初中数学浙教版七年级上册1.3绝对值 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·桂林）计算：|﹣2019|＝ .
2．（2019九上·腾冲期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|﹣ |与﹣ B．|﹣ |与﹣
C．|﹣ |与 D．|﹣ |与
3．（2019八下·织金期中） =-1,则 的取值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019七上·简阳期末）若lal=3，lbl=5，a与b异号，则|a-b|的值为（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．2或8
5．判断下列各题是否正确．
（1）当b<0时，
（2）若a是有理数，则 一定是正数．
（3）当 时，
（4）若a=-b，则
（5）若 ，则
（6） 一定是正数
6．计算 ．
7．绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）
8．已知：1＜x＜4，化简|4-x|+|1-x|．
9．若 ，试化简
10．（2018七上·长春月考）随着我国经济的高速发展，有着“经济晴雨表”之称的股市也得到迅速的发展，下表是某年上证指数某一周星期一至星期五的变化情况. (注：上周五收盘时上证指数为2616点，每一天收盘时指数与前一天相比，“涨”记为“＋”，“跌”记为“－”)
星期 一 二 三 四 五
指数的变化(与前一天比较) ＋34 －15 ＋20 －25 ＋18
（1）请求出这一周星期五收盘时的上证指数是多少点；
（2）这一周每一天收盘时上证指数哪一天最高，哪一天最低？分别是多少点？
二、提高特训
11．已知a、b、c在数轴上的位置如图
（1）比较大小：-a，a，-b，b；
（2）|a+c|= ，|a+b|= ，|a-b|= ，|a-c|= ；
（3）|a+b|-|c-b|= ．
12．（2018七上·南岗月考）
（1）当a≠0时，求 的值．（写出解答过程）
（2）若a≠0，b≠0，且 + =0，则 的值为 ．
（3）若ab＞0，则 + + 的值为 ．
13． 对于任意有理数a，
（1）求|a+1|+5的最小值；
（2）求4-|a|的最大值．
14．先比较下列各式的大小，再回答问题．
（1） ＋ ；
（2） ＋ ；
（3） ＋ ；
（4）通过上面的比较，请你归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．
15．（2018七上·湖州月考）数轴上从左到右的三个点 A ，B ，C 所对应的数分别为 a ，b ，c ．其中AB=2017，BC=1000，如图所示．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a＋b＋c 的值．
（2）若原点 O 在 A，B 两点之间，求 的值．
（3）若O是原点，且OB=17，求a+b－c的值．
16．如果1＜x＜2，求代数式 的值．
17．（2018七上·天台期中）同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|﹣4+6|= ；|﹣2﹣4|= ；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值；
（4）当a= 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ；
（5）当a= 时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是 .
18．（2018七上·如皋期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．
（提出问题）两个有理数a、b满足a、b同号，求 的值．
（解决问题）解：由a、b同号，可知a、b有两种可能：①当a，b都正数；②当a，b都是负数．①若a、b都是正数，即a＞0，b＞0，有|a|=a，|b|=b，则 = =1+1=2；②若a、b都是负数，即a＜0，b＜0，有|a|=﹣a，|b|=﹣b，则 = =（﹣1）+（﹣1）=﹣2，所以 的值为2或﹣2．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）两个有理数a、b满足a、b异号，求 的值；
（2）已知|a|=3，|b|=7，且a＜b，求a+b的值．
三、真题演练
19．（2018·眉山）绝对值为1的实数共有（ ）。
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
20．（2018·甘孜）已知 ＝3，则x的值是 .
21．（2018·鄂州）若|p+3|=0，则p= ．
22．（2019·德州） ，则 的取值范围是 ．
23．（2018·攀枝花）如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
24．（2019·台湾）数线上有O,A,B,C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示.若数线上有一点D，D点所表示的数为d，且|d-5|=|d-c|，则关于D点的位置，下列叙述何者正确？（ ）
A．在A的左边 B．介于A、C之间
C．介于C、O之间 D．介于O、B之间
答案解析部分
1．【答案】2019
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|﹣2019|＝2019。
故答案为：2019。
【分析】根据绝对值的几何意义，求-2019的绝对值，就是求数轴上表示-2019的点到原点的距离，从而即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】A、 ＝0，则它们是一对相反数，符合题意；
B、 ≠0，则它们不是一对相反数，不符合题意；
C、 ≠0，则它们不是一对相反数，不符合题意；
D、 ≠0，则它们不是一对相反数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的意义将各个含绝对值符号的式子化简，然后根据互为相反数的两个数的和为0，即可一一判断得出答案。
3．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ =-1，
∴|a|= a且a≠0，
∴a<0.
故答案为：B.
【分析】根据不为0的两个互为相反数的数其商为-1，即可得出|a|= a且a≠0，再根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可得出结论：a<0.
4．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵lal=3，lbl=5，
∴a=±3，b=±5，
又∵a、b异号，
∴a=3，b=-5；a=-3，b=5，
当a=3，b=-5时，；
当a=-3，b=5时，。
故答案为：C
【分析】根据绝对值的意义可得a、b的所有取值，结合a、b异号可得a、b的取值有两种组合，据此代入计算即可。
5．【答案】（1）解：∵b<0，
∴ | b | =-b，
故正确.
（2）解：∵a是有理数，
∴|a| 是非负数，
故错误.
（3）解：∵|m|=m，
∴ m≥0，
故错误.
（4）解：∵a=-b，
∴ |a|=|b|.
故正确.
（5）解：∵当 a < b<0时，
∴|a|>|b|，
故错误.
（6）解：∵当a <0时，
∴a+|a|=a-a=0，
故错误.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据负数的绝对值是它的相反数，可知正确.
（2）一个数的绝对值是正数或者0，故错误.
（3）正数或0的绝对值是它本身，故错误.
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，故正确.
（5）当a和b都是负数时，|a|>|b|，故错误.
（6）当a为负数或者0时，a+|a|值为0，故错误.
6．【答案】解：根据绝对值的性质，
原式=-（-）-（-）-（-）-……-（-），
=-+-+-+-……-+，
=-，
=.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】绝对值里面的各个数都小于0，由绝对值的性质去掉绝对值，互为相反数的两数抵消，计算即可得出答案.
7．【答案】解：根据题意画出数轴，如图所示：
根据图形得：绝对值大于2而小于6的所有整数有：-3，-4，-5，3，4，5，
这几个整数的和为：
（-3）+（-4）+（-5）+3+4+5
=[（-3）+3]+[（-4）+4]+[（-5）+5]
=0．
答：绝对值大于2而小于6的所有整数的和是0．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据题意画出数轴，由绝对值的意义可得绝对值大于2而小于6的所有整数有：-3，-4，-5，3，4，5，再求和即可。
8．【答案】解：∵1＜x＜4，
∴|4-x|＞0，|1-x|＜0，
∴|4-x|+|1-x|=4-x-（1-x），
=4-x-1+x，
=3.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据x的范围可得4-x，1-x的正负，再由绝对值的性质化简即可得出答案.
9．【答案】解：∵a < 0 ，
∴3a< 0，-4a＞0，
∴原式=，
=，
=-.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据a < 0 得3a< 0，-4a＞0，根据绝对值性质化简即可得出答案.
10．【答案】（1）解：这一周星期五收盘时的上证指数=上周五收盘时上证指数+34-15+20-25+18
（2）解：星期三收盘时最高，为2655点，星期四收盘时最低，为2630点。
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据上周五的数据，结合表中的变化情况，得到点数即可。
（2）根据计算过程的点的总数，得到最高的点值即可。
11．【答案】（1）解：由数轴可知：
-b＜a＜-a＜b.
（2）解：-a-c；a+b；-a+b；a-c
（3）解：a+c
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（2）由数轴可知：
c＜a＜0＜b，-b＜a＜-a＜b，
∴a+c＜0，a+b＞0，a-b＜0，a-c＞0，
∴|a+c|=-a-c，|a+b|=a+b，|a+c|=b-a，|a-c|=a-c，
故答案为：-a-c，a+b，b-a，a-c.
（3）由数轴可知：
c＜a＜0＜b，-b＜a＜-a＜b，
∴a+b＞0，c-b＜0，
∴|a+b|-|c-b|，
=a+b+c-b，
=a+c.
【分析】（1）根据数轴左边的数永远比右边的小，从而得出答案.
（2）（3）由数轴可知：c＜a＜0＜b，-b＜a＜-a＜b，从而得出各个绝对值里面数的正负，再由绝对值的性质化简即可得出答案.
12．【答案】（1）解：当a＞0时，|a|=a，则原式=1；
当a＜0时，|a|=﹣a，则原式=﹣1
（2）﹣1
（3）3或﹣1
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（2）∵a≠0，b≠0，且 + =0，
∴a与b异号，即ab＜0，
∴|ab|=﹣ab，
则原式=﹣1；（3）∵ab＞0，
∴a与b同号，
当a＞0，b＞0时，原式=1+1+1=3；
当a＜0，b＜0时，原式=﹣1﹣1+1=﹣1．
故答案为：（2）﹣1；（3）3或﹣1
【分析】（1）根据绝对值的非负性可得的值；
（2）根据绝对值的非负性可得a、b的符号，进而可得的值；
（3）根据绝对值的非负性及ab>0可得a、b的符号，进而可得的值。
13．【答案】（1）解：∵|a+1|≥0，
∴|a+1|+5≥5，
∴|a+1|+5的最小值为5.
（2）解：∵|a|≥0，
∴-|a|≤0，
∴4-|a|≤4，
∴4-|a|的最大值为4.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）一个数的绝对值是非负数，由此可得|a+1|≥0，再根据不等式的性质两边同时加5可得|a+1|+5≥5，即得其最小值.
（2）一个数的绝对值是非负数，由此可得|a|≥0，再由不等式的性质可得4-|a|≤4，即得其最大值.
14．【答案】（1）＞
（2）=
（3）=
（4）解：①当a≥0，b≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|；②a≤0，b≤0时，|a|＋|b|＝|a＋b|；
③当a>0，b<0时，|a|＋|b|>|a＋b|；④a<0，b>0时，|a|＋|b|>|a＋b|；
综上可知：|a|＋|b|≥|a＋b|.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解（1）∵左边=3+5=8，右边=2，
∴| 3| ＋ |+5| ＞|( 3+5)| ；
（2）∵左边=2+4=6，右边=6，
∴| 2| ＋ | 4|= |( 2)+( 4)| ；
（3）∵左边=3，右边=3，
∴|0| ＋ | 3| =|0+( 3)| ；
故答案为：＞；=；=.
【分析】（1）根据绝对值的性质和有理数加法分别计算出左右两边的数，再比较大小.
（2）根据绝对值的性质和有理数加法分别计算出左右两边的数，再比较大小.
（3）根据绝对值的性质和有理数加法分别计算出左右两边的数，再比较大小.
（4）分情况讨论：①a≥0，b≥0，②a≤0，b≤0，③a>0，b<0，④a<0，b>0，根据绝对值的性质比较大小.
15．【答案】（1）解：以B为原点，点A，C对应的数分别-2017，1000
a+b+c=-2017+0+1000=-1017
（2）解：当原点O在A，B两点之间时， =2017，|b-c|=1000 =2017+1000=3017
附另解：点A，B，C对应的数分别b-2017，b，b+1000
=2017-b+b+1003017
（3）解：若原点O在点B的左边，则点A，B，C所对应数分别是a=-2000，b=17C=1017则a+b-c=-2000+17-1017=-3000若原点O在点B的右边，则点A，B，C所对应数分别是a=-2034，b=-17C=983
则a+b-c=-2034+(-17)-983=-3034
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：以B为原点，AB=2017，BC=1000，就可得出点A、C表示的数，再计算出a、b、c的和即可。
（2）由当原点O在A，B两点之间时，可得出| a | + | b | =2017，|b-c|=1000，从而可求出结果。
（3）分两种情况讨论：若原点O在点B的左边；若原点O在点B的右边，分别求出a、b、c的值，就可求出a+b－c的值。
16．【答案】解：∵1＜x＜2，
∴|x-2|＜0，|x-1|＞0，|x|＞0，
∴原式=-+，
=-1+1+1，
=1.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据x的范围得出x-2，x-1，x的正负，再由绝对值的性质化简、计算即可得出答案.
17．【答案】（1）2；6
（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2，1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1，0，1.
（3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a﹣6＜0，∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10；
（4）1；9
（5）1；2n2+3n
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5，4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；
(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小 ，则a=1
当a=1时
原式=3+2+5+4+……+（2n+1）+2n
=2+3+4+5+……+2n+（2n+1）
=
= 2n2+3n
故：答案为1， 2n2+3n ．
【分析】（1）由于绝对值符号具有括号的作用，先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；
（2）此题可以理解为数轴上一点到-2，1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3，从而找出1到-2 的整数即可；
（3）根据有理数的加减法法则，首先判断出a+4＞0，a﹣6＜0，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5，4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候，即可使其值最小，然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可；
（5） |a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）| 表示的是a到1，-2，3，-4，5，……-2n，2n+1的距离和，故要使 ，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小 ，则a=1，把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。
18．【答案】（1）解：由a、b异号，可知：①a>0，b<0；②a<0，b>0， 0，b<0时， =1-1=0； 当a<0，b>0时， =-1+1=0， 综上， 的值为0
（2）解：∵|a|=3，|b|=7， ∴a=±3，b=±7， 又∵a＜b， ∴a=3，b=7或a=-3，b=7， 当a=3，b=7时，a+b=10， 当a=-3，b=7时，a+b=4， 综上，a+b的值为4或10
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【分析】(1)由题意可知分两种情况：①a>0，b<0；②a<0，b>0，再根据绝对值的非负性即可求解；
（2） 由绝对值的意义可得a=±3，b=±7， 再根据 a＜b，可得①a=3，b=7；②a=-3，b=7， 计算即可求解。
19．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴绝对值为1的实数有2个，
故答案为：C.
【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此可知 1的绝对值都是1.
20．【答案】±3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵| x | ＝3
∴x=±3
故答案为：±3
【分析】根据绝对值等于3的数就是到原点的距离等于3，可解答。
21．【答案】﹣3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵|p+3|=0，
∴p+3=0，解得p=﹣3。
故答案为：-3
【分析】根据零的绝对值等于0解答。
22．【答案】
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【解答】
根据绝对值的意义得， ，
；
故答案为： ；
【分析】根据绝对值的意义列出关于x的不等式，解之即可求出x的取值范围。
23．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】∵实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，∴原点在点P与M中间，∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N．
故答案为：B
【分析】从几何意义上讲，数轴上表示的数离开原点的距离就是其绝对值。根据绝对值的几何意义，即可作出判断。
24．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解： ∵c＜0，b=5，|c|＜5，|d-5|=|d-c|，
∴BD=CD，
∴D点介于O、B之间，
故答案为：D
【分析】根据数线上所表示的数的特点可知：c＜0，b=5，|c|＜5，又|d-5|=|d-c|，根据绝对值的意义即可得出点D应该是BC的中点，从而得出答案。
1 / 1初中数学浙教版七年级上册1.3绝对值 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·桂林）计算：|﹣2019|＝ .
【答案】2019
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|﹣2019|＝2019。
故答案为：2019。
【分析】根据绝对值的几何意义，求-2019的绝对值，就是求数轴上表示-2019的点到原点的距离，从而即可得出答案。
2．（2019九上·腾冲期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|﹣ |与﹣ B．|﹣ |与﹣
C．|﹣ |与 D．|﹣ |与
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】A、 ＝0，则它们是一对相反数，符合题意；
B、 ≠0，则它们不是一对相反数，不符合题意；
C、 ≠0，则它们不是一对相反数，不符合题意；
D、 ≠0，则它们不是一对相反数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的意义将各个含绝对值符号的式子化简，然后根据互为相反数的两个数的和为0，即可一一判断得出答案。
3．（2019八下·织金期中） =-1,则 的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ =-1，
∴|a|= a且a≠0，
∴a<0.
故答案为：B.
【分析】根据不为0的两个互为相反数的数其商为-1，即可得出|a|= a且a≠0，再根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可得出结论：a<0.
4．（2019七上·简阳期末）若lal=3，lbl=5，a与b异号，则|a-b|的值为（ ）
A．2 B．-2 C．8 D．2或8
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵lal=3，lbl=5，
∴a=±3，b=±5，
又∵a、b异号，
∴a=3，b=-5；a=-3，b=5，
当a=3，b=-5时，；
当a=-3，b=5时，。
故答案为：C
【分析】根据绝对值的意义可得a、b的所有取值，结合a、b异号可得a、b的取值有两种组合，据此代入计算即可。
5．判断下列各题是否正确．
（1）当b<0时，
（2）若a是有理数，则 一定是正数．
（3）当 时，
（4）若a=-b，则
（5）若 ，则
（6） 一定是正数
【答案】（1）解：∵b<0，
∴ | b | =-b，
故正确.
（2）解：∵a是有理数，
∴|a| 是非负数，
故错误.
（3）解：∵|m|=m，
∴ m≥0，
故错误.
（4）解：∵a=-b，
∴ |a|=|b|.
故正确.
（5）解：∵当 a < b<0时，
∴|a|>|b|，
故错误.
（6）解：∵当a <0时，
∴a+|a|=a-a=0，
故错误.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据负数的绝对值是它的相反数，可知正确.
（2）一个数的绝对值是正数或者0，故错误.
（3）正数或0的绝对值是它本身，故错误.
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，故正确.
（5）当a和b都是负数时，|a|>|b|，故错误.
（6）当a为负数或者0时，a+|a|值为0，故错误.
6．计算 ．
【答案】解：根据绝对值的性质，
原式=-（-）-（-）-（-）-……-（-），
=-+-+-+-……-+，
=-，
=.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】绝对值里面的各个数都小于0，由绝对值的性质去掉绝对值，互为相反数的两数抵消，计算即可得出答案.
7．绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）
【答案】解：根据题意画出数轴，如图所示：
根据图形得：绝对值大于2而小于6的所有整数有：-3，-4，-5，3，4，5，
这几个整数的和为：
（-3）+（-4）+（-5）+3+4+5
=[（-3）+3]+[（-4）+4]+[（-5）+5]
=0．
答：绝对值大于2而小于6的所有整数的和是0．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据题意画出数轴，由绝对值的意义可得绝对值大于2而小于6的所有整数有：-3，-4，-5，3，4，5，再求和即可。
8．已知：1＜x＜4，化简|4-x|+|1-x|．
【答案】解：∵1＜x＜4，
∴|4-x|＞0，|1-x|＜0，
∴|4-x|+|1-x|=4-x-（1-x），
=4-x-1+x，
=3.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据x的范围可得4-x，1-x的正负，再由绝对值的性质化简即可得出答案.
9．若 ，试化简
【答案】解：∵a < 0 ，
∴3a< 0，-4a＞0，
∴原式=，
=，
=-.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据a < 0 得3a< 0，-4a＞0，根据绝对值性质化简即可得出答案.
10．（2018七上·长春月考）随着我国经济的高速发展，有着“经济晴雨表”之称的股市也得到迅速的发展，下表是某年上证指数某一周星期一至星期五的变化情况. (注：上周五收盘时上证指数为2616点，每一天收盘时指数与前一天相比，“涨”记为“＋”，“跌”记为“－”)
星期 一 二 三 四 五
指数的变化(与前一天比较) ＋34 －15 ＋20 －25 ＋18
（1）请求出这一周星期五收盘时的上证指数是多少点；
（2）这一周每一天收盘时上证指数哪一天最高，哪一天最低？分别是多少点？
【答案】（1）解：这一周星期五收盘时的上证指数=上周五收盘时上证指数+34-15+20-25+18
（2）解：星期三收盘时最高，为2655点，星期四收盘时最低，为2630点。
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据上周五的数据，结合表中的变化情况，得到点数即可。
（2）根据计算过程的点的总数，得到最高的点值即可。
二、提高特训
11．已知a、b、c在数轴上的位置如图
（1）比较大小：-a，a，-b，b；
（2）|a+c|= ，|a+b|= ，|a-b|= ，|a-c|= ；
（3）|a+b|-|c-b|= ．
【答案】（1）解：由数轴可知：
-b＜a＜-a＜b.
（2）解：-a-c；a+b；-a+b；a-c
（3）解：a+c
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：（2）由数轴可知：
c＜a＜0＜b，-b＜a＜-a＜b，
∴a+c＜0，a+b＞0，a-b＜0，a-c＞0，
∴|a+c|=-a-c，|a+b|=a+b，|a+c|=b-a，|a-c|=a-c，
故答案为：-a-c，a+b，b-a，a-c.
（3）由数轴可知：
c＜a＜0＜b，-b＜a＜-a＜b，
∴a+b＞0，c-b＜0，
∴|a+b|-|c-b|，
=a+b+c-b，
=a+c.
【分析】（1）根据数轴左边的数永远比右边的小，从而得出答案.
（2）（3）由数轴可知：c＜a＜0＜b，-b＜a＜-a＜b，从而得出各个绝对值里面数的正负，再由绝对值的性质化简即可得出答案.
12．（2018七上·南岗月考）
（1）当a≠0时，求 的值．（写出解答过程）
（2）若a≠0，b≠0，且 + =0，则 的值为 ．
（3）若ab＞0，则 + + 的值为 ．
【答案】（1）解：当a＞0时，|a|=a，则原式=1；
当a＜0时，|a|=﹣a，则原式=﹣1
（2）﹣1
（3）3或﹣1
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（2）∵a≠0，b≠0，且 + =0，
∴a与b异号，即ab＜0，
∴|ab|=﹣ab，
则原式=﹣1；（3）∵ab＞0，
∴a与b同号，
当a＞0，b＞0时，原式=1+1+1=3；
当a＜0，b＜0时，原式=﹣1﹣1+1=﹣1．
故答案为：（2）﹣1；（3）3或﹣1
【分析】（1）根据绝对值的非负性可得的值；
（2）根据绝对值的非负性可得a、b的符号，进而可得的值；
（3）根据绝对值的非负性及ab>0可得a、b的符号，进而可得的值。
13． 对于任意有理数a，
（1）求|a+1|+5的最小值；
（2）求4-|a|的最大值．
【答案】（1）解：∵|a+1|≥0，
∴|a+1|+5≥5，
∴|a+1|+5的最小值为5.
（2）解：∵|a|≥0，
∴-|a|≤0，
∴4-|a|≤4，
∴4-|a|的最大值为4.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）一个数的绝对值是非负数，由此可得|a+1|≥0，再根据不等式的性质两边同时加5可得|a+1|+5≥5，即得其最小值.
（2）一个数的绝对值是非负数，由此可得|a|≥0，再由不等式的性质可得4-|a|≤4，即得其最大值.
14．先比较下列各式的大小，再回答问题．
（1） ＋ ；
（2） ＋ ；
（3） ＋ ；
（4）通过上面的比较，请你归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．
【答案】（1）＞
（2）=
（3）=
（4）解：①当a≥0，b≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|；②a≤0，b≤0时，|a|＋|b|＝|a＋b|；
③当a>0，b<0时，|a|＋|b|>|a＋b|；④a<0，b>0时，|a|＋|b|>|a＋b|；
综上可知：|a|＋|b|≥|a＋b|.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解（1）∵左边=3+5=8，右边=2，
∴| 3| ＋ |+5| ＞|( 3+5)| ；
（2）∵左边=2+4=6，右边=6，
∴| 2| ＋ | 4|= |( 2)+( 4)| ；
（3）∵左边=3，右边=3，
∴|0| ＋ | 3| =|0+( 3)| ；
故答案为：＞；=；=.
【分析】（1）根据绝对值的性质和有理数加法分别计算出左右两边的数，再比较大小.
（2）根据绝对值的性质和有理数加法分别计算出左右两边的数，再比较大小.
（3）根据绝对值的性质和有理数加法分别计算出左右两边的数，再比较大小.
（4）分情况讨论：①a≥0，b≥0，②a≤0，b≤0，③a>0，b<0，④a<0，b>0，根据绝对值的性质比较大小.
15．（2018七上·湖州月考）数轴上从左到右的三个点 A ，B ，C 所对应的数分别为 a ，b ，c ．其中AB=2017，BC=1000，如图所示．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算a＋b＋c 的值．
（2）若原点 O 在 A，B 两点之间，求 的值．
（3）若O是原点，且OB=17，求a+b－c的值．
【答案】（1）解：以B为原点，点A，C对应的数分别-2017，1000
a+b+c=-2017+0+1000=-1017
（2）解：当原点O在A，B两点之间时， =2017，|b-c|=1000 =2017+1000=3017
附另解：点A，B，C对应的数分别b-2017，b，b+1000
=2017-b+b+1003017
（3）解：若原点O在点B的左边，则点A，B，C所对应数分别是a=-2000，b=17C=1017则a+b-c=-2000+17-1017=-3000若原点O在点B的右边，则点A，B，C所对应数分别是a=-2034，b=-17C=983
则a+b-c=-2034+(-17)-983=-3034
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】（1）抓住已知条件：以B为原点，AB=2017，BC=1000，就可得出点A、C表示的数，再计算出a、b、c的和即可。
（2）由当原点O在A，B两点之间时，可得出| a | + | b | =2017，|b-c|=1000，从而可求出结果。
（3）分两种情况讨论：若原点O在点B的左边；若原点O在点B的右边，分别求出a、b、c的值，就可求出a+b－c的值。
16．如果1＜x＜2，求代数式 的值．
【答案】解：∵1＜x＜2，
∴|x-2|＜0，|x-1|＞0，|x|＞0，
∴原式=-+，
=-1+1+1，
=1.
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据x的范围得出x-2，x-1，x的正负，再由绝对值的性质化简、计算即可得出答案.
17．（2018七上·天台期中）同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|﹣4+6|= ；|﹣2﹣4|= ；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值；
（4）当a= 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ；
（5）当a= 时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是 .
【答案】（1）2；6
（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2，1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1，0，1.
（3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a﹣6＜0，∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10；
（4）1；9
（5）1；2n2+3n
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5，4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；
(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小 ，则a=1
当a=1时
原式=3+2+5+4+……+（2n+1）+2n
=2+3+4+5+……+2n+（2n+1）
=
= 2n2+3n
故：答案为1， 2n2+3n ．
【分析】（1）由于绝对值符号具有括号的作用，先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；
（2）此题可以理解为数轴上一点到-2，1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3，从而找出1到-2 的整数即可；
（3）根据有理数的加减法法则，首先判断出a+4＞0，a﹣6＜0，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5，4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候，即可使其值最小，然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可；
（5） |a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）| 表示的是a到1，-2，3，-4，5，……-2n，2n+1的距离和，故要使 ，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小 ，则a=1，把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。
18．（2018七上·如皋期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．
（提出问题）两个有理数a、b满足a、b同号，求 的值．
（解决问题）解：由a、b同号，可知a、b有两种可能：①当a，b都正数；②当a，b都是负数．①若a、b都是正数，即a＞0，b＞0，有|a|=a，|b|=b，则 = =1+1=2；②若a、b都是负数，即a＜0，b＜0，有|a|=﹣a，|b|=﹣b，则 = =（﹣1）+（﹣1）=﹣2，所以 的值为2或﹣2．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）两个有理数a、b满足a、b异号，求 的值；
（2）已知|a|=3，|b|=7，且a＜b，求a+b的值．
【答案】（1）解：由a、b异号，可知：①a>0，b<0；②a<0，b>0， 0，b<0时， =1-1=0； 当a<0，b>0时， =-1+1=0， 综上， 的值为0
（2）解：∵|a|=3，|b|=7， ∴a=±3，b=±7， 又∵a＜b， ∴a=3，b=7或a=-3，b=7， 当a=3，b=7时，a+b=10， 当a=-3，b=7时，a+b=4， 综上，a+b的值为4或10
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【分析】(1)由题意可知分两种情况：①a>0，b<0；②a<0，b>0，再根据绝对值的非负性即可求解；
（2） 由绝对值的意义可得a=±3，b=±7， 再根据 a＜b，可得①a=3，b=7；②a=-3，b=7， 计算即可求解。
三、真题演练
19．（2018·眉山）绝对值为1的实数共有（ ）。
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵ ，
∴绝对值为1的实数有2个，
故答案为：C.
【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此可知 1的绝对值都是1.
20．（2018·甘孜）已知 ＝3，则x的值是 .
【答案】±3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵| x | ＝3
∴x=±3
故答案为：±3
【分析】根据绝对值等于3的数就是到原点的距离等于3，可解答。
21．（2018·鄂州）若|p+3|=0，则p= ．
【答案】﹣3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：∵|p+3|=0，
∴p+3=0，解得p=﹣3。
故答案为：-3
【分析】根据零的绝对值等于0解答。
22．（2019·德州） ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】绝对值的非负性
【解析】【解答】
根据绝对值的意义得， ，
；
故答案为： ；
【分析】根据绝对值的意义列出关于x的不等式，解之即可求出x的取值范围。
23．（2018·攀枝花）如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】∵实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，∴原点在点P与M中间，∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N．
故答案为：B
【分析】从几何意义上讲，数轴上表示的数离开原点的距离就是其绝对值。根据绝对值的几何意义，即可作出判断。
24．（2019·台湾）数线上有O,A,B,C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示.若数线上有一点D，D点所表示的数为d，且|d-5|=|d-c|，则关于D点的位置，下列叙述何者正确？（ ）
A．在A的左边 B．介于A、C之间
C．介于C、O之间 D．介于O、B之间
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解： ∵c＜0，b=5，|c|＜5，|d-5|=|d-c|，
∴BD=CD，
∴D点介于O、B之间，
故答案为：D
【分析】根据数线上所表示的数的特点可知：c＜0，b=5，|c|＜5，又|d-5|=|d-c|，根据绝对值的意义即可得出点D应该是BC的中点，从而得出答案。
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