初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理：勾股定理的逆定理 同步训练
一、基础夯实
1．（2019八下·封开期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1， ，3
2．（2019九下·温州竞赛）在△ABC，AB=1，AC= ，BC= ，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2019八上·江川期末）若三角形的三边长为下列各组数：①5，12，13；②11，12，15；③9，40，41；④15，20，25，则其中直角三角形有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
5．（2018·曲靖）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
6．（2018八上·泰兴期中）已知三角形的三边长分别为 、6、5，则该三角形最长边上的中线长为 ．
7．一个三角形的三边BC，AC，AB有如下关系：BC2=AC2+AB2，则Rt△ABC中的直角是 ．
8．（2018八上·东台期中）一个三角形三边长的比为3：4：5，它的周长为60，求这个三角形的面积。
二、综合演练
9．（2018八上·江都期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
10．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是 ．
11．如图是一块地的平面图，AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
12．（2019·广西模拟）如图，∠ABC=90°,AB=6 cm，AD=24 cm，BC+CD=34 cm，C是直线L上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形
13．（2019·广西模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.
14．（2019八下·天台期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）在图①中，求线段AB的长度；若在图中画出以C为直角顶点的Rt△ABC，使点C在格点上，请在图中画出所有点C；
（2）在图②中，以格点为顶点，请先用无刻度的直尺画正方形ABCD，使它的面积为13;再画一条直线PQ（不与正方形对角线重合），使PQ恰好将正方形ABCD的面积二等分(保留作图痕迹）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，∴选项不符合题意；
B.，∴选项不符合题意；
C.，∴选项符合题意；
D.，∴选项不符合题意；
故答案为：C。
【分析】分别根据勾股定理的逆定理进行判断即可。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：容易得到BC为最大边，，， ，
则BC2=AB2+AC2， 该三角形为直角三角形。并由AB≠AC可排除D选项。
故答案为：B
【分析】先找出最大边，再用勾股定理验证。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①∵52+122＝169＝132，∴能组成直角三角形，不符合题意；②∵112+122＝265≠152＝225，∴不能组成直角三角形，不符合题意；③92+402＝1681＝412，∴能组成直角三角形，不符合题意；④152+202＝625＝252，∴能组成直角三角形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：a + b=c ,则这个三角形是直角三角形；据此作出判断即可.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵52+122=132
∴沙田为直角三角形的形状
即面积=500512500=7500000m2=7.5km2
故答案为：A。
【分析】根据题意可知，该沙田为直角三角形，根据三角形的面积公式进行计算，进行单位换算即可。
5．【答案】18
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴DC=BD=AD=6.5，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=18，
故答案为18．
【分析】根据三角形中位线的定义得出AC=2DE=5，然后利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DC=BD=AD=6.5，再根据周长的计算方法算出答案。
6．【答案】3
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（ ）2+52=62，
∴此三角形是直角三角形，斜边为6，
∴该三角形最长边上的中线长为： ×6=3．
故答案为：3．
【分析】由勾股定理的逆定理可知这个三角形为直角三角形，所以该三角形最长边上的中线为斜边上的中线即为斜边长的一半.
7．【答案】∠A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
故答案为：∠A
【分析】根据勾股定理的逆定理，及大边对大角，由BC2=AC2+AB2，判断出△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
8．【答案】解：∵三边长的比为3：4：5，它的周长是60cm，
∴三边长的比分别为：60× =15cm，60× =20cm，60× =25cm，
∵152+202=252，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是：15×20÷2=150cm2.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由三角形三边的比和周长可求得三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理即可判断
这个三角形是直角三角形， 则三角形的面积即可求解。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、因为a2＝(b＋c) (b－c)，所以 ，即 ，由勾股定理得，△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、因为∠A+∠B+∠C=180°，∠B＝∠C＝∠A，所以∠B＝∠C＝∠A=60°，△ABC是等边三角形，符合题意；
D、因为a：b：c＝5：4：3，设a=5x，b=4x，c=3x，则 ，即 ，由勾股定理得，△ABC是直角三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理或勾股定理判断，分别分析各题设是否能够推出结论，就可得出是假命题的选项。
10．【答案】36
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3
∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+ ×5×12＝36。
故答案为：36
【分析】连接BC，三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长为5，再根据勾股定理的逆定理可以判定以CD、BD和BC为边的三角形BCD为直角三角形，则四边形ABCD的面积可以用直角三角形ABC与直角三角形BDC的面积之和来求得。
11．【答案】解：连接AC，在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得，AC==5（cm）
又∵AC2+BC2=52+122=AB2=132
∴三角形ACB为直角三角形
∴S△ACB=S△ABC-S△ACD=512-43=24（cm2）。
答：这块地的面积是24cm2.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可以求得AC的长度，同时根据勾股定理的逆定理可以求得三角形ABC为直角三角形，则地的面积等于两个三角形的面积差。
12．【答案】解：设BC=x cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形，
BC+CD=34，CD=34-x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=36+x2，
在Rt△ACD中，AC2=CD2-AD2=(34-x)2-576，
36+x2=(34-x)2-576，解得x=8.
当C离点B 8 cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】AC为两直角三角形的公共边，以此为过渡，设BC为x，分别用勾股定理列式，用AC2将两式连接，解出X，即为C到B的距离。
13．【答案】证明：作AE⊥BC于E，如图所示：由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，在△ABC中，AB=AC，BE=CE。由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2BD2+CD2=(BE+ED)2+(CE-DE)2=BE2+CE2+2DE2，2AD2=BD2+CD2.2AE2+2DE2=BE2+CE2+2DE22AE2=BE2+CE2，AE=BE=CE.△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，∠BAE=∠CAE=45°，∠BAC=90°，△ABC是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先把AD2的表达式表示出来，由此联想到勾股定理。为此构造直角三角形，作BC边上的高， AD2=AE2+DE2 ，再由勾股定理把BD2和CD2表示出来，比较2AD2与BD2和CD2之和，最后得到AE=BE=CE，据此判断△ABC是直角三角形。
14．【答案】（1）解： 如图， ；以线段AB为斜边，照此构造格点直角三角形，左右各有三个，C点有六种情况，如下图所示，
（2）解：作法如图：
（其中直线PQ只要过AC、BD交点O，且不与AC、BD重合即可）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理:c2=a2+b2,因为, 以线段AB为斜边，照此构造格点直角三角形，左右各有三个，C点有六种情况。
（2）依据勾股定理，13=22+32， 照此构造格点直角三角形，得出斜边AB，再画出边长为的正方形，∵正方形是中心对称图形，以对称中心，即正方形对角线的交点为基点任意画一条贯穿正方形对边的直线即可把正方形的面积均分。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理：勾股定理的逆定理 同步训练
一、基础夯实
1．（2019八下·封开期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1， ，3
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，∴选项不符合题意；
B.，∴选项不符合题意；
C.，∴选项符合题意；
D.，∴选项不符合题意；
故答案为：C。
【分析】分别根据勾股定理的逆定理进行判断即可。
2．（2019九下·温州竞赛）在△ABC，AB=1，AC= ，BC= ，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：容易得到BC为最大边，，， ，
则BC2=AB2+AC2， 该三角形为直角三角形。并由AB≠AC可排除D选项。
故答案为：B
【分析】先找出最大边，再用勾股定理验证。
3．（2019八上·江川期末）若三角形的三边长为下列各组数：①5，12，13；②11，12，15；③9，40，41；④15，20，25，则其中直角三角形有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①∵52+122＝169＝132，∴能组成直角三角形，不符合题意；②∵112+122＝265≠152＝225，∴不能组成直角三角形，不符合题意；③92+402＝1681＝412，∴能组成直角三角形，不符合题意；④152+202＝625＝252，∴能组成直角三角形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：a + b=c ,则这个三角形是直角三角形；据此作出判断即可.
4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵52+122=132
∴沙田为直角三角形的形状
即面积=500512500=7500000m2=7.5km2
故答案为：A。
【分析】根据题意可知，该沙田为直角三角形，根据三角形的面积公式进行计算，进行单位换算即可。
5．（2018·曲靖）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
【答案】18
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴DC=BD=AD=6.5，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=18，
故答案为18．
【分析】根据三角形中位线的定义得出AC=2DE=5，然后利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DC=BD=AD=6.5，再根据周长的计算方法算出答案。
6．（2018八上·泰兴期中）已知三角形的三边长分别为 、6、5，则该三角形最长边上的中线长为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（ ）2+52=62，
∴此三角形是直角三角形，斜边为6，
∴该三角形最长边上的中线长为： ×6=3．
故答案为：3．
【分析】由勾股定理的逆定理可知这个三角形为直角三角形，所以该三角形最长边上的中线为斜边上的中线即为斜边长的一半.
7．一个三角形的三边BC，AC，AB有如下关系：BC2=AC2+AB2，则Rt△ABC中的直角是 ．
【答案】∠A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
故答案为：∠A
【分析】根据勾股定理的逆定理，及大边对大角，由BC2=AC2+AB2，判断出△ABC是直角三角形，BC是斜边，∠A=90°．
8．（2018八上·东台期中）一个三角形三边长的比为3：4：5，它的周长为60，求这个三角形的面积。
【答案】解：∵三边长的比为3：4：5，它的周长是60cm，
∴三边长的比分别为：60× =15cm，60× =20cm，60× =25cm，
∵152+202=252，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是：15×20÷2=150cm2.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由三角形三边的比和周长可求得三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理即可判断
这个三角形是直角三角形， 则三角形的面积即可求解。
二、综合演练
9．（2018八上·江都期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、因为a2＝(b＋c) (b－c)，所以 ，即 ，由勾股定理得，△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、因为∠A+∠B+∠C=180°，∠B＝∠C＝∠A，所以∠B＝∠C＝∠A=60°，△ABC是等边三角形，符合题意；
D、因为a：b：c＝5：4：3，设a=5x，b=4x，c=3x，则 ，即 ，由勾股定理得，△ABC是直角三角形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理或勾股定理判断，分别分析各题设是否能够推出结论，就可得出是假命题的选项。
10．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是 ．
【答案】36
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BC，
∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3
∴BC＝5，
∵BC＝5，BD＝13，CD＝12
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+ ×5×12＝36。
故答案为：36
【分析】连接BC，三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长为5，再根据勾股定理的逆定理可以判定以CD、BD和BC为边的三角形BCD为直角三角形，则四边形ABCD的面积可以用直角三角形ABC与直角三角形BDC的面积之和来求得。
11．如图是一块地的平面图，AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．
【答案】解：连接AC，在直角三角形ACD中，根据勾股定理可得，AC==5（cm）
又∵AC2+BC2=52+122=AB2=132
∴三角形ACB为直角三角形
∴S△ACB=S△ABC-S△ACD=512-43=24（cm2）。
答：这块地的面积是24cm2.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可以求得AC的长度，同时根据勾股定理的逆定理可以求得三角形ABC为直角三角形，则地的面积等于两个三角形的面积差。
12．（2019·广西模拟）如图，∠ABC=90°,AB=6 cm，AD=24 cm，BC+CD=34 cm，C是直线L上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形
【答案】解：设BC=x cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形，
BC+CD=34，CD=34-x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=36+x2，
在Rt△ACD中，AC2=CD2-AD2=(34-x)2-576，
36+x2=(34-x)2-576，解得x=8.
当C离点B 8 cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】AC为两直角三角形的公共边，以此为过渡，设BC为x，分别用勾股定理列式，用AC2将两式连接，解出X，即为C到B的距离。
13．（2019·广西模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.
【答案】证明：作AE⊥BC于E，如图所示：由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，在△ABC中，AB=AC，BE=CE。由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2BD2+CD2=(BE+ED)2+(CE-DE)2=BE2+CE2+2DE2，2AD2=BD2+CD2.2AE2+2DE2=BE2+CE2+2DE22AE2=BE2+CE2，AE=BE=CE.△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，∠BAE=∠CAE=45°，∠BAC=90°，△ABC是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先把AD2的表达式表示出来，由此联想到勾股定理。为此构造直角三角形，作BC边上的高， AD2=AE2+DE2 ，再由勾股定理把BD2和CD2表示出来，比较2AD2与BD2和CD2之和，最后得到AE=BE=CE，据此判断△ABC是直角三角形。
14．（2019八下·天台期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．
（1）在图①中，求线段AB的长度；若在图中画出以C为直角顶点的Rt△ABC，使点C在格点上，请在图中画出所有点C；
（2）在图②中，以格点为顶点，请先用无刻度的直尺画正方形ABCD，使它的面积为13;再画一条直线PQ（不与正方形对角线重合），使PQ恰好将正方形ABCD的面积二等分(保留作图痕迹）.
【答案】（1）解： 如图， ；以线段AB为斜边，照此构造格点直角三角形，左右各有三个，C点有六种情况，如下图所示，
（2）解：作法如图：
（其中直线PQ只要过AC、BD交点O，且不与AC、BD重合即可）
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理:c2=a2+b2,因为, 以线段AB为斜边，照此构造格点直角三角形，左右各有三个，C点有六种情况。
（2）依据勾股定理，13=22+32， 照此构造格点直角三角形，得出斜边AB，再画出边长为的正方形，∵正方形是中心对称图形，以对称中心，即正方形对角线的交点为基点任意画一条贯穿正方形对边的直线即可把正方形的面积均分。
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