初中数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 强化提升训练
一、单选题
1．（2019·台州）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4-
【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形的其他实际应用；切线长定理
【解析】【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，
∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，
∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，
又∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，
∴BD=CE，
∵OD=OE，
∴△ODB≌△OEC（SAS），
∴OB=OC= BC=4，
在Rt△ODB中，
∴sin60°= ，
即OD=OBsin60°=4× =2 ，
∴⊙O的半径为2 .
故答案为：A.
【分析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，根据切线的性质和切线长定理得AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠B=60°，等量代换可得BD=CE，根据全等三角形判定SAS得△ODB≌△OEC，再由全等三角形性质得OB=OC=4，在Rt△ODB中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.
2．（2019·海珠模拟）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则sin∠FCD＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AD与BC都与半圆O相切，又CF与半圆相切，
∴AF＝EF，CB＝CE，
设AB＝BC＝CD＝AD＝4a，AF＝EF＝x，
∴FC＝EF+EC＝4a+x，FD＝AD﹣AF＝4a﹣x，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：FC2＝FD2+CD2，
∴（4a+x）2＝（4a﹣x）2+（4a）2，
整理得：x＝a，
∴FC＝4a+x＝5a，FD＝4a﹣x＝3a，
∴在Rt△DFC中，sin∠FCD＝ .
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可得∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD；由切线长定理可得AF＝EF，CB＝CE，设AB＝BC＝CD＝AD＝4a，AF＝EF＝x，由线段的构成可得FC＝EF+EC＝4a+x，FD＝AD﹣AF＝4a﹣x，在Rt△DFC中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程可将x用含a的代数式表示，则FC和FD也可用含a的代数式表示，于是根据sin∠FCD＝ 可求解。
3．（浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（九））如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）
A．2π B．4π C．2 D．4
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，
连接O′C，O′B，O′D，OO′，
∵O′D⊥AC，
∴O′D＝O′B．
∵O′C平分∠ACB，
∴∠O′CB＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°．
∵O′C＝2O′B＝2×2＝4，
∴BC＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：C．
【分析】如图，当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，根据切线的性质得出O′D＝O′B，∠O′CB＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系，得出O'C=4，根据勾股定理算出BC的长，从而得出答案。
4．（浙教版2019中考数学模拟试卷3）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点， 过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B．8 C． D．2
【答案】A
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝6，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝3，
∴DE＝7，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝7，MN＝MG，
∴CM＝10﹣3﹣MN＝7﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（7+NM）2＝（7﹣NM）2+62，
∴NM＝ ，
∴DM＝7+ ＝ ．
故答案为：A．
【分析】连接OE，OF，ON，OG，根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝6，根据切线的性质得出∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，进而判断出四边形AFOE，FBGO是正方形，根据正方形的四边相等得出AF＝BF＝AE＝BG＝3，进而相等的和差得出DE=7，根据切线长定理得出DN＝DE＝7，MN＝MG，根据线段的和差得出CM＝10﹣3﹣MN＝7﹣MN，在Rt△DMC中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出MN的长，进而即可得出MN的长。
5．（2018·南宁模拟）如图，半径为4的 与含有 角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与 相切时，该直角三角板平移的距离为
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：
设平移后的 与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，
过O作 ，可得E为AD的中点，
平移前圆O与AC相切于A点，
，即 ，
平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与 相切于D点，
即 与 为圆O的两条切线，
，又 ，
为等边三角形，
， ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
则该直角三角板平移的距离为 ．
故答案为：D．
【分析】根据题意画出平移后的图形，如图所示：设平移后的 与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作 ，可得E为AD的中点，根据切线的性质得出 ，即 ，根据切线长定理得出 ，又 ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出 为等边三角形，根据等边三角形的性质得出 ， ，根据角的和差得出∠OAD=30°，然后利用余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由算出AE的长度，进而得出AD的长，从而得出答案。
6．（2019九上·通州期末）如图，PA，PB分别与 相切于A，B两点，PO与AB相交于点C， ， ，则OC的长等于
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
，PB分别与 相切于A，B两点， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质和切线长定理可得 ， ， ，根据直角三角形的性质可得 ，根据锐角三角函数可求AO的长，即可求OC的长.
7．（2018九上·苏州月考）如图，已知 是⊙ 的直径， ， 和 是圆 的两条切线， ， 为切点，过圆上一点 作⊙ 的切线 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， .若 ，则 等于（ ）
A．0.5 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】连接OM，OC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵MA，MC分别为⊙O的切线，
∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，
在Rt△AOM和Rt△COM中，
MA＝MC，OM＝OM，
∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），
∴∠AOM=∠COM= ∠AOC=30°，
在Rt△AOM中，OA= AB=1，∠AOM=30°，
∴tan30°= ，即 ，
解得：AM= ．
故答案为： ．
【分析】连接OM，OC，利用圆周角定理求出∠AOC的度数，根据利用切线长定理可得出MA=MC，再证明Rt△AOM≌Rt△COM，利用全等三角形的性质求出∠AOM的度数，就可求出OA，然后利用解直角三角形求出AM的长。
8．（切线长定理）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）
A．9 B．10 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：作DH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴AD和BC为⊙O 切线，
∵CD和MN为⊙O 切线，
∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
∵四边形ABHD为矩形，
∴BH=AD=2，DH=AB=6，
设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，
∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x= ，
∴CB=CE= ，
∴△MCN的周长=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9．
故选A．
【分析】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x= ，即CB=CE= ，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．
二、填空题
9．（2019·无锡）如图，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为 ，则△ABC的周长为 .
【答案】25
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，
可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，
则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴DE：EF：DF=5：12：13，
又∵S△DEF= DE EF= ，
∴DE= ，EF=4，
∴DF= ，
∴PH=DE= ，MQ=EF=4，NK=DF= ，
设AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有AC=AH+HP+CP=x+ ，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+ ，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴ ，
解得： ，
∴AC= + ，BC=10，AB= + +5，
∴AC+BC+AB= + +10+ + +5=7+3+10+5=25，
故答案为：25.
【分析】如图：首先利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例得出DE：EF：DF=5：12：13，进而根据△DEF的面积计算方法列出方程，求解算出DF，EF，DF的长，根据矩形的性质得出PH，MQ，NK的长，设AH=AK=x，BN=BQ=y，根据线段的和差表示出AC，BC，AB的长，进而根据AC：BC：AB=5：12：13，列出方程组，求解得出x，y的值，从而即可解决问题。
10．（2018·资中模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，∠APB=60°，点E在 上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】当CD∥AB时，切线CD的长最小．
由切线长定理，得
∴
∵
∴ 是等边三角形，
∴
因为CD∥AB，
∴
∴ 是等边三角形，
∴ 。
故答案为：
【分析】由题意知，当CD∥AB时，切线CD的长最小。由切线长定理易得三角形PCD的周长=PC+PD+CD=PA+PB， 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△PAB是等边三角形，由CD∥AB易得△PCD是等边三角形，则根据三角形PCD的周长可求得CD的长。
11．（2019九下·温州竞赛）如图，在△ABC中，AB=AC，在∠ABC的内部作∠ABE=45°，EC⊥BC点D在AB上，DE、AC相交点F，若以DE为直径的⊙O与AB、BC都相切，切点分别为点D和G，则 的值是 .
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质；切线长定理
【解析】【解答】设圆的半径为1，EC=x，GC=y，连接EG、DG，
Rt△ECG∽Rt△EGD，则，，在Rt△BCE中，，解得 得
设CE交圆于M点，CG为切线，有，从而
，过F作AH的垂线，交AH、DP分别为J、K，AH交DE于I.，
∴
【分析】要求AF：FC的值，直接求不好处理，考虑间接求法。作AH垂直于BC，交DE于一点P，这样AF：FC就转化为AI：EC。作出有关平行线和垂线，利用平行线所截线段成比例和三角形相似等求得AI的长度，进而求出的值。
12．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB= ．
【答案】21
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵正方形DEFG的面积为100，
∴正方形DEFG边长为10．
连接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切线，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，
设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，
在Rt△ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；
在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
∴ED2=AD BD，即102=x y②．
解①、②得x+y=21，即半圆的直径AB=21．
故答案为：21．
【分析】连接EB、AE，OI、OJ，根据切线长定理得出CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，进而判断出四边形OICJ是正方形，且边长是4，设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；然后判断出△ADE∽△BDE∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出ED2=AD BD，即102=x y②，解联立①、②组成的方程组，即可得出答案。
三、解答题
13．（2019·广州模拟）如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为 cm，且AB＝6cm，求∠ACB．
【答案】解：如图，连接OC交AB于点D
∵CA、CB分别是⊙O的切线
∴CA＝CB，OC平分∠ACB
∴OC⊥AB
∵AB＝6
∴BD＝3
在Rt△OBD中
∵OB＝
∴sin∠BOD＝
∴∠BOD＝60°
∵B是切点
∴OB⊥BC
∴∠OCB＝30°
∴∠ACB＝60°．
【知识点】解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】由切线长定理可知CA=CB，OC平
分∠ACB，OC⊥AB，可求得BD长。在Rt△OBD中，利用解直角三角形，可求得
∠BOD的度数，继而可求出∠OCB和∠ACB的度数。
14．（2019·营口）如图，在平行四边形ABCD中， ，垂足为点E，以AE为直径的 与边CD相切于点F，连接BF交 于点G，连接EG.
（1）求证： .
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AO是 的半径，
∴AD是 的切线，
又∵DF是 的切线，
∴ ，
同理可得 ，
∵ ，
∴
（2）解：连接OD，AF相交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， .
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵DA，DF是 的两条切线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，进而根据切线的性质及平行线的性质、切线的判定方法判断出AD是 的切线，根据切线长定理得出 ， ，进而根据线段的和差及等量代换即可得出 ；
（2） 连接OD，AF相交于点M， 根据平行四边形的性质得出 ， ， 设 ，则 ， ， ， 根据勾股定理得出AE=4t，根据切线长定理得出 ，进而根据等腰三角形的三线合一得出 ， 根据同角的余角相等得出 ，根据同弧所对的圆周角相等得出 ，故 ， 根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义得出答案.
15．（北师大版2019年中考数学最新仿真猜押卷（四））如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求BE和CG的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
∴∠OBC= ，∠OCB= ，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠DCB）= ×180°=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BO⊥CO．
（2） 解：连接OF，则OF⊥BC，
∴Rt△BOF∽Rt△BCO，
∴ = ，
∵在Rt△BOF中，BO=6cm，CO=8cm，
∴BC= =10cm，
∴ = ，
∴BF=3.6cm，
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，
∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，
∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm．
∴CG=CF=6.4cm．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同旁内角互补得出 ∠ABC+∠BCD=180° ，根据切线长定理得出 ∠OBC= ，∠OCB= ， 根据角的和差及等量代换得出 ∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠DCB）= ×180°=90°， 根据三角形的内角和得出 ∠BOC=90°， 即 BO⊥CO；
（2） 连接OF，则OF⊥BC， 很容易判断出 Rt△BOF∽Rt△BCO，根据相似三角形对应边成比例得出 = ，在 在Rt△BOF中 ，利用勾股定理算出BC的长，根据比例式即可算出BF的长，根据切线长定理得出 BE=BF=3.6cm，CG=CF， 从而根据线段的和差即可算出答案。
16．（2019九上·东台月考）已知⊙ 中， 为直径， 、 分别切⊙ 于点 、 .
（1）如图①，若 ，求 的大小；
（2）如图②，过点 作 ∥ ，交 于点 ，交⊙ 于点 ，若 ，求 的大小.
【答案】（1）解：连接OB，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴∠OBM=∠OAM=90°，
∵弧BC对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，∠BAC=25°，
∴∠BOC=2∠BAC=50°，
∴∠BOA=180° 50°=130°，
∴∠AMB=360° 90° 90° 130°=50°
（2）解：连接AD，AB，
∵BD∥AM，DB=AM，
∴四边形BMAD是平行四边形，
∴BM=AD，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵BD∥AM，
∴BD⊥AC，
∵AC过O，
∴BE=DE，
∴AB=AD=BM，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴MA=MB，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等边三角形，
∴∠AMB=60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OB，利用切线的性质可得∠OBM=∠OAM=90°，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=50°，利用邻补角求出∠BOA=130°，根据四边形内角和即可求出∠AMB的度数；
（2）连接AD，AB，利用一组对边平行且相等可得四边形BMAD是平行四边形，可得BM=AD，根据切线及平行线的性质可得BD⊥AC，根据垂径定理可得BE=DE，利用垂直平分线的性质可得AB=AD=BM，根据切线长定理可得MA=MB，从而可得BM=MA=AB，即得△BMA是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出结论.
1 / 1初中数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理 强化提升训练
一、单选题
1．（2019·台州）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4-
2．（2019·海珠模拟）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则sin∠FCD＝（ ）
A． B． C． D．
3．（浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（九））如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）
A．2π B．4π C．2 D．4
4．（浙教版2019中考数学模拟试卷3）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点， 过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B．8 C． D．2
5．（2018·南宁模拟）如图，半径为4的 与含有 角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与 相切时，该直角三角板平移的距离为
A．2 B． C．4 D．
6．（2019九上·通州期末）如图，PA，PB分别与 相切于A，B两点，PO与AB相交于点C， ， ，则OC的长等于
A． B．3 C． D．
7．（2018九上·苏州月考）如图，已知 是⊙ 的直径， ， 和 是圆 的两条切线， ， 为切点，过圆上一点 作⊙ 的切线 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， .若 ，则 等于（ ）
A．0.5 B．1 C． D．
8．（切线长定理）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）
A．9 B．10 C．3 D．2
二、填空题
9．（2019·无锡）如图，在△ABC中，AC：BC：AB=5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为 ，则△ABC的周长为 .
10．（2018·资中模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=4，∠APB=60°，点E在 上，且CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则CD的最小值是 ．
11．（2019九下·温州竞赛）如图，在△ABC中，AB=AC，在∠ABC的内部作∠ABE=45°，EC⊥BC点D在AB上，DE、AC相交点F，若以DE为直径的⊙O与AB、BC都相切，切点分别为点D和G，则 的值是 .
12．（2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册第二章 直线与圆的位置关系 单元测试卷B）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB= ．
三、解答题
13．（2019·广州模拟）如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为 cm，且AB＝6cm，求∠ACB．
14．（2019·营口）如图，在平行四边形ABCD中， ，垂足为点E，以AE为直径的 与边CD相切于点F，连接BF交 于点G，连接EG.
（1）求证： .
（2）若 ，求 的值.
15．（北师大版2019年中考数学最新仿真猜押卷（四））如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．
（1）求证：BO⊥CO；
（2）求BE和CG的长．
16．（2019九上·东台月考）已知⊙ 中， 为直径， 、 分别切⊙ 于点 、 .
（1）如图①，若 ，求 的大小；
（2）如图②，过点 作 ∥ ，交 于点 ，交⊙ 于点 ，若 ，求 的大小.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】切线的性质；解直角三角形的其他实际应用；切线长定理
【解析】【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，
∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，
∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，
又∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，
∴BD=CE，
∵OD=OE，
∴△ODB≌△OEC（SAS），
∴OB=OC= BC=4，
在Rt△ODB中，
∴sin60°= ，
即OD=OBsin60°=4× =2 ，
∴⊙O的半径为2 .
故答案为：A.
【分析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，根据切线的性质和切线长定理得AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，由等边三角形性质得AB=AC=BC=8，∠B=60°，等量代换可得BD=CE，根据全等三角形判定SAS得△ODB≌△OEC，再由全等三角形性质得OB=OC=4，在Rt△ODB中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形；切线长定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AD与BC都与半圆O相切，又CF与半圆相切，
∴AF＝EF，CB＝CE，
设AB＝BC＝CD＝AD＝4a，AF＝EF＝x，
∴FC＝EF+EC＝4a+x，FD＝AD﹣AF＝4a﹣x，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：FC2＝FD2+CD2，
∴（4a+x）2＝（4a﹣x）2+（4a）2，
整理得：x＝a，
∴FC＝4a+x＝5a，FD＝4a﹣x＝3a，
∴在Rt△DFC中，sin∠FCD＝ .
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质可得∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD；由切线长定理可得AF＝EF，CB＝CE，设AB＝BC＝CD＝AD＝4a，AF＝EF＝x，由线段的构成可得FC＝EF+EC＝4a+x，FD＝AD﹣AF＝4a﹣x，在Rt△DFC中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程可将x用含a的代数式表示，则FC和FD也可用含a的代数式表示，于是根据sin∠FCD＝ 可求解。
3．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，
连接O′C，O′B，O′D，OO′，
∵O′D⊥AC，
∴O′D＝O′B．
∵O′C平分∠ACB，
∴∠O′CB＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°．
∵O′C＝2O′B＝2×2＝4，
∴BC＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：C．
【分析】如图，当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，根据切线的性质得出O′D＝O′B，∠O′CB＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系，得出O'C=4，根据勾股定理算出BC的长，从而得出答案。
4．【答案】A
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝6，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝3，
∴DE＝7，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝7，MN＝MG，
∴CM＝10﹣3﹣MN＝7﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（7+NM）2＝（7﹣NM）2+62，
∴NM＝ ，
∴DM＝7+ ＝ ．
故答案为：A．
【分析】连接OE，OF，ON，OG，根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝6，根据切线的性质得出∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，进而判断出四边形AFOE，FBGO是正方形，根据正方形的四边相等得出AF＝BF＝AE＝BG＝3，进而相等的和差得出DE=7，根据切线长定理得出DN＝DE＝7，MN＝MG，根据线段的和差得出CM＝10﹣3﹣MN＝7﹣MN，在Rt△DMC中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出MN的长，进而即可得出MN的长。
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：
设平移后的 与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，
过O作 ，可得E为AD的中点，
平移前圆O与AC相切于A点，
，即 ，
平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与 相切于D点，
即 与 为圆O的两条切线，
，又 ，
为等边三角形，
， ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
则该直角三角板平移的距离为 ．
故答案为：D．
【分析】根据题意画出平移后的图形，如图所示：设平移后的 与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作 ，可得E为AD的中点，根据切线的性质得出 ，即 ，根据切线长定理得出 ，又 ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出 为等边三角形，根据等边三角形的性质得出 ， ，根据角的和差得出∠OAD=30°，然后利用余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由算出AE的长度，进而得出AD的长，从而得出答案。
6．【答案】A
【知识点】垂径定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
，PB分别与 相切于A，B两点， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据切线的性质和切线长定理可得 ， ， ，根据直角三角形的性质可得 ，根据锐角三角函数可求AO的长，即可求OC的长.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】连接OM，OC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵MA，MC分别为⊙O的切线，
∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，
在Rt△AOM和Rt△COM中，
MA＝MC，OM＝OM，
∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），
∴∠AOM=∠COM= ∠AOC=30°，
在Rt△AOM中，OA= AB=1，∠AOM=30°，
∴tan30°= ，即 ，
解得：AM= ．
故答案为： ．
【分析】连接OM，OC，利用圆周角定理求出∠AOC的度数，根据利用切线长定理可得出MA=MC，再证明Rt△AOM≌Rt△COM，利用全等三角形的性质求出∠AOM的度数，就可求出OA，然后利用解直角三角形求出AM的长。
8．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：作DH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴AD和BC为⊙O 切线，
∵CD和MN为⊙O 切线，
∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
∵四边形ABHD为矩形，
∴BH=AD=2，DH=AB=6，
设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，
∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x= ，
∴CB=CE= ，
∴△MCN的周长=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9．
故选A．
【分析】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x= ，即CB=CE= ，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．
9．【答案】25
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】如图，
可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，
则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴DE：EF：DF=5：12：13，
又∵S△DEF= DE EF= ，
∴DE= ，EF=4，
∴DF= ，
∴PH=DE= ，MQ=EF=4，NK=DF= ，
设AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有AC=AH+HP+CP=x+ ，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+ ，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴ ，
解得： ，
∴AC= + ，BC=10，AB= + +5，
∴AC+BC+AB= + +10+ + +5=7+3+10+5=25，
故答案为：25.
【分析】如图：首先利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，可知圆心O在△ABC内所能到达的区域为△DEF的边以及其内部，其中点D在∠BAC的角平分线上，且到AB、AC边的距离为1，点E在∠ACB的角平分线上，且到CA、CB边的距离为1，点F在∠ABC的角平分线上，且到BA、BC边的距离为1，DH、EP分别垂直于AC，EM、FQ分别垂直于BC，DK、FN分别垂直于AB，则有AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形EDPH、EFQM、DFNK是矩形，△DEF是直角三角形且△DEF∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例得出DE：EF：DF=5：12：13，进而根据△DEF的面积计算方法列出方程，求解算出DF，EF，DF的长，根据矩形的性质得出PH，MQ，NK的长，设AH=AK=x，BN=BQ=y，根据线段的和差表示出AC，BC，AB的长，进而根据AC：BC：AB=5：12：13，列出方程组，求解得出x，y的值，从而即可解决问题。
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】当CD∥AB时，切线CD的长最小．
由切线长定理，得
∴
∵
∴ 是等边三角形，
∴
因为CD∥AB，
∴
∴ 是等边三角形，
∴ 。
故答案为：
【分析】由题意知，当CD∥AB时，切线CD的长最小。由切线长定理易得三角形PCD的周长=PC+PD+CD=PA+PB， 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△PAB是等边三角形，由CD∥AB易得△PCD是等边三角形，则根据三角形PCD的周长可求得CD的长。
11．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质；切线长定理
【解析】【解答】设圆的半径为1，EC=x，GC=y，连接EG、DG，
Rt△ECG∽Rt△EGD，则，，在Rt△BCE中，，解得 得
设CE交圆于M点，CG为切线，有，从而
，过F作AH的垂线，交AH、DP分别为J、K，AH交DE于I.，
∴
【分析】要求AF：FC的值，直接求不好处理，考虑间接求法。作AH垂直于BC，交DE于一点P，这样AF：FC就转化为AI：EC。作出有关平行线和垂线，利用平行线所截线段成比例和三角形相似等求得AI的长度，进而求出的值。
12．【答案】21
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵正方形DEFG的面积为100，
∴正方形DEFG边长为10．
连接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切线，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，
设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，
在Rt△ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；
在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
∴ED2=AD BD，即102=x y②．
解①、②得x+y=21，即半圆的直径AB=21．
故答案为：21．
【分析】连接EB、AE，OI、OJ，根据切线长定理得出CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，进而判断出四边形OICJ是正方形，且边长是4，设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；然后判断出△ADE∽△BDE∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出ED2=AD BD，即102=x y②，解联立①、②组成的方程组，即可得出答案。
13．【答案】解：如图，连接OC交AB于点D
∵CA、CB分别是⊙O的切线
∴CA＝CB，OC平分∠ACB
∴OC⊥AB
∵AB＝6
∴BD＝3
在Rt△OBD中
∵OB＝
∴sin∠BOD＝
∴∠BOD＝60°
∵B是切点
∴OB⊥BC
∴∠OCB＝30°
∴∠ACB＝60°．
【知识点】解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】由切线长定理可知CA=CB，OC平
分∠ACB，OC⊥AB，可求得BD长。在Rt△OBD中，利用解直角三角形，可求得
∠BOD的度数，继而可求出∠OCB和∠ACB的度数。
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AO是 的半径，
∴AD是 的切线，
又∵DF是 的切线，
∴ ，
同理可得 ，
∵ ，
∴
（2）解：连接OD，AF相交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， .
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵DA，DF是 的两条切线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，进而根据切线的性质及平行线的性质、切线的判定方法判断出AD是 的切线，根据切线长定理得出 ， ，进而根据线段的和差及等量代换即可得出 ；
（2） 连接OD，AF相交于点M， 根据平行四边形的性质得出 ， ， 设 ，则 ， ， ， 根据勾股定理得出AE=4t，根据切线长定理得出 ，进而根据等腰三角形的三线合一得出 ， 根据同角的余角相等得出 ，根据同弧所对的圆周角相等得出 ，故 ， 根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义得出答案.
15．【答案】（1）证明：∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，
∴∠OBC= ，∠OCB= ，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠DCB）= ×180°=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BO⊥CO．
（2） 解：连接OF，则OF⊥BC，
∴Rt△BOF∽Rt△BCO，
∴ = ，
∵在Rt△BOF中，BO=6cm，CO=8cm，
∴BC= =10cm，
∴ = ，
∴BF=3.6cm，
∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，
∴BE=BF=3.6cm，CG=CF，
∵CF=BC﹣BF=10﹣3.6=6.4cm．
∴CG=CF=6.4cm．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同旁内角互补得出 ∠ABC+∠BCD=180° ，根据切线长定理得出 ∠OBC= ，∠OCB= ， 根据角的和差及等量代换得出 ∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠DCB）= ×180°=90°， 根据三角形的内角和得出 ∠BOC=90°， 即 BO⊥CO；
（2） 连接OF，则OF⊥BC， 很容易判断出 Rt△BOF∽Rt△BCO，根据相似三角形对应边成比例得出 = ，在 在Rt△BOF中 ，利用勾股定理算出BC的长，根据比例式即可算出BF的长，根据切线长定理得出 BE=BF=3.6cm，CG=CF， 从而根据线段的和差即可算出答案。
16．【答案】（1）解：连接OB，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴∠OBM=∠OAM=90°，
∵弧BC对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，∠BAC=25°，
∴∠BOC=2∠BAC=50°，
∴∠BOA=180° 50°=130°，
∴∠AMB=360° 90° 90° 130°=50°
（2）解：连接AD，AB，
∵BD∥AM，DB=AM，
∴四边形BMAD是平行四边形，
∴BM=AD，
∵MA切⊙O于A，
∴AC⊥AM，
∵BD∥AM，
∴BD⊥AC，
∵AC过O，
∴BE=DE，
∴AB=AD=BM，
∵MA、MB分别切⊙O于A. B，
∴MA=MB，
∴BM=MA=AB，
∴△BMA是等边三角形，
∴∠AMB=60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接OB，利用切线的性质可得∠OBM=∠OAM=90°，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=50°，利用邻补角求出∠BOA=130°，根据四边形内角和即可求出∠AMB的度数；
（2）连接AD，AB，利用一组对边平行且相等可得四边形BMAD是平行四边形，可得BM=AD，根据切线及平行线的性质可得BD⊥AC，根据垂径定理可得BE=DE，利用垂直平分线的性质可得AB=AD=BM，根据切线长定理可得MA=MB，从而可得BM=MA=AB，即得△BMA是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出结论.
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