初中数学浙教版九年级上册4.3相似三角形 同步练习
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．矩形都是相似图形
B．各角对应相等的两个五边形相似
C．等边三角形都是相似三角形
D．各边对应成比例的两个六边形相似
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A．矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项不符合题意；
B．各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项不符合题意；
C．等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项符合题意；
D．各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】因为等边三角形对应角相等，对应边成比例，根据相似三角形的判定定理可得出。
2．（2019九上·莲池期中）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C'，则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有变化
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】三角形的各边都增加10%，则所得的三角形与原三角形相似，相似比为1.1∶1，相似三角形对应角相等。
故答案为：D。
【分析】三边扩大相同的比例，三边对应比相等，故前后三角形相似，相似三角形对应角相等，故角没有变化。
3．（2018九上·定安期末）如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（ ）
A．28° B．32° C．42° D．52°
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】考查学生对相似性质的理解及运用，因为△ABC∽△DEF，∴角B=角E，在△ABC中角B=42°∴角E=42° 即选C
【分析】因为△ABC∽△DEF，可得∠B=∠E，利用相似三角形的对应角相等可得结论。
4．（2020九上·覃塘期末）已知 ，且相似比为 ，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ADE∽△ABC,且相似比为 ，DE=8cm，
∴ ，
即2BC=24.
解得，BC=12，
故答案为：D.
【分析】根据在相似三角形中，对应边的比等于相似比可以求得BC的长，本题得以解决．
5．（2019九上·栾城期中）如图，△ ∽△ ，若 ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ ∽△
∴
∴ 解得：AB=4
故答案为:C.
【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.
6．（2019九上·贵阳期末）一个三角形三边的长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形的最长边是10,则其他两边的和是（ ）
A．9 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，知 ，∴x=6，y=8，∴x+y=14．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，列出等式计算即得.
7．（2019九上·瑞安期末）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm， 和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为
A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个三角形的最短边长为xcm，
根据题意，得： ，
解得： ，
即另一个三角形的最短边的长为6cm。
故答案为：A。
【分析】根据题意，两个三角形框架是相似的，根据相似三角形对应边成比例即可列出方程，求解即可。
8．已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则 为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵相似比=1；2，∴面积比=1：4．故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
9．（2020九上·双台子期末）已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，若想得到这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是下列的（ ）
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】设△DEF的另两边为xcm，ycm，
若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，
则： ，
解得：x=5，y=6；
若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，
则： ，
解得：x=3.2，y=4.8；
若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，
则： ，
解得：， ；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的性质，分情况讨论：若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm；若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm；若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，分别得出对应边成比例，就可求出△DEF的另两边长。
10．如图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD=3cm，AB=8cm，AC=10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为（ ）
A． cm B． cm或 cm
C． cm或 cm D． cm
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC
∴3：8=AE：10
∴AE=
故答案为：A．
【分析】连接DE，可证△ADE∽△ABC，通过对应边成比例，求出AE的长度。
二、填空题
11．如图中两三角形相似，则x= ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由图形可得 = ，
解得x=2．
故答案为：2．
【分析】相似三角形的对应边与对应角相等，求出x的值。
12．（2019九上·黄浦期末）已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是45°、60°，那么另外一个三角形的最大内角是 °
【答案】75
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由三角形内角和定理可知，两个内角分别是45°、60°的三角形的第三个内角为：180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵两个三角形相似，
∴另外一个三角形的最大内角是75°，
故答案为：75．
【分析】根据相似三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可得到答案.
13．（2019九上·绿园期末）要把一根1m长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为 ，那么截成的两段铜丝的长度差应是 m．
【答案】 ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据题意知：一段长为 ，另一段长为
所以：两段铜丝的长度差应是 ．
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出答案．
14．（2020九下·荆州期中）如图， ，AD=10，BD=8， 与 相似，则CD=
【答案】6.4或4.8
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ，AD=10，BD=8， 与 相似
∴若△ABD∽△BCD，则
若△ABD∽△DCB，则
则
故答案：6.4或4.8
【分析】由 ，AD=10，BD=8，若△ABD与△BCD相似，可分别从△ABD∽△BCD与△ABD∽△DCB去分析求解即可求得答案.
15．（2020九上·港南期末）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= .
【答案】8.5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得AB=10.5，
∴DE=AB-AE=10.5-2=8.5．
【分析】先求出AC的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AB的长，然后根据DE=AB-AE，代入数据进行计算即可得解．
三、解答题
16．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
【答案】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.
17．已知：如图，△ABC∽△ADE ， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．
（1）求∠ADE的大小；
（2）求DE的长．
【答案】（1）解：在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，
∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；
又∵△ABC∽△ADE ，
∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），
∴∠ADE =95°
（2）解：∵AE：EC=5：3，
∴AE：AC=5：8；
又∵△ABC∽△ADE ， BC=6cm，
∴ ，即
∴DE= cm
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可求出∠ADE的度数。
（2）由AE：EC=5：3，利用比例的性质求出AE：AC的值，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，将相关的线段的值代入可求出DE的长。
18．（2018·铜仁模拟）如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，
（ 1 ）当CP与CA是对应边时，
，即 ，
解得x=4秒；
（ 2 ）当CP与BC是对应边时，
，即 ，
解得x= 秒；
故经过4或 秒，两个三角形相似
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】由题意知，两个三角形有一个公共点C，所有分两种情况：（ 1 ）当CP与CA是对应边时，可得比例式求解；（ 2 ）当CP与BC是对应边时，可得比例式求解。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.3相似三角形 同步练习
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．矩形都是相似图形
B．各角对应相等的两个五边形相似
C．等边三角形都是相似三角形
D．各边对应成比例的两个六边形相似
2．（2019九上·莲池期中）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C'，则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有变化
3．（2018九上·定安期末）如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（ ）
A．28° B．32° C．42° D．52°
4．（2020九上·覃塘期末）已知 ，且相似比为 ，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·栾城期中）如图，△ ∽△ ，若 ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2019九上·贵阳期末）一个三角形三边的长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形的最长边是10,则其他两边的和是（ ）
A．9 B．12 C．13 D．14
7．（2019九上·瑞安期末）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm， 和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为
A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm
8．已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则 为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
9．（2020九上·双台子期末）已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，若想得到这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是下列的（ ）
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
10．如图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD=3cm，AB=8cm，AC=10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为（ ）
A． cm B． cm或 cm
C． cm或 cm D． cm
二、填空题
11．如图中两三角形相似，则x= ．
12．（2019九上·黄浦期末）已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是45°、60°，那么另外一个三角形的最大内角是 °
13．（2019九上·绿园期末）要把一根1m长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为 ，那么截成的两段铜丝的长度差应是 m．
14．（2020九下·荆州期中）如图， ，AD=10，BD=8， 与 相似，则CD=
15．（2020九上·港南期末）如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE= .
三、解答题
16．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
17．已知：如图，△ABC∽△ADE ， AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．
（1）求∠ADE的大小；
（2）求DE的长．
18．（2018·铜仁模拟）如图，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A．矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项不符合题意；
B．各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项不符合题意；
C．等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项符合题意；
D．各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】因为等边三角形对应角相等，对应边成比例，根据相似三角形的判定定理可得出。
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】三角形的各边都增加10%，则所得的三角形与原三角形相似，相似比为1.1∶1，相似三角形对应角相等。
故答案为：D。
【分析】三边扩大相同的比例，三边对应比相等，故前后三角形相似，相似三角形对应角相等，故角没有变化。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】考查学生对相似性质的理解及运用，因为△ABC∽△DEF，∴角B=角E，在△ABC中角B=42°∴角E=42° 即选C
【分析】因为△ABC∽△DEF，可得∠B=∠E，利用相似三角形的对应角相等可得结论。
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ADE∽△ABC,且相似比为 ，DE=8cm，
∴ ，
即2BC=24.
解得，BC=12，
故答案为：D.
【分析】根据在相似三角形中，对应边的比等于相似比可以求得BC的长，本题得以解决．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ ∽△
∴
∴ 解得：AB=4
故答案为:C.
【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，知 ，∴x=6，y=8，∴x+y=14．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，列出等式计算即得.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个三角形的最短边长为xcm，
根据题意，得： ，
解得： ，
即另一个三角形的最短边的长为6cm。
故答案为：A。
【分析】根据题意，两个三角形框架是相似的，根据相似三角形对应边成比例即可列出方程，求解即可。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵相似比=1；2，∴面积比=1：4．故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】设△DEF的另两边为xcm，ycm，
若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm，
则： ，
解得：x=5，y=6；
若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm，
则： ，
解得：x=3.2，y=4.8；
若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，
则： ，
解得：， ；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的性质，分情况讨论：若△DEF中为4cm边长的对应边为6cm；若△DEF中为4cm边长的对应边为7.5cm；若△DEF中为4cm边长的对应边为9cm，分别得出对应边成比例，就可求出△DEF的另两边长。
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC
∴3：8=AE：10
∴AE=
故答案为：A．
【分析】连接DE，可证△ADE∽△ABC，通过对应边成比例，求出AE的长度。
11．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由图形可得 = ，
解得x=2．
故答案为：2．
【分析】相似三角形的对应边与对应角相等，求出x的值。
12．【答案】75
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由三角形内角和定理可知，两个内角分别是45°、60°的三角形的第三个内角为：180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵两个三角形相似，
∴另外一个三角形的最大内角是75°，
故答案为：75．
【分析】根据相似三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可得到答案.
13．【答案】 ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】根据题意知：一段长为 ，另一段长为
所以：两段铜丝的长度差应是 ．
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出答案．
14．【答案】6.4或4.8
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ，AD=10，BD=8， 与 相似
∴若△ABD∽△BCD，则
若△ABD∽△DCB，则
则
故答案：6.4或4.8
【分析】由 ，AD=10，BD=8，若△ABD与△BCD相似，可分别从△ABD∽△BCD与△ABD∽△DCB去分析求解即可求得答案.
15．【答案】8.5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得AB=10.5，
∴DE=AB-AE=10.5-2=8.5．
【分析】先求出AC的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AB的长，然后根据DE=AB-AE，代入数据进行计算即可得解．
16．【答案】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.
17．【答案】（1）解：在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，
∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；
又∵△ABC∽△ADE ，
∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），
∴∠ADE =95°
（2）解：∵AE：EC=5：3，
∴AE：AC=5：8；
又∵△ABC∽△ADE ， BC=6cm，
∴ ，即
∴DE= cm
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可求出∠ADE的度数。
（2）由AE：EC=5：3，利用比例的性质求出AE：AC的值，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，将相关的线段的值代入可求出DE的长。
18．【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，
（ 1 ）当CP与CA是对应边时，
，即 ，
解得x=4秒；
（ 2 ）当CP与BC是对应边时，
，即 ，
解得x= 秒；
故经过4或 秒，两个三角形相似
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】由题意知，两个三角形有一个公共点C，所有分两种情况：（ 1 ）当CP与CA是对应边时，可得比例式求解；（ 2 ）当CP与BC是对应边时，可得比例式求解。
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