DBT，
∴CD＝DT，
∵AB﹣BC＝AT＝1，
在Rt△ADT中，DT＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝DT＝ ，
故答案为 ．
【分析】首先根据垂径定理得出BD是的角平分线；然后再根据三角形全等的判定方法判定△DBC≌△DBT；最后根据勾股定理求出DT的长度，即求出DC的长度。
12．【答案】33°
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BD于点F，连接AD，
∵点E在BD的垂直平分线上，
∴ ，
直线EF必过圆心，EF AD，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】过点E作EF⊥BD于点F，连接AD，由垂径定理可得弧BE=弧ED，直线EF必过圆心，EF//AD，根据三角形内角和定理可求得∠BOF的度数，由对等角相等和平行线的性质可得∠BOF=∠AOE=∠BAD，根据三角形内角和定理可求得∠BAE的度数，由角的构成可求得∠CAD的度数，在直角三角形ACD中，用三角形的内角和定理即可求得∠C的度数。
13．【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB=0.8a+3.2a+2a=6a，
所以OC=OB=3a，
OE=OB-BE=3a-2a=a，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD=2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE= = =2 a，
∴CD=2CE=4 a，
所以路面的宽度l为4 a．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】结合图形，计算圆的半径R，在
Rt△OCE中利用勾股定理计算CE，根据垂径定理即可得出答案。
14．【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，
∵△ABC为等腰三角形，BC=10 cm，
∴BD=CD=5cm，
∵AB=6 cm，
在Rt△ABD中，
∴AD=，
在Rt△OBD中，
∴R2=52+（R-）2，
∴R=.
即圆片的半径为.
（3）解：由（2）知R=.
∵3＜＜4，
∴4.5＜＜6，
又∵n＜R＜m，
∴n=5，m=6
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心O.
（2）作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，根据等腰三角形的性质和垂径定理可知BD=CD=5cm，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD；在Rt△OBD中，由勾股定理求得半径R.
（3）由3＜＜4，从而估算的范围，从而得出m、n的值.
15．【答案】（1）解：如图
（2）解：如图，连接ON，OB. ∵OC⊥AB，∴D为AB的中点． ∵AB＝7.2m，
∴BD＝ AB＝3.6m.
设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9，
∴OD＝r－2.4＝1.5(m)．
∵船宽3m，根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5m，
∴OE＝ ＝ ＝3.6(m)，
∴FN＝DE＝OE－OD＝2.1m＞2m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥
【知识点】垂径定理的实际应用；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，该弧所在的圆的圆心，一定在该弧所在的圆的任意两条弦的垂直平分线的交点上，故在弧AB上任意取一点H，连接AH，BH，利用尺规作图法作出弦AH，BH的垂直平分线，两线的交点就是这段弧所在圆的圆心；
（2） 如图，连接ON，OB ，根据垂径定理得出 BD＝ AB＝3.6m， 设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝(r－2.4)m ， 在Rt△BOD中 ，根据勾股定理建立方程，求解即可算出r的值，进而即可得出OD的长； 根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5m， 在Rt△OEN中，利用勾股定理得出OE的长，根据矩形的对边相等及线段的和差由 FN＝DE＝OE－OD 算出FN的长，将该长与2进行比较即可得出答案。
16．【答案】26
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图
设⊙O的半径为r．
由题意得
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解之：r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
【分析】将实际问题转化为数学问题，如图可知DE=1，利用垂径定理求出AD的长，用含r的代数式表示出OD，然后利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值，然后可得到圆的直径长。
17．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】
连接 、 ， 交 于 ，如图，
∵ ，
，
设⊙ 的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
∵ ，
， ，
在 中， ，①
在 中， ，②
解由①②组成的方程组得到 ，
．
故答案为 ．
【分析】先利用勾股定理求出圆的半径，再利用垂径定理和勾股定理求出AF的一半，继而可求出AF的长。
18．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OD
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，O、D、C在同一条直线上，
∴AD=AB=20
设圆O的半径为r，则OD=r-10
在Rt△AOD中，
AO2=OD2+AD2
∴r2=202+（r-10）2
解之：r=25
故答案为：A
【分析】利用垂径定理证明OC⊥AB，由点C是弧AB的中点，可知O、D、C在同一条直线上，可求出AD的长，设圆的半径为r，表示出OD的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。
19．【答案】（1）证明：如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴ ，∴AD=CD
（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°
在Rt△CDF和Rt△CMF中
，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线
∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据圆的定义得到图形G为三角形ABC的外接圆，根据角度相等的关系得到弧AD=弧CD，继而得到AD=CD。
（2）根据题意证明CD=CM，即可得到BC的垂直平分线DM，根据垂径定理得到BC为直径，继而证明直线DE与图形G的公共点的个数即可。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理 强化提升训练
一、综合提升
1．（2018·黄浦模拟）下列命题中，假命题是（　　）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．
故答案为：C．
【分析】垂径定理知二推三可知 ：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧，⑤过圆心；知道其中的任意两个条件都可以退出剩下的三个结论；但在使用②平分弦，⑤过圆心这两个条件的时候需要加上限制条件，被平分的弦不是直径，才能退出剩下的三个条件。
2．（2019·丽水模拟）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm则两弦AB、CD的距离是（　　）
A．7 cm B．17 cm C．12cm D．7 cm或17cm
【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：①两弦在圆心同一侧，如图：OE⊥CD，OF⊥AB，
∵CD=10cm，OE⊥CD，OD=13cm，
∴DE=5cm，∠DEO=90°，
在Rt△DEO中，
∴OE==12cm，
又∵AB=24cm，OF⊥AB，OB=13cm，
∴BF=12cm，∠BFO=90°，
在Rt△BFO中，
∴OF==5cm，
∴EF=OE-OF=12-5=7cm，
即两弦AB、CD的距离为7cm；
②两弦在圆心两侧，如图：OE⊥CD，OF⊥AB，
由①知OE=12cm，OF=5cm，
∴EF=OE+OF=12+5=17cm，
即两弦AB、CD的距离为17cm；
综上所述：两弦AB、CD的距离为7cm或17cm.
故答案为：D.
【分析】根据题意分情况讨论：①当两弦在圆心两侧，②当两弦在圆心同侧，然后根据垂径定理分别求得OE、OF长，再结合图形及求得两弦AB、CD的距离。
3．（北师大版2019年中考数学最新仿真猜押卷（二））如图，⊙O过点B，C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D
∴AD⊥BC
∴BD=BC=×6=3，
∵等腰直角△ABC，OD垂直平分BC
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴点A、O、D三点共线
∴∠ABD=45°
△ADB是等腰直角三角形，
∴BD=AD=3
∴OD=AD-AO=3-1=2
∴OB=
∴圆的半径为
故答案为：D
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质及圆的对称性，可证得点A、O、D三点共线，利用垂径定理求出BD的长，再证明△ADB是等腰直角三角形，就可求出OD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（2）同步练习）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： ∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
又∵点P的坐标为（0，﹣7），
∴BP=3，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，
在Rt△BCP中，CP=
=4；
故CD=2CP=8，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=直径AE=10；
所以，8≤CD≤10，
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故答案为：C．
【分析】 当CD为直径时，此时CD最长，为10；当CD⊥y轴P点时，CD为P点的最短弦，由点A（0，1），BA=5，得到B点坐标为（0，-4），再由P点坐标为（0，-7），得到BP=3，由BP⊥CD，根据垂径定理得PC=PD，然后在Rt△PBC中，根据勾股定理得到PC=4，所以CD=8，即过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，所以弦CD长的所有可能的整数值有8，9，10．
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.2圆的对称性（1）同步练习）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）
A． cm B． cm
C． cm或 cm D． cm或 cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=
AB=
×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=
=
=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=
=
=
cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=
=
=
cm．
故答案为：C．
【分析】 连接OA，AC，先根据垂径定理求出AM的长，再由勾股定理求出OM的长，进而可得出CM的长，根据勾股定理即可得出AC的长．（要注意分两种情况）
6．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（　　）
A．10 cm B．10cm C．10 cm D．8 cm
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OM⊥EF交EF于M.
设OF=xcm，
由题意知，⊙O和BC相切，则H，O，G三点在一条直线上.
∵EF＝CD＝16
根据垂定定理得MF=8，
在RtΔOMF中，
OF2=+，
x2=82+(16-x)2解得x=10
故答案为：B．
【分析】过点O作OM⊥EF交EF于M .由垂径定理可求得MF=EF，在RtΔOMF中，用勾股定理即可求解。
7．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理（2） 同步练习）如图，⊙ 的直径 ， 是圆上任一点（A、B除外）， 的平分线交⊙ 于C，弦 过 ， 的中点 、 ，则 的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴弧 弧 ，
∴ ，
又∵ 是直径，
∴ ，即 为等腰直角三角形．
连接 ，交 于点 ，则 ，
∵ ， 是 ， 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
连接 根据勾股定理，得
， ．
故答案为： ．
故答案为：
【分析】连接OC，交EF点D，连接 O E ，则OC⊥AB，用圆周角定理及推论易证△ABC为等腰直角三角形，根据三角形中位线定理可得MN∥AB，则OC⊥EF，OD=OC，由垂径定理可得EF=2ED即可求解。
8．（2019·海珠模拟）已知⊙O的半径为26cm，弦AB∥CD，AB＝48cm，CD＝20cm，则AB、CD之间的距离为　 　.
【答案】34或14cm
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】解：有两种情况.如图.过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E.
∴EF就是AB、CD间的距离.
∵AB＝48cm，CD＝20cm，根据垂径定理，得 CE＝DE＝10cm，AF＝BF＝24cm，
∵OD＝OB＝26cm，
∴在直角三角形OED和直角三角形OBF中，
∴OE＝24cm，OF＝10cm（勾股定理），
∴①EF＝24+10＝34cm②EF＝24﹣10＝14cm.
故答案是：34或14cm.
【分析】因为圆中的两条弦可以在圆心的同侧，也可在圆心的两旁，所以可分两种情况讨论求解：
①当AB、CD在圆心的同旁，过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E，EF就是AB、CD间的距离，由垂径定理可得 CE＝DE＝CD，AF＝BF=AB，在直角三角形OED和直角三角形OBF中，用勾股定理可求得OE和OF的值，则EF=OE-OF可求解；
②当AB、CD在圆心的两旁，过O作AB、CD的垂线EF，交AB于点F，交CD于点E，EF就是AB、CD间的距离，同理可求得OE和OF的值，则EF=OE+OF可求解。
9．（2019·葫芦岛模拟）一个学生荡秋千，秋千链子的长度为 ，当秋千向两边摆动时，摆角（指摆到最高位置时的秋千与铅垂线的夹角）恰好是 ，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差为 　 　m.（结果可以保留根号）
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】如图，设秋千摆至最低点时的位置为C，连结AB，交OC于D．
∵点C为弧AB的中点，O为圆心，
∴AB⊥OC，AD=BD，弧AC=弧BC，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOC=30°．
∵OA=OB=OC=3，
∴AD= OA= ，OD= ，
∴DC=OC-OD= ，
即它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为（ ）m．
故答案为（ ）m．
【分析】根据题意画出图形，利用垂径定理可证AD=BD，易证△AOB是等边三角形，就可得到OC的长，再求出OD的长，然后根据DC=OC-OD，即可解答此题。
10．（2018·龙湖模拟）如图，C为弧AB的中点，CN⊥OB于N，CD⊥OA于M，CD=4cm，则CN=　 　cm．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CM=CD=2cm，
连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴ = ，
∴∠AOC=∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA
∴CM=CN=2cm，
故答案为：2.
【分析】根据垂径定理得出CM=CD=2cm，根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOC=∠BOC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出CM=CN=2cm。
11．（浙教版2019中考数学模拟试卷2）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，AB﹣BC＝1，圆心在线段BD上的⊙O交AB于点E、F，交BC于点G，H，其EF＝GH，则CD的长为　 　．
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图在BA上截取BT＝BC，连接DT．作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N．
∵EF＝GH，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM＝ON，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBT，
∵BD＝BD，BC＝BT，
∴△DBC≌△DBT，
∴CD＝DT，
∵AB﹣BC＝AT＝1，
在Rt△ADT中，DT＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝DT＝ ，
故答案为 ．
【分析】首先根据垂径定理得出BD是的角平分线；然后再根据三角形全等的判定方法判定△DBC≌△DBT；最后根据勾股定理求出DT的长度，即求出DC的长度。
12．（2018·黑龙江模拟）如图（右上），在△ABC中，∠ABC＝24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA 的延长线于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为　 　．
【答案】33°
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BD于点F，连接AD，
∵点E在BD的垂直平分线上，
∴ ，
直线EF必过圆心，EF AD，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】过点E作EF⊥BD于点F，连接AD，由垂径定理可得弧BE=弧ED，直线EF必过圆心，EF//AD，根据三角形内角和定理可求得∠BOF的度数，由对等角相等和平行线的性质可得∠BOF=∠AOE=∠BAD，根据三角形内角和定理可求得∠BAE的度数，由角的构成可求得∠CAD的度数，在直角三角形ACD中，用三角形的内角和定理即可求得∠C的度数。
13．（2019九上·海淀期中）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）
【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB=0.8a+3.2a+2a=6a，
所以OC=OB=3a，
OE=OB-BE=3a-2a=a，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD=2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE= = =2 a，
∴CD=2CE=4 a，
所以路面的宽度l为4 a．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】结合图形，计算圆的半径R，在
Rt△OCE中利用勾股定理计算CE，根据垂径定理即可得出答案。
14．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册24.2圆的基本性质 第2课时 垂径定理 同步训练）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.
（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)
（2）设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)
（3）若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.
【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，
∵△ABC为等腰三角形，BC=10 cm，
∴BD=CD=5cm，
∵AB=6 cm，
在Rt△ABD中，
∴AD=，
在Rt△OBD中，
∴R2=52+（R-）2，
∴R=.
即圆片的半径为.
（3）解：由（2）知R=.
∵3＜＜4，
∴4.5＜＜6，
又∵n＜R＜m，
∴n=5，m=6
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心O.
（2）作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，根据等腰三角形的性质和垂径定理可知BD=CD=5cm，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD；在Rt△OBD中，由勾股定理求得半径R.
（3）由3＜＜4，从而估算的范围，从而得出m、n的值.
15．（2019九上·舟山期中）如图，某地有一座圆弧形拱桥，
（1）如图1，请用尺规作出圆弧所在圆的圆心O；
（2）如图2，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m．桥下水面宽度AB为7.2m，现有一艘宽3m、船舱顶部为方形并高出水面2m的货船要经过拱桥，请通过计算说明此货船能否顺利通过这座拱桥.
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图，连接ON，OB. ∵OC⊥AB，∴D为AB的中点． ∵AB＝7.2m，
∴BD＝ AB＝3.6m.
设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝(r－2.4)m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9，
∴OD＝r－2.4＝1.5(m)．
∵船宽3m，根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5m，
∴OE＝ ＝ ＝3.6(m)，
∴FN＝DE＝OE－OD＝2.1m＞2m，
∴此货船能顺利通过这座拱桥
【知识点】垂径定理的实际应用；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，该弧所在的圆的圆心，一定在该弧所在的圆的任意两条弦的垂直平分线的交点上，故在弧AB上任意取一点H，连接AH，BH，利用尺规作图法作出弦AH，BH的垂直平分线，两线的交点就是这段弧所在圆的圆心；
（2） 如图，连接ON，OB ，根据垂径定理得出 BD＝ AB＝3.6m， 设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝(r－2.4)m ， 在Rt△BOD中 ，根据勾股定理建立方程，求解即可算出r的值，进而即可得出OD的长； 根据垂径定理，得EN＝DF＝1.5m， 在Rt△OEN中，利用勾股定理得出OE的长，根据矩形的对边相等及线段的和差由 FN＝DE＝OE－OD 算出FN的长，将该长与2进行比较即可得出答案。
二、中考演练
16．（2019·北部湾）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第—部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有—问题“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长—尺，问径几何 ”小辉同学根据原文题意.画出圆材截面图如图所示.已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，则该圆材的直径为　 　寸.
【答案】26
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图
设⊙O的半径为r．
由题意得
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解之：r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：26．
【分析】将实际问题转化为数学问题，如图可知DE=1，利用垂径定理求出AD的长，用含r的代数式表示出OD，然后利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值，然后可得到圆的直径长。
17．（2019·德州）如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， ， ， ，则弦 的长度为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】
连接 、 ， 交 于 ，如图，
∵ ，
，
设⊙ 的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
∵ ，
， ，
在 中， ，①
在 中， ，②
解由①②组成的方程组得到 ，
．
故答案为 ．
【分析】先利用勾股定理求出圆的半径，再利用垂径定理和勾股定理求出AF的一半，继而可求出AF的长。
18．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OD
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，O、D、C在同一条直线上，
∴AD=AB=20
设圆O的半径为r，则OD=r-10
在Rt△AOD中，
AO2=OD2+AD2
∴r2=202+（r-10）2
解之：r=25
故答案为：A
【分析】利用垂径定理证明OC⊥AB，由点C是弧AB的中点，可知O、D、C在同一条直线上，可求出AD的长，设圆的半径为r，表示出OD的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。
19．（2019·北京）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G， 的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DE BA，垂足为E，作DF BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
【答案】（1）证明：如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴ ，∴AD=CD
（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°
在Rt△CDF和Rt△CMF中
，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线
∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据圆的定义得到图形G为三角形ABC的外接圆，根据角度相等的关系得到弧AD=弧CD，继而得到AD=CD。
（2）根据题意证明CD=CM，即可得到BC的垂直平分线DM，根据垂径定理得到BC为直径，继而证明直线DE与图形G的公共点的个数即可。
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