初中数学浙教版七年级上册6.9 直线的相交-垂线 同步训练
一、基础夯实
1．（2019·临海模拟）在如图图形中，线段PQ能表示点P到直线L的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：图A、B、C中，线段PQ不与直线L垂直，故线段PQ不能表示点P到直线L的距离；
图D中，线段PQ与直线L垂直，垂足为点Q，故线段PQ能表示点P到直线L的距离；
故答案为：D.
【分析】点到直线的距离是指过点作直线的垂线，这条垂线段的长度就是点到直线的距离。根据定义可知：选项D中的 线段PQ能表示点P到直线L的距离 。
2．（2019·常州）如图，在线段 、 、 、 中，长度最小的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B.
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短，可得出长度最小的线段。
3．（2019·河池模拟）如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】解;经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线。
故答案为：D。
【分析】根据过一点有一条而且只有一条直线与已知直线垂直即可得出结论。
4．（2019七下·利辛期末）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A．垂直的定义 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短
故答案为：C。
【分析】根据垂线段最短的含义进行作答即可。
5．在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：①两直线相交所成的四个角都是直角，
②两条直线相交，对顶角互补，
③两直线相交所成的四个角都相等，
故选：D．
【分析】根据垂线的定义，可得答案．
6．（2019·黔南模拟）如图：已知AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，得
AP≥AB，AP≥3.5，
故答案为：A．
【分析】根据点到直线的距离中垂线段最短可知AP≥AB，故选A.
7．（2019七下·博兴期中）如图，△ABC 中，∠C=90°，则点B到直线AC的距离是 （ ）的长度
A．线段 AB B．线段 AC C．线段 BC D．无法确定
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵∠C=90°
∴BC⊥AC
∴点B到直线AC的距离是线段BC的长。
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离的定义判断即可
8．如图，点B到直线DC的距离是指线段 的长度．
【答案】BC
【知识点】点到直线的距离
9．如图所示，若AB⊥CD于O，则∠AOD＝ ；若∠BOD＝90°，则AB CD．
【答案】90°；⊥
【知识点】垂线
【解析】【解答】∵AB⊥CD，∴∠AOD=∠BOD=∠BOC=∠AOC=90°
∵∠BOD＝90°，∴AB⊥CD。
【分析】两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．如果两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直．
10．如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是 cm，点A到BC的距离是 cm，C到AB的距离是 cm．
【答案】8；6；4.8
【知识点】点到直线的距离
11．（2018七上·大庆期中）如图，某村庄计划把河中的水引到水池M中，怎样开的渠最短，为什么？（保留作图痕迹，不写作法和证明）
理由是： ▲ .
【答案】解：垂线段最短。
【知识点】垂线段最短
【解析】【分析】直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短。所以要求水池M和河流之间的渠道最短，过点M作河流所在直线的垂线即可。
12．（2019七上·江干期末）如图,点P是∠ABC是内一点。
（1）过点P画BC的垂线,垂足是D；过点P画AB的垂线,垂足是E；
（2）用直尺和圆规作图:在射线BC上取一点F，使BF=2BD-PE.
【答案】（1）如图：
（2）如图：
则BF即为所求。
【知识点】作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用学具，让直角三角尺的一条直角边与BC重合在一起，然后移动直角三角尺，让三角尺的另一条直角边经过点P，然后沿着这条边引直线，该线与BC相交于点D，此线就是所求的线；同理过点P画AB的垂线,垂足是E；
（2）以点D为圆心，BD的长为半径，在射线DC上截取DN=BD，然后以点N为圆心，PE的长为半径，在线段NB上截取NF=PE，线段 BF即为所求 。
二、提高特训
13．下列说法中正确的是（ ）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．互相垂直的两条线段一定相交
C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。
D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短的线段长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm.
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A.一条直线的垂线有无数条，A不符合题意；
B.互相垂直的两条线段所在的直线一定相交，但这两条线段不一定相交，B不符合题意；
C.从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做这点到这条直线的距离，C不符合题意；
D.直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短的线段长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm，D符合题意.
故答案为：D
【分析】直线外一点到直线的最短距离为，这点到这条直线的垂线段的长.
14．如图，已知AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，且∠1=60°，则∠2=（ ）
A．70° B．30° C．40° D．120°
【答案】B
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∴∠2=∠3﹣∠1=90°﹣60°=30°．
故选：B．
【分析】根据对顶角相等求出∠3，再根据垂直的定义求出∠AOD=90°，然后根据∠2=∠3﹣∠1代入数据计算即可得解．
15．（2018·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为 ．
【答案】140°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°-40°=140°．
故答案为：140°．
【分析】根据垂直的定义可得出∠EOB=90°，再由∠EOD=50°，求出∠BOD的度数，然后利用平角的定义求解。
16．（2018七下·兴义期中）如图，∠PQR=138° ，SQ QR，QT PQ，则 SQT=
【答案】42°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵，SQ ⊥ QR，QT ⊥ PQ，
∴∠SQR=∠PQT=90°，
∵∠SQP=∠PQR-∠SQR=138°-90°=48°
∴∠SQT=∠PQT-∠SQP=90°-48°=42°
故答案为：42°
【分析】根据垂直的定义，可得出∠SQR=∠PQT=90°，根据∠SQP=∠PQR-∠SQR，求出∠SQP的度数，再根据∠SQT=∠PQT-∠SQP，求解即可。
17．（2018七下·兴义期中）如图，AB AC，AD BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵AB ⊥ AC，AD ⊥ BC
∴AD⊥BD，AD⊥DC
∴能表示点到直线距离的线段有：AD，AB、AC、BD、DC，一共5条
故答案为：A
【分析】点到直线的距离就是这点到这条直线的垂线段的长度，根据定义可得出答案。
18．（2018七下·余姚期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇.已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，
∴桥的长度要最短
∴只有C符合要求
故答案为：C
【分析】根据已知条件：相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，利用垂线段最短，即桥的长度最短，观察各选项，可得出答案。
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一、基础夯实
1．（2019·临海模拟）在如图图形中，线段PQ能表示点P到直线L的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019·常州）如图，在线段 、 、 、 中，长度最小的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．（2019·河池模拟）如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
4．（2019七下·利辛期末）体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）
A．垂直的定义 B．两点之间线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
5．在如图所示的条件中，可以判断两条直线互相垂直的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2019·黔南模拟）如图：已知AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
7．（2019七下·博兴期中）如图，△ABC 中，∠C=90°，则点B到直线AC的距离是 （ ）的长度
A．线段 AB B．线段 AC C．线段 BC D．无法确定
8．如图，点B到直线DC的距离是指线段 的长度．
9．如图所示，若AB⊥CD于O，则∠AOD＝ ；若∠BOD＝90°，则AB CD．
10．如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是 cm，点A到BC的距离是 cm，C到AB的距离是 cm．
11．（2018七上·大庆期中）如图，某村庄计划把河中的水引到水池M中，怎样开的渠最短，为什么？（保留作图痕迹，不写作法和证明）
理由是： ▲ .
12．（2019七上·江干期末）如图,点P是∠ABC是内一点。
（1）过点P画BC的垂线,垂足是D；过点P画AB的垂线,垂足是E；
（2）用直尺和圆规作图:在射线BC上取一点F，使BF=2BD-PE.
二、提高特训
13．下列说法中正确的是（ ）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．互相垂直的两条线段一定相交
C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。
D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短的线段长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm.
14．如图，已知AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，且∠1=60°，则∠2=（ ）
A．70° B．30° C．40° D．120°
15．（2018·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为 ．
16．（2018七下·兴义期中）如图，∠PQR=138° ，SQ QR，QT PQ，则 SQT=
17．（2018七下·兴义期中）如图，AB AC，AD BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
18．（2018七下·余姚期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇.已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ）
A． B．
C． D．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：图A、B、C中，线段PQ不与直线L垂直，故线段PQ不能表示点P到直线L的距离；
图D中，线段PQ与直线L垂直，垂足为点Q，故线段PQ能表示点P到直线L的距离；
故答案为：D.
【分析】点到直线的距离是指过点作直线的垂线，这条垂线段的长度就是点到直线的距离。根据定义可知：选项D中的 线段PQ能表示点P到直线L的距离 。
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B.
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短，可得出长度最小的线段。
3．【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】解;经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线。
故答案为：D。
【分析】根据过一点有一条而且只有一条直线与已知直线垂直即可得出结论。
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短
故答案为：C。
【分析】根据垂线段最短的含义进行作答即可。
5．【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：①两直线相交所成的四个角都是直角，
②两条直线相交，对顶角互补，
③两直线相交所成的四个角都相等，
故选：D．
【分析】根据垂线的定义，可得答案．
6．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，得
AP≥AB，AP≥3.5，
故答案为：A．
【分析】根据点到直线的距离中垂线段最短可知AP≥AB，故选A.
7．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵∠C=90°
∴BC⊥AC
∴点B到直线AC的距离是线段BC的长。
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离的定义判断即可
8．【答案】BC
【知识点】点到直线的距离
9．【答案】90°；⊥
【知识点】垂线
【解析】【解答】∵AB⊥CD，∴∠AOD=∠BOD=∠BOC=∠AOC=90°
∵∠BOD＝90°，∴AB⊥CD。
【分析】两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°．如果两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直．
10．【答案】8；6；4.8
【知识点】点到直线的距离
11．【答案】解：垂线段最短。
【知识点】垂线段最短
【解析】【分析】直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短。所以要求水池M和河流之间的渠道最短，过点M作河流所在直线的垂线即可。
12．【答案】（1）如图：
（2）如图：
则BF即为所求。
【知识点】作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用学具，让直角三角尺的一条直角边与BC重合在一起，然后移动直角三角尺，让三角尺的另一条直角边经过点P，然后沿着这条边引直线，该线与BC相交于点D，此线就是所求的线；同理过点P画AB的垂线,垂足是E；
（2）以点D为圆心，BD的长为半径，在射线DC上截取DN=BD，然后以点N为圆心，PE的长为半径，在线段NB上截取NF=PE，线段 BF即为所求 。
13．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A.一条直线的垂线有无数条，A不符合题意；
B.互相垂直的两条线段所在的直线一定相交，但这两条线段不一定相交，B不符合题意；
C.从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做这点到这条直线的距离，C不符合题意；
D.直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短的线段长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm，D符合题意.
故答案为：D
【分析】直线外一点到直线的最短距离为，这点到这条直线的垂线段的长.
14．【答案】B
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵∠1=60°，
∴∠3=∠1=60°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∴∠2=∠3﹣∠1=90°﹣60°=30°．
故选：B．
【分析】根据对顶角相等求出∠3，再根据垂直的定义求出∠AOD=90°，然后根据∠2=∠3﹣∠1代入数据计算即可得解．
15．【答案】140°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°-40°=140°．
故答案为：140°．
【分析】根据垂直的定义可得出∠EOB=90°，再由∠EOD=50°，求出∠BOD的度数，然后利用平角的定义求解。
16．【答案】42°
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵，SQ ⊥ QR，QT ⊥ PQ，
∴∠SQR=∠PQT=90°，
∵∠SQP=∠PQR-∠SQR=138°-90°=48°
∴∠SQT=∠PQT-∠SQP=90°-48°=42°
故答案为：42°
【分析】根据垂直的定义，可得出∠SQR=∠PQT=90°，根据∠SQP=∠PQR-∠SQR，求出∠SQP的度数，再根据∠SQT=∠PQT-∠SQP，求解即可。
17．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵AB ⊥ AC，AD ⊥ BC
∴AD⊥BD，AD⊥DC
∴能表示点到直线距离的线段有：AD，AB、AC、BD、DC，一共5条
故答案为：A
【分析】点到直线的距离就是这点到这条直线的垂线段的长度，根据定义可得出答案。
18．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，
∴桥的长度要最短
∴只有C符合要求
故答案为：C
【分析】根据已知条件：相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，利用垂线段最短，即桥的长度最短，观察各选项，可得出答案。
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