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2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册4.1 多边形 同步练习
一、单选题
1.(2017七上·辽阳期中)从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成( )个三角形.
A.6 B.5 C.8 D.7
2.四边形的四个内角( )
A.可以都是锐角 B.可以都是钝角
C.可以都是直角 D.必须有两个锐角
3.(2019八上·遵义期末)小明在计算一个多边形的内角和时,漏掉了一个内角,结果得 1000°,则这个多边形是( )
A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.十边形
4.(2018八上·天台期中)设四边形的内角和等于 ,五边形的外角和等于 ,则 与 的关系是( )
A. B.
C. D.
5.(2018八上·天台期中)把一张长方形纸片剪去其中某一个角,剩下的部分是一个多边形,则这个多边形的内角和不可能是( )
A.720° B.540° C.360° D.180°
6.(2018八上·黄石期中)一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080°,那么原多边形的边数为( )
A.8 B.7或8 C.6或7或8 D.7或8或9
7.(2018八上·佳木斯期中)从五边形的一个顶点出发的对角线,把这个五边形分成( )个三角形.
A.5 B.4 C.3 D.2
8.(2018八下·乐清期末)在四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D度数之比为1:2:3:3,则∠B的度数为( )
A.30° B.40° C.80° D.120°
9.(2018·番禺模拟)如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,下列四种剪法中,符合要求的是( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
10.一个多边形最少可分割成五个三角形,则它是( )边形
A.8 B.7 C.6 D.5
二、填空题
11.(2018八上·天台月考)若多边形的每一个內角均为135°,则这个多边形的边数为 .
12.(2018·山西)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度.
13.(2019八上·澄海期末)若正 边形的每个内角都等于150°,则 的值为 .
14.(2018八上·黄石期中)如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠A=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4= .
15.(2019八上·蓟州期中)一个八边形的所有内角都相等,它的每一个外角等于 度.
16.(2018八上·武汉期中)如图,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于 .
三、解答题
17.(2018八上·珠海期中)一个多边形,它的内角和比外角和还多 180°,求这个多边形的边数.
18.(2018八上·甘肃期中)一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°,求这个多边形的边数.
19.已知四边形的一个内角是56°,第二个内角是它的2倍,第三个内角比第二个内角小10°.求第四个内角的大小.
20.计算10边形的内角和及外角和.
21.(2018八上·山东期中)如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O.
(1)求证:BD=CE;
(2)若∠A=80°,求∠BOC的度数.
22.如图
(1)内角和为2013°,小明为什么说不可能?
(2)小华求的是几边形的内角和?
(3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求出吗?是多少度呢?
23.如图
(1)如图,在图1中,互不重叠的三角形共有3个,在图2中,互不重叠的三角形共有5个,在图3中,互不重叠的三角形共有7个,……,则在第n个图形中,互不重叠的三角形共有___个.(用含n的代数式表示)
(2)若在如图4所示的n边形中,P是A1An边上的点,分别连接PA2,PA3,PA4,…,PAn-1,得到n-1个互不重叠的三角形.请根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式.
(3)反之,若在四边形内部有n个不同的点,按照(1)中的方法可得k个互不重叠的三角形,试探究n与k的关系
24.探究归纳题:
(1)试验分析:
如图1,经过A点可以做 条对角线;同样,经过B点可以做 条;经过C点可以做 条;经过D点可以做 条对角线.
通过以上分析和总结,图1共有 条对角线.
(2)拓展延伸:
运用(1)的分析方法,可得:
图2共有 条对角线;
图3共有 条对角线;
(3)探索归纳:
对于n边形(n>3),共有 条对角线.(用含n的式子表示)
(4)特例验证:
十边形有 对角线.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成7-2=5个三角形.
故答案为:B.
【分析】过n变形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,这些对角线可以将一个多边形分割成(n-2)个三角形,然后将n=7代入计算即可。
2.【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:因为四边形的内角和为360°,如果四个内角都是锐角或都是钝角,
则内角和小于360°或大于360°,与四边形的内角和为360°矛盾.
所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角.
故A、B不符合题意;
若四个内角都是直角,则四个内角的和等于360°,与内角和定理相符,
所以四个内角可以都是直角.
故C符合题意,D不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据四边形的内角和为360°逐一进行判断即可。
3.【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵1000°÷180°=5……100°,
∴5+1+2=8.
故答案为:C.
【分析】根据多边形内角和公式可知内角和应该是180°的倍数,且每一个内角应该大于0°而小于180°,根据这些条件分析求解即可.
4.【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵四边形的内角和等于a,
∴a=(4-2) 180°=360°.
∵五边形的外角和等于 ,
∴ =360°,
∴a= .
故答案为:B.
【分析】根据n边形的内角和为(n-2)×180°,分别四边形的内角和,再根据任意多边形的外角和都等于360°,就可求出五边形的外角和,即可得出 与 的关系 。
5.【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角,剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形,
故这个多边形的内角和可能是180°或360°或540°,而不可能是720°
故答案为:A
【分析】把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角,剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形,再根据多边形的内角和定理判断即可。
6.【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:设内角和为1080°的多边形的边数是n,则(n-2) 180°=1080°,
解得:n=8.
则原多边形的边数为7或8或9.
故答案为:D.
【分析】由多边形内角和定理求出切去一个角后的多边形的边数,得到原多边形的边数 .
7.【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解:当n=5时,5-2=3.
即可以把这个五边形分成了3个三角形,
故答案为:C.
【分析】五边形从一个顶点出发,共有三条对角线,通过绘图观察可得将五边形分成了三个三角形。
8.【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵∠A,∠B,∠C,∠D度数之比为1:2:3:3,
∴设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,∠D=3x
∴x+2x+3x+3x=360°
解之:x=40°
∴∠B=2×40°=80°
故答案为:C
【分析】根据已知条件设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,∠D=3x,利用四边形的内角和=360°,建立方程,就可求出∠B的度数。
9.【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的内角和定理可知:①剪开后的两个图形是四边形,它们的内角和都是360°,③剪开后的两个图形是三角形,它们的内角和都是180°;因此可知①③剪开后的两个图形的内角和相等,
故答案为:B.
【分析】结合图形计算三角形的内角和为180度,四边形的内角和为360度进行判断
10.【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】∵一个多边形最少可分割成五个三角形,
∴这个多边形的边数为5+2=7,
那么它是七边形.
故答案为:B.
点睛: 本题主要考查了多边形的性质,从n边形的一个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,形成的三角形个数为(n-2).
【分析】从n边形的一个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,形成的三角形个数为(n-2).
11.【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:设这个多边形的边数为n,
则180(n-2)=135n,
解得n=8.
故答案为:8.
【分析】由多边形内角和公式,列方程即可求得。
12.【答案】360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】由多边形的外角和等于360°可知,
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,
故答案为:360°.
【分析】求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5,就是求这个五边形的外角和,根据任何多边形的外角和都是360°即可得出答案。
13.【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正n边形的每个内角都等于150°
∴正n边形的每个外角都等于180°-150°=30°
所以n=360°÷30°=12.
故答案为:12.
【分析】先根据正多边形的内角度数求出外角度数,然后用外角和除以外角的度数即得边数n。
14.【答案】300°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】由题意得,∠5=180°-∠EAB=60°
,
又∵多边形的外角和为360°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°.
【分析】由∠A的度数求出∠5,再由多边形的外角和定理求出∠1+∠2+∠3+∠4的度数.
15.【答案】45
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵一个八边形的所有内角都相等,
∴这个八边形的所有外角都相等,
∴这个八边形的所有外角= =45°,
故答案为:45
【分析】多边形的外角和为360°,所以八边形的每一个外角=360°÷8,即可求出每个外角的度数。
16.【答案】270°
【知识点】三角形内角和定理;多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° ∴∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=270°
故答案为:270°
【分析】利用三角形内角和定理,可得出∠A+∠B的值,再利用四边形的内角和为360°,就可求出结果。
17.【答案】解:设多边形的边数为 n,则(n-2)×180°=360°+180° 解得n=5 答:多边形的边数为5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】由多边形的内角和公式和多边形的外角和等于360°,再根据题意可列出关于n的一元一次方程(n-2)×180°=360°+180°,求出n的值即为多边形的边数。
18.【答案】解:设这个多边形的边数为n,
根据题意,得(n﹣2)×180°=2×360°+180°,
解得n=7.
故这个多边形的边数是7.
【知识点】多边形内角与外角;一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】等量关系为:一个多边形的内角和=它的外角的和×2+180°,设未知数,列方程求解即可。
19.【答案】解:设第四个内角为x,
∵四边形的一个内角是56°,第二个内角是它的2倍,第三个内角比第二个内角小10°,
∴第二个内角:56°×2=112°,
第三个内角:112°-10°=102°,
又∵四边形的内角和为360°,
∴56°+112°+102°+x=360°,
∴x=90°.
答:第四个内角的大小为90°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设第四个内角为x,已知第一个内角为56°,根据题意分别表示第二个内角为112°,第三个内角为102°,再由四边形的内角和为360°,列出方程,解之即可得出答案.
20.【答案】解:∵多边形的内角和为:(n-2)×180°,
∴10边形的内角和为:(10-2)×180°=1440°,
又∵多边形的外角和为360°,
∴10边形的外角和为360°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式:(n-2)×180°,将n=10代入计算即可;再由多边形的外角和为360°可得10边形的外角和也为360°.
21.【答案】(1)证明:∵BD、CE是高,
∴∠ADB=∠AEC=90°,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD △ACE(AAS),
∴BD=CE
(2)解:∵∠A=80°,∠ADB=∠AEC=90°,∴∠BOC=360°-80°-90°-90°=100°
【知识点】三角形全等及其性质;三角形全等的判定;多边形内角与外角
【解析】【分析】(1)由∠ADB=∠AEC=90°,公共角∠A,一组对应边相等AB=AC,根据“AAS”判定△ABD △ACE,得到对应边相等BD=CE;(2)由四边形内角和为360°、∠EOD与∠BOC互为对顶角,即可求得。
22.【答案】(1)解:因为内角和是180的倍数,而2013°不是180°的倍数,所以说不可能.
(2)解:设多边形的边数为n,则有(n-2) 180°<2013°,解得n< ,故是十三边形.
(3)解:2013°-1980°=33°,所以这个外角为33°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】(1)因为多边形的内角和=(n-2),所以凸多边形的内角和末位数不可能是3,即凸多边形的内角和不可能是2013°;
(2)设多边形的边数为n,根据小明和小华的对话可列不等式组,(n-2) 180°<2013°,(n-2) 180°+2013°,解得11n13,所以n=12或13,当n=13时,内角和=(13-2)=1980,更接近于2013°,所以是十三边形;
(3)这个外角=2013°-1980°=33°。
23.【答案】(1)2n+1
(2)解:设n边形的内角和为k,则根据题意,得k=(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°
(3)解:设在四边形内部有n个不同的点,且按(1)中的方法可得k个互不重叠的三角形,而四边形的内角和为360°,所以360n+360=k×180,则2n+2=k,即 .
【知识点】三角形内角和定理;多边形内角与外角
【解析】【解答】解:(1)依题意,得在第n个图形中,互不重叠的三角形共有2n+1个.
【分析】(1)根据已知的图形中的条件可知,互不重叠的三角形是连续的奇数,所以在第n个图形中,互不重叠的三角形共有2n+1个;
(2)根据三角形的内角和为180°可得n边形的内角和=(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°;
(3)设在四边形内部有n个不同的点,且按(1)中的方法可得k个互不重叠的三角形,而四边形的内角和为360°,根据题意可得360n+360=k×180,整理得n=.
24.【答案】(1)1;1;1;1;2
(2)5;9
(3)
(4)35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解:(1) 四边形经过任意一点可以做1条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有2条对角线,(2)五边形经过任意一点可以做2条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有5条对角线, 六边形经过任意一点可以做3条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有9条对角线,(3) n边形经过任意一点可以做(n-3)条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有 条对角线,(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有35条对角线.
【分析】对角线的定义和对角线的公式进行探索求即可。
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2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册4.1 多边形 同步练习
一、单选题
1.(2017七上·辽阳期中)从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成( )个三角形.
A.6 B.5 C.8 D.7
【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成7-2=5个三角形.
故答案为:B.
【分析】过n变形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,这些对角线可以将一个多边形分割成(n-2)个三角形,然后将n=7代入计算即可。
2.四边形的四个内角( )
A.可以都是锐角 B.可以都是钝角
C.可以都是直角 D.必须有两个锐角
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:因为四边形的内角和为360°,如果四个内角都是锐角或都是钝角,
则内角和小于360°或大于360°,与四边形的内角和为360°矛盾.
所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角.
故A、B不符合题意;
若四个内角都是直角,则四个内角的和等于360°,与内角和定理相符,
所以四个内角可以都是直角.
故C符合题意,D不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据四边形的内角和为360°逐一进行判断即可。
3.(2019八上·遵义期末)小明在计算一个多边形的内角和时,漏掉了一个内角,结果得 1000°,则这个多边形是( )
A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.十边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵1000°÷180°=5……100°,
∴5+1+2=8.
故答案为:C.
【分析】根据多边形内角和公式可知内角和应该是180°的倍数,且每一个内角应该大于0°而小于180°,根据这些条件分析求解即可.
4.(2018八上·天台期中)设四边形的内角和等于 ,五边形的外角和等于 ,则 与 的关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵四边形的内角和等于a,
∴a=(4-2) 180°=360°.
∵五边形的外角和等于 ,
∴ =360°,
∴a= .
故答案为:B.
【分析】根据n边形的内角和为(n-2)×180°,分别四边形的内角和,再根据任意多边形的外角和都等于360°,就可求出五边形的外角和,即可得出 与 的关系 。
5.(2018八上·天台期中)把一张长方形纸片剪去其中某一个角,剩下的部分是一个多边形,则这个多边形的内角和不可能是( )
A.720° B.540° C.360° D.180°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角,剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形,
故这个多边形的内角和可能是180°或360°或540°,而不可能是720°
故答案为:A
【分析】把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角,剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形,再根据多边形的内角和定理判断即可。
6.(2018八上·黄石期中)一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080°,那么原多边形的边数为( )
A.8 B.7或8 C.6或7或8 D.7或8或9
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:设内角和为1080°的多边形的边数是n,则(n-2) 180°=1080°,
解得:n=8.
则原多边形的边数为7或8或9.
故答案为:D.
【分析】由多边形内角和定理求出切去一个角后的多边形的边数,得到原多边形的边数 .
7.(2018八上·佳木斯期中)从五边形的一个顶点出发的对角线,把这个五边形分成( )个三角形.
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解:当n=5时,5-2=3.
即可以把这个五边形分成了3个三角形,
故答案为:C.
【分析】五边形从一个顶点出发,共有三条对角线,通过绘图观察可得将五边形分成了三个三角形。
8.(2018八下·乐清期末)在四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D度数之比为1:2:3:3,则∠B的度数为( )
A.30° B.40° C.80° D.120°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵∠A,∠B,∠C,∠D度数之比为1:2:3:3,
∴设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,∠D=3x
∴x+2x+3x+3x=360°
解之:x=40°
∴∠B=2×40°=80°
故答案为:C
【分析】根据已知条件设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,∠D=3x,利用四边形的内角和=360°,建立方程,就可求出∠B的度数。
9.(2018·番禺模拟)如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,下列四种剪法中,符合要求的是( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;多边形内角与外角
【解析】【解答】根据多边形的内角和定理可知:①剪开后的两个图形是四边形,它们的内角和都是360°,③剪开后的两个图形是三角形,它们的内角和都是180°;因此可知①③剪开后的两个图形的内角和相等,
故答案为:B.
【分析】结合图形计算三角形的内角和为180度,四边形的内角和为360度进行判断
10.一个多边形最少可分割成五个三角形,则它是( )边形
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】B
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】∵一个多边形最少可分割成五个三角形,
∴这个多边形的边数为5+2=7,
那么它是七边形.
故答案为:B.
点睛: 本题主要考查了多边形的性质,从n边形的一个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,形成的三角形个数为(n-2).
【分析】从n边形的一个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,形成的三角形个数为(n-2).
二、填空题
11.(2018八上·天台月考)若多边形的每一个內角均为135°,则这个多边形的边数为 .
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:设这个多边形的边数为n,
则180(n-2)=135n,
解得n=8.
故答案为:8.
【分析】由多边形内角和公式,列方程即可求得。
12.(2018·山西)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度.
【答案】360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】由多边形的外角和等于360°可知,
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,
故答案为:360°.
【分析】求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5,就是求这个五边形的外角和,根据任何多边形的外角和都是360°即可得出答案。
13.(2019八上·澄海期末)若正 边形的每个内角都等于150°,则 的值为 .
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵正n边形的每个内角都等于150°
∴正n边形的每个外角都等于180°-150°=30°
所以n=360°÷30°=12.
故答案为:12.
【分析】先根据正多边形的内角度数求出外角度数,然后用外角和除以外角的度数即得边数n。
14.(2018八上·黄石期中)如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠A=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4= .
【答案】300°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】由题意得,∠5=180°-∠EAB=60°
,
又∵多边形的外角和为360°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°.
【分析】由∠A的度数求出∠5,再由多边形的外角和定理求出∠1+∠2+∠3+∠4的度数.
15.(2019八上·蓟州期中)一个八边形的所有内角都相等,它的每一个外角等于 度.
【答案】45
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵一个八边形的所有内角都相等,
∴这个八边形的所有外角都相等,
∴这个八边形的所有外角= =45°,
故答案为:45
【分析】多边形的外角和为360°,所以八边形的每一个外角=360°÷8,即可求出每个外角的度数。
16.(2018八上·武汉期中)如图,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于 .
【答案】270°
【知识点】三角形内角和定理;多边形内角与外角
【解析】【解答】解:∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° ∴∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=270°
故答案为:270°
【分析】利用三角形内角和定理,可得出∠A+∠B的值,再利用四边形的内角和为360°,就可求出结果。
三、解答题
17.(2018八上·珠海期中)一个多边形,它的内角和比外角和还多 180°,求这个多边形的边数.
【答案】解:设多边形的边数为 n,则(n-2)×180°=360°+180° 解得n=5 答:多边形的边数为5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】由多边形的内角和公式和多边形的外角和等于360°,再根据题意可列出关于n的一元一次方程(n-2)×180°=360°+180°,求出n的值即为多边形的边数。
18.(2018八上·甘肃期中)一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°,求这个多边形的边数.
【答案】解:设这个多边形的边数为n,
根据题意,得(n﹣2)×180°=2×360°+180°,
解得n=7.
故这个多边形的边数是7.
【知识点】多边形内角与外角;一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】等量关系为:一个多边形的内角和=它的外角的和×2+180°,设未知数,列方程求解即可。
19.已知四边形的一个内角是56°,第二个内角是它的2倍,第三个内角比第二个内角小10°.求第四个内角的大小.
【答案】解:设第四个内角为x,
∵四边形的一个内角是56°,第二个内角是它的2倍,第三个内角比第二个内角小10°,
∴第二个内角:56°×2=112°,
第三个内角:112°-10°=102°,
又∵四边形的内角和为360°,
∴56°+112°+102°+x=360°,
∴x=90°.
答:第四个内角的大小为90°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】设第四个内角为x,已知第一个内角为56°,根据题意分别表示第二个内角为112°,第三个内角为102°,再由四边形的内角和为360°,列出方程,解之即可得出答案.
20.计算10边形的内角和及外角和.
【答案】解:∵多边形的内角和为:(n-2)×180°,
∴10边形的内角和为:(10-2)×180°=1440°,
又∵多边形的外角和为360°,
∴10边形的外角和为360°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式:(n-2)×180°,将n=10代入计算即可;再由多边形的外角和为360°可得10边形的外角和也为360°.
21.(2018八上·山东期中)如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O.
(1)求证:BD=CE;
(2)若∠A=80°,求∠BOC的度数.
【答案】(1)证明:∵BD、CE是高,
∴∠ADB=∠AEC=90°,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD △ACE(AAS),
∴BD=CE
(2)解:∵∠A=80°,∠ADB=∠AEC=90°,∴∠BOC=360°-80°-90°-90°=100°
【知识点】三角形全等及其性质;三角形全等的判定;多边形内角与外角
【解析】【分析】(1)由∠ADB=∠AEC=90°,公共角∠A,一组对应边相等AB=AC,根据“AAS”判定△ABD △ACE,得到对应边相等BD=CE;(2)由四边形内角和为360°、∠EOD与∠BOC互为对顶角,即可求得。
22.如图
(1)内角和为2013°,小明为什么说不可能?
(2)小华求的是几边形的内角和?
(3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求出吗?是多少度呢?
【答案】(1)解:因为内角和是180的倍数,而2013°不是180°的倍数,所以说不可能.
(2)解:设多边形的边数为n,则有(n-2) 180°<2013°,解得n< ,故是十三边形.
(3)解:2013°-1980°=33°,所以这个外角为33°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】(1)因为多边形的内角和=(n-2),所以凸多边形的内角和末位数不可能是3,即凸多边形的内角和不可能是2013°;
(2)设多边形的边数为n,根据小明和小华的对话可列不等式组,(n-2) 180°<2013°,(n-2) 180°+2013°,解得11n13,所以n=12或13,当n=13时,内角和=(13-2)=1980,更接近于2013°,所以是十三边形;
(3)这个外角=2013°-1980°=33°。
23.如图
(1)如图,在图1中,互不重叠的三角形共有3个,在图2中,互不重叠的三角形共有5个,在图3中,互不重叠的三角形共有7个,……,则在第n个图形中,互不重叠的三角形共有___个.(用含n的代数式表示)
(2)若在如图4所示的n边形中,P是A1An边上的点,分别连接PA2,PA3,PA4,…,PAn-1,得到n-1个互不重叠的三角形.请根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式.
(3)反之,若在四边形内部有n个不同的点,按照(1)中的方法可得k个互不重叠的三角形,试探究n与k的关系
【答案】(1)2n+1
(2)解:设n边形的内角和为k,则根据题意,得k=(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°
(3)解:设在四边形内部有n个不同的点,且按(1)中的方法可得k个互不重叠的三角形,而四边形的内角和为360°,所以360n+360=k×180,则2n+2=k,即 .
【知识点】三角形内角和定理;多边形内角与外角
【解析】【解答】解:(1)依题意,得在第n个图形中,互不重叠的三角形共有2n+1个.
【分析】(1)根据已知的图形中的条件可知,互不重叠的三角形是连续的奇数,所以在第n个图形中,互不重叠的三角形共有2n+1个;
(2)根据三角形的内角和为180°可得n边形的内角和=(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°;
(3)设在四边形内部有n个不同的点,且按(1)中的方法可得k个互不重叠的三角形,而四边形的内角和为360°,根据题意可得360n+360=k×180,整理得n=.
24.探究归纳题:
(1)试验分析:
如图1,经过A点可以做 条对角线;同样,经过B点可以做 条;经过C点可以做 条;经过D点可以做 条对角线.
通过以上分析和总结,图1共有 条对角线.
(2)拓展延伸:
运用(1)的分析方法,可得:
图2共有 条对角线;
图3共有 条对角线;
(3)探索归纳:
对于n边形(n>3),共有 条对角线.(用含n的式子表示)
(4)特例验证:
十边形有 对角线.
【答案】(1)1;1;1;1;2
(2)5;9
(3)
(4)35
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解:(1) 四边形经过任意一点可以做1条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有2条对角线,(2)五边形经过任意一点可以做2条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有5条对角线, 六边形经过任意一点可以做3条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有9条对角线,(3) n边形经过任意一点可以做(n-3)条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有 条对角线,(4) 十边形经过任意一点可以做7条对角线,其中会出现重复,因此四边形共有35条对角线.
【分析】对角线的定义和对角线的公式进行探索求即可。
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