初中数学浙教版八年级上册 1.5 三角形全等的判定：ASA 同步训练
一、基础夯实
1．（2019八上·龙山期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD。求证：AB=DE， AC=DF.
2．（2019八上·椒江期末）如图， ， ，AC与BD相交于点 求证： ．
3．（2019八上·临洮期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，∠A=∠D，AB∥DE，BE=CF．求证：AC=DF．
4．（2019八上·潮安期末）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD．
求证：BC＝ED．
5．（2019七下·富宁期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形 应该带 .依据
二、提高特训
6．（2019八上·杭州期末）如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC=BE B．∠A=∠D C．∠ACB=∠DEB D．AC=DE
7．如图，G是△ABC的重心，直线L过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，L交于D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=（ ）
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
8．（2019八上·潮阳期末）如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．
10．（2019八上·白云期末）如图，点C在线段AB上，△ACD，△BCE都是等边三角形，AE交CD于点M，CE交BD于点N．
（1）求证：△ ▲ ≌△
▲ ；（先填写你认为正确的结论，再证明）
（2）求证：∠CME＝∠BNC．
11．（2019八下·宁化期中）△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
三、中考演练
12．（2018·乐山）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
13．（2019·广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：
14．（2019·成都）如图，在 中， ，点 ， 都在边 上， ，若 ，则 的长为 .
15．（2019·聊城）如图，在等腰直角三角形 中， ，一个三角尺的直角顶点与 边的中点 重合，且两条直角边分别经过点 和点 ，将三角尺绕点 按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与 ， 分别交于点 ， 时，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
答案解析部分
1．【答案】解：证明：∵FB=CE
∴FB+CF=CE+CF
即BC=EF
∵AB∥ED，AC∥FD
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∴AB=DE，AC=DF。
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题目中的条件，根据三角形两个角及其夹边相同，即可证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质，对应边相同。
2．【答案】证明：∵AB//DC
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
在△AOB和△COD中
，
∴△AOB≌△COD (ASA)，
∴AO=CO
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质，可证得∠A=∠C，∠B=∠D，再利用ASA证明△AOB≌△COD，然后利用全等三角形的对应边相等，即可证得结论。
3．【答案】解：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BC=BE+EC
EF=FC+CE
又∵BE=CF
∴BC=EF
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC=DF
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由等量加等量和相等可得BC=EF，由平行线的性质可得∠B=∠DEF，用角边角可证得
△ABC≌△DEF ，然后根据全等三角形的性质可得AC=DF。
4．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECD，
在△BAC和△ECD中 ，
∴△BAC≌△ECD（SAS），
∴BC＝ED
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质，即可得到∠BAC=∠ECD，根据边角边的三角形的判定定理即可证明三角形全等，得出BC=ED即可。
5．【答案】2；角边角
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的。
故答案为：2.
【分析】由于所配的三角形与原三角形一模一样，故所配的三角形与原三角形全等，根据三角形全等的判定方法，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，从而得出答案。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；B、添加∠ACB=∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；D、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
添加∠ACB=∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．
故答案为：D．
【分析】由题干来看可以找出两三角形中已经具有一边对应相等，一组角对应相等，且边是夹相等角的一条边，故根据全等三角形的判定方法，只需要添加任意一个角对应相等，或者是添加夹相等角的另一条边对应相等即可，从而即可一一判断得出答案。
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设三角形ABC的面积是2
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1
∵BG：GF=CG：GD=2
∴三角形CGF的面积是
∴四边形ADGF的面积是2﹣1﹣ =
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面积是1
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积=1： =3：2．
故答案为：D．
【分析】根据重心的概念得出D，F分别是三角形的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF=CG：GD，可求得△CGF的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求.
8．【答案】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△CFD和△BGD中
，
∴△CFD≌△BGD，
∴BG＝CF．
（2）解：BE+CF＞EF，
理由如下：
∵△CFD≌△BGD，
∴CF＝BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵由（2）知：GD＝GD，ED⊥GF，
∴EF＝EG，
∴BG+CF＞EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行的性质，内错角相等，即可证明∠C=∠GBD。继而根据ASA证明△CFD≌△BGD，根据三角形全等的性质得到BG=CF即可。
（2）根据三角形全等的性质得到CF=BG，再根据三角形三边的关系，三角形任意两边之和大于第三边，即可证明BG+CF＞EF。
9．【答案】（1）证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质证明∠ADC=∠ECF，利用线段中点的定义可得出DE=EC，再利用ASA证明△ADE≌△FCE，利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证AE=EF，AD=CF，从而可证得BE是线段AF的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，可证AB=BF，继而可证得结论。
10．【答案】（1）结论：△ACE或ACM或MCE≌△DCB或DCN或NCB
证明：△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC＝CD，EC＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCN＝60°
∴∠ACE＝∠BCD，且AC＝CD，BC＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠EAC＝∠CDB，∠CBD＝∠AEC，
∵∠EAC＝∠CDB，AC＝CD，∠ACD＝∠DCN＝60°
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∵∠CBD＝∠AEC，CE＝CB，∠DCE＝∠ECB，
∴△MCE≌△NCB（ASA）
故答案为：ACE或ACM或MCE，DCB或DCN或NCB
（2）解：∵△MCE≌△NCB，
∴∠CME＝∠BNC.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意可知，结合三角形全等的判定定理即可得到两个三角形全等，根据题意，写出符合条件的一对三角形即可。
（2）根据题意可以证明△CME≌△CNB，根据三角形全等的性质即可得到∠CME=∠BNC。
11．【答案】（1）解：设AP=x，则BQ=x，
∵∠BQD=30°，∠C=60°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，即x+6=2（6-x），
解得x=2，
即AP=2
（2）证明：如图，
过P点作PF∥BC，交AB于F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°，
∴PF=AP=AF，
∴PF=BQ，
又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF，
∴DQ=DP即D为PQ中点
（3）解：运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3， 理由：∵PF=AP=AF，PE⊥AF， ∴EF= AF， 又∵△DQB≌△DPF， ∴DF=DB，即DF= BF，
∴ED=EF+DF= (AF+BF)= AB=3
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意，可列出关于线段的方程关系，解出AP的长度。
（2）根据题意，可利用三角形的ASA的判定定理，判断出三角形全等，得出结论。
（3）根据全等三角形的性质，可得出ED的长度。
12．【答案】解：证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC
在△ADB和△ACB中， ，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等角的补角相等得出∠ABD=∠ABC，然后利用ASA判断出△ADB≌△ACB，根据全等三角形对应边相等得出结论BD=CD．
13．【答案】解：∵FC∥AB
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F
所以在△ADE与△CFE中：
，
∴△ADE≌△CFE.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理（ASA）可判断出三角形全等。
14．【答案】9
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD △ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.
【分析】根据全等三角形的判定定理（ASA）可进行判断，得出结论。
15．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】连接AO，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．
∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴EA=FC，
∴AE+AF=AF+FC=AC，选项A符合题意；
∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠OFC=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°-∠EOF=90°，
∴∠BEO+∠OFC=180°，选项B符合题意；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA=S△FOC，
∴S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC= S△ABC，选项D符合题意．
故答案为：C．
【分析】连接OA，根据ASA判定△EOA≌△FOC得到AE=CF，故A正确；
由△EOA≌△FOC得到∠AEO=∠CFO，根据∠BEO+∠AEO=180°可得B正确；
由△EOA≌△FOC得到S△EOA=S△FOC，则S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC= S△ABC，故D正确；
D无从得证。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册 1.5 三角形全等的判定：ASA 同步训练
一、基础夯实
1．（2019八上·龙山期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD。求证：AB=DE， AC=DF.
【答案】解：证明：∵FB=CE
∴FB+CF=CE+CF
即BC=EF
∵AB∥ED，AC∥FD
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∴AB=DE，AC=DF。
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题目中的条件，根据三角形两个角及其夹边相同，即可证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质，对应边相同。
2．（2019八上·椒江期末）如图， ， ，AC与BD相交于点 求证： ．
【答案】证明：∵AB//DC
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
在△AOB和△COD中
，
∴△AOB≌△COD (ASA)，
∴AO=CO
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质，可证得∠A=∠C，∠B=∠D，再利用ASA证明△AOB≌△COD，然后利用全等三角形的对应边相等，即可证得结论。
3．（2019八上·临洮期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，∠A=∠D，AB∥DE，BE=CF．求证：AC=DF．
【答案】解：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BC=BE+EC
EF=FC+CE
又∵BE=CF
∴BC=EF
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC=DF
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由等量加等量和相等可得BC=EF，由平行线的性质可得∠B=∠DEF，用角边角可证得
△ABC≌△DEF ，然后根据全等三角形的性质可得AC=DF。
4．（2019八上·潮安期末）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD．
求证：BC＝ED．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECD，
在△BAC和△ECD中 ，
∴△BAC≌△ECD（SAS），
∴BC＝ED
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质，即可得到∠BAC=∠ECD，根据边角边的三角形的判定定理即可证明三角形全等，得出BC=ED即可。
5．（2019七下·富宁期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形 应该带 .依据
【答案】2；角边角
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的。
故答案为：2.
【分析】由于所配的三角形与原三角形一模一样，故所配的三角形与原三角形全等，根据三角形全等的判定方法，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，从而得出答案。
二、提高特训
6．（2019八上·杭州期末）如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（ ）
A．BC=BE B．∠A=∠D C．∠ACB=∠DEB D．AC=DE
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；B、添加∠ACB=∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；D、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
添加∠ACB=∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．
故答案为：D．
【分析】由题干来看可以找出两三角形中已经具有一边对应相等，一组角对应相等，且边是夹相等角的一条边，故根据全等三角形的判定方法，只需要添加任意一个角对应相等，或者是添加夹相等角的另一条边对应相等即可，从而即可一一判断得出答案。
7．如图，G是△ABC的重心，直线L过A点与BC平行．若直线CG分别与AB，L交于D，E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=（ ）
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设三角形ABC的面积是2
∴三角形BCD的面积和三角形BCF的面积都是1
∵BG：GF=CG：GD=2
∴三角形CGF的面积是
∴四边形ADGF的面积是2﹣1﹣ =
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE的面积是1
∴△AED的面积：四边形ADGF的面积=1： =3：2．
故答案为：D．
【分析】根据重心的概念得出D，F分别是三角形的中点．若设△ABC的面积是2，则△BCD的面积和△BCF的面积都是1．又因为BG：GF=CG：GD，可求得△CGF的面积．则四边形ADGF的面积也可求出．根据ASA可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE的面积是1．则△AED的面积：四边形ADGF的面积可求.
8．（2019八上·潮阳期末）如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠C＝∠GBD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
在△CFD和△BGD中
，
∴△CFD≌△BGD，
∴BG＝CF．
（2）解：BE+CF＞EF，
理由如下：
∵△CFD≌△BGD，
∴CF＝BG，
在△BGE中，BG+BE＞EG，
∵由（2）知：GD＝GD，ED⊥GF，
∴EF＝EG，
∴BG+CF＞EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线平行的性质，内错角相等，即可证明∠C=∠GBD。继而根据ASA证明△CFD≌△BGD，根据三角形全等的性质得到BG=CF即可。
（2）根据三角形全等的性质得到CF=BG，再根据三角形三边的关系，三角形任意两边之和大于第三边，即可证明BG+CF＞EF。
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质证明∠ADC=∠ECF，利用线段中点的定义可得出DE=EC，再利用ASA证明△ADE≌△FCE，利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证AE=EF，AD=CF，从而可证得BE是线段AF的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，可证AB=BF，继而可证得结论。
10．（2019八上·白云期末）如图，点C在线段AB上，△ACD，△BCE都是等边三角形，AE交CD于点M，CE交BD于点N．
（1）求证：△ ▲ ≌△
▲ ；（先填写你认为正确的结论，再证明）
（2）求证：∠CME＝∠BNC．
【答案】（1）结论：△ACE或ACM或MCE≌△DCB或DCN或NCB
证明：△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC＝CD，EC＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCN＝60°
∴∠ACE＝∠BCD，且AC＝CD，BC＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠EAC＝∠CDB，∠CBD＝∠AEC，
∵∠EAC＝∠CDB，AC＝CD，∠ACD＝∠DCN＝60°
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∵∠CBD＝∠AEC，CE＝CB，∠DCE＝∠ECB，
∴△MCE≌△NCB（ASA）
故答案为：ACE或ACM或MCE，DCB或DCN或NCB
（2）解：∵△MCE≌△NCB，
∴∠CME＝∠BNC.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意可知，结合三角形全等的判定定理即可得到两个三角形全等，根据题意，写出符合条件的一对三角形即可。
（2）根据题意可以证明△CME≌△CNB，根据三角形全等的性质即可得到∠CME=∠BNC。
11．（2019八下·宁化期中）△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【答案】（1）解：设AP=x，则BQ=x，
∵∠BQD=30°，∠C=60°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，即x+6=2（6-x），
解得x=2，
即AP=2
（2）证明：如图，
过P点作PF∥BC，交AB于F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°，
∴PF=AP=AF，
∴PF=BQ，
又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF，
∴DQ=DP即D为PQ中点
（3）解：运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3， 理由：∵PF=AP=AF，PE⊥AF， ∴EF= AF， 又∵△DQB≌△DPF， ∴DF=DB，即DF= BF，
∴ED=EF+DF= (AF+BF)= AB=3
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意，可列出关于线段的方程关系，解出AP的长度。
（2）根据题意，可利用三角形的ASA的判定定理，判断出三角形全等，得出结论。
（3）根据全等三角形的性质，可得出ED的长度。
三、中考演练
12．（2018·乐山）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
【答案】解：证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC
在△ADB和△ACB中， ，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等角的补角相等得出∠ABD=∠ABC，然后利用ASA判断出△ADB≌△ACB，根据全等三角形对应边相等得出结论BD=CD．
13．（2019·广州）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：
【答案】解：∵FC∥AB
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F
所以在△ADE与△CFE中：
，
∴△ADE≌△CFE.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理（ASA）可判断出三角形全等。
14．（2019·成都）如图，在 中， ，点 ， 都在边 上， ，若 ，则 的长为 .
【答案】9
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD △ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.
【分析】根据全等三角形的判定定理（ASA）可进行判断，得出结论。
15．（2019·聊城）如图，在等腰直角三角形 中， ，一个三角尺的直角顶点与 边的中点 重合，且两条直角边分别经过点 和点 ，将三角尺绕点 按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与 ， 分别交于点 ， 时，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】连接AO，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．
∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴EA=FC，
∴AE+AF=AF+FC=AC，选项A符合题意；
∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠OFC=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°-∠EOF=90°，
∴∠BEO+∠OFC=180°，选项B符合题意；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA=S△FOC，
∴S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC= S△ABC，选项D符合题意．
故答案为：C．
【分析】连接OA，根据ASA判定△EOA≌△FOC得到AE=CF，故A正确；
由△EOA≌△FOC得到∠AEO=∠CFO，根据∠BEO+∠AEO=180°可得B正确；
由△EOA≌△FOC得到S△EOA=S△FOC，则S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC= S△ABC，故D正确；
D无从得证。
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